हम कण भौतिकी को समझते हैं: 1) वसंत पर एक गेंद, न्यूटोनियन संस्करण

1. एक वसंत पर गेंद, न्यूटोनियन संस्करण
2. एक वसंत पर एक क्वांटम गेंद
3. लहरें, क्लासिक लुक
4. लहरें, गति का शास्त्रीय समीकरण
5. क्वांटम तरंगें
6. फील्ड्स
7. कण क्वांटा हैं
8. कण खेतों के साथ कैसे संपर्क करते हैं

सामान्य शब्दों में समझने के लिए कण भौतिकी की मूल बातें - और यह ब्रह्मांड की अधिकांश प्राथमिक घटनाओं की हमारी वर्तमान समझ है - इतना मुश्किल नहीं है। यदि आपने भौतिकी और गणित विद्यालय में भाग लिया या कॉलेज का पहला वर्ष पूरा किया तो आपके लिए यह आसान हो जाएगा। लेकिन अगर आप भेदभाव और एकीकरण की मूल बातें बीजगणित, त्रिकोणमिति और (संभवतः, लेकिन जरूरी नहीं) से निपटते हैं, तो आप समझ सकते हैं कि फ़ील्ड कैसे काम करते हैं और कण कैसे दिखाई देते हैं। क्वांटम यांत्रिकी के एक पहलू के बारे में आपको केवल एक बार इसके लिए मेरा शब्द लेना होगा। उस स्थिति में, मैं गणितीय सूत्र नहीं दूंगा, लेकिन बस आपको तैयार किए गए उत्तर दिखाऊंगा। लेकिन इस पहलू को स्वीकार करने के बाद, बाकी सब स्पष्ट हो जाएगा।


अंजीर। 1

कण भौतिकी को समझने के लिए, स्कूल भौतिकी से आपको एक ही बात याद रखने की ज़रूरत है - वसंत कैसे काम करता है। वास्तव में, सब कुछ जो उछलता है, कांपता है, छल्ले, झुनझुना, आगे पीछे होता है, वसंत का एक उदाहरण है।

कल्पना कीजिए कि हमने एक वसंत के अंत में एक गेंद रखी। वसंत की चाल और इसका वर्णन करने वाले समीकरण सरल हैं। शुरू करने के लिए, हम वसंत व्यवहार की मूल बातें याद करते हैं, फिर हम गेंद के व्यवहार का अध्ययन करते हैं - दोलन। और अंत में, सबसे पूछताछ करने वाले दिमागों के लिए, हम इस तरह के आंदोलन के लिए अग्रणी समीकरणों पर विचार करेंगे।

हार्मोनिक ऑसिलेटर (उर्फ स्प्रिंग पर गेंद)

वसंत पर गेंद में एक संतुलन की स्थिति होती है; यदि आप गेंद को वहाँ रखते हैं और उसे छोड़ देते हैं, तो वसंत इसे किसी भी दिशा में नहीं बढ़ाएगा, और गेंद गतिहीन रहेगी। यह अंजीर में नीली रेखा है। 1. यदि आप गेंद को संतुलन स्थिति (हरे तीर) से दूर खींचते हैं, तो वसंत गेंद को बल F (लाल तीर) से वापस खींचेगा। जितना दूर आप गेंद को खींचते हैं, उतना ही मजबूत वसंत इसे वापस खींचता है (कम से कम जब तक आप वसंत को तोड़ते हैं या दबाव के साथ तोड़ते हैं)।

दोलन आंदोलन (कूदना)

हम गेंद के आंदोलन की दिशा को "दिशा जेड" कहते हैं, और जेड अक्ष को परिभाषित करते हैं ताकि z = z ₀ वसंत पर गेंद की संतुलन स्थिति से मेल खाती हो। मान लीजिए कि हम गेंद को इस स्थिति से खींचते हैं, इसे पकड़ते हैं ताकि यह स्थानांतरित न हो, स्थिति में z = z ₀ + A; फिर, समय t = 0 में एक निश्चित बिंदु पर, हम इसे जारी करते हैं। गेंद इधर-उधर उछलने लगेगी - अंजीर देखें। 2. कूद की भयावहता - दोलनों का आयाम - ए के बराबर है। यह मनमाने ढंग से बड़ा या छोटा हो सकता है; केवल आप ही चुनते हैं कि गेंद को संतुलन की स्थिति से कितना खींचना है। लेकिन आप यह नियंत्रित नहीं करते हैं कि कितनी बार उछलता है और टटोलता है - दोलनों की आवृत्ति ν - होती है। यह समान हो जाता है, ए के मूल्य की परवाह किए बिना। यह केवल गेंद और वसंत के गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता है, और जो कुछ भी करते हैं, उसके द्वारा नहीं।

वैज्ञानिक उद्देश्यों के लिए, गणितीय सूत्र के माध्यम से टिप्पणियों का वर्णन करना बेहद महत्वपूर्ण है। बॉल जेड की स्थिति समय टी का एक फ़ंक्शन है, जिसे हमारे द्वारा जेड (टी) के रूप में लिखा गया है, फॉर्म लेता है:

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ n t]$$

जहाँ, सामान्य रूप से, cos को cosine है, the वृत्त की ज्यामिति से संख्या pi है, z ₀ गेंद की संतुलन स्थिति है, और A और ν (nu) दोलनों का आयाम और आवृत्ति है। कोसाइन फ़ंक्शन दोलनशील है, इसलिए यह सूत्र आयाम A और आवृत्ति ν के साथ दोलन संबंधी आंदोलनों का वर्णन करता है। प्रारंभिक विचलन के विभिन्न मूल्यों और कुल आयाम ए के साथ एक वसंत पर एक गेंद के दोलन गति के उदाहरण अंजीर में दिखाए गए हैं। 2, जो यह भी दर्शाता है कि एक वसंत पर दी गई गेंद के लिए, आवृत्ति ν आयाम ए पर निर्भर नहीं करता है।

ठीक प्रिंट: आयाम और आवृत्ति शून्य से अधिक है। यदि A ऋणात्मक है, तो आयाम -A होगा। वास्तव में, आयाम वास्तव में है | A | अर्थात, परिमाण मापांक।


अंजीर। 2

गेंद और वसंत के आयाम और आवृत्ति के बारे में याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है (शास्त्रीय पूर्व-क्वांटम भौतिकी में):
• आयाम ए को किसी भी चुना जा सकता है;
• आवृत्ति ν गेंद और वसंत द्वारा निर्धारित की जाती है, और एक अलग आवृत्ति चुनने के लिए, आपको वसंत या गेंद को बदलना होगा।

प्रत्येक दोलन की अवधि (गेंद को एक बार आगे और पीछे जाने में कितना समय लगता है) को टी कहा जाएगा, और यह अवधि बस आवृत्ति का पारस्परिक है: टी = 1 / ν। यदि अवधि 5 सेकंड है, तो आवृत्ति हर पांच सेकंड में एक बार होती है, या 1/5 सेकंड (जिसे अक्सर 1/5 हर्ट्ज या हर्ट्ज कहा जाता है)।

एक और छोटा प्रिंट: वसंत और गेंद की किसी भी वास्तविक प्रणाली में जो आप रोजमर्रा की जिंदगी में सामना करेंगे, घर्षण इस तथ्य को जन्म देगा कि ए धीरे-धीरे कम हो जाएगा और अंततः आंदोलन बंद होने पर शून्य तक पहुंच जाएगा। आंदोलन के दौरान घर्षण को ध्यान में रखने वाले सूत्र अधिक जटिल नहीं हैं, लेकिन हमें उनकी आवश्यकता नहीं होगी। इसलिए, मैं हमेशा मानता हूं कि घर्षण छोटा है, ए बहुत धीरे-धीरे कम हो जाता है, और हम बस सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं जो घर्षण को अनदेखा करते हैं। लेकिन यह जानना महत्वपूर्ण है: घर्षण ए को कम कर देता है, लेकिन, जब तक कि यह बहुत मजबूत न हो, तब तक ν और T प्रभावित नहीं होता है! आयाम में कमी के साथ भी दोलन आवृत्ति समान रहती है। इसलिए, ध्यान दें कि गिटार स्ट्रिंग आपके द्वारा खींचने के बाद पैदा करता है, तब भी नहीं बदलता है, जब परिणामी ध्वनि धीरे-धीरे फीकी पड़ जाती है।

एक और बात: दोलनशील वसंत में संग्रहीत ऊर्जा का एक सुंदर सूत्र है। यह आयाम के वर्ग और आवृत्ति के वर्ग के लिए आनुपातिक है:

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ n ^ 2 A ^ 2 M$$

भाग में, यह गेंद (गतिज) की गति की ऊर्जा है, और भाग में, अंतःक्रियात्मक ऊर्जा (संभावित) वसंत में संग्रहीत होती है, और जब गेंद आगे और पीछे झुकती है, तो कुल ऊर्जा में इन ऊर्जाओं के अंश लगातार बदल रहे हैं। लेकिन कुल ऊर्जा E स्थिर रहती है।

छोटा प्रिंट: अभी भी गेंद, मैक ² के द्रव्यमान की ऊर्जा है, लेकिन हम इसे ट्रैक नहीं करते हैं, क्योंकि यह हमेशा होता है, वसंत इसके साथ चलता है, या नहीं।

एक ही दोलन सूत्र लगभग हर चीज पर लागू होता है जो केवल कंपकंपी या कूदता है यदि ये कूद बहुत बड़ी नहीं हैं। कटोरे के नीचे के साथ एक गेंद रोलिंग; बुरे सदमे अवशोषक पर कूदने वाली कार; वायलिन या गिटार की कंपन स्ट्रिंग; xylophone बार इसे मारने के बाद; आदि

कंपन गति का समीकरण (गणित कूदता है)

अब आइए उन बुनियादी फ़ार्मुलों को याद करें जो हमें समझाते हैं कि क्यों वसंत पर गेंद दोलन करती है।

जैसा कि हमने शुरुआत (छवि 1) में उल्लेख किया है, वसंत पर गेंद की एक संतुलन स्थिति है, जिसे हमने z = _{0 0} कहा है। कुछ समय पर मान लीजिए (या तो हमने गेंद को खींच लिया, या वह हिचकिचा गया), यह एक अलग स्थिति में है, जेड। यदि z> z ₀ , अर्थात, यदि संतुलन स्थिति z - z ₀ से विस्थापन शून्य से अधिक है, तो वसंत गेंद को संतुलन बिंदु पर वापस खींचने के लिए ऋणात्मक दिशा z में निर्देशित बल पैदा करेगा। इसके विपरीत, अगर z <z ₀ , अर्थात्, संतुलन z - z ₀ से विस्थापन नकारात्मक है, तो वसंत सकारात्मक दिशा z में निर्देशित बल पैदा करेगा, फिर से गेंद को संतुलन के बिंदु पर वापस खींचने के लिए। और गेंद को संतुलन की स्थिति से जितना दूर किया जाता है, वसंत उतना ही मजबूत होता है। स्प्रिंग द्वारा निर्मित बल F समीकरण से गेंद के संतुलन के विस्थापन से संबंधित है

$$

$$F = - K (z - z_0)$$

जहां K एक धनात्मक मान है, जो एक विशिष्ट वसंत पर निर्भर करता है, जिसे वसंत का स्थिरांक कहा जाता है।

ध्यान दें कि यह सूत्र सत्य क्यों है:

• यदि गेंद समतुल्य स्थिति में है, तो F = 0. वसंत बल पैदा नहीं करता है, और यदि गेंद संतुलन की स्थिति में नहीं चलती है, तो यह वहीं रहेगी।
• यदि विचलन शून्य से अधिक है, तो बल ऋणात्मक है।
• यदि विचलन नकारात्मक है, तो बल सकारात्मक है।
• विचलन जितना अधिक होगा, ताकत उतनी ही अधिक होगी।

फिर हम न्यूटन के गति के दूसरे नियम की ओर मुड़ते हैं, जिसमें कहा गया है कि F के प्रभाव में, द्रव्यमान M की एक गेंद त्वरण a, जहां F = M a के साथ जाएगी। इसे सूत्र में पिरोएं और प्राप्त करें

$$

$$M a = - K (z - z_0)$$

या

$$

$$a = - K / M (z - z_0)$$

यह हमारे लिए लगभग आवश्यक समीकरण है, जिससे हम दोलनों के समीकरण को प्राप्त कर सकते हैं। हमें केवल ए और जेड के बीच के रिश्ते को याद करना होगा। इसके लिए, ए और स्पीड वी के बीच और वी और जेड के बीच के रिश्ते को याद रखना महत्वपूर्ण है। यह अनुपात समय के साथ दो परिवर्तनों में से एक है:
• गति समय में स्थिति में परिवर्तन है, v = dz / dt
• त्वरण समय के साथ गति में परिवर्तन है, एक = DV / dt

जोड़ें और प्राप्त करें

$$

$$a = d (dz / dt) / dt = d ^ 2z / dt ^ 2$$

त्वरण समय के साथ स्थिति में परिवर्तन का समय है।

हम गति समीकरण के हमारे समीकरण को फिर से लिख सकते हैं

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0) \ quad (*)$$

जहां z, z (t) के लिए एक छोटा अंकन है। और अब हम सत्यापित कर सकते हैं कि कंपन गति z (t) = z ₀ + A cos [2 π ν t] गति के इस समीकरण का हल होगा। हमें पहले समय में इसकी स्थिति में बदलाव के रूप में एक कण की गति की गणना करने की आवश्यकता है:

$$

$$d / dt (z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]) = - ((2 \ pi \ nu) एक पाप [2 \ pi \ n t]$$

(dz ₀ / dt = 0, चूंकि संतुलन स्थिति z ₀ समय के साथ नहीं बदलती है, और d / dt (cos wt) = -w sin wt); और फिर हम समय के साथ उसके वेग में परिवर्तन के रूप में कण के त्वरण की गणना करते हैं:

$$

$$d / dt [- (2 \ pi \ n t t]] = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 A cos [2 \ pi \ n t]$$

(चूँकि d / dt (sin wt) = w cos wt)। परिणामस्वरूप

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ nu) ^ 2 एक कॉस [2 \ pi \ n t t] = - (2 \ pi \ n) ^ 2 (z - z_0)$$

जहां अंतिम चरण में मैंने ऑसिलेटरी मोशन के लिए सूत्र z (t) = z ₀ + A cos [2 last ν t] का उपयोग किया। अंतिम समीकरण हमारी गति के समीकरण के समान है [ $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$], यह देखते हुए कि (2 ν ν) ² = K / M, यदि दोलन आवृत्ति है

$$

$$ν = \ frac {\ sqrt {K / M}} {2 \ pi}$$

और वास्तव में, हमने पाया कि गति के हमारे समीकरण से संकेत मिलता है कि वसंत संकेतित आवृत्ति के साथ दोलन करेगा, कि यह आवृत्ति A पर निर्भर नहीं करती है - यह केवल वसंत (K) और गेंद (M) के गुणों पर निर्भर करता है - और इस पर ध्यान दिए बिना समीकरण के लिए मात्रा A का एक समाधान है। इसलिए, हम किसी भी ए को चुन सकते हैं, इस पर निर्भर करता है कि हम गेंद को जारी करने से पहले संतुलन की स्थिति से कितनी दूर खींचते हैं।

गूंज

अनुनाद सबसे महत्वपूर्ण प्राकृतिक घटनाओं में से एक है, दोनों सामान्य जीवन में, जहां यह प्रौद्योगिकी के कई पहलुओं में और संगीत में, और भौतिक दुनिया की बुनियादी प्रक्रियाओं में, विशेष रूप से कण भौतिकी में एक भूमिका निभाता है।

सबसे पहले, याद रखें कि स्विंग कैसे काम करता है। एक स्विंग, वसंत पर एक गेंद की तरह, या किसी भी पेंडुलम, एक थरथरानवाला है - यह एक निश्चित आवृत्ति के साथ आगे और पीछे बहता है, जो स्विंग आयाम पर निर्भर नहीं करता है। स्विंग के मामले में, यह कथन तब तक सही रहता है जब तक कि आयाम बहुत बड़ा न हो। आप शायद अनुभव से जानते हैं कि एक बच्चे को उच्चतर स्विंग करने के लिए, आपको प्रति चक्र एक बार स्विंग को आगे बढ़ाने की आवश्यकता है ताकि स्विंग आयाम लगातार बढ़ रहा हो। यदि आप स्विंग को प्रति चक्र कई बार आगे बढ़ाते हैं, या हर ढाई चक्र में एक बार करते हैं, तो कभी-कभी आप स्विंग के आयाम को बढ़ाते हैं, और कभी-कभी इसे कम करते हैं। जाहिर है, आवृत्ति को संरेखित करने के बारे में कुछ विशेष है जिसके साथ आप स्विंग को प्राकृतिक आवृत्ति के साथ स्विंग को धक्का देते हैं।

इसी तरह, यदि बच्चा स्वयं जानता है कि स्विंग को कैसे स्विंग किया जाए, तो वह जानता है कि स्विंग के आयाम को बढ़ाने के लिए उसे स्विंग की प्राकृतिक आवृत्ति के समान ही अपने पैरों को स्विंग करना होगा। एक अलग तरीके से स्विंग करें, और आयाम नहीं बढ़ेगा।



आप पता लगा सकते हैं कि वसंत पर गेंद के साथ ऐसा कैसे होता है। चित्र को देखो। बाईं ओर एक संतुलन स्थिति के चारों ओर दोलन करने वाली गेंद है। वह बाहरी झटके के बिना, खुद को हिचकिचाता है। यह वसंत ν की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करता है। आवृत्ति spring K / M है, जहां K वसंत बल है, M गेंद का द्रव्यमान है।

अंजीर में दाईं ओर। आप देख सकते हैं कि एक और, काली गेंद, पहले के बराबर द्रव्यमान, एक ही वसंत पर, जो कि F के साथ धकेल दिया जाता है (इसकी परिमाण और दिशा लाल तीर द्वारा दिखाई जाती है), जो एक आवृत्ति ν _{F से} भिन्न होती है। एक काली गेंद एक झूले की तरह व्यवहार करती है जो बहुत मुश्किल से चलती है; वे एक जटिल पैटर्न में चले जाएंगे और उच्च चढ़ाई नहीं करेंगे। अंजीर में। यह देखा जा सकता है कि गेंद बहुत आसानी से दोलन नहीं करती है, और दोलनों का आयाम छोटा है। आप देख सकते हैं कि किस तरह वह एक प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करने की कोशिश करता है, हालाँकि उसकी सामान्य गति को आवृत्ति ν _{F के} साथ दोहराया जाता है _।

फिर आंकड़ा उस मामले को दिखाता है जिसमें बल एक आवृत्ति ν _{F के} साथ दोलन करता है, जो आवृत्ति ν से बहुत अधिक है। एक बार फिर, आप देख सकते हैं कि किस तरह वह एक प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करने की कोशिश करता है, लेकिन वह एक बड़े आयाम के साथ ऐसा करने में सफल नहीं होता है, क्योंकि एक तेजी से दोलन बल इसे या तो गति के विरुद्ध या गति को बढ़ा या घटा सकता है। ।

और अंत में, मामला दिखाया गया है जब बल वसंत की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करता है, ν _F = ν। गेंद बहुत अलग तरीके से प्रतिक्रिया करती है: दोलनों का आयाम लगातार बढ़ रहा है, और काली गेंद आसानी से और आसानी से बाईं ओर सफेद गेंद के रूप में दोलन करती है, लेकिन आयाम में वृद्धि के साथ। यह एक प्रतिध्वनि है।

नतीजतन: यदि ν _F , ν से भिन्न होता है - यदि बल गेंद को प्रतिध्वनि में प्रवेश करने की अनुमति नहीं देता है - यह गति करेगा, लेकिन अनिच्छा से, और इसकी गति प्राकृतिक से बहुत अलग होगी, आवृत्ति के साथ एक सरल दोलन। इसके विपरीत, यदि बल की आवृत्ति प्राकृतिक से मेल खाती है - यदि बल प्रतिध्वनि में गेंद का परिचय देता है - तो बल गेंद को अधिक कुशलता से धकेलता है, और परिणामस्वरूप आंदोलन अधिक प्रभावशाली होता है। हम इसे सहज रूप से जानते हैं; स्विंग को प्राकृतिक आवृत्ति के साथ धकेलने से, बच्चा (या माता-पिता) स्विंग को उच्च और उच्चतर बनाता है।

कण भौतिकी में अनुनाद के महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक तथ्य यह है कि कुछ परिस्थितियों में कणों को एक समान तंत्र के कारण उत्पन्न किया जा सकता है: दो कणों की टक्कर के बाद, एक बल बिल्कुल वैसी ही आवृत्ति के साथ प्राप्त होता है जैसा कि तीसरा बनाने के लिए आवश्यक होता है।

अगली बार: एक स्प्रिंग पर क्वांटम बॉल

यह शास्त्रीय, पूर्व-क्वांटम, भौतिकी में एक वसंत पर एक गेंद का व्यवहार है। क्वांटम मैकेनिक्स कई अवधारणाओं को बदलता है , लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है: हम अभी भी ए का चयन कर सकते हैं, लेकिन ए किसी भी आकार का नहीं हो सकता है। यह पूर्णांक के वर्गमूल के समानुपातिक मूल्यों को ले सकता है।