शुद्ध गणित और भौतिकी का गुप्त संबंध सामने आया है

एक उत्कृष्ट गणितज्ञ ने इस बात का खुलासा किया है कि सहस्राब्दी पुरानी गणितीय समस्याओं के अध्ययन में उनकी सफलताएँ भौतिकी से ली गई अवधारणाओं से कैसे संबंधित हैं।

मिग्नॉन किम

गणित अजीब संख्या प्रणालियों से भरा है जो ज्यादातर लोगों ने कभी नहीं सुना है। उनमें से कुछ कल्पना करना भी मुश्किल होगा। लेकिन तर्कसंगत संख्याएं सभी के लिए परिचित हैं। ये वस्तुओं और अंशों की गिनती के लिए संख्याएं हैं - प्राथमिक विद्यालय से हमारे लिए ज्ञात सभी संख्याएँ। लेकिन गणित में, कभी-कभी सबसे सरल चीजों को समझना सबसे कठिन होता है। वे सरल हैं, एक चिकनी दीवार की तरह, जिसमें कोई दरार और प्रोट्रूशियंस या अन्य स्पष्ट गुण नहीं हैं जिन्हें आप पकड़ सकते हैं।

ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ मिनियन किम विशेष रूप से इस सवाल में रुचि रखते हैं कि तर्कसंगत संख्याएं एक निश्चित प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए उपयुक्त हैं। इस समस्या ने सहस्राब्दी के लिए संख्या सिद्धांत में विशेषज्ञों को प्रेरित किया है। और उन्होंने इसके समाधान की दिशा में कोई प्रगति नहीं की। जब किसी प्रश्न का इतने लंबे समय तक और बिना उत्तर के अध्ययन किया गया है, तो यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि इसमें आगे बढ़ने का एकमात्र तरीका मौलिक रूप से नए विचार को सामने रखना है। यह वही है जो किम ने किया था।

“बहुत अधिक तकनीक मौजूद नहीं है, हालांकि हम पिछले 3000 वर्षों से इस पर काम कर रहे हैं। इसलिए जब कोई ऐसा करने का वास्तव में नया तरीका प्रस्तुत करता है, तो यह बहुत रुचि का होता है - और मिग्नन ने बस यही किया, ”मैडिसन में विस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ जॉर्डन एलेनबर्ग ने कहा।

पिछले एक दशक में, किम ने तर्कसंगत संख्याओं के प्रतीत होने वाली अव्यवस्थित दुनिया में पैटर्न खोजने का एक बिल्कुल नया तरीका बताया है। उन्होंने लेखों और सम्मेलनों में इस विधि का वर्णन किया, और इसे उन छात्रों को दिया जो अब अपने दम पर इस काम को जारी रखे हुए हैं। लेकिन उसने हमेशा कुछ बचाया। उनकी दृष्टि, जिसने उनके विचारों को जीवन दिया, वह संख्याओं की विशुद्ध दुनिया पर आधारित नहीं थी, बल्कि भौतिकी से उधार ली गई अवधारणाओं पर आधारित थी। किम के लिए, तर्कसंगत निर्णय कुछ हद तक प्रकाश के प्रक्षेपवक्र की याद दिलाते हैं।


एक गणितीय वस्तु, एक तीन-छेद वाला टोरस, ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में किम के बोर्ड को सजता है।

यदि यह कनेक्शन शानदार लगता है, तो यह गणितज्ञों के लिए भी है। इसलिए, किम ने लंबे समय तक अपने विवरण का खुलासा नहीं किया। "मैं इसे छुपाता हूं क्योंकि कई सालों से मैं भौतिकी के संबंध से भ्रमित था," वे कहते हैं। "संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञ बहुत व्यावहारिक लोग हैं, और भौतिकी का प्रभाव कभी-कभी उन्हें गणित पर संदेह करता है।"

लेकिन अब किम का कहना है कि वह अपना विज़न साझा करने के लिए तैयार है। "मुझे लगता है कि बदलाव सिर्फ उम्र बढ़ने का एक लक्षण है!" - किम ने 53 साल की उम्र में पहला पत्र लिखा जिसमें हमने इस कहानी को लिखने के लिए आदान-प्रदान किया।

उन्होंने हाल ही में एक सम्मेलन आयोजित किया जिसमें संख्या सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत के विशेषज्ञों को एक साथ लाया गया। उन्होंने गणितीय समुदाय के लिए अपनी प्रेरणा का वर्णन करने के लिए लेखों के ड्राफ्ट को भी छोड़ दिया, न कि भौतिक दुनिया के साथ इस तरह के प्रत्यक्ष उपमाओं का उपयोग करने वाले संख्याओं के बारे में सोचने के लिए।

केवल एक बाधा बनी हुई है - गणित में भौतिकी की सादृश्यता का अंतिम भाग, जिसे किम को अभी तक काम करना बाकी है। उन्हें उम्मीद है कि दूसरों को अपनी दृष्टि, विशेष रूप से भौतिकविदों को साझा करने के लिए आमंत्रित करने से, उन्हें काम पूरा करने के लिए आवश्यक सहायता प्राप्त होगी।

प्राचीन पहेली

समीकरणों के तर्कसंगत समाधान मानव मन को सक्रिय रूप से आकर्षित करते हैं। वे संतुष्टि लाते हैं, पहेली के टुकड़ों से जो मिलता है उसी के अनुरूप। इसलिए, वे सबसे प्रसिद्ध गणितीय परिकल्पनाओं के नायक हैं।

तर्कसंगत संख्याओं में पूर्णांक और कोई संख्या शामिल होती है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 1, -4 या 99/100। गणितज्ञ विशेष रूप से तर्कसंगत संख्याओं में रुचि रखते हैं जो डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करते हैं - पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद समीकरण, उदाहरण के लिए, x ² + y ² = 1. उनका नाम गणितज्ञ डायोफैंटस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 3 वीं शताब्दी में एलेक्जेंड्रिया में उनका अध्ययन किया था A.D.

सामान्य मामले में तर्कसंगत समाधान खोजना मुश्किल है, क्योंकि वे किसी भी ज्यामितीय नियमितता का पालन नहीं करते हैं। समीकरण x ² + y ² = 1 को लें। वास्तविक संख्या में इसके समाधान एक वृत्त बनाते हैं। सर्कल के उन सभी बिंदुओं को हटा दें जिन्हें अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और केवल तर्कसंगत निर्णय ही रहेंगे जो इस तरह के एक स्वच्छ वस्तु का निर्माण नहीं करते हैं। परिधि के चारों ओर परिमेय समाधान बेतरतीब ढंग से बिखरे हुए दिखते हैं।



“जिस शर्त पर तर्कसंगत निर्देशांक रखने के लिए बिंदु का पालन करना चाहिए वह बिल्कुल भी ज्यामितीय नहीं है। किम का कहना है कि तर्कसंगत बिंदुओं को संतुष्ट करना एक समीकरण लिखना असंभव है।

यह अक्सर एक तर्कसंगत समाधान, या यहां तक ​​कि कई खोजने के लिए काफी सरल है। लेकिन गणितज्ञ जिन्हें पसंद नहीं करते हैं वे सभी तर्कसंगत समाधान खोजने में अधिक रुचि रखते हैं। और यह बहुत अधिक जटिल है। यह इतना मुश्किल है कि, तर्कसंगत निर्णयों की संख्या के बारे में एक मामूली बयान का प्रमाण भी गणितीय प्रकाश के लिए पारित करने के लिए पर्याप्त है। 1986 में, गर्ड फाल्टिंग ने फील्ड्स पुरस्कार जीता , जो मुख्य रूप से मोर्डेल परिकल्पना को साबित करने के लिए सर्वोच्च गणितीय पुरस्कार था , जो कहता है कि डायोफेंटाइन समीकरणों के कुछ वर्गों में केवल तर्कसंगत समाधानों की एक सीमित संख्या होती है।

फाल्टिंग का प्रमाण संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण मोड़ था। और यह भी कि गणितज्ञ "अप्रभावी सबूत" को क्या कहते हैं, क्योंकि यह तर्कसंगत समाधानों की सटीक संख्या नहीं देता था और उन्हें नहीं मिला था। तब से, गणितज्ञ इन अगले चरणों को करने के तरीकों की तलाश कर रहे हैं। एक नियमित समीकरण ग्राफ पर तर्कसंगत बिंदु यादृच्छिक लगते हैं। गणितज्ञों को उम्मीद है कि जिस संदर्भ में वे किसी समस्या पर विचार करते हैं, उसे बदलकर, इन बिंदुओं को एक सार्थक संयोजन की तरह बनाया जा सकता है जिसे कुछ सटीक तरीके से वर्णित किया जा सकता है। समस्या यह है कि गणित के जाने-माने क्षेत्र ऐसा संदर्भ प्रदान नहीं करते हैं।


ऑक्सफोर्ड में अपने कार्यालय में किम

"तर्कसंगत बिंदुओं से प्रभावी परिणाम प्राप्त करने के लिए, स्पष्ट रूप से एक नए विचार की आवश्यकता है," एलेनबर्ग ने कहा।

अब इस तरह के विचार की प्रकृति के बारे में दो मुख्य धारणाएं हैं। एक जापानी गणितज्ञ शिनिची मोटिज़ुकी से आता है, जिन्होंने 2012 में क्योटो विश्वविद्यालय में अपने संकाय के पृष्ठ पर कई सौ पृष्ठों का एक जटिल और अभिनव गणितीय कार्य प्रकाशित किया था। पांच साल बाद, यह काम काफी हद तक समझ से बाहर है। किम से एक और नया विचार आया, जिसने एक विस्तारित संख्यात्मक संदर्भ में तर्कसंगत संख्याओं की कल्पना करने की कोशिश की, जिसमें उनके छिपे हुए पैटर्न दिखाई देने लगते हैं।

सममित समाधान

गणितज्ञ अक्सर कहते हैं कि एक वस्तु जितनी अधिक सममित होती है, उसका अध्ययन करना उतना ही आसान होता है। इसलिए, वे उन स्थितियों की तुलना में अधिक समरूपता वाली स्थितियों में डायोफैंटीन समीकरणों के अध्ययन को रखना चाहेंगे जहां यह समस्या स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। यदि यह सफल होता है, तो वे तर्कसंगत बिंदुओं को ट्रैक करने के लिए नए-नए समरूपता का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

यह समझने के लिए कि समरूपता एक गणितज्ञ को किसी समस्या को नेविगेट करने में कैसे मदद करती है, एक चक्र की कल्पना करें। शायद आपका लक्ष्य सर्कल के सभी बिंदुओं की पहचान करना है। समरूपता बहुत मदद करती है, क्योंकि यह एक मानचित्र बनाता है जो आपको उन बिंदुओं से स्थानांतरित करने की अनुमति देता है जिन्हें आप जानते हैं कि अभी भी खोजा जाना है।

कल्पना कीजिए कि आपने एक सर्कल के नीचे सभी तर्कसंगत बिंदुओं को पाया है। चूंकि सर्कल में दर्पण समरूपता है, इसलिए बिंदुओं को ऊपर की ओर प्रतिबिंबित किया जा सकता है (सभी y निर्देशांक पर संकेत बदलते हुए) और अचानक शीर्ष से सभी बिंदुओं को प्राप्त करें। एक सर्कल में आम तौर पर इतनी समृद्ध समरूपता होती है कि उस पर सभी बिंदुओं की खोज करने के लिए, आपको केवल एक बिंदु की स्थिति का पता लगाना होगा, और फिर इसे सर्कल की समरूपता के बारे में ज्ञान के साथ संयोजित करना होगा: आपको केवल सर्कल के अनंत घूर्णी समरूपता को प्रारंभिक बिंदु पर लागू करने की आवश्यकता है।

लेकिन अगर आप जिस ज्यामितीय वस्तु के साथ काम करते हैं वह बहुत कम सही होती है, जैसे कि, उदाहरण के लिए, एक बेतरतीब ढंग से लहराता हुआ रास्ता, तो आपको प्रत्येक बिंदु को अलग-अलग निर्धारित करने के लिए बहुत काम करना होगा - आपके पास सममित संबंध नहीं होंगे जो आपको कुछ बिंदुओं को चिह्नित करने की अनुमति देते हैं प्रसिद्ध मदद करें।

संख्यात्मक सेट में समरूपताएं भी हो सकती हैं, और एक सेट में अधिक समरूपता, समझने में जितना आसान होगा - आप अज्ञात मूल्यों का पता लगाने के लिए सममित संबंधों को लागू कर सकते हैं। समरूपता वाले कुछ प्रकार के नंबर एक "समूह" बनाते हैं, और गणितज्ञ समूह के गुणों का उपयोग इसमें निहित संख्याओं को समझने के लिए करते हैं।

समीकरण के कई तर्कसंगत समाधानों में समरूपता नहीं होती है और एक समूह नहीं बनता है, यही वजह है कि गणितज्ञों को एक समय में समाधान खोजने की कोशिश में एक अवास्तविक कार्य का सामना करना पड़ता है।

1940 के दशक से, गणितज्ञों ने अधिक सममित स्थितियों में डायोफैंटाइन समीकरणों की व्यवस्था के लिए तरीकों का अध्ययन करना शुरू किया। गणितज्ञ क्लाउड चाओबूट ने पाया कि उनके द्वारा बनाए गए बड़े ज्यामितीय स्थान के अंदर ( पी-एडिक संख्याओं की संख्या के एक विस्तारित ब्रह्मांड का उपयोग करके), तर्कसंगत संख्याएं अपनी सममित उप-आकृति बनाती हैं। उन्होंने इस उप-स्थान को लिया और इसे डायोफैंटाइन समीकरण के एक भूखंड के साथ जोड़ा । उनके चौराहे के बिंदु समीकरण के तर्कसंगत समाधान निकले।

1980 के दशक में, गणितज्ञ रॉबर्ट कोलमैन ने चोबोटी के काम को निर्दिष्ट किया। अगले कुछ दशकों में, कोलमैन-चोबोटी दृष्टिकोण सबसे अच्छा गणितीय उपकरण था गणितज्ञों को डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए तर्कसंगत समाधान खोजना था। लेकिन यह केवल तभी काम करता है जब समीकरण का ग्राफ एक निश्चित अनुपात में एक बड़े स्थान के आकार के साथ संबंध रखता है। जब यह टूट जाता है, तो समीकरण वक्र और तर्कसंगत संख्याओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं की स्थिति को सटीक रूप से ढूंढना मुश्किल हो जाता है।

"यदि आपका वक्र एक ऐसे वातावरण में है जहां बहुत अधिक तर्कसंगत बिंदु हैं, तो वे जमा होने लगते हैं और आपके लिए यह कठिन है कि कौन सा वक्र वक्र है," किरण केडलाया, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, सैन डिएगो के गणितज्ञ ने कहा।

और फिर किम प्रवेश करता है। चोबोटी के काम का विस्तार करने के लिए, वह एक और भी बड़ा स्थान ढूंढना चाहता था जिसमें डायोफैंटाइन समीकरणों का अध्ययन किया जा सके - एक ऐसा स्थान जहाँ तर्कसंगत संख्याएँ अधिक विखंडित हैं, जो हमें बड़ी संख्या में डायोफैंटीन समीकरणों वाले चौराहों के बिंदुओं का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

रिक्त स्थान

यदि आपको एक बड़ी जगह और कुछ संकेत चाहिए कि आप अपने आप को उसमें उन्मुख करने के लिए समरूपता का उपयोग कैसे कर सकते हैं, तो भौतिकी आपको सूट करेगी।

सामान्य मामले में, गणितीय अर्थों में अंतरिक्ष एक ज्यामितीय या टोपोलॉजिकल संरचना के साथ किसी भी बिंदु पर सेट है। एक हजार बिंदु इच्छाशक्ति द्वारा बिखरे हुए हैं या नहीं, अंतरिक्ष नहीं बनाते हैं - वे एक संरचना द्वारा एक साथ जुड़े नहीं हैं। लेकिन क्षेत्र, जो अंकों का एक जुड़ा हुआ संगठन है, पहले से ही स्थान है। एक टोरस, या दो-आयामी विमान, या एक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय की तरह, जहां हम रहते हैं।

इन के अलावा, वहाँ और भी अधिक विदेशी रिक्त स्थान हैं जिन्हें "रिक्त स्थान के रिक्त स्थान" के रूप में कल्पना की जा सकती है। सबसे सरल उदाहरण: मान लीजिए कि आपके पास एक त्रिकोण है - और यह स्थान है। अब सभी संभव त्रिकोणों के स्थान की कल्पना करें। इसमें प्रत्येक बिंदु एक निश्चित त्रिकोण का प्रतिनिधित्व करता है, और इस बिंदु के निर्देशांक त्रिकोण के कोण द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

ऐसा विचार अक्सर भौतिकी में उपयोगी होता है। सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत के ढांचे के भीतर, अंतरिक्ष और समय लगातार विकसित हो रहे हैं, और भौतिक विज्ञानी अंतरिक्ष और समय के प्रत्येक विन्यास को सभी अंतरिक्ष-समय के विन्यास के स्थान में एक बिंदु के रूप में मानते हैं। रिक्त स्थान के क्षेत्र उस क्षेत्र में भी दिखाई देते हैं जहां भौतिक विज्ञानी गेज इनवेरियन कहते हैं, जो भौतिक स्थान पर सुपरिम्पोज्ड फ़ील्ड के साथ काम करते हैं। ये क्षेत्र बताते हैं कि कैसे अंतरिक्ष में जाने पर विद्युत चुंबकत्व और गुरुत्वाकर्षण जैसे परिवर्तन होते हैं। कोई कल्पना कर सकता है कि अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु पर इन क्षेत्रों का विन्यास थोड़ा अलग है - और ये सभी अलग-अलग विन्यास उच्च आयाम के "सभी क्षेत्रों के अंतरिक्ष" में अंक बनाते हैं।

भौतिकी से खेतों का यह स्थान किम के सिद्धांत के प्रस्ताव के करीब एक सादृश्य है। इसे समझने के लिए, प्रकाश की एक किरण की कल्पना करें। भौतिकविद् उच्च आयाम के क्षेत्रों के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रकाश का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस अंतरिक्ष में, प्रकाश एक ऐसे मार्ग का अनुसरण करेगा, जो कम से कम प्रतिरोध के सिद्धांत का पालन करता है और बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने के लिए आवश्यक समय की मात्रा को कम करता है। यह सिद्धांत बताता है कि प्रकाश एक पदार्थ से दूसरे में जाने पर क्यों झुकता है - एक घुमावदार मार्ग समय को कम करता है लागत।

भौतिक विज्ञान में दिखाई देने वाले रिक्त स्थान के बड़े समरूपता में अतिरिक्त समरूपताएं होती हैं जो किसी भी रिक्त स्थान में मौजूद नहीं होती हैं जो वे प्रतिनिधित्व करते हैं। ये समरूपताएं कुछ बिंदुओं पर ध्यान आकर्षित करती हैं, उदाहरण के लिए, समय को कम करने वाले मार्ग पर ध्यान केंद्रित करना। एक ही समरूपता, एक अलग तरीके से और एक अलग संदर्भ में निर्मित, अन्य बिंदुओं पर जोर दिया जा सकता है - उदाहरण के लिए, समीकरणों के तर्कसंगत समाधान के अनुरूप बिंदुओं पर।

भौतिकी के साथ समरूपता को जोड़ना

संख्या सिद्धांत में, ऐसे कण नहीं हैं जिन्हें ट्रैक किया जा सकता है, लेकिन इसमें अंतरिक्ष-समय की तरह कुछ है, और यह पथों को आकर्षित करने और सभी संभव पथों का स्थान बनाने का एक तरीका प्रदान करता है। इस बुनियादी पत्राचार से, किम ने ऐसी योजनाएँ विकसित कीं जिनमें "प्रकाश के प्रक्षेपवक्र को खोजने और डायोफैंटाइन समीकरणों के तर्कसंगत समाधान खोजने की समस्या एक ही समस्या के दो चेहरे हैं," जैसा कि उन्होंने पिछले हफ्ते हीडलबर्ग में गणितीय भौतिकी पर एक सम्मेलन में समझाया था।

डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान रिक्त स्थान बनाते हैं - ये समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र हैं। ये वक्र एक वृत्त की तरह एक आयामी, या बहुआयामी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप डायोफैंटाइन समीकरण x ⁴ + y ⁴ = 1 का एक जटिल समाधान बनाते हैं, तो आपको तीन छेदों के साथ एक टोरस मिलता है। इस तरह के टोरस पर तर्कसंगत बिंदुओं में एक ज्यामितीय संरचना नहीं होती है - यही कारण है कि उन्हें ढूंढना मुश्किल है - लेकिन उन्हें ऐसे संरचना वाले बहुपरत स्थानों में अंकों के साथ तुलना की जा सकती है।



किम अंतरिक्ष के इस बहुआयामी स्थान का निर्माण करता है, उन तरीकों की कल्पना करता है जिनमें बंद वक्रों को टोरस (या अंतरिक्ष में जो समीकरण को परिभाषित करता है) पर खींचा जा सकता है। घटता ड्राइंग की प्रक्रिया इस तरह दिखती है। पहले आपको शुरुआती बिंदु का चयन करने की आवश्यकता है, फिर इस बिंदु से किसी अन्य पर एक लूप खींचें, और पहले पर लौटें। अब इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, धार के अन्य सभी बिंदुओं के साथ आधार बिंदु को जोड़ने वाले रास्तों को ड्रा करें। आपको बेस पॉइंट पर शुरू और समाप्त होने वाले सभी संभावित लूपों की मोटाई मिल जाएगी। लूप्स का यह सेट गणित का एक केंद्रीय रूप से महत्वपूर्ण वस्तु है जिसे अंतरिक्ष का मूल समूह कहा जाता है।

टोरस के किसी भी बिंदु को शुरुआती बिंदु के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। प्रत्येक बिंदु के पास इससे निकलने वाले रास्तों का एक अनूठा घना होगा। इनमें से प्रत्येक पथ संग्रह को पथ के सभी सेटों के एक बहुआयामी "बिंदु के रूप में" दर्शाया जा सकता है (सभी संभावित त्रिकोणों के स्थान के रूप में)। अंतरिक्ष का यह स्थान ज्यामितीय रूप से बहुत कुछ वैसा ही है जैसा कि भौतिक विज्ञानी गेज इनवेरियन के सिद्धांत में बनाते हैं: जिस तरह से आप एक बिंदु से दूसरे स्थान पर जाते हैं, उसी तरह से पथ के सेट बदलते हैं, जब आप एक बिंदु से बदलते हैं तो फ़ील्ड कैसे बदलते हैं? वास्तविक अंतरिक्ष में एक और। अंतरिक्ष के इस स्थान में अतिरिक्त समरूपताएं हैं जो कि टोरस पर ही नहीं हैं। और यद्यपि एक टोरस पर तर्कसंगत बिंदुओं में समरूपता नहीं होती है, अगर हम सभी रास्तों के अंतरिक्ष में जाते हैं, तो हम तर्कसंगत संख्याओं से जुड़े बिंदुओं के बीच समरूपता पा सकते हैं। आपको ऐसे समरूपताएं मिलती हैं जो पहले नहीं दिखाई देती थीं।

"मैं कभी-कभी कहता हूं कि" छिपे हुए अंकगणित समरूपता "इन रास्तों में एन्कोडेड है, जो कि गेज इनवेरियन के सिद्धांत के आंतरिक समरूपता के समान है," किम ने कहा।

चोबोटी की तरह, किम ने उनके द्वारा बनाए गए बड़े स्थान पर चौराहे के बिंदुओं की खोज करके तर्कसंगत समाधान खोजे। वह चौराहे के बिंदुओं पर आने के लिए इस स्थान की समरूपता का उपयोग करता है। वह एक समीकरण विकसित करने की उम्मीद करता है जो इन बिंदुओं को सटीक रूप से परिभाषित करता है।

भौतिक संदर्भ में, कोई भी सभी संभावित तरीकों की कल्पना कर सकता है जो प्रकाश की किरण जा सकते हैं। यह आपका "सभी रास्तों का स्थान है।" भौतिकविदों को इस स्थान में समय को कम करने वाले रास्तों के अनुसार बिंदुओं में रुचि है। किम का मानना ​​है कि तर्कसंगत बिंदुओं से निकलने वाले रास्तों के मोटे बिंदुओं के अनुरूप अंक समान संपत्ति के साथ सामान्य रूप से कुछ होते हैं - यानी, ये बिंदु कुछ संपत्ति को कम करते हैं जो तब होता है जब आप डायोफैंटाइन समीकरणों के ज्यामितीय रूपों पर विचार करते हैं। उन्होंने अभी तक यह पता नहीं लगाया है कि यह संपत्ति क्या हो सकती है।

"मैंने क्या खोजने की कोशिश शुरू की," एक गणितीय संदर्भ में कम से कम प्रतिरोध का सिद्धांत है, उन्होंने मुझे एक पत्र में लिखा था। "मुझे यह अभी तक नहीं मिला है, लेकिन मुझे यकीन है कि यह मौजूद है।"

भविष्य का पता नहीं

पिछले कुछ महीनों में, मैंने कई गणितज्ञों, संख्या सिद्धांत में उनके योगदान के प्रशंसकों द्वारा किम के दृष्टिकोण को भौतिकी से प्रेरित बताया है। लेकिन अपने काम के इस तरह के विस्तार से सीखने पर, वे खो गए थे।

"प्रतिनिधि मात्रा के सिद्धांतकार के रूप में, अगर मुझे मिनियन द्वारा की गई उन सभी अद्भुत उपलब्धियों को दिखाया गया और पूछा गया कि क्या वे भौतिकी से प्रेरित थे, तो मैं कहूंगा: आप किस बारे में बात कर रहे हैं?" - एलेनबर्ग ने कहा।

अब तक किम ने अपने किसी भी कार्य में भौतिकी का उल्लेख नहीं किया है। इसके बजाय, वह "सेल्मर विविधता" नामक वस्तुओं के बारे में लिखता है और सभी सेल्मर विविधताओं के स्थान पर सेल्मर विविधताओं के बीच संबंधों की जांच करता है। ऐसी बातें संख्या सिद्धांत विशेषज्ञों से परिचित हैं। लेकिन किम के लिए, वे हमेशा कुछ भौतिक वस्तुओं का एक और पदनाम थे।

किम ने कहा, "संख्या सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के लिए भौतिक विचारों का उपयोग करने का एक तरीका होना चाहिए, लेकिन हमने अभी तक इस बारे में नहीं सोचा है कि इस तरह का मंच कैसे बनाया जाए।" "हम एक ऐसी स्थिति में हैं जहाँ भौतिकी के बारे में हमारी समझ काफी अच्छी तरह से विकसित है, और संख्या सिद्धांत के बहुत सारे विशेषज्ञ इसमें रुचि रखते हैं ताकि अगला कदम उठाया जा सके।"

किम विधि के लिए मुख्य बाधा लूप के सभी सेटों के स्थान को कम करने के लिए कुछ कार्रवाई खोजने में है। भौतिक दुनिया में, यह दृष्टिकोण स्वाभाविक दिखता है, लेकिन अंकगणित में इसका कोई स्पष्ट अर्थ नहीं है। यहां तक ​​कि गणितज्ञ जो किम के काम पर कड़ी नजर रखते हैं, यकीन नहीं होता कि वह उसे पा सकते हैं।

"मुझे लगता है कि किम का कार्यक्रम हमारे लिए बहुत सारी अद्भुत चीजें करेगा। हार्वर्ड यूनिवर्सिटी के गणितीय भौतिकी के प्रोफेसर अर्णव त्रिपाठी कहते हैं, "मुझे नहीं लगता कि हमारे पास उतना ही स्पष्ट होगा जितना कि मिग्नन यह समझना चाहता है कि अंकगणितीय गेज सिद्धांत के लिए तर्कसंगत समाधान हैं"।

आज, भौतिकी की भाषा लगभग संख्या सिद्धांत के अभ्यास के साथ नहीं है। किम का मानना ​​है कि यह लगभग निश्चित रूप से बदल जाएगा। चालीस साल पहले, भौतिकी, ज्यामिति और टोपोलॉजी सामान्य रूप से कम थी। फिर 1980 के दशक में, कई गणितज्ञों और भौतिकविदों ने, अब महत्वपूर्ण आंकड़े, रूपों के गुणों का अध्ययन करने के लिए भौतिकी का उपयोग करने के सटीक तरीके ढूंढ लिए। इस विकास के बाद, यह क्षेत्र बदल गया और पिछले तरीकों में वापस नहीं आया।

“आजकल भौतिकी के बारे में कुछ भी जाने बिना ज्यामिति और टोपोलॉजी में रुचि होना व्यावहारिक रूप से असंभव है। मुझे पूरा यकीन है कि यह संख्या सिद्धांत के साथ भी होगा "अगले 15 वर्षों में, किम ने कहा। "सभी कनेक्शन बेहद स्वाभाविक हैं।"