पुस्तक "निरपेक्ष न्यूनतम। क्वांटम सिद्धांत हमारी दुनिया को कैसे समझाता है। ”

भौतिकी सबसे जटिल जटिल विज्ञान है, यह उतना ही जटिल है, जितना आकर्षक। यदि हम गणितीय घटक को त्याग देते हैं, तो भौतिकी तुरंत जिज्ञासा और कल्पना के साथ किसी के लिए भी उपलब्ध हो जाती है। हम आसानी से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत की अवधारणा को समझेंगे, जटिल गणितीय समीकरणों के साथ वितरण। इसलिए, हर कोई जो इस बारे में सोचता है कि ब्लूबेरी नीला और स्ट्रॉबेरी लाल क्या करता है; जो संदेह करता है कि ध्वनि तरंगों के रूप में फैलती है; कोई भी सोचता है कि प्रकाश का व्यवहार ब्रह्मांड में किसी भी अन्य घटना से इतना अलग क्यों है, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि पूरी बात क्वांटम भौतिकी में है।

यह पुस्तक आम लोगों के लिए क्वांटम विज्ञान की जादुई दुनिया को प्रस्तुत करती है (और नष्ट करती है), किसी अन्य पुस्तक की तरह नहीं। वह बुनियादी वैज्ञानिक अवधारणाओं के बारे में बात करती है, प्रकाश कणों से लेकर पदार्थ की अवस्थाएं और ग्रीनहाउस गैसों के नकारात्मक प्रभाव के कारणों तक, प्रत्येक विषय को विशिष्ट वैज्ञानिक शब्दावली के उपयोग के बिना प्रकट करना - सामान्य रोजमर्रा की जिंदगी से उदाहरण। बेशक, क्वांटम भौतिकी पर एक पुस्तक बिना सूत्रों और समीकरणों के न्यूनतम सेट के बिना नहीं कर सकती है, लेकिन अधिकांश पाठकों के लिए यह आवश्यक न्यूनतम, समझने योग्य है। लेखक के अनुसार, विज्ञान को लोकप्रिय बनाने वाली पुस्तक सुलभ होनी चाहिए, लेकिन पाठक के स्तर तक कम नहीं, बल्कि अपनी बुद्धि और सामान्य सांस्कृतिक स्तर को बढ़ाने और विकसित करने के लिए।

क्वांटम रैकेटबॉल और फलों का रंग

परमाणुओं और अणुओं से बंधे इलेक्ट्रॉनों की एक प्रमुख संपत्ति यह है कि उनकी ऊर्जा अवस्था असतत होती है। हम कहते हैं कि एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को परिमाणित किया जा सकता है, अर्थात एक परमाणु या अणु से बंधे इलेक्ट्रॉन में केवल कुछ विशिष्ट ऊर्जा मूल्य हो सकते हैं। ऊर्जा स्टेप वाइज बदलती है, और इन चरणों के कुछ असतत आकार होते हैं। ऊर्जा राज्य सीढ़ियों की तरह हैं। आप एक कदम पर खड़े हो सकते हैं या अगले, उच्च कदम पर उठ सकते हैं। हालांकि, दो चरणों के बीच आधा खड़ा होना असंभव है। इन असतत, या परिमाणित, ऊर्जा मूल्यों को अक्सर ऊर्जा स्तर कहा जाता है। साधारण सीढ़ियों के विपरीत, ऊर्जा के स्तर के बीच का अंतराल आमतौर पर समान नहीं होता है।

आधुनिक क्वांटम अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र अणुओं के इलेक्ट्रॉनिक राज्यों की गणना है। इस क्षेत्र को क्वांटम रसायन विज्ञान कहा जाता है। इस तरह की गणना अणुओं (ऊर्जा स्तरों) में इलेक्ट्रॉनों के लिए मात्रात्मक ऊर्जा स्तर प्राप्त करना संभव बनाती है, साथ ही साथ अणुओं की संरचना की गणना भी करती है। अणु की संरचना की गणना अणु में सभी परमाणुओं और सभी परमाणुओं की स्थिति के बीच की दूरी अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा केवल एक सटीकता के साथ सीमित होती है। इस प्रकार, क्वांटम यांत्रिक गणना अणुओं के आकार और आकार को निर्धारित करना संभव बनाती है। परमाणुओं के अणुओं के बंधन और नए अणुओं के निर्माण के मूल सिद्धांतों को समझने के लिए इस तरह की गणना महत्वपूर्ण है। क्वांटम सिद्धांत के विकास और श्रमसाध्य गणितीय समस्याओं को हल करने में सक्षम अधिक से अधिक शक्तिशाली और जटिल कंप्यूटरों के उद्भव के साथ, क्वांटम रसायन विज्ञान के तरीकों का उपयोग करके अधिक से अधिक बड़े अणुओं का अध्ययन किया जा सकता है। क्वांटम सिद्धांत के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक फार्मास्यूटिकल्स का विकास है। अणु को डिज़ाइन किया जा सकता है ताकि उनके पास प्रोटीन या एंजाइम के विशिष्ट लोकी के आकार में वांछित आकार और "फिट" हो।

क्वांटम रसायन विज्ञान के लिए बहुत श्रमसाध्य गणना की आवश्यकता होती है। यहां तक ​​कि सबसे सरल हाइड्रोजन परमाणु के लिए, क्वांटम यांत्रिक गणना गणितीय रूप से बहुत जटिल है। हाइड्रोजन परमाणु में एक प्रोटॉन से जुड़े एक इलेक्ट्रॉन होते हैं। एक प्रोटॉन, जो हाइड्रोजन परमाणु का नाभिक है, एक धनात्मक आवेशित कण है, और एक इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से चार्ज होता है। नकारात्मक रूप से आवेशित इलेक्ट्रॉन के प्रति आकर्षण एक धनात्मक आवेशित प्रोटॉन उन्हें एक साथ रखता है, हाइड्रोजन परमाणु को एक साथ पकड़ता है। हाइड्रोजन परमाणु के ऊर्जा स्तरों की गणना का विवरण यहां प्रस्तुत नहीं किया जाएगा, लेकिन निम्नलिखित अध्यायों में हम इन गणनाओं के परिणामों की कुछ विशेषताओं पर विचार करेंगे। वे हाइड्रोजन परमाणु और इसके तरंग कार्यों के ऊर्जा स्तर देते हैं। यह वेव फ़ंक्शन है, यानी हाइड्रोजन परमाणु के लिए प्रायिकता आयाम तरंगें, जो सभी परमाणुओं और अणुओं को समझने के लिए शुरुआती बिंदु हैं। परमाणु और अणु जटिल होते हैं क्योंकि वे बिल्कुल तीन-आयामी प्रणाली होते हैं, और यह ध्यान रखना आवश्यक है कि प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन एक-दूसरे के साथ कैसे संपर्क करते हैं।

एक बॉक्स में एक कण - एक क्लासिक मामला

हमारे विषय से संबंधित एक बहुत ही सरल कार्य है। यह एक बॉक्स में कण समस्या के रूप में जाना जाता है। इसे हल करने के लिए जटिल गणित की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह समाधान हमें बाध्य इलेक्ट्रॉनों के महत्वपूर्ण गुणों को चित्रित करने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, ऊर्जा के स्तर का परिमाणीकरण और बाध्य राज्यों में इलेक्ट्रॉनों की तरंग जैसी प्रकृति। परमाणु आकार के एक आयामी बॉक्स में इलेक्ट्रॉन की प्रकृति का विश्लेषण करने से पहले, हम शास्त्रीय (बड़े) और क्वांटम-मैकेनिकल (बिल्कुल छोटे) सिस्टम के बीच अंतर की पहचान करने के लिए रैकेटबॉल के लिए एक आदर्श एक आयामी खेल मैदान की शास्त्रीय समस्या पर चर्चा करते हैं।

अंजीर में। 8.1 में एकदम सही "बॉक्स" दर्शाया गया है। वह एक आयामी है। इसकी दीवारों को असीम रूप से उच्च, असीम रूप से बड़े पैमाने पर और पूरी तरह से अभेद्य माना जाता है। आंदोलन का विरोध करने के लिए बॉक्स के अंदर कोई हवा नहीं है। चित्रा में, बॉक्स के अंदर क्यू = 0 निर्दिष्ट किया गया है, और बाहर - क्यू =,। यह पहले कहा गया था कि एक कण मुक्त कहा जाता है कि कोई भी बल उस पर कार्य नहीं करता है। जब कोई वस्तु किसी वस्तु से संपर्क करती है तो बल उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक रूप से आवेशित कण, जैसे कि इलेक्ट्रॉन, एक सकारात्मक रूप से आवेशित प्रोटॉन के साथ बातचीत कर सकता है। विपरीत आवेशित कणों के बीच आकर्षण के रूप में संपर्क इलेक्ट्रॉन पर क्रिया करने वाला बल उत्पन्न करेगा। CRT में इलेक्ट्रॉनों को नियंत्रित करते समय (चित्र। 7.3 देखें), एक विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों पर एक बल का कार्य करता है और उन्हें दिशा बदलने के लिए मजबूर करता है।

किसी कण को ​​किसी चीज से प्रभावित करने की क्रिया का मापन, जैसे कि विद्युत क्षेत्र, को एक क्षमता कहा जाता है और इसमें ऊर्जा का आयाम होता है। भविष्य में, संभावित रूप से अक्षर द्वारा निरूपित किया जाएगा। बॉक्स के अंदर, क्यू = 0, जैसा कि एक मुक्त कण के मामले में है। इसका मतलब है कि कण बॉक्स के अंदर किसी भी चीज के साथ बातचीत नहीं करता है। कोई विद्युत क्षेत्र या वायु प्रतिरोध नहीं हैं। हालांकि, बॉक्स के बाहर, क्यू =,। अनंत क्षमता का मतलब है कि बॉक्स के बाहर के क्षेत्रों में होने के लिए एक कण में अनंत ऊर्जा होनी चाहिए। अभिव्यक्ति Q = ∞ केवल कथन को औपचारिक बनाने का एक तरीका है कि बॉक्स की दीवारें आदर्श हैं। एक कण दीवारों के माध्यम से प्रवेश नहीं कर सकता है या उन पर कूद सकता है, भले ही इसकी ऊर्जा कितनी भी महान हो। यदि आप ऐसे बॉक्स में एक कण रखते हैं, तो यह फिसल नहीं सकता है और हमेशा इसके अंदर रहेगा। इस अर्थ में, कण एक बॉक्स में बंद है। यह लंबाई एल के अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में हो सकता है, लेकिन कहीं और नहीं।

अंजीर में। चित्र 8.2 एक आदर्श वन-क्लासिक क्लासिक (बड़े) रैकेटबॉल कोर्ट की दीवारों से उछलते हुए रैकेटबॉल खेलने के लिए एक गेंद दिखाता है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, ये दीवारें आदर्श हैं, लेकिन अंदर कोई वायु प्रतिरोध नहीं है। इसके अलावा, गेंद भी आदर्श है, अर्थात इसमें पूर्ण लोच है। जब गेंद दीवार से टकराती है, तो वह स्प्रिंग की तरह सिकुड़ जाती है और फिर से सीधी हो जाती है, जिससे वह उछलती है। असली गेंदें पूरी तरह से लोचदार नहीं होती हैं। जब गेंद प्रभाव पर संपीड़ित होती है, तो सभी ऊर्जा को संपीड़ित करने में खर्च नहीं किया जाता है और इसे दीवार से हटा दिया जाता है। गेंद को संपीड़ित करने में खर्च की गई ऊर्जा का एक हिस्सा इसे गर्म करने के लिए जाता है। हालांकि, यहां हम गेंद को पूरी तरह से लोचदार मानेंगे। एक दीवार से टकराने पर, गेंद की सभी गतिज ऊर्जा, जिसके कारण यह संपीड़ित होता है, तब गेंद को दीवार से दूर धकेलने पर खर्च किया जाता है। इसलिए, दीवार के साथ टक्कर से ठीक पहले गेंद की गति टकराव के बाद उसके पलटाव की गति के बराबर है।

इस आदर्श रैकेटबॉल ग्राउंड पर, गेंद बिना किसी नुकसान के दीवारों से टकराती है; इसके अलावा, न तो वायु प्रतिरोध है और न ही गुरुत्वाकर्षण। इसलिए, गेंद हमेशा दीवारों को दर्शाती हुई आगे और पीछे चलती रहेगी। यह बिंदु L पर दीवार से टकराता है, उछलता है, बिंदु 0 पर दीवार से टकराता है, फिर से उछलता है और आगे-पीछे चलता रहता है। बॉक्स के अंदर, चूंकि क्षमता शून्य है (चित्र। 8.1 देखें), कोई भी बल गेंद पर कार्य नहीं करता है। इसलिए, इसकी ऊर्जा विशुद्ध रूप से गतिज है:

जहाँ m गेंद का द्रव्यमान है, और V इसकी गति है। यदि गेंद कमजोर बाहरी प्रभावों का अनुभव करती है, तो इसकी गति थोड़ी कम हो जाएगी और एक मूल्य भी थोड़ा कम हो जाएगा। इस आदर्श रैकेटबॉल में, ऊर्जा लगातार बदल सकती है। गेंद पर प्रभाव की ताकत के आधार पर एक का मूल्य मनमाने ढंग से बढ़ या घट सकता है।

क्लासिक रैकेटबॉल की एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता गेंद को रोकने की क्षमता है ताकि यह फर्श पर गतिहीन हो। इस स्थिति में, इसकी गति शून्य है: V = 0. और चूंकि V = 0 है, तो Ek = 0. At V = 0, गति भी शून्य है, चूंकि p = mV है, इसलिए हम गति को ठीक-ठीक जानते हैं। यदि गेंद फर्श पर होती है (V = 0), तो इसकी स्थिति ज्ञात है। यदि हम इस स्थिति x को दर्शाते हैं (चित्र देखें। 8.2), तो x का मान 0 से L तक की सीमा में होगा। x का मान कोई अन्य मान नहीं ले सकता, क्योंकि गेंद कोर्ट पर (बॉक्स में) है और बाहर से नहीं हो सकती है सही दीवारों के लिए। गेंद को अदालत के फर्श पर एक विशिष्ट स्थिति x में रखा जा सकता है, और फिर इसकी स्थिति सुनिश्चित करने के लिए जाना जाएगा। यह एक मैक्रोस्कोपिक खेल के मैदान की एक संपत्ति है, यहां तक ​​कि आदर्श भी। यह एक शास्त्रीय प्रणाली है, और इसमें व्यक्ति एक साथ गति और स्थिति x जान सकता है।

रैकेटबॉल कोर्ट की लंबाई 12 मीटर है, गेंद का व्यास 5.6 सेमी है, और इसका वजन लगभग 0.04 किलोग्राम है। जाहिर है, रैकेटबॉल का खेल शास्त्रीय यांत्रिकी द्वारा वर्णित है। प्रकाश की सहायता से, आप उन्हें प्रभावित किए बिना गेंद के उछाल का अनुसरण कर सकते हैं।

एक बॉक्स में कण - क्वांटम केस

यदि हम अब क्वांटम रैकेटबॉल के विचार की ओर मुड़ेंगे तो क्या बदलाव आएगा? साइट आदर्श बनी हुई है, लेकिन अब इसकी लंबाई 12 मीटर नहीं है, लेकिन 1 एनएम (10–9 मीटर) है। इसके अलावा, कण का इलेक्ट्रान द्रव्यमान 9.1 10–31 किग्रा होता है, न कि 0.04 किग्रा। इस प्रकार, यह एक बॉक्स में एक क्वांटम कण की समस्या है।

हम तुरंत कह सकते हैं कि नैनोमीटर के आकार के बॉक्स में एक क्वांटम कण की सबसे छोटी ऊर्जा शून्य नहीं हो सकती। एक क्लासिक रैकेटबॉल मैदान पर, गेंद की गति वी संभव है, जो शून्य के बराबर है, जिसका अर्थ है कि आवेग p = mV भी शून्य हो सकता है। इसके अलावा, बॉल एक्स की स्थिति का स्पष्ट अर्थ है। उदाहरण के लिए, गेंद अभी भी (वी = 0) झूठ बोल सकती है, अदालत के मध्य में, जो x = L / 2 से मेल खाती है। इस मामले में, हमारे क्लासिक रैकेटबॉल के लिए, =p = 0 और =x = 0. उत्पाद का मूल्य 0x doesp = 0 हेइज़ेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुरूप नहीं है, जो सामान्य है, क्योंकि हम शास्त्रीय प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं। हालांकि, नैनोमीटर के आकार के बॉक्स में एक बिल्कुल छोटा कण एक क्वांटम ऑब्जेक्ट है और इसे अनिश्चितता सिद्धांत का पालन करना चाहिए, जो बताता है कि statesx thatp / h / 4। यदि V = 0 और x = L / 2 है, तो हम x और p दोनों को जानते हैं, जिसका अर्थ है कि ∆x∆p = 0, जैसा कि शास्त्रीय रैकेटबॉल में है। एक क्वांटम प्रणाली के लिए, यह संभव नहीं है। इस प्रकार, V शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। एक कण किसी निश्चित बिंदु पर स्थिर नहीं रह सकता है। और यदि V का मान नॉनजरो है, तो एक का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। अनिश्चितता का सिद्धांत कहता है कि हमारे क्वांटम रैकेटबॉल की सबसे छोटी ऊर्जा शून्य नहीं हो सकती। क्वांटम बॉल कभी भी गतिहीन नहीं रहती है।

एक बॉक्स में क्वांटम कण ऊर्जा मूल्य

नैनोमीटर आकार के बॉक्स में क्वांटम कण की क्या ऊर्जा हो सकती है? इस सवाल का जवाब जटिल गणना के बिना दिया जा सकता है, लेकिन पहले हमें फिर से लहरों पर लौटने की जरूरत है। अध्याय 6 में हमने मुक्त कणों के तरंग कार्यों के बारे में बात की। एक विशिष्ट गति पी के साथ एक मुक्त कण की तरंग फ़ंक्शन एक तरंग है जो पूरे अंतरिक्ष में फैली हुई है। इस प्रकार, पूरी तरह से परिभाषित गति वाला एक इलेक्ट्रॉन एक रोशन तरंग है, जो पूरे स्थान को कवर करता है। एक मुक्त इलेक्ट्रॉन का पता लगाने की संभावना हर जगह समान है। इस तरह के इलेक्ट्रॉन में अच्छी तरह से परिभाषित गतिज ऊर्जा एक = 1 / 2mV2 होती है, क्योंकि इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित गति p = mV होती है।

नैनोमीटर बॉक्स में इलेक्ट्रॉन हमारे मुक्त कण के समान है, जहां बॉक्स के आंतरिक क्षेत्र के संबंध में है, जहां क्यू = 0. बॉक्स के अंदर कोई क्षमता नहीं है, और इसलिए कण पर अभिनय करने वाली कोई भी ताकत नहीं है। इस संबंध में, यह एक मुक्त कण के समान है, जिस पर कोई भी बल कार्य नहीं करता है। हालांकि, बॉक्स और मुक्त कण में कण के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है - ये बॉक्स की दीवारें हैं। बॉक्स में इलेक्ट्रॉन केवल बॉक्स के अंदर होता है। बॉक्स की आदर्श प्रकृति इसकी तरंग फ़ंक्शन को सभी स्थान पर फैलने की अनुमति नहीं देती है। कण बॉक्स के अंदर है और कभी बाहर नहीं हो सकता। तरंग फ़ंक्शन अंतरिक्ष के एक निश्चित क्षेत्र में एक कण का पता लगाने की संभावना का आयाम निर्धारित करता है। यह तरंग फ़ंक्शन की एक बॉर्न व्याख्या है। यदि हमारे इलेक्ट्रॉन को केवल बॉक्स के अंदर और बाहर कभी नहीं पता लगाया जा सकता है, तो बॉक्स में इसके पता लगाने की संभावना परिमित होनी चाहिए, और बाहर - शून्य। यदि बॉक्स के बाहर एक कण को ​​खोजने की संभावना शून्य है, तो बॉक्स के बाहर सभी बिंदुओं पर तरंग फ़ंक्शन शून्य होना चाहिए।

तो, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि एक बॉक्स में एक कण का तरंग कार्य एक मुक्त कण के तरंग फ़ंक्शन के समान है, लेकिन बॉक्स के बाहर तरंग फ़ंक्शन शून्य होना चाहिए। क्वांटम-मैकेनिकल वेव फंक्शन की प्रकृति की अपनी व्याख्या में, बोर्न ने कुछ भौतिक प्रतिबंधों को उस रूप में लगाया, जो वेव फंक्शन ले सकते हैं। उनमें से एक यह है कि एक अच्छा तरंग फ़ंक्शन निरंतर होना चाहिए। इस स्थिति का मतलब है कि लहर फ़ंक्शन को जगह से आसानी से बदलना होगा। स्थिति में एक छोटे परिवर्तन से प्रायिकता में अप्रत्याशित उछाल नहीं आ सकता है। यह बहुत सरल विचार है। यदि अंतरिक्ष के कुछ बहुत छोटे क्षेत्र में एक कण का पता लगाने की संभावना है, उदाहरण के लिए, 1%, तो एक अकल्पनीय रूप से छोटे मूल्य का विस्थापन अचानक 50% के बराबर एक कण का पता लगाने की संभावना नहीं बना सकता है। यह अंजीर में लहर पैकेट की छवियों से स्पष्ट है। 6.7। संभावना जगह-जगह आसानी से बदलती रहती है। यह हमें एक बॉक्स में एक कण के तरंग कार्यों के वर्णन के लिए कुछ जोड़ने की अनुमति देता है, इस तथ्य के अलावा कि वे बॉक्स के अंदर परिमित आयामों के साथ तरंगें हैं और शून्य आयाम बाहर। चूंकि तरंग फ़ंक्शन निरंतर होना चाहिए, यह बॉक्स के बाहर सीधे बॉक्स की दीवार पर तरंग फ़ंक्शन के शून्य आयाम के साथ मेल खाने के लिए अंदर से शून्य आयाम होना चाहिए।

अंजीर में। चित्रा 8.3 बॉक्स के अंदर तरंग समारोह की (निषिद्ध) दिखाता है। लहर फ़ंक्शन का संकेत दिया गया है (ग्रीक अक्षर "फाई")। ऊर्ध्वाधर अक्ष तरंग फ़ंक्शन के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है। धराशायी रेखा इसके शून्य स्तर को इंगित करती है। वेव फ़ंक्शन, जो संभावना आयाम की तरंगें हैं, सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच उतार-चढ़ाव कर सकते हैं। अंजीर में दिखाया गया तरंग फ़ंक्शन। 8.3, में दीवारों के मूल्यों के अलावा 0. है। हालांकि, बॉक्स के बाहर तरंग फ़ंक्शन शून्य होना चाहिए, अर्थात, x के मान 0 से कम और L से अधिक होने पर, यह शून्य होना चाहिए। चित्रा में, तरंग फ़ंक्शन अप्रत्याशित रूप से बॉक्स के अंदर की दीवार के पास एक गैर-शून्य मान से कूदता है और बॉक्स के बाहर की दीवार के पीछे एक शून्य मूल्य होता है। इस प्रकार, अंजीर में दिखाया गया तरंग फ़ंक्शन। 8.3 मान्य नहीं है क्योंकि यह निरंतर नहीं है। यह फ़ंक्शन किसी बॉक्स में क्वांटम कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है।

लहर फ़ंक्शन का दीवारों पर शून्य मान होना चाहिए

शारीरिक रूप से स्वीकार्य होने के लिए बॉक्स में कण का प्रतिनिधित्व करने वाले तरंग कार्यों के लिए, दीवारों पर उनके मूल्यों को शून्य होना चाहिए, और फिर वे दीवारों पर अंतराल का अनुभव नहीं करेंगे। इस शर्त को पूरा करना मुश्किल नहीं है। लहर फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच उतार-चढ़ाव करता है। हर बार, सकारात्मक मूल्यों से नकारात्मक या नकारात्मक से सकारात्मक में गुजरता है, यह शून्य से गुजरता है। वास्तव में, शून्य अंक एक दूसरे से आधे तरंग दैर्ध्य द्वारा अलग किए जाते हैं। इसलिए, एक बॉक्स में एक कण के अच्छे तरंग कार्यों को प्राप्त करने के लिए, हमें उन तरंगों को चुनना चाहिए जिनकी लंबाई उन्हें बॉक्स में ढेर करने की अनुमति देती है ताकि शून्य अंक दीवारों पर बिल्कुल स्थित हों।

अंजीर में। 8.4 तरंगों के तीन उदाहरण दिखाता है जो एक बॉक्स में एक कण के लिए तरंग कार्यों की भूमिका के लिए उपयुक्त हैं। उनमें से निचले हिस्से को n = 1 नामित किया गया है और इसमें एक आधा लहर है। यह आयाम 0 पर बाईं ओर से शुरू होता है, अधिकतम पर गुजरता है और फिर बिंदु L पर दीवार पर शून्य तक गिर जाता है। अगली लहर, ऊपर स्थित और n = 2, एक पूर्ण दोलन के होते हैं। यह आयाम 0 पर बाईं दीवार पर शुरू होता है, एक सकारात्मक चोटी से गुजरता है, शून्य पर लौटता है, फिर एक नकारात्मक शिखर का अनुसरण करता है और बिंदु L पर दीवार पर शून्य पर लौटता है। n = 3 द्वारा इंगित की गई तरंग में डेढ़ अवधियां होती हैं। कोई भी तरंग जिसमें अर्ध-तरंगों की पूर्णांक संख्या होती है, अर्थात, 1, 2, 3, 4, 5, और इसी तरह, आधा तरंग दैर्ध्य, और स्थित ताकि यह बाईं ओर शून्य से शुरू हो और दाईं ओर शून्य पर समाप्त हो, उपयुक्त है।

मान n किसी विशेष तरंग फ़ंक्शन की आधी तरंगों की संख्या है। N = 1 के लिए, तरंग दैर्ध्य 2L है, क्योंकि बॉक्स की लंबाई L है, और n = 1 आधा तरंग दैर्ध्य से मेल खाती है। N = 2 के लिए, तरंग दैर्ध्य L है, क्योंकि दीवारों के बीच बिल्कुल एक तरंग दैर्ध्य रखा जाता है। N = 3 के लिए, दीवारों के बीच तीन अर्ध-तरंगें रखी जाती हैं, अर्थात् 1.5 = L. इस मामले में = L / 1.5, अर्थात् 2L / 3। ध्यान दें कि एक सामान्य नियम यहां पाया गया है: = 2L / n, जहां n एक पूर्णांक है। N = 1 के लिए हमें n = 2 - = 2L / 2, n = 3 - = 2L / 3, आदि के लिए = 2L मिलता है।

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