हम कण भौतिकी को समझते हैं: 4) तरंगें, गति का शास्त्रीय समीकरण

1. एक वसंत पर गेंद, न्यूटोनियन संस्करण
2. एक वसंत पर एक क्वांटम गेंद
3. लहरें, क्लासिक लुक
4. लहरें, गति का शास्त्रीय समीकरण
5. क्वांटम तरंगें
6. फील्ड्स
7. कण क्वांटा हैं
8. कण खेतों के साथ कैसे संपर्क करते हैं

आइए हम एक वसंत पर एक गेंद के दोलनों के समीकरण पर लौटते हैं

चक्र के पहले लेखों में से एक में , हमने पहली बार एक गेंद के दोलन गति के लिए एक सूत्र निकाला

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ n t]$$

और फिर उन्हें गति का समीकरण मिला जिसके लिए यह सूत्र एक समाधान था

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$$

यहां
• d ² z / dt ² समय z (t) में परिवर्तन से समय में परिवर्तन को दर्शाता है।
• K वसंत बल है, M गेंद का द्रव्यमान है, z ₀ संतुलन स्थिति है।
• ν = √ के / एम / २ν

के और एम के संदर्भ में व्यक्त अंतिम आवृत्ति समीकरण प्राप्त करने के लिए महत्वपूर्ण कदम गेंद z (t) = z ₀ + A cos [2 t ν t] की दोलन गति के लिए d ² z / dt ² की गणना थी। हमने वो पाया

$$

$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ n) ^ 2 (z - z_0)$$

वेव समीकरण

अब हम लहरों के लिए भी यही करना चाहते हैं। हमें एक तरंग की आकृति और गति के लिए एक सूत्र मिला जो अंतरिक्ष और समय दोनों में दोलन करता है।

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda)]$$

गति के किस समीकरण के समाधान के बीच ऐसा सूत्र है? आप उत्तर की कल्पना कर सकते हैं। जाहिर है, इसमें शामिल हैं:

1. d ² Z / dt ² , समय में परिवर्तन, समय Z में परिवर्तन (x, t)।
2. d ² Z / dx ² , अंतरिक्ष Z (x, t) में परिवर्तन के स्थान में परिवर्तन।

स्वाभाविक रूप से, हम अनुमान लगा सकते हैं कि समीकरण कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

$$

$$C_t d ^ 2Z / dt ^ 2 + C_x d ^ 2Z / dx ^ 2 = C_0 (Z - Z_0)$$

जहाँ C _t , C _x और C ₀ स्थिरांक हैं। मैं ध्यान देता हूं कि यदि C _t = 1, C _x = 0, और C ₀ = -K / M, तो हम वसंत पर गेंद के दोलन के समीकरण पर लौट आएंगे। हमारे मामले में ये स्थिरांक क्या हैं?

हम हमेशा C _t = 1. डाल सकते हैं, यदि आप चाहते हैं, कहें, C _t = 5, तो मैं आपको पूरे समीकरण को 5 से विभाजित करने के लिए कहूंगा, जो आपको उस विकल्प के समतुल्य देगा जिसमें C _t = 1, बस अन्य स्थिरांक के अन्य मूल्य।

उसके बाद, यह पता चला है कि C _x और C ₀ के मान अलग-अलग भौतिक प्रणालियों में भिन्न होते हैं। हम विभिन्न स्थिरांक के साथ तरंगों के दो अलग-अलग वर्गों का अध्ययन करेंगे।

दोनों वर्गों के लिए, C _x ऋणात्मक होगा, $$$C_x = -c_w ^ 2$ (यहाँ c _w उच्च आवृत्ति तरंगों की गति की गति को दर्शाता है)।

ये वर्ग अलग-अलग होंगे कि पहली कक्षा, कक्षा 1, C ₀ ऋणात्मक होगी, और होगी - (2 and μ) 2, और दूसरी, कक्षा 0, C ₀ शून्य होगी।

अब हम समीकरणों के इन दो वर्गों की तरंगों के गुणों का अध्ययन करते हैं। लेकिन इससे पहले, हमें एक और गणना करने की आवश्यकता है, जो हमने पहले ही किया था।

त्वरित गिनती

हमारी अंतहीन लहर के लिए

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda)]$$

हमें d ² Z / dt ² और d ² Z / dx ² जानना होगा। पिछले लेख में, हमने पहले ही दिखाया कि एक गेंद पर z (t) = z ₀ + A cos [2 2 ν t] के अनुसार चलती हुई गेंद के लिए, यह पता चला कि $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ n) ^ 2 (z - z_0)$ । समय में परिवर्तन हमें 2 π ν का कारक देता है, और समय में परिवर्तन दो कारकों का कारक देता है। इसके अलावा, एक सामान्य ऋण चिह्न है। इसलिए, आपको आश्चर्य नहीं होगा कि:

• $$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ n) ^ 2 (Z - Z_0)$
• $$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z00) $$

समय में प्रत्येक परिवर्तन हमें कारक ν = 1 / T (अवधि बड़ी, समय में परिवर्तन धीमा) देता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक परिवर्तन हमें कारक 1 / λ (लंबी लहर, अंतरिक्ष में बदलाव धीमा) देता है।

सबूत

एक अनंत तरंग के लिए, हमारे पास मूल समीकरण है

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda]) = Z_0 + A cos (2 \ pi [t / T - x / \ lambda)]$$

और हम यही दिखाना चाहते हैं

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi \ n) ^ 2 (Z - Z_0)$$

$$

$$d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z00) $$$

कुछ तथ्य:

• Z - Z ₀ = एक कॉस (2π [ν t - x / λ]) (मुख्य समीकरण में वे Z ₀ को बाईं ओर ले गए)
• चूंकि Z ₀ समय और स्थान का एक निरंतर स्वतंत्र है, dZ ₀ / dt = 0 और dZ ₀ / dx = 0 है।
• d (cos t) / dt = - sin t, और d (sin t) / dt = + cos t
• d (F [at + bx]) / dt = ad (F [at + bx]) / d (a t + bx), जहाँ a और b स्थिरांक होते हैं, और F किसी भी प्रकार का कार्य (at + bx) है।
• d [A f (t)] / dt = A d [f (t)] / dt, जहां f (t) t का कोई कार्य है, और A एक स्थिर है

साथ में, इसका मतलब है कि:

$$

$$dZ / dt = d [a cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt \\ = A (2 \ pi \ n) d [cos (2 \ pi [\ n t - x / \ lambda])] / d (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda] = = - ( 2 \ pi \ nu) एक पाप (2 \ pi [\ n t - x / \ lambda]$$

और

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = d [- (2 \ pi \ nu) एक पाप (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) एक घ [पाप (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])] / dt = \\ - (2 \ pi \ nu) ^ 2 एक cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda) ]) = - (2 \ pi \ n) ^ 2 (Z - Z_0)$$

चूँकि तरंग का मूल सूत्र तब नहीं बदलता है जब (ν t) को (-x / λ) से बदल दिया जाता है, d ² Z / dx ² की गणना d ² Z / dt ² की गणना से भिन्न नहीं होती है, बस d (dt) के बजाय कारक (2π ν) देती है। ), हमारे पास कारक (- 2 / λ) डी / डीएक्स होगा। लेकिन, चूंकि उत्तर में दो ऐसे कारक हैं, हम बस (2ν ν) ² को (- 2π / λ) ² = (+ 2π / λ) ^{2 से} प्रतिस्थापित करते हैं; माइनस कोई फर्क नहीं पड़ता (समग्र माइनस अतिरिक्त अवशेष)। जैसा कि हमें साबित करने की जरूरत थी

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 = - (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z00) $$$

ठीक प्रिंट: उपरोक्त सभी डेरिवेटिव वास्तव में आंशिक डेरिवेटिव हैं।

कक्षा 0: किसी भी आवृत्ति की तरंगें और समान गति

तरंगों के इस वर्ग में, गति का समीकरण होगा:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - c_w ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

अनंत तरंग के लिए सूत्र Z (x, t) से जुड़े होने और हमारे द्वारा की गई गणनाओं का उपयोग करने पर, हम पाते हैं कि:

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-c_w ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = 0$$

द्वारा समीकरण को विभाजित करें $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ हमें मिलता है

$$

$$\ n ^ 2 - c_w ^ 2 / \ lambda ^ 2 = 0$$

चूंकि आवृत्तियों, वेग और तरंग दैर्ध्य सकारात्मक हैं, हम जड़ निकाल सकते हैं और

ν = c _w / λ, या, यदि आप चाहें, तो λ = c _w / ν = c _w T

इस सूत्र से हम सीखते हैं कि:

• शुरू में, हमारी लहर, जैसा कि हमने इसे रिकॉर्ड किया था, इसमें कोई आवृत्ति और कोई तरंग दैर्ध्य हो सकता है। लेकिन गति का समीकरण उन्हें एक दूसरे पर निर्भर करता है। कक्षा 0 की तरंगों के लिए, आप कोई भी आवृत्ति चुन सकते हैं, लेकिन उसके बाद तरंग दैर्ध्य λ = c _w / ν के माध्यम से निर्धारित किया जाता है।
• कक्षा 0 की सभी तरंगें, आवृत्ति की परवाह किए बिना, गति c _{w के} साथ यात्रा करती हैं। यह सूत्र λ = c _w T और अंजीर से होता है। पिछले लेख के 3। देखें कि टी। की एक अवधि के दौरान तरंग दोलन के एक चक्र से कैसे गुजरती है? लहर टी के बाद बिल्कुल वैसी ही दिखती है, लेकिन प्रत्येक शिखा को स्थानांतरित कर दिया गया है जहां उसका पड़ोसी था - एक दूरी पर λ। इसका मतलब यह है कि रिज समय टी में एक दूरी λ चलती है - एक दोलन अवधि में एक तरंग दैर्ध्य - और इसका मतलब है कि लकीरें λ / T = c _{w की} गति से चलती हैं। यह सभी आवृत्तियों और उनके अवधियों और सभी तरंग दैर्ध्य के लिए सही है!
• जैसा कि वसंत पर एक गेंद के मामले में, इन तरंगों का आयाम ए कोई भी हो सकता है, मनमाने ढंग से बड़े या छोटे। और यह सभी आवृत्तियों के लिए मामला है।

कक्षा 1: विभिन्न गति के साथ न्यूनतम से अधिक आवृत्ति वाली तरंगें

लहरों के इस वर्ग के लिए, गति का हमारा समीकरण होगा:

$$

$$d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

अनंत तरंग के लिए सूत्र Z (x, t) को प्रतिस्थापित करना और ऊपर बताए गए त्वरित गणना का उपयोग करना, हम पाते हैं कि

$$

$$- (2 \ pi \ nu) ^ 2 (Z - Z_0) - (-cw ^ 2) (2 \ pi / \ lambda) ^ 2 (Z - Z_0) = - (2 \ pi / mu) ^ 2 ( Z - Z_0)$$

समीकरण को विभाजित करके $$$- (2 \ pi) ^ 2 (Z - Z_0)$ हमें मिलता है

$$

$$\ n ^ 2 - cw ^ 2 / \ lambda ^ 2 = \ mu ^ 2$$

चूंकि आवृत्तियों, वेग और तरंग दैर्ध्य सकारात्मक हैं, हम वर्गमूल निकाल सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं

$$

$$\ n = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2}$$

आपको याद दिला दूं कि y ^1/2 .y जैसा ही है।

यह सूत्र कक्षा 0 तरंगों के सूत्र से बहुत अलग है, जैसा कि इसके आवेदन के परिणाम हैं।

सबसे पहले, गति का समीकरण न्यूनतम अनुमेय आवृत्ति की उपस्थिति को इंगित करता है। चूंकि (cw / λ) ² हमेशा सकारात्मक है,

$$

$$\ nu = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} [\ mu$$

Ν = μ के करीब जाने के लिए, λ को बढ़ाना आवश्यक है। बहुत बड़ी तरंग दैर्ध्य के लिए, आवृत्ति μ तक पहुंचती है, लेकिन यह छोटी नहीं हो सकती। कक्षा ० तरंगों के लिए, ऐसा नहीं था। उनके पास ν = cw / λ था, इसलिए उनके लिए, आप जितना अधिक λ करते हैं, मजबूत ν शून्य तक पहुंचता है। कक्षा 1 की तरंगों के लिए, μ से अधिक ν का कोई भी मान संभव है।

दूसरे, हमने सबूत पाया कि कक्षा 0 की सभी तरंगों की गति समान है, लेकिन यह कक्षा 1 की तरंगों के लिए काम नहीं करती है। एकमात्र विकल्प जिसमें हम काम कर सकते हैं यदि हम ν लेते हैं μ से बहुत अधिक; इसके लिए हमें λ को बहुत छोटा बनाने की आवश्यकता है (और, तदनुसार, 1 / λ बहुत बड़ी)। इस मामले में

$$

$$\ n = = [(cw / \ lambda) ^ 2 + \ mu ^ 2] ^ {1/2} amb cw / \ lambda$$

अर्थात्, बहुत बड़ी आवृत्तियों और छोटी तरंग दैर्ध्य पर, कक्षा 1 तरंगों में कक्षा 0 तरंगों के रूप में आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य के बीच लगभग समान अनुपात होगा, इसलिए, कक्षा 0 तरंगों के समान कारणों के लिए, ऐसी तरंगें एक गति से आगे बढ़ेंगी , (लगभग) cw के बराबर।

दोनों वर्गों की तरंगों के लिए क्या सच है कि आयाम ए कोई भी हो सकता है, मनमाने ढंग से छोटा या बड़ा हो सकता है, और आवृत्ति पर निर्भर नहीं करता है।


अंजीर। 1. कक्षा 0 और 1 की तरंगों के लिए, गति का समीकरण आवृत्ति, या अवधि और तरंग दैर्ध्य, या 1 / तरंग दैर्ध्य के बीच संबंध देता है। प्रत्येक ग्राफ गति के समीकरण के आधार पर इन मूल्यों के संबंध को दर्शाता है। तीन रेखांकन एक ही चीज़ दिखाते हैं, लेकिन वे विभिन्न चर पर निर्मित होते हैं। नीली रेखाएँ कक्षा ० की तरंगों को संदर्भित करती हैं। लाल कक्षा १ की तरंगों को इंगित करते हैं, जिसकी गति बहुत अधिक आवृत्तियों और लघु तरंग दैर्ध्य पर समान होती है, जब वे नीली रेखाओं से मेल खाती हैं। लेकिन न्यूनतम आवृत्ति पर μ (और 1 / μ की अधिकतम अवधि के साथ), हरे रंग में चिह्नित, दो तरंगें बढ़ती तरंग दैर्ध्य के साथ विचलन करती हैं।

ठीक प्रिंट: आपने देखा होगा कि मैंने थोड़ा धोखा दिया। मैंने कक्षा 1 की तरंगों की गति की गणना नहीं की है। तथ्य यह है कि यहाँ एक बहुत ही मुश्किल पकड़ है। कक्षा 0 की लहरों के लिए, मैंने लकीरों की चाल का अनुसरण करते हुए उनकी गति को गिना। यह काम करता है क्योंकि कक्षा 0 में, सभी आवृत्तियों की तरंगें एक ही गति से यात्रा करती हैं। लेकिन कक्षा 1 में, या किसी अन्य में, जहां अलग-अलग आवृत्तियों की तरंगें अलग-अलग गति से चलती हैं, एक वास्तविक लहर की गति उसके जंगलों की गति से निर्धारित नहीं होती है! यह पता चला है कि लकीरें cw से तेज चलती हैं, लेकिन तरंग का वेग cw से कम होता है। इसे समझने के लिए, एक बहुत ही गैर-स्पष्ट तर्क और "समूह" और "चरण" की गति के बीच अंतर का उपयोग करना आवश्यक है। मैं इस चाल को बायपास करूंगा; मैं सिर्फ इसके अस्तित्व पर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता था ताकि आपको गलत विचार न आए।

क्लासिक तरंगों पर अंतिम टिप्पणी

आप कक्षा ० तरंगों के कई परिचित उदाहरणों को प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें हवा, पानी या धातु में ध्वनि (जहाँ cw किसी सामग्री में ध्वनि तरंगों की गति है), प्रकाश और अन्य विद्युत चुम्बकीय तरंगें (जहाँ निर्वात में cw = c) और रस्सियों या तारों पर तरंगें शामिल हैं, अंजीर में। पिछले लेख में २। इसलिए, प्रारंभिक भौतिकी पाठ्यक्रमों में कक्षा 0 तरंगें सिखाई जाती हैं। मैं रोजमर्रा की जिंदगी में कक्षा 1 की लहरों का उदाहरण नहीं दे सकता हूं, लेकिन हम जल्द ही देखेंगे कि ये तरंगें ब्रह्मांड के लिए भी महत्वपूर्ण हैं।

हमारे पास एक सुविधाजनक सूत्र E = 2 ² ν ² A ² M है जो एक स्प्रिंग पर द्रव्यमान M की एक गेंद की ऊर्जा के लिए है। अन्य ऑसिलेटर के लिए सूत्र उनकी प्रकृति पर निर्भर करते हैं, लेकिन उनका आकार लगभग एक जैसा है। लेकिन तरंगों के मामले में, हमने उनकी ऊर्जा का उल्लेख नहीं किया है। विशेष रूप से, क्योंकि हमने गणित को सरल बनाने के लिए अनंत संख्या में लकीरों के साथ तरंगों का अध्ययन किया। सहज रूप से, प्रत्येक शिखा और गर्त के संचलन और आकार में किसी प्रकार की ऊर्जा को संग्रहित किया जाना चाहिए, और अनंत संख्या में शिखरों और गर्तों के साथ, लहर में ऊर्जा की मात्रा अनंत होगी। इसके चारों ओर दो रास्ते हैं। सटीक सूत्र तरंग के प्रकार पर निर्भर करते हैं, लेकिन चलो एक रस्सी पर कक्षा 0 तरंगों को देखें।

• तरंगदैर्ध्य प्रति ऊर्जा की मात्रा (बिंदु x और बिंदु x + λ के बीच संग्रहीत), ज़ाहिर है, 2 equal ² ν ² A ² M _{λ के} बराबर है, जहां M _λ लंबाई के रस्सी खंड का द्रव्यमान λ है।
• वास्तव में, लहरें अनंत नहीं हैं। कई लकीरों और अवसादों के आवेग के रूप में, अंजीर में दिखाया गया है। 2 आखिरी लेख में, कोई भी लहर परिमित होगी, इसमें परिमित संख्या और लकीरें होंगी। यदि यह L की लंबाई तक फैला हुआ है, यानी इसमें L / λ लकीरें होंगी, तो इसमें हस्तांतरित ऊर्जा 2 will ² ν ² A ² M _{L होगी} , जहां M _L , लंबाई L के टुकड़े के द्रव्यमान का है। यह सिर्फ L / λ है एक तरंग दैर्ध्य द्वारा ऊर्जा से गुणा किया जाता है।

रस्सियों से फैलने वाली तरंगों के लिए, समीकरणों का विवरण अलग-अलग होगा, लेकिन एक साधारण दोलन प्रणाली की तरंग दैर्ध्य हमेशा ν ² A ^{2 के} समानुपाती होगी।

कक्षा 1 में, एक बहुत ही रोचक लहर है, जो कि कक्षा 0. में मौजूद नहीं है। यह ऐसा मामला है जब ν = μ, न्यूनतम मान और λ = अनंत। इस मामले में, लहर रूप लेती है

$$

$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi \ mu t)$$

यह तरंग किसी भी समय x पर निर्भर नहीं करती है, अर्थात, Z (x, t) पूरे अंतरिक्ष पर एक स्थिर होगा, और Z एक आवृत्ति μ के साथ वसंत पर एक गेंद की तरह समय में दोलन करता है। ऐसी स्थिर लहर, अंजीर में दिखाई गई। 2, आगे के विचारों में बहुत महत्वपूर्ण होगा।


अंजीर। 2

क्वांटम तरंगें

वसंत पर एक गेंद के लिए, शास्त्रीय और क्वांटम सिस्टम के बीच का अंतर यह था कि पहले मामले में, आयाम ऊर्जा की तरह, मनमाने ढंग से मूल्यों को ले सकता था, और क्वांटम मामले में, आयाम और ऊर्जा को परिमाणित किया गया था। किसी भी समान दोलन प्रणाली के लिए, यह उसी तरह से काम करता है। शायद हम अनुमान लगा सकते हैं कि यह लहरों के लिए भी सच है ...