👨‍🎓 👊 🙅🏻 पॉसों समीकरण और बोल्ट्जमैन वितरण (भाग 2.1) 🔦 🧝🏽 ⚫️

बोल्ट्जमन वितरण (भाग 1)

बोल्ट्जमैन वितरण के निष्कर्ष पर पहुंचने और भौतिक समझ को समझने से पहले, संभाव्यता के प्राथमिक सिद्धांत पर प्रारंभिक जानकारी देना आवश्यक है। तथ्य यह है कि मैक्रोसिस्टम जो हम देखते हैं, जिसमें शामिल हैं, जैसा कि आप जानते हैं, बड़ी संख्या में छोटे कणों की, उदाहरण के लिए, किसी भी पदार्थ में परमाणु होते हैं, और बाद वाले, बदले में नाभिक और इलेक्ट्रॉनों में विभाजित होते हैं, एक परमाणु के नाभिक को प्रोटॉन और न्यूट्रॉन और में विभाजित किया जाता है इतने पर। एक भौतिक प्रणाली में, जिसमें कणों की एक बड़ी संख्या होती है (तथाकथित सूक्ष्म तंत्र में) प्रत्येक कण को अलग से विचार करना व्यर्थ है, सबसे पहले क्योंकि कोई भी कभी भी प्रत्येक कण (यहां तक कि आधुनिक सुपर कंप्यूटर) का वर्णन नहीं कर सकता है, और दूसरी बात यह है कि यह हमें सिद्धांत रूप में कुछ भी नहीं देगा, क्योंकि मैक्रोसिस्टम का व्यवहार औसत पैरामीटर द्वारा वर्णित है, जैसा कि हम बाद में देखेंगे। कणों की इतनी बड़ी संख्या के साथ, यह समझ में आने की संभावनाओं में दिलचस्पी रखता है कि एक पैरामीटर मूल्यों की एक विशेष श्रेणी में है।

इसलिए, हम प्रायिकता सिद्धांत से कुछ परिभाषाओं पर आगे बढ़ते हैं, और फिर, मैक्सवेल वितरण को आवश्यक रूप से समझाते हुए, हम बोल्ट्जमैन वितरण के विश्लेषण का दृष्टिकोण करेंगे।

संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक घटना के रूप में ऐसी कोई चीज होती है - यह एक ऐसी घटना है जो किसी न किसी अनुभव में होती है या नहीं। उदाहरण के लिए, एक बंद बॉक्स पर विचार करें जिसमें अणु और कुछ आवंटित मात्रा शामिल है

D e l t a t a u

$\ Delta \ tau$ इस बॉक्स में (देखें। चित्र 1)।

अंजीर। 1

तो, एक यादृच्छिक घटना या तो आवंटित मात्रा में अणु को मार देगी

D e l t a t a u

$\ Delta \ tau$ , या इस मात्रा में इस अणु की अनुपस्थिति (क्योंकि अणु चलता है, और किसी भी समय यह या तो एक निश्चित मात्रा में मौजूद है या नहीं)।

एक यादृच्छिक घटना की संभावना को ट्रायल एम की संख्या के अनुपात के रूप में समझा जाता है, जिस पर यह घटना हुई, कुल परीक्षणों की संख्या एम तक, और परीक्षणों की कुल संख्या बड़ी होनी चाहिए। हम एक परीक्षण में किसी घटना की संभावना के बारे में बात नहीं कर सकते। अधिक परीक्षण, घटना की संभावना अधिक सटीक।

हमारे मामले में, अणु अणु होने की संभावना मात्रा में होगी

D e l t a t a u

$\ Delta \ tau$ के बराबर है:

W (A) = f r a c m M, य ा W (A) = l i m_{M t o i n f t y} m / M

$W (A) = \ frac {m} {M}, या W (A) = \ lim_ {M \ to \ infty} m / M$

अब एक ही बॉक्स में दो आवंटित मात्रा पर विचार करें

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ और

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ (अंजीर देखें। 2)

Fig.2

यदि ये दो खंड प्रतिच्छेदन नहीं करते हैं (चित्र 2 ए देखें), तो अणु कुछ समय में किसी भी समय मात्रा में हो सकते हैं

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ या मात्रा में

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ । एक ही समय में, एक अणु दो अलग-अलग स्थानों में नहीं हो सकता है। इस प्रकार, हम असंगत घटनाओं की अवधारणा पर आते हैं जब एक घटना का कार्यान्वयन किसी अन्य घटना के कार्यान्वयन को बाहर करता है। मामले में जब संस्करणों

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ और

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ प्रतिच्छेदन (अंजीर देखें। 2. बी), अर्थात्, संभावना है कि अणु चौराहे क्षेत्र में गिर सकता है, और फिर दो घटनाएं संगत हैं ।

अणु में अणु होने की संभावना कम हो जाएगी

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ के बराबर है:

W (1) = m_{1} / M

$W (1) = m_1 / M$

जहाँ

m_{1}

$m_1$ - अणु मात्रा में होने पर परीक्षणों की संख्या

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ । इसी तरह, अणु अणु की संभावना की मात्रा में गिर जाएगा

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ के बराबर है:

W (2) = m_{2} / M

$W (2) = m_2 / M$

इसके अलावा, घटना है कि अणु कम से कम दो संस्करणों में से एक में गिर गया है

m_{1} + m_{2}

$m_1 + m_2$ समय। इसलिए इस घटना की संभावना है:

W = f r a c m_{1} + m_{2} M = f r a c m_{1} M + f r a c m_{2} M = W (1) + W (2)

$W = \ frac {m_1 + m_2} {M} = \ frac {m_1} {M} + \ frac {m_2} {M} = W (1) + W (2)$

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि असंगत घटनाओं में से एक की संभावना उनमें से प्रत्येक की संभावनाओं के योग के बराबर है।

असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह ऐसी घटनाओं का एक संयोजन है जिसमें एक का कार्यान्वयन विश्वसनीय है, अर्थात्। घटनाओं में से एक की संभावना 1 है।

घटनाओं को समान रूप से संभव कहा जाता है यदि उनमें से किसी एक के समान मूल्य होने की संभावना, अर्थात्। सभी घटनाओं की संभावनाएं समान हैं।

अंतिम उदाहरण पर विचार करें और स्वतंत्र घटनाओं की अवधारणा को पेश करें। पहली घटना यह बताइए कि समय t पर अणु A मात्रा में है

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ , और दूसरी घटना - कि एक और अणु B आयतन में आती है

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ । यदि संभावना है कि अणु बी वॉल्यूम में प्रवेश करता है

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ यह निर्भर नहीं करता है कि अणु A में है या नहीं

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ या नहीं, इन घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है।

मान लीजिए कि हमने कुल n परीक्षण किए, और पाया कि अणु A था

m_{1}

$m_1$ मात्रा में समय

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ , और अणु B -

m_{2}

$m_2$ मात्रा में समय

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ , तो इन घटनाओं की संभावनाएँ बराबर हैं:

W (A) = \ frac {m_1} {n}, W (B) = \ frac {m_2}} \ n

$W (A) = \ frac {m_1} {n}, W (B) = \ frac {m_2}} \ n$

हम परीक्षणों से लेंगे

m_{1}

$m_1$ जिसके लिए ए में गिर गया

D e l t a t a u_{1}

$\ Delta \ tau_1$ बी में कितने परीक्षण गिर गए

D e l t a t a u_{2}

$\ Delta \ tau_2$ । जाहिर है, यह चयनित परीक्षणों की संख्या है

m_{1} (f r a c m_{2} n)

$m_1 (\ frac {m_2} {n})$ । इसलिए ए और बी के संयुक्त कार्यान्वयन की संभावना के बराबर है:

W (A B) = f r a c m_{1} (f r a c m_{2} n) n = f r a c m_{1} n f r a c m_{2} n = W (A) W (B)

$W (AB) = \ frac {m_1 (\ frac {m_2} {n})} {n} = \ frac {m_1} {n} \ frac {m_2} {n} = W (A) W (B)$

यानी संयुक्त कार्यान्वयन में स्वतंत्र घटनाओं की संभावना अलग-अलग प्रत्येक घटना की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

यदि हम एक निश्चित मात्रा को मापते हैं, उदाहरण के लिए, एक अणु की गति, या एक अणु की ऊर्जा, तो मूल्य संख्यात्मक अक्ष (नकारात्मक मान सहित) पर कोई वास्तविक मूल्य ले सकता है, अर्थात। यह मात्रा निरंतर है , इसके विपरीत जो हमने ऊपर माना था (तथाकथित असतत मात्रा)। ऐसी मात्राओं को यादृच्छिक चर कहा जाता है । एक सतत यादृच्छिक चर के लिए, किसी दिए गए मूल्य की संभावना में दिलचस्पी लेना गलत है। प्रश्न का सही सूत्रीकरण यह पता लगाने की संभावना है कि यह मात्रा किस सीमा में है, x से x + dx कह सकते हैं। यह संभावना गणितीय रूप से समान है:

d W = w (x) d x

$dW = w (x) dx$

यहाँ w (x) कुछ फ़ंक्शन को प्रायिकता घनत्व कहा जाता है। इसका आयाम यादृच्छिक चर x के आयाम का व्युत्क्रम है।

और अंत में, एक स्पष्ट बात कहने के लिए अभी भी आवश्यक है, कि एक विश्वसनीय घटना की संभावना, या असंगत घटनाओं के एक पूर्ण समूह की सभी संभावनाओं का योग एक के बराबर है।
सिद्धांत रूप में, मैक्सवेल वितरण और फिर बोल्ट्जमैन वितरण की व्युत्पत्ति दिखाने के लिए ये परिभाषाएँ हमारे लिए पर्याप्त हैं।

तो, हम एक आदर्श गैस पर विचार करेंगे (यह एक इलेक्ट्रॉन गैस भी हो सकती है जो इतनी दुर्लभ है कि इलेक्ट्रॉनों की पारस्परिक क्रिया की उपेक्षा की जा सकती है)। इस गैस के प्रत्येक कण का वेग v या संवेग होता है

p = m_{0} v

$p = m_0v$ और ये सभी गति और आवेग कुछ भी हो सकते हैं। तो ये पैरामीटर यादृच्छिक चर हैं और हम संभावना घनत्व में रुचि रखेंगे

w_{p}

$w_p$ ।

इसके अलावा दालों के स्थान की अवधारणा को पेश करना सुविधाजनक है। हम समन्वय प्रणाली के अक्षों के साथ कण गति के घटकों को स्थगित करते हैं (चित्र 3 देखें)।

अंजीर। 3

हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि नाड़ी का प्रत्येक घटक किस सीमा में स्थित है:

p_{x} d i v (p_{x} + d p_{x}); p_{y} d i v (p_{y} + d p_{y}); p_{z} d i v (p_{z} + d p_{z})

$p_x \ div (p_x + dp_x); p_y \ div (p_y + dp_y); p_z \ div (p_z + dp_z)$

यही है, एक ही बात, वेक्टर पी का अंत आयताकार आयतन dΩ है:

d O m e g a = d p_{x} d p_{y} d p_{z}

$d \ Omega = dp_xdp_ydp_z$

मैक्सवेल ने दो पोस्टआउट किए, जिसके आधार पर उन्होंने क्षण के वितरण को व्युत्पन्न किया। उन्होंने सुझाव दिया:

ए) अंतरिक्ष में सभी दिशाएं समान हैं और इस संपत्ति को आइसोट्रॉफी कहा जाता है, विशेष रूप से संभावना घनत्व आइसोट्रॉपी

w_{p}

$w_p$ ।

बी) तीन परस्पर लंबवत अक्षों वाले कणों की गति स्वतंत्र होती है, अर्थात आवेग मूल्य

p_{x}

$p_x$ इसके अन्य घटकों के मूल्य पर निर्भर नहीं करता है

p_{y}

$p_y$ और

p_{z}

$p_z$ ।

कण अलग-अलग दिशाओं में चलते हैं, सकारात्मक दिशा में और नकारात्मक दोनों में। यही है, उदाहरण के लिए, एक्स अक्ष के साथ, पल्स मूल्य मान के रूप में ले सकता है

p_{x}

$p_x$ तो और

- p_{x}

$-p_x$ । लेकिन संभावना घनत्व एक समान कार्य है (यानी, तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए, फ़ंक्शन सकारात्मक है), इसलिए यह वर्ग पर निर्भर करता है

p_{x}

$p_x$ :

w_{p x} = p h i (p_{x}^{2})

$w_ {px} = \ phi (p_x ^ 2)$

आइसोट्रॉपी के गुणों से (ऊपर देखें) यह इस प्रकार है कि अन्य दो घटकों की संभावना घनत्व समान रूप से व्यक्त किए जाते हैं:

w_{p y} = p h i (p_{y}^{2}); w_{p z} = p h i (p_{z}^{2})

$w_ {py} = \ phi (p_y ^ 2); w_ {pz} = \ phi (p_z ^ 2)$

परिभाषा के अनुसार, गति पी में प्रवेश करने की संभावना d equal के बराबर है:

d W = w_{p} d O m e g a

$dW = w_pd \ Omega$

स्मरण करो कि हमें ऊपर पता चला है कि स्वतंत्र घटनाओं के लिए इस संभावना को प्रत्येक घटक की घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

w_{p} d O m e g a = w_{p x} d p_{x} w_{p y} d p_{y} w_{p z} d p_{z} = p h i (p_{x}^{2}) p h i (p_{x}^{2}) p h i (p_{z}^{2}) d p_{x} d p_{y} d p_{z}

$w_pd \ Omega = w_ {px} dp_xw_ {py} dp_yw_ {pz} dp_z = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_z ^ 2) dp_xdp_ydp_z$

इसलिए:

w_{p} = p s i (p^{2}) = p h i (p_{x}^{2}) p h i (p_{y}^{2}) p h i (p_{z}^{2})

$w_p = \ psi (p ^ 2) = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2)$

आइए हम इस अभिव्यक्ति का लघुगणक करें और प्राप्त करें:

l n p s i = l n p h i (p_{x}^{2}) + l n p h i (p_{y}^{2}) + l n p h i (p_{z}^{2})

$ln \ psi = ln \ phi (p_x ^ 2) + ln \ phi (p_y ^ 2) + ln \ phi (p_z ^ 2)$

तब हम सम्मान के साथ इस पहचान को अलग करते हैं

p_{x}

$p_x$ :

f r a c p s i^{^{'}} p s i 2 p_{x} = f r a c p h i^{^{'}} p h i 2 p_{x}

$\ frac {\ psi ^ {'}} {\ psi} 2p_x = \ frac {\ phi ^ {'}} {\ phi} 2p_x$

, जहां प्राइम अपने जटिल तर्क के संबंध में संबंधित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दर्शाता है।

इस अभिव्यक्ति में कमी के बाद

2 p_{x}

$2p_x$ हमें मिलता है:

\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)}}

$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)}}$

वही दालों के अन्य घटकों पर लागू होता है, क्रमशः, हम प्राप्त करते हैं:

\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y 2)}} ; \ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ "2")

$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y 2)}} ; \ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ "2")$

इसका मतलब है महत्वपूर्ण रिश्ते:

f r a c p h i^{^{'}} (p_{x}^{2}) p h i (p_{x}^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{y}^{2}) p h i (p_{y}^{2}) = f r a c p h i^{^{'}} (p_{z}^{2}) p h i (p_{z}^{2})

$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$

इन अभिव्यक्तियों से यह स्पष्ट है कि एक या किसी अन्य घटक के कार्य के संबंध में कार्य के व्युत्पन्न के संबंध एक स्थिर है, क्रमशः, हम निम्नानुसार लिख सकते हैं (हम निरंतर को निरूपित करते हैं

- ब ी ट ा

$- \ बीटा$ ):

f r a c_{i}^{^{'}} (p_{x}^{2}) p h i (p_{x}^{2}) = - ब ी ट ा

$\ frac {\ _i ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = - \ बीटा$

इस अंतर समीकरण को हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं (कैसे इस तरह के समीकरण हल किए जाते हैं, साधारण अंतर समीकरणों पर किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है):

p h i (p_{x}^{2}) = C e^{- b e t a p_{x}^{2}}

$\ phi (p_x ^ 2) = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2}$

जहाँ C और der स्थिरांक हैं जिन्हें हम अभी (अगले लेख में) प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, समन्वय अक्षों के साथ आइसोट्रॉपी और आंदोलन की स्वतंत्रता की स्थिति से, यह संभावना है कि निम्नानुसार है

d W_{p x}

$dW_ {px}$ गति के उस घटक के

p_{x}

$p_x$ अंतराल में होगा

d p_{x}

$dp_x$ अनुपात द्वारा निर्धारित:

d W_{p x} = C e^{- b e t a p_{x}^{2}} d p_{x}

$dW_ {px} = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2} dp_x$

, और संभावना dW कि मात्रा d (में होगी d (है (स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं का उत्पाद याद रखें):

d W = C^{3} e^{- b e t a p^{2}} d O m e g a

$dW = C ^ 3e ^ {- \ beta p ^ 2} d \ Omega$

अगले लेख में, हम मैक्सवेल वितरण की व्युत्पत्ति को पूरा करेंगे, इस वितरण के भौतिक अर्थ का पता लगाएंगे और सीधे बोल्ट्जमैन वितरण की व्युत्पत्ति पर जाएंगे।

पॉसों समीकरण और बोल्ट्जमैन वितरण (भाग 2.1)

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