यूक्लिड के "सिद्धांतों" में चित्र के अनुसार गणित के इतिहास का अध्ययन कैसे करें

चौथी किताब में, यूक्लिड की "शुरुआत" , 2,300 साल की उम्र के साथ ज्यामिति पर एक पाठ, एक सर्कल के अंदर 15-पक्षीय बहुभुज के निर्माण के लिए एक संकेत है। पहला कदम अच्छी तरह से ज्यामिति के छात्रों के लिए जाना जाता है: एक समबाहु त्रिभुज और एक नियमित पंचकोण का निर्माण करना ताकि उनके कोने एक सर्कल पर झूठ हों और दोनों आंकड़े एक सामान्य शीर्ष हों। शाब्दिक संकेतों के अलावा, "शुरुआत" में ड्रॉइंग विधि शामिल थी।


द बिगिनिंग की सबसे पुरानी पूर्ण प्रति में, नौवीं शताब्दी की पांडुलिपि को वेटिकन लाइब्रेरी में संग्रहीत किया गया, लाइनों के खंड खींचे गए और मिटा दिए गए। लाइब्रेरी ऑफ़ कांग्रेस ऑनलाइन कैटलॉग, प्रिंट्स एंड फोटोग्राफ्स डिवीजन से छवि।

यह पता लगाना असंभव है कि यूक्लिड की मूल योजनाएं स्वयं कैसी दिखती थीं, लेकिन जीवित पांडुलिपियों में पेंटागन के रूप में इस तरह के ज्यामितीय आंकड़ों के प्रदर्शन में अद्भुत विविधताएं सामने आती हैं। इस तरह की विविधताएं आधुनिक पर्यवेक्षक को त्रुटियों की तरह लगती हैं: पाठ के कुछ मध्ययुगीन संस्करणों में, लाइन सेगमेंट की लंबाई गलत है। नौवीं शताब्दी की पांडुलिपि में, द बिगिनिंग की सबसे पुरानी प्रति, जिसे वेटिकन लाइब्रेरी में संग्रहित किया गया है, वर्गों को खींचा और मिटा दिया गया था। ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में आयोजित एक और नौवीं शताब्दी के पाठ में, सर्कल के अंदर पेंटागन के किनारे घुमावदार और गंदे हैं, सीधे नहीं। कर्व्स का उपयोग बारहवीं शताब्दी की पेरिस की नकल में भी किया जाता है, लेकिन वे पुराने ऑक्सफोर्ड संस्करण की तुलना में थोड़ा कम पापी हैं। ग्यारहवीं या बारहवीं शताब्दी का पाठ वियना में संग्रहीत किया गया है, जिसमें मूल पंक्तियाँ सही लंबाई और सीधी थीं, लेकिन बाद में किसी ने उनके लिए घुमावदार खंड जोड़े (1)।

द बिगिनिंग्स बहुत रुचि रखते हैं, लेकिन यह केवल ऐतिहासिक वैज्ञानिक पाठ नहीं है जिसमें चित्र नहीं हैं। यह पता चला है कि वे इब्न अल-खयसम, आर्किमिडीज़, अरस्तू और टॉमी के कार्यों की प्रतियों में पाए जाते हैं। विविधताओं के बीच समानांतर रेखाएं हैं जो वास्तव में समानांतर नहीं हैं, गलत तरीके से चिह्नित आकार, समान खंड या कोण असमान, या असमान कोण हैं जो समान दिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, दसवीं शताब्दी के पालिम्प्सेस्ट आर्किमिडीज की पांडुलिपि में, समद्विबाहु इंगित करने के लिए एक समद्विबाहु त्रिकोण का उपयोग किया जाता है। यह साधारण ऐतिहासिक विषमताओं की तरह लग सकता है, लेकिन कुछ शोधकर्ताओं ने ड्राइंग के बीच आकर्षक संकेत पाया कि गणित सहस्राब्दी में कैसे विकसित हुआ है।

दृश्य

शोधकर्ता इन विविधताओं का अध्ययन करना शुरू करते हैं ताकि यह पता लगाया जा सके कि गणितीय विचार कैसे फैलते हैं और यह समझने के लिए कि विभिन्न लोगों ने इस विषय पर कैसे संपर्क किया। परंपरागत रूप से, प्राचीन यूनानी ग्रंथों का अध्ययन करने वाले गणित के इतिहासकार शब्दों और संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करते हैं और चित्र को पाठ के सरल चित्र के रूप में छोड़ते हैं। टोक्यो के वासेदा विश्वविद्यालय से विज्ञान इतिहासकार नाथन सिदोली और ओसाका प्रान्त विश्वविद्यालय से उनके सहयोगी केन साइटो के अनुसार, जिन्होंने 2012 के निबंध में अष्टकोण और अन्य साक्ष्यों में योजनाबद्ध परिवर्तनों को देखा, क्योंकि इस पाठ पर ध्यान केंद्रित करने के कारण, हम कहानी का हिस्सा छोड़ देते हैं (1)।

गणित सार में समृद्ध है, और समय के साथ, लोगों ने इन सार की कल्पना करने के कई तरीके खोजे हैं। "हमारे युवाओं से, हम कुछ निश्चित तरीकों से सामान्य अवधारणाओं को समझना सीखते हैं," सिदोली कहते हैं। "इन कार्यों को देखकर, हम खुद को याद दिला सकते हैं कि यह देखने का एक सार्वभौमिक तरीका नहीं है।"

चित्र और चित्र मानव इतिहास के हजारों वर्षों के गणित का हिस्सा रहे हैं। बेबीलोनियों ने वर्गमूलों की गणना की और पाइथागोरस या यूक्लिड से एक हजार साल पहले पाइथागोरस प्रमेय के सिद्धांत को जाना। एक मिट्टी की गोली सत्रहवीं शताब्दी ईसा पूर्व की है, जिस पर एक वर्ग और उसके विकर्णों की एक ही रेखा खींची जाती है, जो साक्ष्य के रूप में काम कर सकते हैं। डेटा विज़ुअलाइज़ेशन अग्रणी, एडवर्ड टफ्टी, राजनीति विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान और येल में सांख्यिकी के एक प्रोफेसर, टैबलेट को बेबीलोनियों के ज्ञान का "ग्राफिक गवाह" कहते हैं।

कुछ शोधकर्ताओं का मानना ​​है कि ड्रॉइंग अपने सभी कमियों के बावजूद, गणित का एक अभिन्न अंग और सदियों के बीच जानकारी का वाहक हो सकता है। यदि एक प्रतिलिपि में दिखाई देने वाली त्रुटि बाद के संस्करणों में फैल गई, तो यह इंगित करता है कि जनगणना करने वालों ने गणित को नहीं समझा या सटीकता की सराहना नहीं की। दूसरी ओर, कुछ पंडितों ने सिद्धांतों में निर्धारित ज्ञान के पूरक के लिए ब्लूप्रिंट का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, जहां यूक्लिड ने केवल एक तीव्र कोण के गुणों का वर्णन किया है, बाद में स्क्रिब्स ने obtuse और समकोण के लिए समान गुणों को जोड़ा।


यह "शुरुआत" टुकड़ा ऑक्सिरिन पपीरस का हिस्सा था, पांडुलिपियों का एक समूह जो 1897 में मिस्र के ऑक्सिरिंह शहर के पास एक प्राचीन लैंडफिल में खोजा गया था। लगभग 2,000 वर्ष पुराना एक पाठ शुरुआत के दूसरे खंड के पांचवें प्रमेय को संदर्भित करता है। बिल कैसेलमैन (ब्रिटिश कोलंबिया विश्वविद्यालय, वैंकूवर) की छवि शिष्टाचार।

पाठक का हस्तक्षेप

द बिगिनिंग , जिसमें तेरह खंड शामिल थे, कम से कम सैकड़ों प्रकाशनों में प्रकाशित हुए थे, और पिछली शताब्दी तक यह बिक्री के मामले में दुनिया की दूसरी सबसे बड़ी पुस्तक थी। (पहली बाइबिल है।) लेकिन सिद्धांतों में सब कुछ यूक्लिड द्वारा नहीं घटाया गया था। संस्करणों में उस समय के प्राचीन यूनानियों को ज्ञात गणितीय ज्ञान का संग्रह होता है। भौतिक विज्ञानी स्टीफन हॉकिंग ने यूक्लिड को "सभी समय का सबसे बड़ा गणित विश्वकोश" कहा और इसकी तुलना नूह वेबस्टर से की, जिन्होंने पहले अंग्रेजी शब्दकोश (2) का संकलन किया था।

"शुरुआत" का अनुवाद प्राचीन ग्रीक, अरबी, लैटिन, हिब्रू और अन्य भाषाओं से किया गया था। विकास और प्रवासन की प्रक्रिया विकसित हुई है, साथ ही इसमें चित्र भी बने हैं। पाठकों ने नोटों को हाशिये में छोड़ दिया और संपादन किया। बाद के पाठकों और अनुवादकों ने पांडुलिपि और परिशिष्ट दोनों को देखा, और अपने समय के अनुरूप कार्य संपादित किया। इस तरह की बातचीत साक्ष्यों और शुरुआत के चित्रों के अनुवाद में दर्ज की जाती है, और नकल का कार्य बन गया, स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के स्नातक छात्र येंसू ली के शब्दों में, जो द बिगनिंग ड्रॉइंग के परिवर्तन का अध्ययन करता है।

"हम आसानी से चित्र बनाने में पाठकों की भूमिका को याद कर सकते हैं," ली कहते हैं, जोर देकर कहा कि वे पांडुलिपि में नोट्स बनाकर हस्तक्षेप कर सकते हैं और योगदान कर सकते हैं। स्क्रिब्स ने बाद में इन नोटों पर ध्यान दिया। "अगर वे मानते हैं कि मार्जिन चित्र मुख्य ब्लूप्रिंट से अधिक महत्वपूर्ण थे," ली बताते हैं, "सीमांत ब्लूप्रिंट बाद की पीढ़ियों द्वारा मुख्य में बदल गए।" इन दृश्य परिवर्तनों ने गणितीय विचारों को उन तरीकों से व्यक्त किया जो पाठ द्वारा व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं।

ऐसे परिवर्तनों को कॉल करने के लिए गलतियाँ बहुत आम होंगी। कुछ परिवर्तनों में सुधार होना चाहिए था; अन्य सांस्कृतिक प्रथाओं से उत्पन्न हुए हैं। उदाहरण के लिए, अरबी पाठ को दाईं से बाईं ओर पढ़ा जाता है, इसलिए शुरुआत के शुरुआती अरबी संस्करणों में , अक्सर ड्राइंग के उन्मुखीकरण को प्रतिबिंबित किया गया था - प्राचीन ग्रीक पांडुलिपियों में बाईं ओर खोले गए कोनों को अरबी संस्करणों में दाईं ओर खोला गया था। हालांकि, जब इन अरबी संस्करणों का लैटिन में अनुवाद किया गया था, तो कुछ स्क्राइब ने ड्राइंग को उल्टा नहीं किया।

गणितज्ञ रॉबिन हार्टशॉर्न, जो पहले बर्कले में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में काम करते थे, यहां तक ​​कि दावा करते हैं कि संपादन प्रक्रिया के रूप में चित्र में बदलाव को देखना हमेशा उचित नहीं होता है। यहां तक ​​कि इन सभी घटता और झुकता के साथ, पेंटागन के चित्र ने वांछित अर्थ व्यक्त किया। सटीक चित्र के साथ "शुरुआत" स्टैम्प समय के मूल्यों को दर्शाता है, वे कहते हैं, लेकिन यह अभ्यास पिछले संस्करणों के लिए निराशाजनक है। "मैं इसे आधुनिक गणितज्ञों के स्वाद का चित्रण कहूँगा जो मैट्रिक सटीकता को देखना चाहते हैं," हार्टर्नॉर्न कहते हैं।

कॉर्नेल विश्वविद्यालय में प्राचीन विज्ञान ग्रंथों का अध्ययन करने वाले इतिहासकार कर्टनी रॉबी कहते हैं, "ये उन अवधारणाओं के लिए हाथ से तैयार किए गए ब्लूप्रिंट थे, जिन्हें लिखना हमेशा आसान नहीं होता।" "चित्र विशिष्ट लेखकों और लेखों, उनकी रचनात्मकता, प्रयोगों और परिवर्तनों की रचनाएँ हैं।"

विकास शुरू हुआ

ली नौवीं शताब्दी से द बिगिनिंग के पहले मुद्रित संस्करण तक पांडुलिपियों में लगे हुए हैं, जो प्रिंटिंग प्रेस के आविष्कार के बाद 1482 में दिखाई दिया। उस समय के बाद से, ली, बिगिन कई यूरोपीय विश्वविद्यालयों में मानक पाठ्यपुस्तक बन गए हैं, और उनके चित्र एक शिक्षण उपकरण बन गए हैं। नतीजतन, "प्रिंट संस्कृति के युग में, हम पूरी तरह से अलग-अलग प्रकार के चित्र देख रहे हैं," ली कहते हैं, जो कम से कम पांच चिकित्सा, 32 प्राचीन यूनानी पांडुलिपियों, 92 अनुवादित पांडुलिपियों, और 32 अंक के नाच के संग्रह का डिजिटलीकरण करता है।

उन्नीसवीं शताब्दी तक, यूक्लिडियन ग्रंथ को कठोर और संरचित गणितीय प्रमाणों का एक मॉडल माना जाता था। समझ बनाने के लिए, इन सबूतों को चित्र बनाने की आवश्यकता होती है। "वे ब्लूप्रिंट के बिना बेकार हैं," कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के दार्शनिक जॉन मम्मा बताते हैं, यह तर्क देते हुए कि शुरुआत के ब्लूप्रिंट केवल एक दृश्य शिक्षण उपकरण नहीं हैं, वे स्वयं को साबित करने के लिए भी महत्वपूर्ण हैं (3)

19 वीं और 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, गणितज्ञों ने बिगिनिंग्स की श्रेष्ठता पर सवाल उठाया और आंशिक रूप से इसका कारण यूक्लिड के चित्र पर निर्भरता था। विशेष रूप से, जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट ने गणित के लिए अधिक औपचारिक दृष्टिकोण का आह्वान किया, केवल तर्क का उपयोग करते हुए और प्रमाणों के लिए ड्राइंग की आवश्यकता नहीं थी, जिसे उन्होंने गणित का एक प्रकार का "बैसाखी" माना।

जॉन मुम्मा कहते हैं, "उन्होंने यूक्लिड की" शुरुआत "को अस्वीकार कर दिया क्योंकि वे बहुत सख्त नहीं थे। "यह माना जाता था कि उन्होंने चित्र का सहज रूप से और बहुत शिथिल उपयोग किया है।"

उदाहरण के लिए, "शुरुआत" में एक ड्राइंग थी जो दो अन्य बिंदुओं के बीच एक रेखा पर एक बिंदु दिखाती थी। हिल्बर्ट को ड्राइंग के उपयोग के बिना "मध्यवर्तीता" नामक एक विश्लेषणात्मक विवरण की आवश्यकता थी। ब्रिटिश दार्शनिक और तर्कशास्त्री बर्ट्रेंड रसेल ने भी यूक्लिड के दृष्टिकोण की आलोचना की: उन्होंने ध्यान दिया कि कई प्राचीन यूनानी साक्ष्य कमजोर हैं, क्योंकि वे ड्राइंग से उनके तर्क की शक्ति लेते हैं, और विशेष रूप से तर्क से नहीं। रसेल ने 1902 (4) में लिखा था, '' सही आंकड़े भी खींचे गए आंकड़ों के अभाव में वैध बने रहने चाहिए, लेकिन कई यूक्लिडियन साक्ष्य इस परीक्षा को पास नहीं करते। ( शुरुआत में पहला सबूत दिखाता है कि दो इंटरसेक्टिंग सर्कल का उपयोग करके समद्विबाहु त्रिभुज का निर्माण कैसे किया जाता है। हालांकि, चौराहे बिंदु को ड्राइंग से उचित ठहराया गया है, इसका अस्तित्व कड़ाई से साबित नहीं हुआ है।)

हालांकि, कई आधुनिक गणित के इतिहासकार यूक्लिड के दृष्टिकोण को गणित देखने के एक अन्य तरीके के रूप में देखते हैं - और यह जरूरी नहीं है कि यह केवल कमजोर है क्योंकि यह चित्र का उपयोग करता है। इन विद्वानों का तर्क है कि ड्राइंग प्रमाण है, और यह कि गणित को समझने का कोई सार्वभौमिक तरीका नहीं है। मम्मा कहती हैं, "हम वास्तव में ड्राइंग में मौजूद जानकारी को सबूत के रूप में इस्तेमाल करके सब कुछ समझ सकते हैं।" "यह केवल एक दृष्टांत नहीं है।"

आधुनिक शोध ने 1990 के दशक के बाद से अधिकांश हिस्सों के लिए चित्रों पर ध्यान केंद्रित किया है, जब स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के रेविल नेट्ज़ और पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय के केनेथ मंडर्स ने कहा कि प्राचीन गणितीय चित्र एक अलग कोण से देखे जाने के लायक हैं। नेट्ज़ का कहना है कि अनुसंधान क्षेत्र दो पहलुओं पर केंद्रित है: सबसे अधिक चित्रमय प्रतिनिधित्व और कैसे लोग चित्र (5, 6) का उपयोग करते हैं। उनका तर्क है कि स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी से ली का काम अलग-अलग शताब्दियों से ड्राइंग की तुलना में इन दो पहलुओं को जोड़ता है, जिससे आप अध्ययन के क्षेत्र का विस्तार कर सकते हैं।

नेट्ज़ का कहना है कि ली के काम से इतिहासकारों को यह समझने में मदद मिलेगी कि कैसे "विज्ञान प्राचीन यूनानियों के सैद्धांतिक ज्यामिति से स्थानांतरित हो गया है ... वास्तविक दुनिया के लिए ज्यामिति का अधिक लागू और भौतिक उपयोग।"

द बिगिनिंग के बाद , ली यूक्लिड ऑप्टिक्स में ब्लूप्रिंट का विश्लेषण करना चाहते हैं, जो प्रकाश की भौतिकी पर एक प्रारंभिक कार्य है, और फिर टॉलेमी और आर्किमिडीज़ के काम पर ध्यान केंद्रित करते हैं। वह आशा करते हैं कि उनके शोधों से इतिहासकारों, दार्शनिकों, और गणितज्ञों की रुचि का विश्लेषण होगा कि कैसे लोग गहन गणितीय विचारों का अध्ययन करने के लिए चित्र (और उपयोग करना जारी रखें) का उपयोग करें। "हम ब्लूप्रिंट से छुटकारा पाने के लिए करते हैं," वे कहते हैं। “लेकिन कुछ विचारों को पाठ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उन्हें ग्राफिक रूप से प्रसारित किया जाना चाहिए। ”

संदर्भ सामग्री

1. सैटो के, सिडोली एन (2012) प्राचीन ग्रीक गणित में आरेख और तर्क: आधुनिक आलोचनात्मक संस्करणों में पांडुलिपि आरेखों की तुलना से सबक लिया गया है। प्राचीन परंपराओं में गणितीय प्रमाण का इतिहास, एड चेम्ला के (कैम्ब्रिज यूनिव प्रेस, कैम्ब्रिज, यूके), पीपी 135-162। Google विद्वान
2. हॉकिंग एस, एड (2002) ऑन द शोन्डर्स ऑफ गाइंट्स (रनिंग प्रेस, फिलाडेल्फिया)। Google विद्वान
3. मम्मा जे (2010) सबूत, चित्र और यूक्लिड। सिंथेस 175: 255–287। क्रॉसआरईफ़ वेब ऑफ़ साइंस Google विद्वान
4. रसेल बी (1902) यूक्लिड का शिक्षण। मठ गज 2: 165–167। Google विद्वान
5. नेट्ज़ आर (1998) ग्रीक गणितीय चित्र: उनका उपयोग और उनका अर्थ। गणित 18: 33–39 सीखें। Google विद्वान
6. मंडर्स के (1995) आरेख-आधारित ज्यामितीय अभ्यास। द फिलॉसॉफी ऑफ मैथमेटिकल प्रैक्टिस, एड मैनकोसु पी (ऑक्सफोर्ड यूनिव प्रेस, ऑक्सफोर्ड), पीपी 65-79। Google विद्वान