गणितज्ञों ने तरल पदार्थों के विवरण के लिए प्रसिद्ध समीकरणों में एक समस्या पाई है

दो गणितज्ञों ने साबित किया कि कुछ चरम स्थितियों में नवियर-स्टोक्स समीकरण बकवास देते हैं

कई लेकोनिक शब्दों की मदद से नवियर-स्टोक्स समीकरण भौतिक दुनिया की सबसे आम घटनाओं में से एक का वर्णन करते हैं: तरल पदार्थ का प्रवाह। आज, इन समीकरणों, 1820 के दशक तक डेटिंग, समुद्र की धाराओं और अशांति से सब कुछ का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है एक हवाई जहाज के बाद हृदय में रक्त के प्रवाह के लिए।

यद्यपि भौतिक विज्ञानी इन समीकरणों को एक हथौड़े की तरह विश्वसनीय मानते हैं, गणितज्ञ उनका अविश्वास करते हैं। एक गणितज्ञ के लिए, यह तथ्य कि ये समीकरण काम करते हैं, ज्यादा मायने नहीं रखते हैं। उन्हें इस बात का प्रमाण चाहिए कि समीकरण त्रुटि-रहित हैं: किसी भी तरल पदार्थ के लिए और भविष्य के लिए जहाँ तक भविष्य में वितरित किए जाने वाले दीर्घकालिक पूर्वानुमान के लिए, समीकरणों का गणित विफल नहीं होगा। ऐसी गारंटी पाना आसान नहीं था। पहला व्यक्ति या टीम जो यह साबित कर सकती है कि नवियर-स्टोक्स समीकरण हमेशा काम करेंगे - या एक उदाहरण प्रदान करते हुए साबित करेंगे कि वे काम नहीं करते हैं - क्ले के मैथ्स इंस्टीट्यूट द्वारा घोषित सहस्राब्दी समस्याओं में से एक को हल करने के लिए एक इनाम प्राप्त करने में सक्षम होंगे, और एक मिलियन डॉलर में इसके अलावा [२०१man तक, सहस्राब्दी (पोनकारे परिकल्पना) के सात कार्यों में से केवल एक को ग्रेगरी पेरेलमैन / लगभग द्वारा हल किया गया है। ट्रांस।]।

गणितज्ञों ने इस समस्या को हल करने के कई तरीके विकसित किए हैं। सितंबर में प्रकाशित नया काम, कई वर्षों से विकसित समस्या के सबसे लोकप्रिय तरीकों में से एक है या नहीं, इस बारे में गंभीर सवाल हैं। प्रिंसटन विश्वविद्यालय से ट्रिस्टन बक्मास्टर और व्लाद विकोल द्वारा लिखित कार्य, यह दिखाते हुए पहला परिणाम है कि कुछ शर्तों के तहत, नवियर-स्टोक्स समीकरण भौतिक दुनिया का एक विरोधाभासी विवरण कैसे देते हैं।

"हम इन समीकरणों में निहित कुछ समस्याओं को समझने की कोशिश कर रहे हैं, और क्यों लोगों को शायद उन्हें पुनर्विचार करना होगा," बकमास्टर कहते हैं।

बकेमास्टर और विकोल के काम से पता चलता है कि यदि आप नवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल करते समय बहुत ही मोटे अनुमान लगाते हैं, तो उन्हें कोई मतलब नहीं है: वे कहते हैं कि समान प्रारंभिक स्थितियों वाला एक ही तरल पदार्थ दो या दो से अधिक विभिन्न अवस्थाओं में आ सकता है। यह एक तरह से, या पूरी तरह से अलग तरीके से बह सकता है। यदि ऐसा है, तो ये समीकरण मज़बूती से उस भौतिक दुनिया का वर्णन नहीं कर सकते हैं जिसके लिए उन्हें विकसित किया गया था।

विस्फोट के समीकरण

यह समझने के लिए कि समीकरण कैसे टूट सकते हैं, एक महासागर वर्तमान की कल्पना करें। इसकी रूपरेखा के भीतर, स्थानीय प्रवाह मौजूद हो सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप इसके कुछ भाग एक दिशा में और एक गति से और अन्य अन्य किसी अन्य दिशा में दूसरी गति से आगे बढ़ सकते हैं। स्थानीय प्रवाह घर्षण और पानी के दबाव की निरंतर पारस्परिक कार्रवाई में एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं, जो इसके प्रवाह को निर्धारित करते हैं।

गणितज्ञ इस बातचीत का एक मॉडल का उपयोग करते हैं जो आपको किसी भी बिंदु पर दिशाओं और प्रवाह दरों से अवगत कराता है। सदिश क्षेत्र नामक यह मानचित्र किसी तरल पदार्थ की आंतरिक गतिकी का एक स्नैपशॉट है। नवियर-स्टोक्स समीकरण इस तस्वीर को लेते हैं और इसे एक वीडियो के रूप में पुन: पेश करते हैं, यह बताते हुए कि वेक्टर क्षेत्र वास्तव में प्रत्येक बाद के क्षण में कैसे दिखेगा।


विंड मैप (windy.com) एक वेक्टर फ़ील्ड के समान तरीके से काम करता है। प्रत्येक बिंदु पर, हवा की एक निश्चित दिशा और ताकत होती है।

ये समीकरण काम करते हैं। वे द्रव प्रवाह का मज़बूती से वर्णन करते हैं क्योंकि न्यूटन के समीकरण ग्रहों की भविष्य की स्थितियों की भविष्यवाणी करते हैं; भौतिक विज्ञानी लगातार उनका उपयोग करते हैं, और वे लगातार प्रयोगों के परिणामों के साथ मेल खाते हैं। हालांकि, गणितज्ञों को एपिसोडिक पुष्टि की तुलना में अधिक की आवश्यकता होती है - उन्हें प्रमाण की आवश्यकता होती है कि समीकरण टूटे नहीं हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप किस वेक्टर क्षेत्र से शुरू करते हैं, और भविष्य में आप इसे कितना दूर करते हैं, समीकरण हमेशा आपको देंगे। नया, अनोखा वेक्टर क्षेत्र।

यह मिलेनियम समस्या का विषय है, यह पूछना कि क्या नवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान हैं (समाधान, वास्तव में, एक वेक्टर फ़ील्ड है) सभी शुरुआती बिंदुओं के लिए समय पर सभी बिंदुओं पर। इन समाधानों को द्रव में प्रत्येक बिंदु पर प्रवाह की सटीक दिशा और शक्ति सुनिश्चित करनी चाहिए। ऐसे समाधान जो इस तरह के छोटे समाधान के साथ जानकारी प्रदान करते हैं, उन्हें "सुचारू" कहा जाता है। एक चिकनी समाधान के लिए, क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु के पास एक वेक्टर जुड़ा होता है, जो आपको उन बिंदुओं पर अटकने के बिना क्षेत्र में "सुचारू रूप से" यात्रा करने की अनुमति देता है जहां वेक्टर अनुपस्थित है - जिस बिंदु से आप आगे के आंदोलन को नहीं समझेंगे।

चिकना समाधान भौतिक दुनिया का एक पूर्ण प्रतिनिधित्व है, लेकिन गणितीय दृष्टिकोण से, वे हमेशा मौजूद नहीं हो सकते हैं। इस तरह के समीकरणों पर काम करने वाले गणितज्ञ इस स्थिति के बारे में चिंता करते हैं: आप नवियर-स्टोक्स समीकरण चलाते हैं और वेक्टर क्षेत्र में परिवर्तन का निरीक्षण करते हैं। कुछ परिमित समय के बाद, समीकरण आपको बताते हैं कि द्रव का एक निश्चित कण अनंत गति से चलता है। तब आपको समस्याएं होंगी। समीकरणों में दबाव, घर्षण, और द्रव वेग जैसे गुणों में माप को शामिल किया जाता है - शब्दजाल भाषा में, वे इन मात्राओं से व्युत्पन्न लेते हैं - लेकिन शून्य से विभाजित करके अनंत मात्रा का व्युत्पन्न लेना आसान नहीं है। इसलिए यदि समीकरण एक अनंत मूल्य देते हैं, तो हम कह सकते हैं कि उन्होंने आपको मना कर दिया, या "विस्फोट" किया। वे अब आपके द्रव के बाद की अवस्थाओं का वर्णन नहीं कर सकते हैं।

ऐसा "विस्फोट" इस बात का प्रमाण है कि समीकरणों में भौतिक दुनिया के कुछ गुणों का वर्णन नहीं है, जिनका वर्णन करना चाहिए। "शायद समीकरण एक वास्तविक तरल पदार्थ के सभी प्रभावों को कवर नहीं करते हैं, क्योंकि एक वास्तविक तरल पदार्थ में हम एक अनन्त कण वेग की उम्मीद नहीं करते हैं," बकमास्टर कहते हैं।

मिलेनियम समस्या का समाधान या तो यह दिखाना है कि नवियर-स्टोक्स समीकरण कभी विस्फोट नहीं करते हैं, या उन स्थितियों को खोजने के लिए जिनके तहत ऐसा होता है। गणितज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली रणनीतियों में से एक यह है कि इन समीकरणों को आवश्यक समाधानों का वर्णन करने के लिए आवश्यकताओं को नरम करना चाहिए।

प्रवाह की गड़बड़ी

नवियर-स्टोक्स समीकरणों को किसी भी प्रारंभिक परिस्थितियों के साथ किसी भी तरल पदार्थ के प्रवाह का वर्णन करना चाहिए, और भविष्य में असीम रूप से विवरण का विस्तार करना चाहिए। इस क्षमता को साबित करने की कोशिश करते हुए, गणितज्ञ कभी-कभी "कमजोर" होते हैं, अर्थात, वे एक तरल पदार्थ का वर्णन करने वाले वेक्टर क्षेत्रों के अनुमानित विवरण का उपयोग करते हैं। लेकिन इसे लेकर मुश्किलें हैं।

आदर्श रूप से, गणितज्ञ यह साबित करना चाहते हैं कि नवियर-स्टोक्स समीकरणों को किसी भी निरंतर, "चिकनी" तरल पदार्थ को लागू करने से कुछ अद्वितीय परिणाम प्राप्त होंगे।



हालांकि, "कमजोर" के साथ काम करना आसान है, इतना विस्तृत वेक्टर फ़ील्ड नहीं। और गणितज्ञों ने पाया है कि कुछ कमजोर विवरण गैर-अद्वितीय परिणाम उत्पन्न करते हैं - वे एक ही तरल पदार्थ को दो तरह से एक ही प्रारंभिक परिस्थितियों में प्रवाह करने की अनुमति देते हैं।

कमजोर से चिकनी तक

जब गणितज्ञ इन जैसे समीकरणों का अध्ययन करते हैं, तो वे कभी-कभी समाधान की परिभाषा का विस्तार करने लगते हैं। चिकना समाधान के लिए अधिकतम जानकारी की आवश्यकता होती है - नवियर-स्टोक्स के मामले में, उन्हें आवश्यकता होती है कि हर क्षेत्र में वेक्टर से जुड़े तरल पदार्थ एक वेक्टर मौजूद हों। लेकिन क्या होगा अगर हम आवश्यकताओं को शिथिल करते हैं और कहते हैं कि आपको केवल क्षेत्र के कुछ बिंदुओं के लिए वैक्टर की गणना करने की आवश्यकता है, या आपको केवल वैक्टर के अनुमानित मूल्यों को प्राप्त करने की आवश्यकता है? ऐसे निर्णयों को "कमजोर" कहा जाता है। वे गणितज्ञों को बिल्कुल सभी समाधान खोजने के थकाऊ काम के बिना समीकरण के व्यवहार को महसूस करने की अनुमति देते हैं (जो व्यवहार में संभव नहीं हो सकता है)।


ट्रिस्टन बकमास्टर, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी गणितज्ञ

"कुछ दृष्टिकोण से, कमजोर निर्णय वास्तविक लोगों की तुलना में वर्णन करने में आसान होते हैं, क्योंकि आपको बहुत कम जानने की आवश्यकता होती है," लेज़्लो स्कैकेलीकिडी के सह-लेखक कैमिलो डी लेलिस ने कहा, जिन्होंने कई महत्वपूर्ण कार्यों को लिखा, जिन्होंने बकेमास्टर और विकोला के काम की नींव रखी।

कमजोर समाधान विभिन्न ग्रेड में आते हैं। यदि आप अनंत संकल्प के साथ तरल की गणितीय छवि के रूप में एक चिकनी समाधान की कल्पना करते हैं, तो कमजोर समाधान इस छवि के 32-बिट, 16-बिट या 8-बिट संस्करणों की तरह कुछ होगा।

1934 में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जीन लेरे ने कमजोर समाधानों के एक महत्वपूर्ण वर्ग को परिभाषित किया। सटीक वैक्टर के साथ काम करने के बजाय, "लेरे समाधान" वेक्टर फ़ील्ड के एक छोटे से पड़ोस में वैक्टर का औसत मूल्य लेते हैं। लेरे ने साबित किया कि आप हमेशा नवियर-स्टोक्स समीकरणों को हल कर सकते हैं, जिससे आपके फैसले इस तरह का रूप ले सकते हैं। दूसरे शब्दों में, लेरा के फैसले विस्फोट नहीं करते हैं।

Lera की उपलब्धि ने Navier-Stokes समस्या के लिए एक नया दृष्टिकोण निर्धारित किया: Lera के समाधानों से शुरू करें, जिनका अस्तित्व पहले से ही ज्ञात है, और देखें कि क्या आप उन्हें उन सुचारू समाधानों में बदल सकते हैं जिनके अस्तित्व को आप प्रमाणित करना चाहते हैं। यह प्रक्रिया उसी से मिलती-जुलती है, जहां आप किसी न किसी चित्र से शुरू करते हैं, और देखें कि क्या आप वास्तविकता की सही छवि प्राप्त करने के लिए धीरे-धीरे संकल्प को मोड़ सकते हैं।

बकेमास्टर ने कहा, "संभावित रणनीतियों में से एक यह दिखाना है कि ये कमजोर लेरा के फैसले सुचारू हैं, और यदि आप दिखा सकते हैं कि वे चिकनी हैं, तो आप मिलेनियम चैलेंज को हल करेंगे।"


व्लाद वकोल उस टीम के आधे हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है जिसने नवियर-स्टोक्स समीकरणों की जाँच करने के दृष्टिकोण में समस्याओं का खुलासा किया था।

एक और कैच है। नवियर-स्टोक्स समीकरणों के समाधान वास्तविक भौतिक घटनाओं के अनुरूप हैं, और भौतिक घटनाएं एक संभव तरीके से होती हैं। इसे देखते हुए, मैं चाहूंगा कि आपके समीकरणों में अद्वितीय समाधानों का केवल एक सेट हो। यदि समीकरण आपको कई संभावित समाधान देते हैं, तो वे अपना काम नहीं कर सकते।

इसलिए, गणितज्ञ, मिलेनियम समस्याओं को हल करने के लिए लेरे के समाधान का उपयोग करने में सक्षम होंगे, केवल तभी जब लेरे के समाधान अद्वितीय हों। लैरा के गैर-अनूठे समाधानों का मतलब होगा कि, नवियर-स्टोक्स नियमों के अनुसार, समान प्रारंभिक स्थितियों के साथ एक ही तरल पदार्थ दो अलग-अलग भौतिक अवस्थाओं में आ सकता है, जिसका भौतिक अर्थ नहीं है, और इसका मतलब है कि समीकरण वास्तव में वर्णन नहीं करते हैं क्या होना चाहिए।

बक्मास्टर और विकोल का नया परिणाम पहला संकेत है कि कमजोर निर्णयों की कुछ परिभाषाओं के लिए यह हो सकता है।

कई दुनिया

अपने नए काम में, बकेमास्टर और विकोल, लेरे के समाधानों की तुलना में भी कमजोर समाधानों पर विचार करते हैं - ऐसे समाधान जो लेरे के समान औसत सिद्धांत का उपयोग करते हैं, लेकिन एक और अतिरिक्त आवश्यकता को कमजोर करते हैं (ऊर्जा असमानता के रूप में जाना जाता है)। वे "उत्तल एकीकरण" विधि का उपयोग करते हैं, जो गणितज्ञ जॉन नैश की ज्यामिति पर काम से उत्पन्न होता है, और बाद में डी लेलिस और शेकेलिखीदी द्वारा तरल पदार्थों के अध्ययन में शामिल होता है।

इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, बकमास्टर और विकोल यह साबित करते हैं कि नवियर-स्टोक्स समीकरणों के ये बहुत कमजोर समाधान अद्वितीय नहीं हैं। वे, उदाहरण के लिए, प्रदर्शित करते हैं कि यदि आप पूरी तरह से शांत तरल से शुरू करते हैं, उदाहरण के लिए, बिस्तर के बगल में एक गिलास पानी के साथ, दो प्रकार की घटनाएं संभव हैं। पहला स्पष्ट है: पानी शांत अवस्था से शुरू होता है और हमेशा शांत रहता है। दूसरा शानदार है, लेकिन गणितीय रूप से संभव है: पानी एक शांत राज्य से शुरू होता है, रात के बीच में फट जाता है, और फिर एक शांत स्थिति में लौटता है।

विकोल कहते हैं, "यह विशिष्टता की कमी को साबित करता है, क्योंकि प्रारंभिक डेटा से कम से कम दो वस्तुओं का निर्माण किया जा सकता है।"

बकेमास्टर और विकोल ने नवियर-स्टोक्स समीकरणों के कई गैर-अद्वितीय कमजोर समाधानों (न केवल ऊपर वर्णित दो) के अस्तित्व को साबित किया। इस साक्ष्य के महत्व को समझा जाना बाकी है। कुछ बिंदु पर, कमजोर समाधान इतने कमजोर हो सकते हैं कि वे चिकनी समाधानों से संबंधित हो जाते हैं जिन्हें नकल करना चाहिए। यदि ऐसा है, तो बक्मास्टर और विकोल द्वारा प्राप्त परिणाम थोड़ा कम होगा।

“यह परिणाम स्पष्ट रूप से एक चेतावनी है, लेकिन कोई यह तर्क दे सकता है कि यह चेतावनी कमजोर निर्णयों के सबसे कमजोर विचार की चिंता करती है। डी लेलिस कहते हैं, "मजबूत समाधानों की कई परतें हैं जो आप एक बेहतर व्यवहार की उम्मीद कर सकते हैं" नवियर-स्टोक्स समीकरणों के मामले में।

बैकमास्टर और विकोल भी परतों के संदर्भ में सोचते हैं, और उन्होंने लेहर के निर्णयों पर अपनी जगहें निर्धारित कीं - यह साबित करने पर कि वे कई भौतिकी को भी स्वीकार करते हैं जिसमें एक ही राज्य से एक ही तरल पदार्थ भविष्य में विभिन्न रूपों में आ सकता है।

“ट्रिस्टन और मेरा मानना ​​है कि लेरे के निर्णय अद्वितीय नहीं हैं। हमने अभी तक यह साबित नहीं किया है, लेकिन हमारा काम इस काम पर हमले के लिए ब्रिजहेड देता है।