कण भौतिकी को समझना: 5) क्वांटम तरंगें

1. एक वसंत पर गेंद, न्यूटोनियन संस्करण
2. एक वसंत पर एक क्वांटम गेंद
3. लहरें, क्लासिक लुक
4. लहरें, गति का शास्त्रीय समीकरण
5. क्वांटम तरंगें
6. फील्ड्स
7. कण क्वांटा हैं
8. कण खेतों के साथ कैसे संपर्क करते हैं

अनुस्मारक: वसंत पर क्वांटम गेंद

श्रृंखला के पहले लेख में , हमने द्रव्यमान M की एक गेंद का कठोरता K के एक झरने पर अध्ययन किया, और पाया कि इसके दोलन:

• एक सूत्र होगा $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ n t]$ ।
• ऊर्जा $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ n ^ 2 A ^ 2 M$ ।
• गति का समीकरण $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

जहां गति का समीकरण ν = √ K / M / 2 but है, लेकिन आयाम A को किसी भी सकारात्मक मान की अनुमति देता है। फिर, दूसरे लेख में, हमने देखा कि क्वांटम यांत्रिकी, दोलनों पर लागू, उनके आयाम को सीमित करता है - यह अब कोई भी नहीं हो सकता है। इसके बजाय, इसकी मात्रा निर्धारित की गई है; इसे असतत मात्राओं में से एक को लेना चाहिए।

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ n M$$

जहां n = 0, 1, 2, 3, या 44, या सामान्य रूप से शून्य से अधिक या बराबर किसी भी पूर्णांक में। विशेष रूप से, ए बराबर हो सकता है $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 घंटे} / \ n म्यू$ , लेकिन यह पहले से ही शून्य नहीं हो सकता। हम कहते हैं कि n गेंद के दोलनों के क्वांटा की संख्या है। गेंद की ऊर्जा अब भी परिमाणित है:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ n$$

यहाँ सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि गेंद के दोलनों की एक मात्रा को जोड़ने के लिए, परिमाण hν की ऊर्जा की आवश्यकता होती है - हम कह सकते हैं कि प्रत्येक क्वांटम ऊर्जा hν को स्थानांतरित करता है।

क्वांटम तरंग

लहरों के साथ, सब कुछ अनिवार्य रूप से समान है। एक आवृत्ति के साथ एक तरंग के लिए ν और एक तरंग दैर्ध्य λ संतुलन के साथ आयाम A के साथ दोलन करता है, Z,

• गति का समीकरण: $$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda)$ ।
• ऊर्जा प्रति तरंगदैर्ध्य: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$ ।

(जहां जे _λ एक निरंतरता है, कहते हैं, एक रस्सी अगर हम एक रस्सी पर लहरों के बारे में बात कर रहे हैं), गति के कई संभावित समीकरण, जिनमें से हम अध्ययन के लिए दो का चयन करेंगे:

$$

$$वर्ग 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 1$$

$$

$$वर्ग 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

और फिर से, क्वांटम यांत्रिकी आयामों को असतत करने के लिए आयाम ए को सीमित करता है। जैसे वसंत पर कंपन होता है,

• एक निश्चित आवृत्ति और लंबाई की एक साधारण तरंग में n क्वांटा होता है,
• आयाम A के अनुमत मान ,n के आनुपातिक हैं,
• अनुमत ऊर्जा मूल्य E (n + 1/2) के समानुपाती हैं।

अधिक सटीक, जैसा कि एक स्प्रिंग पर गेंद के लिए,

• अनुमत ऊर्जा मूल्य E = (n + 1/2) h ν
• प्रत्येक तरंग क्वांटम मान h ν की ऊर्जा को स्थानांतरित करता है

A को व्यक्त करने का सूत्र काफी जटिल है, क्योंकि हमें यह जानना होगा कि तरंग कितनी लंबी है और सटीक सूत्र कितना भ्रामक होगा - तो चलिए एक सूत्र लिखते हैं जो सही विचार बताता है। हमने अनंत तरंगों का अध्ययन करके अधिकांश सूत्र प्राप्त किए, लेकिन प्रकृति में किसी भी वास्तविक लहर के लिए, अवधि सीमित है। यदि तरंग दैर्ध्य लगभग L के बराबर है, और इसमें L / λ लकीरें हैं, तो आयाम लगभग बराबर है

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

जो आनुपातिक है $$$\ sqrt {n h / \ n}$ एक वसंत के मामले में, लेकिन एल पर निर्भर करता है। लंबी लहर, जितना छोटा इसका आयाम है - ताकि लहर के प्रत्येक मात्रा के लिए ऊर्जा हमेशा hν के बराबर हो।

वह सब - यह नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है।


बाईं ओर तरंगों की एक भोली छवि है, जहां आयाम क्वांटा की संख्या के वर्गमूल के आनुपातिक है, और अन्य आयाम मौजूद नहीं हो सकते। दाईं ओर थोड़ी कम भोली छवि है जो क्वांटम दुनिया में निहित क्वांटम कंपन को ध्यान में रखती है। यहां तक ​​कि मामले में n = 0, कुछ दोलन मौजूद हैं।

परिणाम

कक्षा ० और कक्षा १ की हमारी तरंगों के लिए इसका क्या अर्थ है?

चूँकि कक्षा 0 तरंगें किसी भी आवृत्ति की हो सकती हैं, उनमें कोई भी ऊर्जा हो सकती है। Ε के एक छोटे से मूल्य के लिए भी, एक वर्ग 0 तरंग के एक क्वांटम को एक आवृत्ति ν =। / H के साथ हमेशा बना सकता है। इतनी छोटी ऊर्जा के लिए, इस क्वांटम तरंग में बहुत कम आवृत्ति और बहुत लंबी तरंग दैर्ध्य होगी, लेकिन यह मौजूद हो सकती है।

कक्षा 1 समीकरण को संतुष्ट करने वाली तरंगें नहीं हैं। चूंकि उनके लिए एक न्यूनतम आवृत्ति ν _मिनट = μ है, उनके लिए न्यूनतम ऊर्जा की मात्रा भी है:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

यदि आपकी ऊर्जा की छोटी मात्रा energy इससे कम है, तो इस तरह की तरंग की मात्रा नहीं बनाई जा सकती है। परिमित तरंग दैर्ध्य और उच्च आवृत्ति के साथ सभी वर्ग 1 तरंग क्वांटा के लिए, ई। एच μ।

परिणाम

इससे पहले कि हम क्वांटम यांत्रिकी को ध्यान में रखना शुरू करें, तरंगों का आयाम, वसंत पर गेंद के आयाम की तरह, लगातार बदल सकता है; उन्हें मनमाने ढंग से बड़ा या छोटा बनाया जा सकता है। लेकिन क्वांटम यांत्रिकी एक गैर-अक्षीय तरंग आयाम के अस्तित्व का अर्थ है, जैसा कि एक वसंत पर गेंद दोलनों के मामले में है। और आमतौर पर आयाम केवल असतत मान ले सकते हैं। अनुमेय आयाम ऐसे हैं कि दोनों वसंत पर गेंद के दोलनों के लिए, और एक निश्चित आवृत्ति के साथ किसी भी वर्ग की तरंगों के लिए ν

• एक कंपन क्वांटम जोड़ने के लिए, ऊर्जा एच ν की आवश्यकता होती है
• एन क्वांटा के दोलनों के लिए, दोलन ऊर्जा (एन + 1/2) एच ν के बराबर होगी

अब खेतों में अर्जित ज्ञान को लागू करने और यह देखने का समय है कि कब और कैसे इन क्षेत्रों में लहर क्वांटा की व्याख्या की जा सकती है, जिसे हम प्रकृति के "कण" कहते हैं।