भौतिकी के सबसे जटिल समीकरण इतने कठिन क्यों हैं?

नवियर-स्टोक्स समीकरण सरल रोजमर्रा की घटनाओं का वर्णन करते हैं, जैसे कि एक बगीचे की नली से बहता पानी - हालांकि, वे एक समस्या पर आधारित हैं जिसका समाधान एक मिलियन डॉलर में अनुमानित किया गया था

भौतिकी में, ऐसे समीकरण हैं जो स्पेसटाइम को एक फोटॉन की उड़ान तक खींचते हैं। हालांकि, समीकरणों के केवल एक सेट को गणितीय रूप से इतना जटिल माना जाता है कि इसे सात " मिलेनियम प्रॉब्लम्स " में से एक के रूप में चुना गया था, जिसके लिए क्ले इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स एक मिलियन डॉलर का पुरस्कार प्रदान करता है: ये नवियर-स्टोक्स हैं जो तरल पदार्थ के प्रवाह का वर्णन करते हैं।

हाल ही में, मैंने लिखा कि इन समीकरणों के लिए एक महत्वपूर्ण नया परिणाम कैसे प्राप्त किया गया था। और यह कार्य इंगित करता है कि मिलेनियम पुरस्कार की दिशा में प्रगति अपेक्षा से अधिक कठिन होगी। इन समीकरणों को एक नली से बहते पानी के रूप में इस तरह की परिचित घटनाओं का वर्णन करने के लिए गणितीय रूप से समझने में अधिक मुश्किल क्यों है, उदाहरण के लिए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण, जिसमें ब्लैक होल जैसी तेजस्वी वस्तुएं शामिल हैं?

जवाब, जैसा कि मैं इसे समझता हूं, अशांति में है। हम सभी ने इस घटना का अनुभव किया, 10,000 मीटर की ऊँचाई पर अमानवीय हवा में उड़ान में, या जब पानी से एक कीप को स्नान में नाली छोड़ते हुए देखा। हालांकि, ज्ञान जागरूकता से पालन नहीं करता है: अशांति भौतिक दुनिया के सबसे कम समझे जाने वाले क्षेत्रों में से एक है।



अशांति के बिना प्रवाह का एक उदाहरण एक शांत नदी है। इसका प्रत्येक भाग समान गति से एक ही दिशा में चलता है। जब एक नदी की धारा टूटती है तो अशक्त द्रव प्रकट होता है ताकि धारा के विभिन्न भाग अलग-अलग दिशाओं में अलग-अलग गति से चलने लगें। भौतिकविदों ने पहली बार एक चिकनी प्रवाह में एक फ़नल की उपस्थिति के रूप में अशांति के गठन का वर्णन किया, और फिर पहली फ़नल में छोटे फ़नल के रूप में, और इन फ़नल में छोटे फ़नल के रूप में - फ़नल का एक समुद्र जो तरल में जाता है, ताकि तरल असतत भागों में टूट जाए, जिनमें से प्रत्येक आपस में बातचीत करते हैं और अपनी दिशा में आगे बढ़ते हैं।

शोधकर्ता ठीक से समझना चाहते हैं कि कैसे एक सहज प्रवाह अशांत अशांति में टूट जाता है, और अशांति के बाद द्रव के भविष्य के आकार को मॉडल करता है। लेकिन मिलेनियम चैलेंज अधिक विनम्र रूप से तैयार किया गया है: आपको केवल यह साबित करने की आवश्यकता है कि समाधान हमेशा मौजूद हैं। यही है, सवाल यह है कि क्या समीकरण किसी भी तरल का वर्णन कर सकते हैं, किसी भी प्रारंभिक स्थितियों के साथ, और एक असीम दूर के भविष्य के लिए?

प्रिंसटन यूनिवर्सिटी के गणितज्ञ चार्ली फेफरमैन कहते हैं, "पहला कदम बस यह साबित करने की कोशिश करना है कि समीकरणों के कुछ समाधान हैं।" "यह तरल पदार्थों के व्यवहार की वास्तविक समझ नहीं देता है, लेकिन यदि आपके पास यह नहीं है, तो आप कुछ भी नहीं जानते हैं।"

तो कोई समाधान के अस्तित्व को कैसे साबित कर सकता है? आपको यह समझने की आवश्यकता है कि वे क्यों नहीं हो सकते हैं। नवियर-स्टोक्स समीकरणों में वेग और दबाव जैसी मात्राओं में परिवर्तन की गणना है। गणितज्ञ निम्नलिखित परिदृश्य के बारे में चिंतित हैं: आप इन समीकरणों से दूर भागते हैं, और कुछ समय के बाद वे आपको बताते हैं कि एक तरल कण अनंत गति से चलता है। और यह समस्या है - अनंत मूल्य में परिवर्तन की गणना करना शून्य से विभाजित करना आसान नहीं है। गणितज्ञ ऐसी स्थितियों को "विस्फोट" कहते हैं, और विस्फोट की स्थिति में, समीकरण काम करना बंद कर देते हैं और कोई समाधान नहीं मिलता है।


नवियर-स्टोक्स समीकरण एक असंगत द्रव के प्रवाह का वर्णन करते हैं।

सामान्य तौर पर, द्रव्यमान (नीला भाग) और त्वरण (वायलेट) का उत्पाद तरल (नारंगी) पर कार्य करने वाली शक्तियों के बराबर होता है:

• ρ द्रव घनत्व है;
• dV / dt - समय के साथ गति में परिवर्तन;
• वी VV - गति और आंदोलन की दिशा;
• ∇P - आंतरिक दबाव में परिवर्तन;
• ρ जी - बाहरी बलों का प्रभाव (उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण);
• μ vis ² V - आंतरिक बलों (चिपचिपाहट) का प्रभाव।

विस्फोटों की अनुपस्थिति का प्रमाण (और समाधानों का अस्तित्व) इस प्रमाण के बराबर है कि किसी भी तरल कण का अधिकतम वेग कुछ परिमित मूल्य द्वारा सीमित रहता है। सबसे महत्वपूर्ण मात्रा में से एक तरल की गतिज ऊर्जा है।

जब आप नवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग करके प्रवाह को अनुकरण करना शुरू करते हैं, तो आपके द्रव में कुछ प्रारंभिक ऊर्जा होती है। अशांत प्रवाह में, ऊर्जा ध्यान केंद्रित करना शुरू कर सकती है। पूरे नदी में समान रूप से फैलने के बजाय, गतिज ऊर्जा को एक अनियंत्रित रूप से छोटे आकार के भँवरों में एकत्र किया जा सकता है, और इन भँवरों (सैद्धांतिक रूप से) में कण अनंत गति तक बढ़ सकते हैं।

“छोटे और छोटे पैमानों पर संक्रमण के साथ, गति नियंत्रण के लिए गतिज ऊर्जा कम और कम उपयोगी हो जाती है। निर्णय कुछ भी कर सकता है, और मुझे नहीं पता कि इसे कैसे नियंत्रित किया जाए, ”प्रिंसटन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ व्लाद विकोल ने कहा, जिन्होंने ट्रिस्टन बकमास्टर के साथ एक नया काम लिखा था।

गणितज्ञ आंशिक रूप से विभेदक समीकरणों को इस सीमा के आधार पर वर्गीकृत करते हैं कि वे किस हद तक असीम रूप से छोटे पैमानों पर बुरा व्यवहार करना शुरू कर सकते हैं। नवियर-स्टोक्स समीकरण इस पैमाने के चरम छोर पर हैं। एक अर्थ में समीकरणों के गणित की जटिलता अशांत प्रवाह की जटिलता को दर्शाती है जो उन्हें वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए।

"जब आप किसी स्थान पर ज़ूम करते हैं, तो गणितीय दृष्टिकोण से, आप समाधान के बारे में जानकारी खो देते हैं," विकोल कहते हैं। "लेकिन अशांति का वर्णन बस इतना होना चाहिए - बड़े से कभी छोटे पैमाने पर गतिज ऊर्जा का स्थानांतरण, इसलिए यह वास्तव में आपको बड़े पैमाने पर करने के लिए कहता है।"



भौतिक समीकरणों के गणितीय गुणों के बारे में बात करते हुए, यह सवाल उठना स्वाभाविक है: क्या ये तर्क हमारे भौतिक दुनिया के संबंध में बदलाव लाएंगे? नवियर-स्टोक्स समीकरणों और मिलेनियम समस्या के मामले में, उत्तर "हां" और "नहीं" दोनों होगा। लगभग 200 वर्षों के प्रयोग के बाद, यह स्पष्ट है कि समीकरण काम करते हैं: नवियर-स्टोक्स द्वारा पूर्वानुमानित प्रवाह प्रयोगों में देखे गए प्रवाह के साथ लगातार मेल खाता है। यदि आप एक प्रयोगशाला में काम कर रहे एक भौतिक विज्ञानी हैं, तो यह आपके लिए पर्याप्त हो सकता है। लेकिन गणितज्ञों को और अधिक जानने की आवश्यकता है - वे यह जांचना चाहते हैं कि क्या इन समीकरणों का पालन करना संभव है, यह देखने के लिए कि वास्तव में प्रवाह एक पल से दूसरे (किसी भी प्रारंभिक तरल विन्यास के लिए) में परिवर्तन कैसे हो सकता है, और यहां तक ​​कि अशांति के स्रोत को पकड़ने के लिए।

"तरल पदार्थों का व्यवहार आश्चर्य से भरा होता है," फ़िफ़रमैन कहते हैं। "ये आश्चर्य सिद्धांत मूल समीकरणों द्वारा समझाया गया है जो तरल पदार्थों के प्रवाह को नियंत्रित करते हैं, लेकिन उन समीकरणों से कैसे आगे बढ़ना है जो एक द्रव की गति को नियंत्रित करते हैं कि द्रव वास्तव में कैसे चलता है यह एक रहस्य है।"