प्रोग्रामर बहुपद और तख़्ता गाइड

तो आप एक प्रोग्रामर हैं। आपको बहुपदों की भी आवश्यकता क्यों है? उदाहरण के लिए, फिर, यह एक अच्छी ज्यामितीय मिट्टी है, जिसमें से आप विभिन्न चीजों को ढाल सकते हैं।

एक उदाहरण के रूप में अजगर, रक्त और डायनामाइट का उपयोग करके गणितीय विश्लेषण का सार समझाने वाले हमारे लेख से, यह देखा जा सकता है कि आप बहुपद के रूप में मनमाने कार्यों का विश्लेषण और संश्लेषण कर सकते हैं। हालांकि, विशेष रूप से कार्यों के साथ काम करना आवश्यक नहीं है। कभी-कभी आपको कई बिंदुओं या गुणों से एक रूपरेखा बनाने की आवश्यकता हो सकती है, जैसे कि वक्र के स्पर्शरेखा। उदाहरण के लिए, आपको किसी प्रकार का एनीमेशन बनाने की जरूरत है, या एक अच्छा वीडियो प्रभाव, या कुछ बिंदुओं से गुजरने वाला वक्र खींचना, या एक सतह बनाना जो एक जगह सपाट हो और दूसरी में घुमावदार हो।

पॉलिनॉमिअल्स, जिनमें स्पाइन वाले भी शामिल हैं, हमेशा इस कार्य के लिए सबसे अच्छा उपकरण नहीं हो सकते हैं, लेकिन उनके पास कुछ विशेषताएं हैं जो प्रोग्रामर वास्तव में सराहना करते हैं। वे स्वभाव से सरल और बहुमुखी हैं, और, सबसे महत्वपूर्ण बात, प्रदर्शन के मामले में बहुत प्रभावी है। उदाहरण के लिए निम्नलिखित बहुपदों को लें:



इसकी गणना करने के लिए, केवल 6 गुणन क्रियाएं और 3 परिवर्धन आवश्यक हैं। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि आपका मॉडल लगातार संगणना के अधीन होगा। लेकिन यहां हम अनुकूलन कर सकते हैं। हॉर्नर की योजना हमें इसमें मदद करेगी। इसकी मदद से, उसी बहुपद को लिखा जा सकता है



और यह केवल 3 गुणा और 3 जोड़ है। आप देखते हैं, हमने अभी शुरुआत की है, और आप गणना के एक तिहाई से छुटकारा पाने के लिए पहले ही सीख चुके हैं।

बहुपद प्रक्षेप

अंतरिक्ष में n + 1 अंक के लिए बहुपद की बहुपद को अपनाने का कार्य बहुपद प्रक्षेप कहलाता है। इसे लागू करने के कई तरीके हैं। आप न्यूटन या लैग्रेग इंटरपोलेशन फॉर्मूले का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन इंटरपोलेशन पोलीनोमियल प्राप्त करने का सबसे आसान तरीका रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना है।

यदि एक बहुपद एक बिंदु से गुजरता है, तो हम स्पष्ट रूप से कह सकते हैं कि P (xi) = yi । मान लीजिए कि हम एक बहुपद को तीन बिंदुओं के समूह में बदलना चाहते हैं। इसका मतलब है कि:



सामान्य स्थिति में, हम तीन मनमाने बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा नहीं खींच सकते। और इसलिए हमें इसे मोड़ना होगा, एक परवलय का निर्माण करना होगा। या, दूसरे शब्दों में, दूसरी डिग्री के एक बहुपद का परिचय दीजिए, जिसे एक द्विघात फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।



चूँकि xs और y ज्ञात हैं, हमें केवल सिस्टम को हल करने की जरूरत है और गुणांक a, b, c का पता लगाना है, और चूंकि इस प्रणाली में तीन समीकरण और तीन चर होते हैं, इसलिए हम आम तौर पर एक एकल समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए, निचले चार्ट में तीन बिंदुओं की स्थिति को स्थानांतरित करने का प्रयास करें और देखें कि क्या होता है।



यह ग्राफ रैखिक प्रणालियों के मानसिक विश्लेषण के लिए भी बहुत उपयोगी है। सामान्य मामले में, तीन बिंदुओं पर एक सीधी रेखा को फिट करना असंभव है, जिस तरह से n-1 अज्ञात चर के साथ n समीकरणों की एक प्रणाली के लिए समाधान खोजना असंभव है। लेकिन कभी-कभी यह संभव है। उदाहरण के लिए, उन मामलों में जहां कुछ बिंदु संयोग करते हैं या उनमें से सभी जानबूझकर एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

रिवर्स स्थिति और भी दिलचस्प है। हम दो दिए गए बिंदुओं के माध्यम से परवलों की एक अनंत संख्या आकर्षित कर सकते हैं। वे सभी समस्या के समाधान के रूप में समान रूप से उपयुक्त हैं। और एक ही समय में, हम n समीकरणों और n + 1 चर के सिस्टम के लिए कुछ विशिष्ट बेहतर समाधान नहीं प्राप्त कर सकते हैं।

लेकिन क्या होगा अगर यह अभी भी संभव है? क्या होगा अगर हम सबसे उपयुक्त विकल्प चुनने के लिए कुछ अतिरिक्त मानदंड शुरू कर सकते हैं?

संश्लेषण

इसी तरह के प्रश्न हमें बहुपद संश्लेषण के क्षेत्र में ले जाते हैं। हमारे मामले में, यह बहुपद श्रृंखला और बहुपद प्रक्षेप के बीच एक अंतर है। श्रृंखला का उपयोग करते हुए, हम किसी बिंदु पर इसके डेरिवेटिव के आधार पर एक फ़ंक्शन मॉडल कर सकते हैं, और संश्लेषण का उपयोग करके, हम दोनों बिंदुओं और डेरिवेटिव (और न केवल उन्हें, बल्कि उस समय में और अधिक) का उपयोग कर सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उसके ग्राफ के ज्यामितीय गुणों से निकटता से संबंधित है। पहला व्युत्पन्न स्पर्शरेखा के ढलान के स्पर्शरेखा को निर्धारित करता है, और दूसरा वक्रता को निर्धारित करता है।

मान लीजिए हमें दो बिंदुओं से गुजरने वाले एक फ़ंक्शन को परिभाषित करना है, दोनों बिंदुओं पर इसकी स्पर्शरेखा को जानना। इस मामले में, हम आसानी से इसे एक बहुपद के रूप में संश्लेषित कर सकते हैं।

पहले की तरह, हमें समीकरणों की एक प्रणाली लिखने की आवश्यकता है। अब हमें चार शर्तों की आवश्यकता है, इसलिए हमें डिग्री 3 के एक बहुपद का चयन करना चाहिए, अर्थात एक घन कार्य।



कुछ समीकरण बिंदुओं पर आधारित होते हैं, जबकि अन्य व्युत्पन्न होते हैं। इंटीग्रल भी आवश्यक पूर्णांक गुणों को पेश करने के लिए यहां जोड़ा जा सकता है, जो इस तकनीक को काफी प्रभावी बनाता है।

लेकिन हम इन बिंदुओं पर स्पर्शरेखा बाधाओं के साथ एक निरंतर चिकनी रेखा के दो बिंदुओं को जोड़ने वाले एक फ़ंक्शन पर विचार करना जारी रखेंगे।

दौड़ने की घटना

बहुपद प्रक्षेप में एक अप्रिय संपत्ति होती है, जो अंकों की संख्या में वृद्धि के साथ अंतराल के दोनों छोर पर दोलनों की वृद्धि में खुद को प्रकट करती है। इस घटना को रूज घटना कहा जाता है। यह सरल बहुपद प्रक्षेपों के उपयोग की संभावना को सीमित करता है।

इस दृष्टिकोण का एक और दोष इसकी वैश्विक प्रकृति है, यानी पूरे समारोह में बदलाव के साथ-साथ कम से कम एक बिंदु की स्थिति में थोड़ा बदलाव। दोलनों के साथ संयोजन में, बहुत परिणाम अराजकता है।

चेबीशेव नोड्स

अराजकता का मुकाबला करने के तरीकों में से एक प्रक्षेप के लिए एक विशेष जाल का चयन करना है - चेबीशेव नोड्स । ये विशेष एक्स मान हैं जो 1 सेमी के त्रिज्या के साथ अर्धवृत्त को विभाजित करके प्राप्त किए जाते हैं और उन्हें एक्स अक्ष पर प्रोजेक्ट करते हैं।

सामान्य तौर पर, इस तकनीक में एक निश्चित गणितीय जादू छिपा होता है, लेकिन व्यावहारिक दृष्टिकोण से, यह रनिंग घटना को कम करने का इरादा है। और यद्यपि यह प्रक्षेप को पूरी तरह से अनुमान लगाने की अनुमति नहीं देता है, सब कुछ अंतराल पर (-1: 1) काम करता है।



बेशक, आप एक्स अक्ष के साथ अंतराल का विस्तार कर सकते हैं जितना आपको एक आयामी डायनामिक परिवर्तन का उपयोग करने की आवश्यकता है। खंड (-1; 1) का पालन करना आवश्यक नहीं है।

लेकिन एक ही समय में प्रक्षेप इसकी सर्वव्यापकता को बनाए रखता है। पहले बिंदु को बदलना अभी भी अंतिम के पास फ़ंक्शन के संचालन को प्रभावित करता है, हालांकि इतना महत्वपूर्ण नहीं है।

splines

काफी कुछ प्रकार के छींटे हैं, लेकिन उनमें से सभी एक अनुप्रयोग परिदृश्य द्वारा एकजुट हैं। जैसे ही किसी कारण से वैश्विक प्रक्षेप हमारे कार्यों के लिए उपयुक्त होता है, हम अपने अंतराल को छोटे टुकड़ों में विभाजित कर सकते हैं और उनमें से प्रत्येक पर प्रक्षेप के लिए व्यक्तिगत कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं।

निरंतरता बनाए रखने के लिए हमें केवल एक चीज पर विचार करने की आवश्यकता है, जो उन्हें छोर से जोड़ने की आवश्यकता है। यदि हम न केवल अंतिम, टुकड़ा-परिभाषित फ़ंक्शन की निरंतरता की गारंटी देते हैं, बल्कि इसके पहले व्युत्पन्न भी हैं, तो इस मामले में इसके प्रत्येक खंड के स्पर्शरेखाएं मेल खाती हैं, और इसका शेड्यूल सुचारू दिखाई देगा।

स्प्लिन का एक निश्चित वर्गीकरण है । उदाहरण के लिए, दो टुकड़े से मिलकर एक बहुपद रेखा ले लो। यदि इसका प्रत्येक टुकड़ा तीसरी डिग्री के एक बहुपद द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो इसे क्यूबिक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यह पहली व्युत्पन्न की निरंतरता के रूप में ऐसी संपत्ति हो सकती है, क्योंकि टुकड़ों के जंक्शन पर स्पर्शरेखा संयोग करती है। इसके टुकड़े समान चौड़ाई के नहीं हैं। यह प्राकृतिक उत्पत्ति का नहीं है, क्योंकि हम इसके छोर पर डेरिवेटिव को नियंत्रित कर सकते हैं। और निश्चित रूप से, यह एक प्रक्षेप वर्तनी है, क्योंकि यह उन ग्रिड बिंदुओं से गुजरता है जो हमने संकेत दिए हैं।

निष्कर्ष

संभावना है कि आप कभी भी अपने स्वयं के प्रक्षेप व्यवहार में लाना होगा बहुत छोटा है। कई तैयार समाधान हैं और ज्यादातर मामलों में आपको बस नौकरी के लिए सही उपकरण चुनने की आवश्यकता होगी। ज्ञान का यह क्षेत्र इतना जटिल नहीं है, लेकिन अज्ञात शब्दों और नामों की संख्या दूर धकेल सकती है।

इस गाइड का उद्देश्य आपको बहुपद और विभाजन के साथ काम करने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले विचारों की एक बुनियादी समझ प्रदान करना था। किसी भी मामले में वह पूरा होने का नाटक नहीं करता है, क्योंकि वास्तव में, इस सामग्री के प्रत्येक छोटे अध्याय पर पूरी किताबें लिखी गई हैं। लेकिन हमें उम्मीद है, कम से कम, कि इस सामग्री में प्रस्तुति के लिए इंटरैक्टिव दृष्टिकोण न केवल एक संक्षिप्त परिचय के लिए उपयोगी होगा, लेकिन अगर ऐसी आवश्यकता उत्पन्न होती है, तो यह आपको अधिक उन्नत विषयों में मास्टर करने में मदद करेगा।