पुस्तक "सैद्धांतिक न्यूनतम। आधुनिक भौतिकी के बारे में आपको जो कुछ भी जानना चाहिए वह है ”

"सैद्धांतिक न्यूनतम" उन लोगों के लिए एक पुस्तक है जो स्कूल और संस्थान में भौतिकी के पाठों को याद करते हैं, लेकिन पहले से ही इसका पछतावा करते हैं। प्राकृतिक विज्ञान की मूल बातें समझना चाहते हैं और आधुनिक भौतिकविदों की तरह सोचना और तर्क करना सीखते हैं? मूल और गैर-मानक रूप में, प्रसिद्ध अमेरिकी वैज्ञानिक लियोनार्ड सेसकंड और जॉर्ज ग्रैबोव्स्की जिज्ञासु मन के लिए गणित और भौतिकी में एक परिचयात्मक पाठ्यक्रम प्रदान करते हैं।

अन्य लोकप्रिय विज्ञान की पुस्तकों के विपरीत, भौतिकी के नियमों को एक सुलभ तरीके से समझाने की कोशिश करते हुए, समीकरणों और सूत्रों से चतुराई से बचने के लिए, लेखक पाठक को प्राकृतिक विज्ञानों की शास्त्रीय नींव सिखाते हैं। पुस्तक अपनी मूल शिक्षण पद्धति प्रदान करती है, सैद्धांतिकतामूल्य.कॉम पर प्रकाशित वीडियो व्याख्यान द्वारा पूरक।

व्याख्यान 9. चरण द्रव और गिब्स - लिउविले प्रमेय

लेनी नदी को देखना पसंद करते थे, विशेष रूप से सतह पर तैरते छोटे-छोटे छींटों को देखना। उन्होंने कल्पना करने की कोशिश की कि वे पत्थरों के बीच कैसे घूमेंगे या भँवरों में गिरेंगे। लेकिन एक पूरे के रूप में नदी का पाठ्यक्रम - पानी की एक बड़ी मात्रा का संयुक्त आंदोलन, धाराओं के साथ जो अलग-अलग होते हैं, एक दूसरे से आगे निकलते हैं और आगे निकल जाते हैं - उनकी समझ से परे था।

चरण द्रव

विशिष्ट प्रारंभिक स्थितियों पर ध्यान केंद्रित करना और चरण अंतरिक्ष में एक अलग प्रक्षेपवक्र का पालन करना शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए बहुत स्वाभाविक है। लेकिन एक व्यापक दृष्टिकोण भी है जो प्रक्षेपवक्र के पूरे परिवार को कवर करता है। चरण स्थान में एक निश्चित बिंदु पर पेंसिल की नोक रखने और वहां से एकमात्र रास्ता ट्रेस करने के बजाय, हम कुछ और महत्वाकांक्षी करने की कोशिश करेंगे। कल्पना करें कि हमारे पास अनंत संख्या में पेंसिल हैं, और उनका उपयोग करें ताकि हम समान रूप से अंकों के साथ चरण स्थान को भरें (समरूपता से मेरा मतलब है कि अंतरिक्ष q, p में बिंदुओं का घनत्व हर जगह समान है)। इन बिंदुओं को कणों के रूप में समझें जो चरण स्थान को भरने वाले एक काल्पनिक तरल पदार्थ को बनाते हैं।

अब गति के हैमिल्टन समीकरणों के अनुसार प्रत्येक बिंदु को आगे बढ़ने दें:


ताकि हमारा द्रव चरण स्थान से होकर बहता रहे।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला एक अच्छा प्रारंभिक उदाहरण है। व्याख्यान 8 में, हमने देखा कि प्रत्येक बिंदु एक स्थिर कोणीय वेग के साथ एक गोलाकार कक्षा में घूमता है। (मुझे याद दिलाएं कि हम चरण के बारे में बात कर रहे हैं, अंतरिक्ष का समन्वय नहीं कर रहे हैं। समन्वय में, थरथरानवाला एक आयाम में आगे और पीछे चलता है।) संपूर्ण तरल पदार्थ एक समग्र गति बनाता है, चरण स्थान की उत्पत्ति के चारों ओर समान रूप से घूमता है।

अब सामान्य मामले पर वापस आते हैं। यदि निर्देशांक की संख्या N है, तो चरण स्थान और इसमें तरल 2N- आयामी हैं। द्रव बहता है, लेकिन बहुत विशिष्ट तरीके से। इसके प्रवाह में विशेष गुण हैं। उनमें से एक यह है कि यदि एक बिंदु एक निश्चित ऊर्जा से शुरू होता है - जो कि एच (क्यू, पी) के दिए गए मूल्य के लिए है - तो यह इस ऊर्जा मूल्य को संग्रहीत करता है। निरंतर ऊर्जा की सतहों (उदाहरण के लिए, ई के बराबर ऊर्जा के साथ) समीकरण एच (क्यू, पी) = ई (2) द्वारा निर्धारित की जाती हैं

ई के प्रत्येक मूल्य के लिए, हमारे पास 2 एन चरण के अंतरिक्ष चर के साथ एक समीकरण है जो आयाम 2 एन की सतह को परिभाषित करता है - 1. दूसरे शब्दों में, ई के प्रत्येक मूल्य की अपनी सतह है; जब आप सभी ई मानों पर जाते हैं, तो ये सतहें पूरे चरण स्थान को भर देती हैं। हम समीकरण (2) द्वारा दिए गए सतहों के साथ चरण स्थान को आकृति (छवि 1) के नक्शे के रूप में विचार कर सकते हैं, जिस पर क्षैतिज ऊँचाई नहीं, बल्कि ऊर्जा मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि तरल बिंदु एक विशिष्ट सतह पर है, तो यह उस पर हमेशा के लिए रहेगा। यह ऊर्जा के संरक्षण का नियम है।

हार्मोनिक थरथरानवाला का चरण स्थान दो-आयामी है, और ऊर्जा सतह वृत्त हैं:

सामान्य स्थिति में, एक यांत्रिक प्रणाली की ऊर्जा सतहों को कल्पना करने के लिए बहुत जटिल है, लेकिन सिद्धांत एक ही रहता है: ऊर्जा सतह परतों के रूप में चरण स्थान को भरती है, और प्रवाह इतना चलता है कि बिंदु उस सतह पर बने रहते हैं जिस पर वे मूल रूप से थे ।

लघु स्मरण

मैं यहां रुकना चाहूंगा और याद करूंगा कि पहले व्याख्यान में क्या कहा गया था, जिसमें सिक्के, पासे और गति के नियमों के बारे में सबसे सरल विचारों पर चर्चा की गई थी। हमने इन कानूनों को सिस्टम के राज्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदुओं को जोड़ने वाले तीरों के एक सेट के साथ वर्णित किया। हमने यह भी समझाया कि क़ानून स्वीकार्य और अपरिहार्य हैं, जबकि स्वीकार्य प्रतिवर्ती हैं। लब्बोलुआब यह है कि प्रत्येक बिंदु में एक आने वाला तीर और ठीक एक आउटगोइंग तीर होना चाहिए। यदि कम से कम एक बिंदु पर आने वाले तीरों की संख्या आउटगोइंग (इसे अभिसरण कहा जाता है) की संख्या से अधिक है, तो ऐसा कानून अपरिवर्तनीय है। यह बात तब लागू होती है जब आने वाले लोगों की तुलना में अधिक निवर्तमान तीर होते हैं (इसे विचलन कहा जाता है)। तीरों के विचलन और अभिसरण दोनों प्रतिवर्तीता का उल्लंघन करते हैं और निषिद्ध हैं। अब तक, हम तर्क की इस पंक्ति में वापस नहीं आए हैं। अब समय आ गया है।

प्रवाह और विचलन

साधारण स्थान में द्रव प्रवाह के कुछ सरल उदाहरणों पर विचार करें। एक पल के लिए, हम चरण स्थान के बारे में भूल जाते हैं और एक्स, वाई, जेड के रूप में निरूपित अक्षों के साथ सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बस एक साधारण तरल पदार्थ पर विचार करते हैं। प्रवाह का वर्णन वेग क्षेत्र द्वारा किया जा सकता है। गति क्षेत्र

अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर वेग वेक्टर निर्धारित करके निर्धारित किया जाता है (चित्र 2)।

आप वेग घटकों के साथ वेग क्षेत्र का भी वर्णन कर सकते हैं:

इसके अलावा, एक बिंदु पर गति समय पर निर्भर हो सकती है, लेकिन मान लें कि ऐसी कोई निर्भरता नहीं है। इस मामले में, प्रवाह को स्थिर कहा जाता है।

अंजीर। 2. गति क्षेत्र

उतनी ही रकम लेता है। इसका अर्थ यह भी है कि एक द्रव का घनत्व - प्रति इकाई आयतन की अणुओं की संख्या - हर जगह समान है और समय के साथ स्थिर है। वैसे, "अधूरापन" शब्द का अर्थ अक्षमता भी है। दूसरे शब्दों में, तरल मात्रा में वृद्धि नहीं कर सकता है। शर्तों द्वारा परिभाषित एक छोटे घन सेल पर विचार करें:

अपूर्णता का तात्पर्य है कि प्रत्येक ऐसे सेल में द्रव बिंदुओं की संख्या स्थिर है। इसका मतलब यह भी है कि सेल (प्रति यूनिट समय) में प्रवेश करने वाला कुल द्रव प्रवाह शून्य होना चाहिए। (प्रवाह के कितने बिंदु प्रवेश करते हैं, एक ही संख्या बाहर निकलती है।) सेल सतह x = x0 के माध्यम से प्रति यूनिट समय गुजरने वाले अणुओं की संख्या पर विचार करें। यह इस सतह vx (x0) पर प्रवाह वेग के समानुपाती होगा।

यदि xx और x0 + dx पर वेग vx समान है, तो x = x0 के माध्यम से सेल में प्रवाह x = x0 + dx के माध्यम से प्रवाह के समान होगा। लेकिन अगर vx पूरे सेल में बदल जाता है, तो ये दोनों प्रवाह असंतुलित हो जाएंगे। इन दो चेहरों के माध्यम से कोशिका में जाने वाला कुल प्रवाह आनुपातिक होगा

वास्तव में एक ही विचार चेहरे पर लागू होते हैं y0 और y0 + डाई, साथ ही z0 और z0 + dz। यदि उन सभी को जोड़ा जाता है, तो कोशिका में अणुओं का कुल प्रवाह (इनफ्लो माइनस बहिर्वाह)

कोष्ठक में व्युत्पन्न के संयोजन को वेक्टर क्षेत्र का विचलन कहा जाता है
और नामित है

विचलन अणुओं के फैलाव की डिग्री या उनके द्वारा व्याप्त आयतन में वृद्धि को दर्शाता है। यदि द्रव असंगत है, तो यह मात्रा नहीं बदलनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि विचलन शून्य होना चाहिए।

अपूर्णता को समझने का एक तरीका यह है कि हर अणु या बिंदु की कल्पना एक वॉल्यूम पर कब्जा करने के रूप में की जाए जिसे बदला नहीं जा सकता। उन्हें एक छोटी मात्रा में संकुचित नहीं किया जा सकता है, वे गायब नहीं होते हैं और कहीं से भी प्रकट नहीं होते हैं। थोड़ा विचार करके, आप देख सकते हैं कि कैसे असंगत और प्रतिवर्ती समान हैं। व्याख्यान 1 में हमने जिन उदाहरणों का विश्लेषण किया, उनमें तीरों ने भी एक प्रकार का प्रवाह निर्धारित किया। और अनिवार्य रूप से यह धारा असंगत थी, कम से कम अगर यह प्रतिवर्ती थी। इसके बाद आने वाला प्राकृतिक प्रश्न है: क्या चरण में प्रवाह प्रतिवर्ती है? इसका जवाब हां है, अगर सिस्टम हैमिल्टन के समीकरणों को संतुष्ट करता है। और इस अपूर्णता को व्यक्त करने वाले प्रमेय को लिउविले प्रमेय कहा जाता है।

लिउविले प्रमेय

आइए हम चरण स्थान में द्रव प्रवाह पर लौटते हैं और चरण स्थान में प्रत्येक बिंदु पर द्रव वेग के घटकों पर विचार करते हैं। यह कहने की आवश्यकता नहीं है कि चरण द्रव निर्देशांक x, y, z में त्रि-आयामी नहीं है। यह निर्देशांक पाई, क्यूई में एक 2N- आयामी तरल पदार्थ है।

इस प्रकार, वेग क्षेत्र के 2N घटक हैं - प्रत्येक q समन्वय के लिए एक और प्रत्येक p समन्वय। उन्हें रहने दो

समीकरण (4) द्वारा व्यक्त विचलन की अवधारणा को किसी भी संख्या में आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है। तीन आयामों में, इसी दिशाओं में वेग घटकों के व्युत्पन्न का योग है। उसी तरह, यह किसी भी आयाम के लिए निर्धारित किया जाता है। चरण स्थान के मामले में, प्रवाह का विचलन 2N सदस्यों का योग है:

यदि द्रव अकुशल है, तो यह अभिव्यक्ति शून्य होनी चाहिए। इसकी गणना करने के लिए, आपको वेग क्षेत्र के घटकों को जानना होगा - वे, निश्चित रूप से, चरण द्रव के कणों के वेग के अलावा कुछ नहीं हैं।

किसी बिंदु पर प्रवाह वेक्टर को उस बिंदु पर एक काल्पनिक कण की गति के साथ पहचाना जाता है। दूसरे शब्दों में

और
- ये केवल मात्राएं हैं जो हैमिल्टन समीकरणों में प्रवेश करती हैं (1):


सभी की जरूरत है कि समीकरण (6) को सूत्र (5) में स्थानापन्न करें और प्राप्त करें

यह याद करते हुए कि फार्म का दूसरा व्युत्पन्न


भेदभाव के क्रम पर निर्भर नहीं करता है, हम समझेंगे कि समीकरण की शर्तें (7) जोड़े में एक दूसरे को बिल्कुल नष्ट कर देती हैं:


तो, चरण द्रव असंगत है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक चरण तरल पदार्थ की अपूर्णता को लिउविले प्रमेय कहा जाता है, हालांकि इसका फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ लिउविले से लगभग कोई संबंध नहीं है। यह पहली बार 1903 में महान अमेरिकी भौतिक विज्ञानी जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा प्रकाशित किया गया था, और इसे गिब्स - लिउविले प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

हमने किसी तरल पदार्थ की अपूर्णता को निर्धारित करके यह निर्धारित किया है कि किसी भी छोटे सेल में प्रवेश करने वाले द्रव की कुल मात्रा शून्य हो। एक और सख्ती से समकक्ष परिभाषा है। किसी समय तरल की मात्रा की कल्पना करें। इस खंड का कोई भी आकार हो सकता है: गोलाकार, घन, बूंद जैसा - जो भी हो। अब हम इस खंड के सभी बिंदुओं की गति का अनुसरण करेंगे। कुछ समय बाद, तरल की एक बूंद एक अलग स्थान पर होगी और एक अलग आकार होगा। लेकिन अगर तरल पदार्थ असंगत है, तो छोटी बूंद की मात्रा वही रहेगी जो मूल रूप से थी। इसलिए हम लिउविले प्रमेय में सुधार कर सकते हैं: चरण तरल की एक बूंद के कब्जे वाली मात्रा को समय पर संरक्षित किया जाता है ।

एक हार्मोनिक थरथरानवाला के एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें एक तरल पदार्थ एक संदर्भ बिंदु के चारों ओर घूमता है। जाहिर है, ड्रॉप वॉल्यूम को बरकरार रखता है, क्योंकि इसकी सभी गति ठोस-राज्य रोटेशन में कम हो जाती है। ड्रॉप का आकार अपरिवर्तित रहता है, लेकिन हार्मोनिक थरथरानवाला के लिए यह मामला है। एक अन्य उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि हेमिल्टन के पास H = pq है।

शायद यह आपको हेमिल्टन के विपरीत लगता है, हालांकि यह पूरी तरह से सही है। हम गति के समीकरण प्राप्त करते हैं:

इन समीकरणों के अनुसार, समय के साथ q घातीयता बढ़ जाती है, और p घातांक समान गति के साथ घट जाती है। दूसरे शब्दों में, प्रवाह धुरी को पी अक्ष के खिलाफ दबाता है, जबकि इसे क्यू अक्ष के साथ उसी सीमा तक विस्तारित किया जाता है। कोई भी बूंद q के साथ विस्तारित होती है और p के साथ अनुबंध करती है। जाहिर है, ड्रॉप में जबरदस्त विकृति का अनुभव होता है, लेकिन इसकी चरण मात्रा में बदलाव नहीं होता है।

लिउविले प्रमेय उस अपरिवर्तनीयता के प्रकार का निकटतम कल्पनाशील एनालॉग है जिसकी हमने व्याख्यान 1 में चर्चा की थी। क्वांटम यांत्रिकी में, लिउविले प्रमेय को क्वांटम संस्करण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसे यूनिटारिटी कहा जाता है। 1 व्याख्यान में हमने जो चर्चा की थी, उससे भी अधिक समानता है, लेकिन यह सैद्धांतिक सिद्धांत के अगले अंक का विषय है।

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