बेयस प्रमेय की एक सरल व्याख्या

बेयस के प्रमेय का वर्णन एक अलग लेख में किया गया है । यह एक अद्भुत काम है, लेकिन इसमें 15,000 शब्द हैं। कालिद आज़ाद के एक लेख का वही अनुवाद प्रमेय के बहुत सार को संक्षेप में बताता है।

• अनुसंधान और परीक्षण के परिणाम घटना नहीं हैं। कैंसर का निदान करने के लिए एक विधि है, लेकिन एक घटना स्वयं है - एक बीमारी की उपस्थिति। एल्गोरिथ्म यह जाँचता है कि क्या संदेश में स्पैम है, लेकिन ईवेंट (स्पैम वास्तव में मेल पर आया) को इसके कार्य के परिणाम से अलग माना जाना चाहिए।
  
• परीक्षण के परिणामों में त्रुटियां हैं। अक्सर हमारे शोध के तरीकों से पता चलता है कि क्या नहीं है (झूठी सकारात्मक), और क्या (गलत नकारात्मक) प्रकट नहीं करते हैं।
  
• परीक्षणों की सहायता से, हम एक निश्चित परिणाम की संभावनाओं को प्राप्त करते हैं। बहुत बार हम अपने दम पर परीक्षा परिणामों की जांच करते हैं और विधि की त्रुटि को ध्यान में नहीं रखते हैं।
  
• गलत सकारात्मक परिणाम तस्वीर को विकृत करते हैं। मान लीजिए कि आप कुछ बहुत ही दुर्लभ घटना (1 प्रति 1,000,000 मामला) की पहचान करने की कोशिश कर रहे हैं। यहां तक ​​कि अगर आपका तरीका सही है, तो सबसे अधिक संभावना है कि इसका सकारात्मक परिणाम वास्तव में गलत सकारात्मक होगा।
  
• प्राकृतिक संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है। कहने के लिए बेहतर है: 10,000 में से 100, 1% नहीं। इस दृष्टिकोण के साथ, कम त्रुटियां होंगी, खासकर जब गुणा करना। मान लीजिए कि हमें इस 1% के साथ काम करना जारी रखना है। प्रतिशत में तर्क अनाड़ी है: "80% मामलों में, 1% ने सकारात्मक परिणाम प्राप्त किया।" जानकारी इस प्रकार बहुत आसान है: "100 में से 80 मामलों में, एक सकारात्मक परिणाम देखा गया था।"
  
• विज्ञान में भी, कोई भी तथ्य सिर्फ एक विधि को लागू करने का परिणाम है। एक दार्शनिक दृष्टिकोण से, एक वैज्ञानिक प्रयोग एक संभावित त्रुटि के साथ एक परीक्षा है। एक विधि है जो एक रासायनिक पदार्थ या किसी भी घटना को प्रकट करती है, और स्वयं एक घटना है - इस घटना की उपस्थिति। हमारे परीक्षण के तरीके एक गलत परिणाम दे सकते हैं, और किसी भी उपकरण में एक अंतर्निहित त्रुटि है।
  

बेयस की प्रमेय परीक्षा परिणामों को संभाव्यता घटनाओं में बदल देती है।

• अगर हमें किसी घटना की संभावना और झूठे सकारात्मक और गलत नकारात्मक परिणामों की संभावना पता है, तो हम माप त्रुटियों को ठीक कर सकते हैं।
  
• प्रमेय एक घटना की संभावना को एक निश्चित परिणाम की संभावना से संबंधित करता है। हम Pr (A | X) को सहसंबंधित कर सकते हैं: यदि घटना X दिया गया है, तो घटना A की संभावना, और Pr (X | A): यदि परिणाम A दिया गया है, तो परिणाम X की संभावना।
  

हम विधि को समझेंगे

इस निबंध की शुरुआत में संदर्भित लेख स्तन कैंसर का पता लगाने वाले नैदानिक ​​विधि (मैमोग्राम) की जांच करता है। इस विधि पर विस्तार से विचार करें।

• सभी महिलाओं में से 1% को स्तन कैंसर है (और, तदनुसार, 99%)
  
• मैमोग्राम के 80% रोग का पता तब चलता है जब यह वास्तव में होता है (और, तदनुसार, 20% का पता नहीं चलता है)
  
• 9.6% अध्ययन कैंसर का पता लगाते हैं जब वह (और, तदनुसार, 90.4% सही ढंग से नकारात्मक परिणाम निर्धारित करता है)
  

अब इस तरह से एक तालिका बनाते हैं:

	बीमार हो जाओ (1%)	बीमार मत हो (99%)
सकारात्मक विधि परिणाम	80%	9.6%
नकारात्मक विधि परिणाम	20%	90,4%

इस डेटा के साथ कैसे काम करें?

• 1% महिलाओं को स्तन कैंसर है
  
• यदि रोगी को कोई बीमारी है, तो पहले कॉलम में देखें: 80% संभावना है कि विधि ने सही परिणाम दिया, और 20% संभावना है कि अध्ययन का परिणाम गलत है (गलत नकारात्मक)
  
• यदि रोगी को एक बीमारी का निदान नहीं किया गया है, तो दूसरे कॉलम को देखें। 9.6% की संभावना के साथ, यह कहा जा सकता है कि एक सकारात्मक परीक्षा परिणाम गलत है, और 90.4% संभावना के साथ यह कहा जा सकता है कि रोगी वास्तव में स्वस्थ है।
  

विधि कितनी सही है?

अब हम सकारात्मक परीक्षा परिणाम का विश्लेषण करेंगे। क्या संभावना है कि एक व्यक्ति वास्तव में बीमार है: 80%, 90%, 1%?

आइए सोचते हैं:

• एक सकारात्मक परिणाम है। हम सभी संभावित परिणामों का विश्लेषण करेंगे: प्राप्त परिणाम या तो सच सकारात्मक या गलत सकारात्मक हो सकता है।
  
• एक सच्चे सकारात्मक परिणाम की संभावना है: बीमार होने की संभावना, इस संभावना से गुणा कि परीक्षण वास्तव में बीमारी का पता चला। 1% * 80% = .008
  
• झूठे-सकारात्मक परिणाम की संभावना है: संभावना है कि कोई बीमारी नहीं है, इस संभावना से गुणा कि विधि ने बीमारी का गलत तरीके से पता लगाया। 99% * 9.6% = .09504
  

अब तालिका इस तरह दिखती है:

	बीमार हो जाओ (1%)	बीमार मत हो (99%)
सकारात्मक विधि परिणाम	सही सकारात्मक: 1% * 80% = .008	गलत सकारात्मक: 99% * 9.6% = .09504
नकारात्मक विधि परिणाम	गलत नकारात्मक: 1% * 20% = .002	सच नकारात्मक: 99% * 90.4% = .89496

सकारात्मक मैमोग्राम प्राप्त होने पर व्यक्ति वास्तव में बीमार होने की संभावना क्या है? किसी घटना की संभावना किसी घटना के संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात में सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या से होती है।

घटना की संभावना = घटना के परिणाम / सभी संभावित परिणाम

एक सच्चे सकारात्मक परिणाम की संभावना है ।008। सकारात्मक परिणाम की संभावना एक सच्चे सकारात्मक परिणाम की संभावना है + एक झूठे सकारात्मक की संभावना।

(.008 + 0.09504 = .10304)

तो, अध्ययन के सकारात्मक परिणाम के साथ एक बीमारी की संभावना की गणना इस प्रकार की जाती है: .008 / .10304 = 0.0776। यह मान लगभग 7.8% है।

यही है, एक मेम्मोग्राम के सकारात्मक परिणाम का मतलब केवल इतना है कि बीमारी होने की संभावना 7.8% है, और न कि 80% (बाद का मूल्य केवल विधि की अनुमानित सटीकता है)। सबसे पहले, ऐसा परिणाम असंगत और अजीब लगता है, लेकिन इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए: विधि 9.6% मामलों में एक गलत सकारात्मक परिणाम देती है (और यह काफी है), इसलिए नमूने में कई गलत सकारात्मक परिणाम होंगे। एक दुर्लभ बीमारी के लिए, अधिकांश सकारात्मक परिणाम झूठे सकारात्मक होंगे।

आइए मेज पर जाएं और प्रमेय के अर्थ को सहज रूप से समझने की कोशिश करें। यदि हमारे पास 100 लोग हैं, तो उनमें से केवल एक बीमारी (1%) है। इस व्यक्ति में 80% संभावना है कि विधि एक सकारात्मक परिणाम देगी। शेष 99% में से, 10% में सकारात्मक परिणाम होंगे, जो हमें देता है, मोटे तौर पर बोलता है, 100 में से 10 झूठे-सकारात्मक परिणाम। यदि हम सभी सकारात्मक परिणामों पर विचार करते हैं, तो 11 में से केवल 1 सही होगा। इस प्रकार, यदि एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है, तो रोग की संभावना 1/11 है।

ऊपर, हमने गणना की कि यह संभावना 7.8% है, अर्थात संख्या वास्तव में 1/13 के करीब है, लेकिन यहां, सरल तर्क का उपयोग करते हुए, हम कैलकुलेटर के बिना एक मोटा अनुमान लगाने में सक्षम थे।

बेयस प्रमेय

अब हम बेयस प्रमेय नामक एक सूत्र के साथ अपने विचारों के पाठ्यक्रम का वर्णन करते हैं। यह प्रमेय हमें झूठी सकारात्मक परिणामों द्वारा शुरू की गई विकृति के अनुसार अध्ययन के परिणामों को सही करने की अनुमति देता है:

$$

• Pr (A | X) = सकारात्मक परिणाम के साथ रोग (A) की संभावना (X)। यह वही है जो हम जानना चाहते हैं: सकारात्मक परिणाम की स्थिति में घटना की संभावना क्या है। हमारे उदाहरण में, यह 7.8% है।
  
• Pr (X | A) = जब रोगी वास्तव में बीमार हो तो सकारात्मक परिणाम (X) की संभावना। हमारे मामले में, यह वास्तविक सकारात्मक मूल्य है - 80%
  
• पीआर (ए) = बीमार होने की संभावना (1%)
  
• पीआर (ए नहीं) = बीमार नहीं होने की संभावना (99%)
  
• Pr (X | A नहीं है) = रोग नहीं होने पर अध्ययन के लिए सकारात्मक परिणाम की संभावना। यह मान गलत सकारात्मक है - 9.6%।
  

हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: किसी घटना की संभावना प्राप्त करने के लिए, आपको सभी सकारात्मक परिणामों की संभावना द्वारा एक सच्चे सकारात्मक परिणाम की संभावना को विभाजित करने की आवश्यकता है। अब हम समीकरण को सरल बना सकते हैं:

$$

$$Pr (A | X) = \ frac {Pr (X | A) Pr (A)} {Pr (X) 2$$

Pr (X) सामान्यीकरण स्थिर है। उसने हमें अच्छी तरह से सेवा दी: उसके बिना, एक सकारात्मक परीक्षा परिणाम हमें एक घटना का 80% मौका देगा।
पीआर (एक्स) किसी भी सकारात्मक परिणाम की संभावना है, चाहे वह रोगियों के अध्ययन में वास्तविक सकारात्मक परिणाम हो (1%) या स्वस्थ लोगों (99%) के अध्ययन में गलत सकारात्मक।

हमारे उदाहरण में, Pr (X) एक बड़ी संख्या है, क्योंकि झूठे सकारात्मक परिणामों की संभावना अधिक है।

Pr (X) 7.8% का परिणाम देता है, जो पहली नज़र में सामान्य ज्ञान के विपरीत लगता है।

प्रमेय का अर्थ है

हम चीजों की वास्तविक स्थिति का पता लगाने के लिए परीक्षण करते हैं। यदि हमारे परीक्षण सही और सटीक हैं, तो परीक्षणों की संभावनाएँ और घटनाओं की संभावनाएँ मेल खाती हैं। सभी सकारात्मक परिणाम वास्तव में सकारात्मक होंगे और नकारात्मक नकारात्मक होंगे। लेकिन हम वास्तविक दुनिया में रहते हैं। और हमारी दुनिया में, परीक्षण गलत परिणाम देते हैं। बेयस प्रमेय विकृत परिणामों को ध्यान में रखता है, त्रुटियों को ठीक करता है, पूरी आबादी को फिर से बनाता है और एक सच्चे सकारात्मक परिणाम की संभावना पाता है।

स्पैम फ़िल्टर

बायस प्रमेय को स्पैम फिल्टर में सफलतापूर्वक लागू किया जाता है।

हमारे पास है:

• इवेंट A - स्पैम ईमेल में
  
• परीक्षा परिणाम - कुछ शब्दों के पत्र में सामग्री:
  

$$

$$पीआर (स्पैम | शब्द) = \ frac {पीआर (शब्द | स्पैम) पीआर (स्पैम)} {पीआर (शब्द)}$$

फ़िल्टर परीक्षण परिणामों (पत्र में कुछ शब्दों की सामग्री) को ध्यान में रखता है और भविष्यवाणी करता है कि क्या पत्र में स्पैम है। हर कोई समझता है कि, उदाहरण के लिए, "वियाग्रा" शब्द नियमित अक्षरों की तुलना में स्पैम में अधिक सामान्य है।

ब्लैकलिस्ट स्पैम फ़िल्टर की अपनी कमियां हैं - यह अक्सर झूठे सकारात्मक परिणाम पैदा करता है।

बायेसियन प्रमेय-आधारित स्पैम फ़िल्टर एक संतुलित और उचित दृष्टिकोण का उपयोग करता है: यह संभावनाओं के साथ काम करता है। जब हम एक पत्र में शब्दों का विश्लेषण करते हैं, तो हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि पत्र स्पैम है, और "हाँ / नहीं" के प्रकार पर निर्णय नहीं करें। यदि संदेश में स्पैम होने की संभावना 99% है, तो संदेश वास्तव में है।

समय के साथ, फ़िल्टर एक बड़े नमूने पर ट्रेन करता है और संभावनाओं को अपडेट करता है। तो, बायेसियन प्रमेय पर आधारित उन्नत फ़िल्टर एक पंक्ति में कई शब्दों की जाँच करते हैं और उन्हें डेटा के रूप में उपयोग करते हैं।

अतिरिक्त स्रोत:

• बेय्स प्रमेय विकिपीडिया पर
• कोडिंग हॉरर पर चर्चा
• बेयस प्रमेय पर मात्रा निबंध