एक थरथरानवाला लोचदार प्लेट पर रेत डाला, एक Hladni आंकड़े के गठन देख सकते हैं। वे अक्सर भौतिक घटनाओं का "प्राकृतिक सौंदर्य" का एक उदाहरण के रूप में सेवा है, लेकिन उनके पीछे काफी खड़े तरंगों की गूंज उत्तेजना के सरल भौतिकी है। और कुछ लोग इन आंकड़ों की जिज्ञासु विशेषता पर ध्यान देते हैं: उन पर रेखाएं चौराहों से बचती हैं, जैसे कि कोई बल उन्हें दोहराता है। आइए समझने की कोशिश करें कि इस प्रतिकर्षण के पीछे किस तरह की भौतिकी छिपी है और यह अराजकता के क्वांटम सिद्धांत से कैसे संबंधित है।

खड़े तरंगों

जैसा कि हम जानते हैं, लोचदार शरीर बल्कि जटिल कंपन कर सकते हैं, जिसके दौरान वे अनुबंध, खिंचाव, मोड़ और मोड़। फिर भी, किसी भी लोचदार शरीर के कंपन को एक-दूसरे पर आरोपित सरल सामान्य कंपन के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह एक साधारण लोचदार शरीर के कई सामान्य कंपन हैं - एक आयामी फैला हुआ स्ट्रिंग - जैसा दिखता है।

प्रत्येक सामान्य मोड प्रतिनिधित्व किया है एक खड़े लहर से है, जो, के विपरीत यात्रा लहर जगह में है और अंतरिक्ष में कंपन आयाम के वितरण के अपने पैटर्न है। इस आंकड़े में, एंटिनोड को प्रतिष्ठित किया जा सकता है - ऐसे बिंदु जहां दोलनों का आयाम अधिकतम सीमा तक पहुंचता है, और नोड्स - निश्चित बिंदुएं जिस पर दोलनों का आयाम शून्य है। इसके अलावा, प्रत्येक ऐसी लहर अपनी आवृत्ति के साथ दोलन करती है। एक स्ट्रिंग के मामले में, जैसा कि आप देख सकते हैं, नोड्स और एंटीडोड्स की बढ़ती संख्या के साथ एक खड़े लहर के दोलनों की आवृत्ति बढ़ जाती है।


आइए अब हम एक दो-आयामी प्रणाली को देखते हैं, जिसका एक उदाहरण एक कठोर लोचदार झिल्ली है जो एक कठोर फ्रेम पर फैला हुआ है। एक गोल झिल्ली के सामान्य कंपन स्ट्रिंग के मामले में अधिक जटिल लगते हैं, और व्यक्तिगत बिंदु-नोड्स के बजाय नोडल लाइनें होती हैं जिसके साथ झिल्ली स्थिर होती है।


निश्चित किनारों के साथ एक गोल झिल्ली का सामान्य कंपन। स्रोत ।


हरा रंग नोडल लाइनों को दर्शाता है।

एक गोल झिल्ली पर, नोडल लाइनें, जो कि रेडी के साथ सर्कल और सेगमेंट हैं, सही कोणों पर अंतर कर सकती हैं। यदि झिल्ली के किनारों का एक मनमाना आकार होता है, तो उनके नोड्स और एंटिनोड के सामान्य कंपन और पैटर्न की आवृत्तियों को ढूंढना एक समस्या में बदल जाता है जिसे केवल कंप्यूटर का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

झिल्ली पर प्रोफाइल के रूप में लहरों दोलनों खड़े आयाम एक उद्घाटन के साथ एक वर्ग की , Snowflakes कोच और सतह बिल्ली का बच्चा ।

एक पतली लोचदार प्लेट के कंपन का वर्णन करने वाले समीकरण झिल्ली के दोलन के समीकरण से भिन्न होते हैं, क्योंकि प्लेट की अपनी कठोरता होती है, जबकि झिल्ली केवल बाहरी बलों द्वारा तनाव के कारण नरम और वसंत होती है। हालांकि, यहां भी, वहाँ सामान्य कंपन चित्र जो अनिवार्य रूप से आकार की सीमाओं पर निर्भर के सेट कर रहे हैं।

ह्लादनी के आंकड़े

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सामान्य मामले में, शरीर का कंपन इसमें भरे हुए सामान्य कंपन के पूरे सेट का एक संयोजन है। अनुनाद घटना आपको चुनिंदा रूप से हम में से एक सामान्य कंपन को उत्तेजित करने की अनुमति देता है - इसके लिए हमें शरीर को सामान्य दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ बाहरी बल का उपयोग करके स्विंग करने की आवश्यकता होती है।

नीचे दिए गए दो वीडियो Hladni के आंकड़े प्राप्त करने के लिए एक विशिष्ट योजना दिखाते हैं: एक लोचदार प्लेट केंद्र में यांत्रिक कंपन के एक जनरेटर से जुड़ी होती है, जिसकी आवृत्ति धीरे-धीरे बढ़ जाती है। नोड्स और एंटीनोड्स के अपने पैटर्न के साथ सामान्य प्लेट कंपन तब उत्तेजित होते हैं जब थरथरानवाला आवृत्ति इन कंपन के प्राकृतिक आवृत्तियों से मेल खाती है (निचले बाएं कोने में वीडियो में प्राकृतिक आवृत्तियों को दिखाया गया है)।

यहां उसी वीडियो का संस्करण है जिसमें सामान्य कंपन की आवृत्तियों का अनुमान कान से लगाया जा सकता है।

और यहाँ थोड़ा प्रीतिकर है।

नोड्स और विरोधी नोड्स के चित्र, हम इस तथ्य से देखते हैं कि हिल प्लेट झटका पास हवा का प्रवाह दूर खड़े लहर के प्रमुख लाइनों के लिए रेत ^(*) । इस प्रकार, ह्लाडनी आंकड़े हमें एक लोचदार प्लेट के सामान्य कंपन के नोडल लाइनों के पैटर्न दिखाते हैं।

गिटार के शीर्ष डेक पर Chladni कई आंकड़े। स्रोत ।

सामान्य तरंगों का एक और उदाहरण पानी की सतह पर लहरों का खड़ा होना है। उन्हें एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जो प्लेटों और झिल्लियों के कंपन के समीकरणों से भिन्न होता है, लेकिन समान गुणात्मक कानूनों का पालन करता है, और उनकी मदद से आप ह्लाडनी आंकड़ों के एनालॉग प्राप्त कर सकते हैं।

विभिन्न आकार के जहाजों में पानी की सतह पर माइक्रोप्रोटीन। काली रेखा 2 मिलीमीटर के पैमाने को दिखाती है। स्रोत ।

शास्त्रीय अराजकता

तो, हमने देखा कि एक गोल झिल्ली के मामले में, नोडल लाइनें सैद्धांतिक रूप से हैं! - उल्लेखनीय रूप से, एक ही समय में, वर्ग या अधिक जटिल प्लेटों पर ह्लाडनी आंकड़ों पर, नोडल रेखाएं चौराहों से बचती हैं। इन पैटर्नों के कारण को समझने के लिए, हमें अराजकता के सिद्धांत में एक लघु भ्रमण करना होगा।

शास्त्रीय अराजकता यांत्रिक प्रणालियों की एक संपत्ति है, जिसमें प्रारंभिक स्थितियों में परिवर्तन पर उनके आंदोलन के प्रक्षेपवक्र की एक बहुत मजबूत निर्भरता शामिल है। इस संबंध को " तितली प्रभाव " के रूप में भी जाना जाता है। अराजक व्यवहार का एक ज्वलंत उदाहरण मौसम की भविष्यवाणी करने के प्रयासों में पाया जा सकता है: वातावरण और महासागरों की गति का वर्णन करने वाले समीकरणों की प्रणाली प्रारंभिक आंकड़ों में छोटे अशुद्धियों के कारण तेजी से बढ़ती त्रुटियों के कारण लंबे समय तक पर्याप्त सटीक पूर्वानुमान नहीं देती है। ^(**) ।

अराजकता की घटना खुले तौर पर और मौसम विज्ञानी और गणितज्ञ एडवर्ड लोरेंज द्वारा लोकप्रिय थी, जिन्होंने पता लगाया था कि बहुत ही प्रारंभिक प्रारंभिक स्थितियों के साथ शुरू होने वाले दो मौसम पूर्वानुमान गणना शुरू में लगभग अप्रभेद्य थे, लेकिन कुछ बिंदु पर वे अलग-अलग होने लगे।

एडवर्ड लोरेंज द्वारा दो गणनाएं, प्रारंभिक प्रारंभिक मानों 0.506 और 0.506127 से शुरू होती हैं। स्रोत ।

सबसे सरल प्रणाली, उदाहरण के लिए, जो अराजकता का अध्ययन करने के लिए सुविधाजनक है कर रहे हैं बिलियर्ड्स सपाट सतह अंश जिस पर कोई घर्षण एक गेंद लचीलेपन से कठोर दीवारों से दुबारा उछाल रोल कर सकते हैं -। अव्यवस्थित बिलियर्ड्स में, गेंद के प्रक्षेपवक्र, जिनकी शुरुआत में थोड़ा अंतर होता है, बाद में महत्वपूर्ण रूप से विचलन होता है। उदाहरण अराजक बिलियर्ड्स - नीचे बिलियर्ड्स दिखाया सिनाई केंद्र में एक परिपत्र बाधा होने एक आयताकार पूल का प्रतिनिधित्व। जैसा कि हम देखेंगे, इसके माध्यम से इस बाधा अराजक बिलियर्ड्स हो जाता है।

सिनाई बिलियर्ड्स में दो घातीय विपर्ययण गेंद प्रक्षेपवक्र। स्रोत ।

आंतरिक और अराजक प्रणालियाँ

मैकेनिकल सिस्टम जो अराजक नहीं होते हैं उन्हें पूर्णांक कहा जाता है, और बिलियर्ड्स के उदाहरण के साथ, आप स्पष्ट रूप से पूर्णांक और अराजक प्रणालियों के बीच अंतर देख सकते हैं।

आयताकार और गोल बिलियर्ड्स उनके सममित आकार के कारण देखने योग्य हैं ^(***) । बिलियर्ड्स में गेंद आंदोलन - यह केवल दो स्वतंत्र आवधिक गति का एक संयोजन है। आयताकार बिलियर्ड्स में, ये क्षैतिज और लंबवत रूप से दीवारों से उछाल के साथ होते हैं, और गोल रूप से यह केंद्र के चारों ओर एक सर्कल में त्रिज्या और कोणीय आंदोलन के साथ आंदोलन है। इस तरह के एक आंदोलन की आसानी से गणना की जाती है और अराजक व्यवहार नहीं दिखाया जाता है।

पूर्णांक बिलियर्ड्स में बॉल ट्रैजेक्ट्रीज़।

बिलियर्ड्स और अधिक जटिल आकार कि समरूपता के इस तरह के एक उच्च डिग्री एक चक्र या आयत की तरह नहीं है, अराजक हैं ^{(*** ***)} । उनमें से एक जो हमने ऊपर देखा, वह सिनाई बिलियर्ड्स है, जिसमें केंद्र में एक परिपत्र समावेश द्वारा आयत की समरूपता को नष्ट कर दिया गया है। अक्सर माना जाता है कि बिलियर्ड्स "स्टेडियम" और घोंघे पास्कल के रूप में बिलियर्ड्स हैं। अराजक बिलियर्ड्स में गेंद आंदोलन एक बहुत ही घुमावदार रास्तों पर आता है, और एक सरल आवधिक गति के लिए विस्तार नहीं।

अराजक बिलियर्ड्स "स्टेडियम" और में गेंद आंदोलन के प्रक्षेपवक्र "पास्कल की घोंघा।"

यहां आप पहले से ही अनुमान लगा सकते हैं कि ह्लाडनी के आंकड़ों में लाइनों के बीच चौराहों की उपस्थिति यह निर्धारित करती है कि प्लेट में एक पूर्णांक या अराजक बिलियर्ड्स का रूप है या नहीं। यह नीचे की तस्वीरों में स्पष्ट रूप से देखा गया है।

एकीकृत बिलियर्ड्स के गुणों को प्रदर्शित करते हुए गोल प्लेट्स ह्लाडनी। स्रोत ।

थाली "स्टेडियम" के रूप में प्लेट Hladni के अराजक बिलियर्ड्स के गुणों का प्रदर्शन, वायलिन और वर्ग का मामला, जिसकी समरूपता केंद्र में एक गोल स्थिरता (सिनाई बिलियर्ड्स का एनालॉग) से टूट गई है। स्रोत ।

क्वांटम अराजकता

कैसे Integrable बिलियर्ड्स कारण नोडल लाइनों के बीच क्यों चौराहों को समझने के लिए? ऐसा करने के लिए, हमें अराजकता के क्वांटम सिद्धांत की ओर मुड़ने की जरूरत है , अराजकता के सिद्धांत को दोलनों और तरंगों के यांत्रिकी के साथ जोड़कर। यदि शास्त्रीय यांत्रिकी में बिलियर्ड्स में गेंद को एक निश्चित प्रक्षेपवक्र के साथ आगे बढ़ने वाली सामग्री के रूप में वर्णित किया जाता है, तो क्वांटम यांत्रिकी में इसकी गति को श्रोडिंगर समीकरण का पालन करने वाली एक लहर के प्रसार के रूप में वर्णित किया गया है और बिलियर्ड्स की दीवारों से परिलक्षित होता है।

क्वांटम बिलियर्ड्स में तरंग प्रसार के चरण। प्रारंभ में, लहर एक गोल नाड़ी में केंद्रित होती है और बाएं से दाएं चलती है, फिर यह फैलती है और बार-बार दीवारों से प्रतिबिंबित होती है। स्रोत ।

एनीमेशन के रूप में एक ही है, लेकिन थोड़ा अलग प्रारंभिक स्थितियों के साथ।

दोलनों और झिल्ली प्लेटों के मामले, जो क्वांटम बिलियर्ड्स श्रोडिंगर समीकरण का वर्णन के रूप में यह संभव खड़े लहर नोडल लाइनों और antinodes, आकार सीमाओं पर प्रत्येक दोलन के लिए व्यक्तिगत और आश्रित की एक विशेषता पैटर्न होने में सामान्य दोलनों को खोजने के लिए बनाता है।

क्वांटम यादृच्छिक बिलियर्ड्स "में खड़े लहर में दोलनों के आयाम की प्रोफाइल के उदाहरण पास्कल घोंघा " और " स्टेडियम "।

पूर्णांक और अव्यवस्थित क्वांटम बिलियर्ड्स में खड़ी तरंगों के पैटर्न गुणात्मक रूप से भिन्न होते हैं: पूर्णांक बिलियर्ड्स खड़ी तरंगों के क्रमबद्ध, क्रमबद्ध पैटर्न दिखाते हैं, जबकि अराजक बिलियर्ड्स में खड़ी तरंगों के पैटर्न बहुत भ्रामक होते हैं और किसी भी दृश्यमान पैटर्न को नहीं दिखाते हैं (लेख के अंत में यह दिखाया जाएगा कि कुछ दिलचस्प हैं पैटर्न अभी भी मौजूद हैं)।

पास्कल घोंघा (निचली पंक्ति) के रूप में एक पूर्णांक गोल बिलियर्ड्स (ऊपरी पंक्ति) और अराजक बिलियर्ड्स की खड़ी तरंगों में दोलन आयाम। स्रोत ।

अराजक बिलियर्ड्स में सामान्य कंपन की विचित्र तस्वीरें कभी-कभी एक अलग अध्ययन के विषय के रूप में काम करती हैं। स्रोत ।

नोडल लाइनों के पैटर्न में एक गुणात्मक अंतर भी देखा जाता है: पूर्णांक क्वांटम बिलियर्ड्स के मामले में, हम पारस्परिक रूप से प्रतिच्छेदित रेखाओं के परिवारों को आदेशित करते हैं, और अराजक बिलियर्ड्स में इन रेखाओं को, एक नियम के रूप में, प्रतिच्छेद नहीं करते हैं ।

ऊपर: पूर्णांक की खड़ी तरंगों की नोडल रेखाएं (नीले और लाल क्षेत्रों के बीच काली रेखाएं) - गोल और आयताकार - बिलियर्ड्स। नीचे: अराजक बिलियर्ड्स में खड़ी तरंगों में से एक की नोडल लाइनें - स्टेडियम बिलियर्ड्स का एक चौथाई ।

इंटरसेक्ट या ओवरलैप?

अराजक बिलियर्ड्स में नोडल रेखाएं क्यों नहीं होती हैं? 1976 में, गणितज्ञ करेन उहलेनबेक ने एक प्रमेय साबित किया, जिसके अनुसार क्वांटम बिलियर्ड्स की खड़ी तरंगों की नोडल रेखाएं, आम तौर पर बोलना, काटना नहीं चाहिए।

एक सरलीकृत रूप में, इसे निम्नानुसार दिखाया जा सकता है: मान लें कि दो नोडल रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं ( x ₀ , y ₀ )। कि होने के लिए, समारोह च (एक्स, वाई), निर्देशांक पर खड़े लहर के आयाम की निर्भरता दे रही है, एक साथ तीन शर्तों को पूरा करना होगा:

1) यह बिंदु पर शून्य के बराबर होना चाहिए ( x ₀ , y ₀ ), क्योंकि यह बिंदु नोडल है।
2) पहली नोडल रेखा की दिशा में बिंदु (एक्स _0, y ₀₎ से कदम है, तो च (एक्स, वाई) शून्य रहने चाहिए।
3) यदि आप दूसरी नोडल लाइन की दिशा में बिंदु ( x ₀ , y ₀ ) से आगे बढ़ते हैं, तो f ( x, y ) भी शून्य के बराबर रहना चाहिए।


कुल मिलाकर, हमारे पास दो चर ( x, y ) के कार्य पर लगाए गए तीन शर्तें (या तीन समीकरण) हैं। जैसा कि हम जानते हैं, दो अज्ञात एक्स और वाई को खोजने के लिए एक समीकरण पर्याप्त नहीं है, दो समीकरण इसके लिए पहले से ही पर्याप्त हैं, और तीन समीकरण बहुत अधिक हैं। दो अज्ञात के लिए तीन समीकरणों की प्रणाली, आम तौर पर बोलना, कोई समाधान नहीं होगा, जब तक कि हम पर्याप्त भाग्यशाली न हों। इसलिए, नोडल लाइनों के चौराहे बिंदु केवल एक अपवाद के रूप में मौजूद हो सकते हैं ।

समाकलनीय बिलियर्ड्स सिर्फ वहाँ ऐसे अपवादों। जैसा कि हमने ऊपर देखा, उनके विशेष गुण - आंदोलन की भविष्यवाणी, अराजकता की अनुपस्थिति, खड़े तरंगों के नियमित पैटर्न - उनकी उच्च समरूपता का परिणाम है। समान समरूपता नोडल लाइनों के चौराहों के लिए आवश्यक तीन शर्तों की एक साथ पूर्ति सुनिश्चित करती है।

आइए अब हम Hladni के उदाहरणों पर एक नज़र डालते हैं जो पूर्णांक और अव्यवस्थित बिलियर्ड्स के विशिष्ट हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा तीन विशेषता मामलों को दर्शाता है। वाम प्लेट एक गोल आकार है, और इसलिए इसी क्वांटम बिलियर्ड्स समाकलनीय है और नोडल लाइनों एक दूसरे को काटना। एक आयताकार थाली है, जो भी समाकलनीय प्रणाली से मेल खाती है, लेकिन एक दौर थोड़ा बढ़ते के बीच में आयत की समरूपता टूट जाता है, तो नोडल लाइनों कहीं भी एक दूसरे को काटना के केंद्र में। विशुद्ध रूप से अराजक प्रणाली का एक उदाहरण दाईं ओर दिखाया गया है: सिनाई बिलियर्ड्स के एक चौथाई के आकार में एक प्लेट (ऊपरी दाएं कोने में एक परिपत्र कटआउट है), नोडल लाइनें, जिस पर अब कोई अंतर नहीं है।



इस प्रकार, प्लेट के आकार को मजबूत करना - इसके बन्धन को ध्यान में रखना - एक एकीकृत बिलियर्ड (जैसे कि एक सर्कल या आयत) के आकार से भिन्न होता है, उस पर नोडल लाइनों के कम चौराहों ।

एक दौर प्लेट पर लाइनों अन्तर्विभाजक के साथ सुंदर Chladni आंकड़े प्राप्त इतना आसान नहीं है। जब एक केंद्रीय बन्धन के साथ रोमांचक कंपन होता है, तो पूरे सिस्टम की गोलाकार समरूपता रेडियल नोडल लाइनों के निर्माण को रोकती है, इसलिए हम केवल एक उबाऊ सेट को देखेंगे (यह कठिनाई केंद्र से नहीं बल्कि प्लेट के किनारे से वायलिन से धनुष का उपयोग करके रोमांचक कंपन द्वारा दरकिनार की जा सकती है)। यदि प्लेट को ऑफ-सेंटर तय किया जाता है, तो ह्लाडनी आंकड़े अधिक दिलचस्प हो जाएंगे, लेकिन परिपत्र समरूपता के उल्लंघन के कारण, सिस्टम अलग हो जाएगा।

गोल प्लेट, केंद्र माउंट।

गोल प्लेट, माउंट केंद्र से स्थानांतरित कर दिया गया।

और यहां गोल और गैर-परिपत्र प्लेटों के साथ अलग-अलग विकल्प हैं।

अंत में, देख सकते हैं चौकस पाठक: मुझे लगता है कि कभी कभी नोडल लाइनों एक दूसरे को काटना भी "अराजक" प्लेटों देखते हैं। यह कैसे है कि अगर उनके चौराहे को उहलेनबेक के प्रमेय द्वारा मना किया गया है?

सबसे पहले, नोडल लाइनें चौराहे से बच सकती हैं, लेकिन इससे पहले कि वे इतने करीब हो जाएं कि रेत के मार्ग की सीमित चौड़ाई के कारण, यह हमें प्रतीत होगा कि एक चौराहा है। दूसरे, पूर्णांक और अराजक प्रणालियों के बीच, वास्तव में, कोई तेज सीमा नहीं है।

नोडल लाइनें - वे काले और सफेद क्षेत्रों को अलग करती हैं - पूर्ण और अव्यवस्थित क्वांटम बिलियर्ड्स (बाएं और दाएं) में, और मध्यवर्ती छद्म-पूर्णांक मामले (केंद्र में) में। मध्यवर्ती मामले में, नोडल लाइनों के कई चौराहे हैं, जबकि अराजक मामले में कोई भी नहीं है। स्रोत ।

अराजकता के शास्त्रीय सिद्धांत में, प्रसिद्ध कोलमोगोरोव-अर्नोल्ड-मोजर सिद्धांत इस मुद्दे के लिए समर्पित है। वह कहती हैं कि अगर पूर्णांक प्रणाली की समरूपता का थोड़ा उल्लंघन किया जाता है, तो यह तुरंत अराजक व्यवहार का प्रदर्शन नहीं करेगा, लेकिन, अधिकांश भाग के लिए, गति की अपनी भविष्यवाणी को बनाए रखेगा। अराजकता और ह्लादनी आंकड़ों के क्वांटम सिद्धांत के स्तर पर, यह इस तथ्य में प्रकट होता है कि कुछ स्थानों पर नोडल लाइनों के चौराहों को संरक्षित किया जाता है। यह या तो बिलियर्ड्स के विशेष रूप से सममित बिंदुओं पर होता है, या अशांति के स्रोत से बहुत दूर होता है, जो कि पूर्णांक प्रणाली की समरूपता का उल्लंघन करता है।

और क्या?

अराजकता के क्वांटम सिद्धांत में और क्या दिलचस्प है? रुचि पाठक के लिए तीन अतिरिक्त मुद्दों को अब सीधे Chladni आंकड़े से संबंधित हैं उल्लेख होगा।

1) इस सिद्धांत द्वारा अध्ययन की गई एक महत्वपूर्ण घटना अराजक प्रणालियों की सार्वभौमिकता है । सिस्टम के विशाल बहुमत जिसमें सामान्य कंपन हो सकते हैं, अव्यवस्थित हैं, और उनमें से सभी - उनकी शारीरिक प्रकृति की परवाह किए बिना! - समान कानूनों का पालन करें। सार्वभौमिकता की घटना, जिसमें पूरी तरह से अलग-अलग प्रणालियों को एक ही सूत्र द्वारा वर्णित किया गया है, वह खुद बहुत सुंदर है और भौतिक दुनिया की गणितीय एकता की याद दिलाती है।

विभिन्न भौतिक प्रकृति की अराजक प्रणालियों में सामान्य कंपन के आसन्न आवृत्तियों के बीच दूरियों के आंकड़े, हर जगह एक ही सार्वभौमिक विग्नर-डायसन सूत्र द्वारा वर्णित हैं। स्रोत ।

2) अराजक बिलियर्ड्स के सामान्य कंपन के पैटर्न में "क्वांटम निशान" नामक एक दिलचस्प विशेषता है। हमने देखा है कि अव्यवस्थित बिलियर्ड्स में गेंद के मार्ग आमतौर पर बहुत भ्रमित करते हैं। लेकिन वहाँ अपवाद हैं - एक आवधिक कक्षा, बल्कि एक सरल और कम बंद प्रक्षेप पथ जो साथ गेंद एक आवधिक गति बनाता है। क्वांटम निशान को आवधिक कक्षाओं के साथ खड़ी तरंगों का तेज मोटा होना कहा जाता है।

बिलियर्ड्स "स्टेडियम" में क्वांटम निशान, समय-समय पर लाल और हरे रंग की रेखाओं द्वारा दिखाए गए कक्षाओं के साथ चल रहा है। स्रोत ।

3) अब तक हमने दो-आयामी प्रणालियों के बारे में बात की है। यदि हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में तरंगों के प्रसार पर विचार करते हैं, तो यहां नोडल लाइनें भी उत्पन्न हो सकती हैं, जिसके साथ दोलन आयाम शून्य है। यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब बोस संक्षेपण और सुपरफ्लुइटी का अध्ययन किया जाता है, जहां हजारों परमाणु एकल " पदार्थ की तरंगों " के रूप में चलते हैं। तीन-आयामी अंतरिक्ष में पदार्थ तरंगों की नोडल लाइनों की संरचना का विश्लेषण आवश्यक है, उदाहरण के लिए, यह समझने के लिए कि क्वांटम अशांति कैसे उत्पन्न होती है और सुपरफ्लुइड सिस्टम में विकसित होती है।

बोस कंडेनसेट में "पदार्थ की तरंगों" के खड़े होने की नोडल लाइनों की तीन आयामी संरचनाओं को उलझाया। स्रोत ।

^(*) यदि प्लेट पर डाले गए कणों का आकार काफी छोटा है, तो उन्हें नोड्स के लिए नहीं, बल्कि खड़ी लहर के एंटीनोड्स के लिए उड़ा दिया जाएगा, जैसा कि इस प्रयोगात्मक कार्य में दिखाया गया था।

^(**) «» «» , : – , , . .

^(***) – . , , , .

^(****) अधिक सटीक होने के लिए, बिलियर्ड्स का पूर्णांक या अव्यवस्थित होना गति के स्वतंत्र इंटीग्रल्स की संख्या पर निर्भर करता है - जो समय के साथ बनी रहती हैं। एकीकृत बिलियर्ड्स में गति के दो अभिन्न अंग हैं, द्वि-आयामी प्रणाली में यह गति के समीकरणों के सटीक विश्लेषणात्मक समाधान के लिए पर्याप्त है। अव्यवस्थित बिलियर्ड्स में गति का केवल एक अभिन्न अंग है - गेंद की गतिज ऊर्जा।