हम कण भौतिकी को समझते हैं: 2) एक वसंत पर एक क्वांटम गेंद

1. एक वसंत पर गेंद, न्यूटोनियन संस्करण
2. एक वसंत पर एक क्वांटम गेंद
3. लहरें, क्लासिक लुक
4. लहरें, गति का शास्त्रीय समीकरण
5. क्वांटम तरंगें
6. फील्ड्स
7. कण क्वांटा हैं
8. कण खेतों के साथ कैसे संपर्क करते हैं

पिछले लेख का मुख्य परिणाम यह था कि न्यूटन के पूर्व-क्वांटम भौतिकी में एक वसंत पर एक गेंद का दोलन गति और उसके दोस्तों का रूप लेता है

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ n t]$$

जहां:
• z, समय t के एक समारोह के रूप में गेंद की स्थिति है।
• z ₀ गेंद की सन्तुलन स्थिति है (जहाँ यह उतार-चढ़ाव न होती तो आराम करती),
• ए - कंपन आयाम (जिसे हम मनमाने ढंग से बड़े या छोटे चुन सकते हैं),
• Iν [नग्न] - कंपन आवृत्ति (केवल वसंत K के बल पर और गेंद M के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, और A के आधार पर नहीं)।

इसके अलावा, दोलन में संग्रहीत कुल ऊर्जा है

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ n ^ 2 A ^ 2 M$$

A को बदलकर हम किसी भी ऊर्जा को दोलन में रख सकते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, सब कुछ बदल जाता है। पहली नज़र में (और हमें किसी और चीज़ की ज़रूरत नहीं है), केवल एक ही चीज़ बदलती है - यह दावा कि हम दोलनों के आयाम को बड़े या छोटे रूप में चुन सकते हैं जैसा हम चाहते हैं। यह पता चला कि ऐसा नहीं है। तदनुसार, दोलन में संग्रहीत ऊर्जा को मनमाने ढंग से नहीं चुना जा सकता है।


अंजीर। 1

दोलन आयाम का परिमाणीकरण

20 वीं शताब्दी की शुरुआत के प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी मैक्स प्लैंक ने खोजा कि ब्रह्मांड में कुछ मात्रा है, और प्रकृति के एक नए स्थिरांक को पेश किया, जिसे प्लैंक स्थिरांक कहा जाता है। हर बार जब आप क्वांटम यांत्रिकी में कुछ भी मुठभेड़ करते हैं, तो आप एच देखेंगे। मात्रात्मक,

$$

$$h = 6.626068 \ गुना 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- सामान्य मानव जीवन के लिए बहुत कम मूल्य। और यहाँ जो सामने आता है:

एक वसंत पर एक क्वांटम गेंद केवल आयाम के साथ दोलन कर सकती है

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ n M}$$

जहाँ n एक पूर्णांक है, उदाहरण के लिए, 0, 1, 2, 1798 या 2,348,979। दोलनों की मनमानी नहीं है, लेकिन परिमाणित: हम दोलनों की मात्रा को n कह सकते हैं। परिभाषा: हम कहते हैं कि क्वांटम एन के साथ एक गेंद थरथराना nth उत्साहित अवस्था में है। यदि क्वांटम शून्य है, तो हम कहते हैं कि यह जमीनी स्थिति में है।

आपको यह समझने के लिए कि इसका मतलब क्या है, पहले पांच उत्साहित राज्य, और जमीनी राज्य, दिखाए गए हैं (बल्कि भोलेपन से - छवि को बहुत गंभीरता से नहीं लेते हैं)। 1. राज्य में सबसे छोटा संभव दोलन n = 1. यह कंपन की एक मात्रा है; क्वांटम का कोई अंश नहीं है। एक गेंद कम दोलन नहीं कर सकती, जब तक कि यह बिना दोलनों वाली अवस्था में न हो, जब n = 0 हो।

बाकी सब, पहली नज़र में, एक ही है। लेकिन वास्तव में क्वांटम यांत्रिकी का इतिहास कहीं अधिक जटिल है! लेकिन अभी के लिए, हम इस भ्रम से दूर जा सकते हैं और लगभग 100% सही भौतिकी का उपयोग कर सकते हैं।

हम यह क्यों नहीं कह सकते कि हमारे अनुभव के आधार पर दोलनों की मात्रा निर्धारित की जाती है? क्योंकि रोजमर्रा की प्रणालियों में, परिमाणीकरण बहुत छोटा है। एक वास्तविक गेंद और एक वसंत लें - उदाहरण के लिए, एक गेंद का वजन 50 ग्राम होता है, और इसकी दोलन आवृत्ति प्रति सेकंड होती है। फिर एक क्वांटम, एन = 1 के लिए आयाम, आयाम के अनुरूप होगा

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ n M} = 1.8 \ गुना 10 ^ {-} {} $$$

यह एक मीटर के दस लाखवें हिस्से के दसियोंवें हिस्से का एक जोड़ा है, या एक प्रोटॉन से 10 गुना कम है! कंपन की एक मात्रा भी परमाणु नाभिक के आकार के क्रम से गेंद को स्थानांतरित नहीं करेगी! कोई आश्चर्य नहीं कि हम कोई परिमाण नहीं देखते हैं! यदि गेंद एक दृश्य दूरी पर चलती है, तो इसमें बड़ी संख्या में क्वांटा होता है - और इस तरह के बड़े एन के लिए, हमारे दृष्टिकोण से, हम कोई भी ए बना सकते हैं, अंजीर देखें। 2. हम इसकी परिमाण पर ऐसी सूक्ष्म सीमाओं को नोटिस करने के लिए पर्याप्त रूप से माप नहीं सकते हैं।


अंजीर। 2. राज्य n के लिए दोलनों के आयाम। छोटे एन के लिए, ए झूठ के व्यक्तिगत मूल्य एक दूसरे से बहुत दूर हैं, लेकिन पहले से ही एन = 100 के लिए ए झूठ के अनुमत मूल्य इतने करीब हैं कि असंगति पहले से ही नोटिस करना बहुत मुश्किल है। रोजमर्रा की स्थितियों में, एन के मूल्य इतने बड़े हैं कि असंगति को नोटिस करना असंभव है।

ध्यान दें कि विशेष रूप से, गेंद के बड़े द्रव्यमान के कारण ऐसे मूल्य प्राप्त होते हैं। यदि गेंद में 100 लोहे के परमाणु होते हैं और एक मीटर के दसवें हिस्से के एक हजारवें हिस्से का त्रिज्या होता है, तो इसका न्यूनतम आयाम एक मीटर का दस लाखवाँ हिस्सा होगा, यानी यह इसके दायरे से एक हज़ार गुना अधिक होगा। और यह पर्याप्त रूप से बड़ा मूल्य है कि इसे माइक्रोस्कोप के माध्यम से देखा जा सकता है। लेकिन इस तरह की एक छोटी सी गेंद को परमाणु पैमाने पर काम करने वाली ताकतों के संपर्क में लाया जाएगा, और प्रति सेकंड एक बार की तुलना में बहुत तेजी से दोलन करेगा - और एक बड़ी आवृत्ति छोटे आयामों से मेल खाती है। इसलिए एक छोटी गेंद के साथ भी, प्रकृति के परिमाणीकरण पर ध्यान देना काफी कठिन है।

कंपन ऊर्जा का परिमाणीकरण

अब आयाम का परिमाणीकरण करें, और इसे कंपन ऊर्जा के सूत्र में रखें, जिसका हमने पहले ही लेख की शुरुआत में उल्लेख किया है, $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ n ^ 2 A ^ 2 M$। इसमें A के लिए अनुमत मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक अद्भुत परिणाम मिलता है:

$$

$$E = n h \ n$$

आश्चर्यजनक सरल उत्तर! एक वसंत (भोले बोल) पर एक क्वांटम गेंद में संग्रहीत ऊर्जा n के लिए आनुपातिक है, कंपन क्वांटा की संख्या, प्लैंक स्थिर एच और कंपन आवृत्ति ν। और भी आश्चर्यजनक रूप से, यह सरल सूत्र वास्तव में लगभग सटीक है! वह क्या सही दिखाता है?

• प्रति इकाई दोलनों में क्वांटा की संख्या बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (n → n + 1) h ν के बराबर है।
• रोज़मर्रा के जीवन में सामना किए जाने वाले किसी भी थरथरानवाला में, एक क्वांटम की ऊर्जा इतनी कम होगी कि हम इसकी मात्रा के बारे में कभी नहीं जान पाएंगे।

इसे देखें। वसंत के साथ एक गेंद के लिए, एक सेकंड में एक बार थरथराना, ऊर्जा की एक मात्रा 6.6 × 10 ^-34 जे या 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 66 जूल के बराबर होगी। और जूल वह ऊर्जा है जिसे आप जमीन से बेल्ट के स्तर तक एक सेब उठाने में खर्च करते हैं - इतना बड़ा नहीं! तो यह एक अविश्वसनीय रूप से छोटी मात्रा में ऊर्जा है। केवल छोटे अणुओं और यहां तक ​​कि छोटे प्रणालियों में भी कंपन की आवृत्ति इतनी बड़ी हो सकती है कि ऊर्जा की मात्रा का पता लगाया जा सके।

यह पता चला है कि ऊर्जा के लिए सूत्र पूरी तरह से सच नहीं है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए इन गणनाओं को पूरा करने के बाद, आप पाएंगे कि ऊर्जा का सही सूत्र है:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ n$$

हम अक्सर 1/2 से n की इस छोटी पारी पर ध्यान नहीं देते हैं। हालांकि, यह बहुत दिलचस्प है - यह उससे है कि क्वांटम यांत्रिकी का पूरा उलझाव शुरू होता है। क्या वह उत्सुक नहीं है? भले ही थरथरानवाला में दोलन क्वांटा न हो, जब n = 0 हो, तब भी इसमें थोड़ी मात्रा में ऊर्जा होती है। इसे शून्य कंपन, या शून्य ऊर्जा की ऊर्जा कहा जाता है, और मूल कंपन से लिया जाता है, मूल अप्रत्याशितता, क्वांटम यांत्रिकी के बहुत दिल में रहता है। तस्वीर को देखो। 3, जो, अनिवार्य रूप से योजनाबद्ध और गलत तरीके से, यह दिखाने की कोशिश कर रहा है कि शून्य ऊर्जा के लिए जिटर कैसे जिम्मेदार है। गेंद जमीनी स्थिति में भी बेतरतीब ढंग से चलती है। भविष्य में, हम शून्य ऊर्जा पर लौटेंगे, क्योंकि यह हमें सभी भौतिकी की सबसे गंभीर समस्याओं की ओर ले जाएगा।


अंजीर। 3. क्वांटम यांत्रिकी की मौलिक अप्रत्याशितता की कल्पना एक यादृच्छिक घबराहट के रूप में की जा सकती है, जो गेंद की स्थिति को बदल देती है। यह जमीनी अवस्था में भी बेतरतीब ढंग से चलता है, और उत्साहित लोगों को भी प्रभावित करता है, हालांकि n बढ़ने के साथ इसका प्रभाव अब ध्यान देने योग्य नहीं है। ड्राइंग स्केच है और इसे बहुत गंभीरता से नहीं लिया जाना चाहिए।