रॉक-पेपर-कैंची और गेम थ्योरी

खेल "रॉक-पेपर-कैंची" यह तय करने के लिए बहुत अच्छा है कि कचरा बाहर निकालना होगा। लेकिन क्या आपने देखा है कि तीन शॉट्स के बजाय, खेल गोल होने के बाद भी क्या होता है? पहले, आप एक सिद्धांत चुनते हैं जो आपको एक फायदा देता है, लेकिन फिर विरोधी जल्दी से इसे समझता है और इसके पक्ष में बदल जाता है। बदलती रणनीतियों की प्रक्रिया में, आप धीरे-धीरे एक ऐसे बिंदु पर पहुंच जाते हैं, जहां कोई भी पक्ष सुधार करना जारी नहीं रख सकता है। ऐसा क्यों हो रहा है?

1950 के दशक में, गणितज्ञ जॉन नैश ने साबित किया कि किसी भी तरह के खेल में खिलाड़ियों की सीमित संख्या और विकल्पों की एक सीमित संख्या (जैसे कि "रॉक-पेपर-कैंची") में हमेशा रणनीतियों का मिश्रण होता है जिसमें कोई भी खिलाड़ी बदलकर कोई परिणाम नहीं दिखा सकता है। केवल अपनी रणनीति। रणनीतियों के ऐसे स्थिर सेटों के सिद्धांत, जिसे " नैश इक्विलिब्रिया " कहा जाता है, ने गेम थ्योरी के क्षेत्र में क्रांति ला दी, आर्थिक विकास की दिशा और राजनीतिक अनुबंधों से लेकर नेटवर्क ट्रैफिक तक सब कुछ का अध्ययन और विश्लेषण करने के तरीके को बदल दिया। उन्होंने नैश को 1994 का नोबेल पुरस्कार भी दिया ।

तो रॉक-पेपर-कैंची गेम में नैश बैलेंस कैसा दिखता है? आइए एक ऐसी स्थिति का अनुकरण करें जिसमें आप (खिलाड़ी ए) और आपके प्रतिद्वंद्वी (प्लेयर बी) बार-बार खेल खेल रहे हैं। प्रत्येक दौर में, विजेता एक बिंदु प्राप्त करता है, हारने वाला एक बिंदु खो देता है, और एक ड्रा शून्य अंक के रूप में गिना जाता है।

मान लीजिए कि खिलाड़ी B ने कागज के प्रत्येक दौर में एक (बेवकूफ) चयन रणनीति चुनी है। कुछ राउंड की जीत, हार और ड्रॉ के बाद, आप सबसे अधिक संभावना है कि उसकी प्रणाली को नोटिस करेंगे और प्रत्येक राउंड में कैंची चुनकर एक विजेता प्रति-रणनीति विकसित करेंगे। आइए इसे रणनीतियों (कैंची, कागज) के सेट पर कॉल करें। यदि प्रत्येक दौर में कागज के खिलाफ कैंची का परिणाम होता है, तो आप एक आदर्श जीत के लिए अपना मार्ग प्रशस्त करेंगे।

लेकिन प्लेयर बी जल्द ही रणनीतियों के इस सेट की दूरदर्शिता को नोटिस करता है। जब वह देखता है कि आप कैंची चुन रहे हैं, तो वह लगातार एक पत्थर चुनने की रणनीति में बदल जाता है। रणनीतियों का यह सेट (कैंची, पत्थर) खिलाड़ी बी के लिए जीतना शुरू करता है। लेकिन, निश्चित रूप से, अब आप कागज पर जाएंगे। खेल के इन चरणों के दौरान, खिलाड़ी A और B “क्लीन” स्ट्रैटेजी कहलाते हैं - केवल वही स्ट्रेटेजी जो लगातार चुनी और कार्यान्वित की जाती हैं।

जाहिर है, यहां संतुलन हासिल नहीं किया जा सकता है: प्रत्येक शुद्ध रणनीति के लिए, उदाहरण के लिए, "हमेशा एक पत्थर चुनें", आप एक काउंटर-रणनीति विकसित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, "हमेशा एक पेपर चुनें", जो आपको फिर से रणनीति बदल देगा। आप और आपके प्रतिद्वंद्वी लगातार रणनीतियों के घेरे में एक दूसरे का पीछा करेंगे।

लेकिन आप "मिश्रित" रणनीति भी आजमा सकते हैं। मान लीजिए कि आप एक रणनीति चुनने के बजाय, आप प्रत्येक दौर में यादृच्छिक रणनीतियों में से एक का चयन कर सकते हैं। "हमेशा एक पत्थर चुनें" के बजाय, एक मिश्रित रणनीति लग सकती है जैसे "आधे मामलों में एक पत्थर चुनें, दूसरे आधे कैंची में चुनें"। नैश ने साबित किया कि जब ऐसी मिश्रित रणनीति स्वीकार्य होती है, तो ऐसे हर खेल में कम से कम एक संतुलन बिंदु होना चाहिए। चलो उसे ढूंढते हैं।

"रॉक-पेपर-कैंची" के लिए एक उचित मिश्रित रणनीति क्या है? यह सहज रूप से उचित लगता है कि यह "समान संभावना वाले पत्थर, कागज या कैंची को चुनना है।" ऐसी रणनीति के रूप में लिखा जाता है $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ । इसका मतलब है कि पत्थर, कैंची और कागज को संभाव्यता के साथ चुना जाता है $$$\ frac {1} {3}$ । क्या यह रणनीति अच्छी है?

मान लीजिए कि आपके प्रतिद्वंद्वी की रणनीति "हमेशा एक पत्थर उठाओ" है। यह एक शुद्ध रणनीति है, जिसे इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है $$$(1,0,0)$ । रणनीतियों की भर्ती करते समय खेल के परिणाम क्या होंगे $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ प्लेयर ए और के लिए $$$(1,0,0)$ प्लेयर बी के लिए?

खेल की स्पष्ट तस्वीर प्राप्त करने के लिए, हम एक तालिका बनाएंगे जिसमें प्रत्येक दौर के नौ संभावित परिणामों में से प्रत्येक की संभावनाओं को दिखाया जाएगा: ए पर एक पत्थर, बी पर एक पत्थर; A पर पत्थर, B पर कागज; और इसी तरह। नीचे दी गई तालिका में, शीर्ष पंक्ति प्लेयर B के चयन को इंगित करती है, और बाएं कॉलम प्लेयर A के चयन को इंगित करता है।

ए | बी	कश्मीर	बी	एच
कश्मीर	$$$\ frac {1} {3}$	0	0
बी	$$$\ frac {1} {3}$	0	0
एच	$$$\ frac {1} {3}$	0	0

प्रत्येक तालिका तत्व प्रत्येक दौर के लिए चयनित विकल्पों की एक जोड़ी की संभावना को इंगित करता है। यह बस संभावनाओं का एक उत्पाद है जिसे प्रत्येक खिलाड़ी उपयुक्त विकल्प बनाएगा। उदाहरण के लिए, प्लेयर A चुनने की संभावना पेपर के बराबर है $$$\ frac {1} {3}$ , और संभावना है कि प्लेयर B एक पत्थर चुनता है 1 है, वह है, प्रायिकता (A पत्थर पर A, B से एक पत्थर) है $$$\ frac {1} {3} \ गुना 1 = \ frac {1} {3}$ । लेकिन संभावना (ए पर कागज, बी पर कैंची) बराबर है $$$\ frac {1} {3} \ गुना 0 = 0$ चूंकि प्लेयर बी पिकिंग कैंची की संभावना शून्य है।

प्लेयर ए अपनी रणनीतियों के सेट में खुद को कैसे साबित करेगा? खिलाड़ी ए समय (कागज, पत्थर) का एक तिहाई जीतेगा, समय का एक तिहाई (कैंची, पत्थर) खो देगा और एक तिहाई समय ड्रॉ (पत्थर, पत्थर) होगा। प्लेयर ए की संख्या की गणना हम प्रत्येक राउंड में औसत संभावना के आधार पर प्रत्येक परिणाम के उत्पाद के योग की गणना करके कर सकते हैं:

$$

$$\ frac {1} {3} (1) + \ frac {1} {3} (0) + \ frac {1} {3} (- 1) = 0$$

इस प्रकार, औसतन, प्लेयर ए को प्रति राउंड 0 अंक प्राप्त होंगे। आप जीतेंगे, हारेंगे और समान संभावना के साथ ड्रा करेंगे। औसतन, जीत और हार की संख्या एक दूसरे को संतुलित करेगी, और वास्तव में, दोनों खिलाड़ी ड्रॉ में आएंगे।

लेकिन जैसा कि हमने पहले ही कहा था, आप अपनी रणनीति को बदलकर अपने परिणामों में सुधार कर सकते हैं, यह मानते हुए कि दुश्मन अपनी रणनीति नहीं बदलेगा। यदि आप रणनीति (0,1,0) ("हर बार पेपर चुनें") पर जाते हैं, तो संभावना तालिका इस तरह दिखाई देगी:

ए | बी	कश्मीर	बी	एच
कश्मीर	0	1	0
बी	0	0	0
एच	0	0	0

प्रत्येक राउंड में, आप अपने पेपर में एक प्रतिद्वंद्वी के पत्थर को लपेटेंगे और प्रत्येक राउंड के लिए एक अंक प्राप्त करेंगे।

यही है, रणनीतियों की यह जोड़ी - $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ ए और के लिए $$$(1,0,0)$ बी के लिए, यह एक नैश संतुलन नहीं है: खिलाड़ी ए के रूप में, आप अपनी रणनीति में बदलाव करके अपने परिणामों में सुधार कर सकते हैं।

जैसा कि हमने देखा है, शुद्ध रणनीतियों को संतुलन का नेतृत्व नहीं लगता है। लेकिन अगर आपका प्रतिद्वंद्वी मिश्रित रणनीति का उपयोग करने की कोशिश करता है, उदाहरण के लिए $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {{}}$ ? यह रणनीति है “आधे मामलों में, एक पत्थर चुनें; कागज और कैंची के एक चौथाई मामले मिलते हैं। " यहाँ क्या संभावना तालिका की तरह दिखेगा:

ए | बी	कश्मीर	बी	एच
कश्मीर	$$$\ frac {1} {6}$	$$$\ frac {1} {12}$	$$$\ frac {1} {12}$
बी	$$$\ frac {1} {6}$	$$$\ frac {1} {12}$	$$$\ frac {1} {12}$
एच	$$$\ frac {1} {6}$	$$$\ frac {1} {12}$	$$$\ frac {1} {12}$

और यहां खिलाड़ी ए के दृष्टिकोण से "पुरस्कार" की एक तालिका है; यह प्रत्येक परिणाम में प्लेयर ए द्वारा प्राप्त अंकों की संख्या है।

ए | बी	कश्मीर	बी	एच
कश्मीर	0	-1	1
बी	1	0	-1
एच	-1	1	0

गुणन का उपयोग करते हुए, हम प्रत्येक राउंड के लिए प्लेयर ए द्वारा प्राप्त अंकों की औसत संख्या की गणना करने के लिए दो तालिकाओं को मिलाते हैं।

$$

$$\ frac {1} {6} (0) + \ frac {1} {12} (- 1) + \ frac {1} {12} (1) + \ frac {1} {6} (1) + \ frac {1} {12} (0) + \ frac {1} {12} (- 1) + \ frac {1} {6} (- 1) + \ frac {1} {12} (1) + \ frac {1} {12} (0) = 0$$

औसतन, प्लेयर A फिर से 0 अंक प्रति राउंड अर्जित करता है। पहले की तरह, रणनीतियों का यह सेट, $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ ए और के लिए $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {{}}$ B के लिए, जिसके परिणामस्वरूप ड्रा हुआ।

लेकिन पहले की तरह, आप खिलाड़ी A के रूप में, रणनीति बदलकर अपने परिणामों में सुधार कर सकते हैं: खिलाड़ी B की रणनीति के विरुद्ध $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {{}}$ प्लेयर ए को चुनना होगा $$$(\ frac {1} {4}, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {{}}$ । यहाँ संभावना तालिका है:

ए | बी	कश्मीर	बी	एच
कश्मीर	$$$\ frac {1} {8}$	$$$\ frac {1} {16}$	$$$\ frac {1} {16}$
बी	$$$\ frac {1} {4}$	$$$\ frac {1} {8}$	$$$\ frac {1} {8}$
एच	$$$\ frac {1} {8}$	$$$\ frac {1} {16}$	$$$\ frac {1} {16}$

और यहाँ ए के लिए अंतिम परिणाम है:

$$

$$\ frac {1} {8} (0) + \ frac {1} {16} (- 1) + \ frac {1} {16} (1) + \ frac {1} {4} (1) + \ frac {1} {8} (0) + \ frac {1} {8} (- 1) + \ frac {1} {8} (- 1) + \ frac {1} {16} (1) + \ frac {1} {16} (0) = \ frac {1} {16}$$

यही है, रणनीतियों का यह सेट - $$$(\ frac {1} {4}, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {{}}$ ए और के लिए $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {{}}$ बी के लिए - औसत प्लेयर ए बाय देता है $$$\ frac {1} {16}$ राउंड प्रति अंक। 100 गेम के बाद, प्लेयर ए 6.25 अंकों से आगे होगा। प्लेयर ए में रणनीति बदलने के लिए एक महान प्रोत्साहन है। यह रणनीतियों का एक सेट है $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ ए और के लिए $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {{}}$ बी के लिए भी एक नैश संतुलन नहीं है।

लेकिन अब एक दो रणनीतियों को देखें $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ ए और के लिए $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ बी के लिए यहां इसी संभावना तालिका है:

ए | बी	कश्मीर	बी	एच
कश्मीर	$$$\ frac {1} {9}$	$$$\ frac {1} {9}$	$$$\ frac {1} {9}$
बी	$$$\ frac {1} {9}$	$$$\ frac {1} {9}$	$$$\ frac {1} {9}$
एच	$$$\ frac {1} {9}$	$$$\ frac {1} {9}$	$$$\ frac {1} {9}$

समरूपता के लिए धन्यवाद, हम जल्दी से समग्र परिणाम की गणना कर सकते हैं:

$$

$$\ frac {1} {9} (0) + \ frac {1} {9} (- 1) + \ frac {1} {9} (1) + \ frac {1} {9} (1) + \ frac {1} {9} (0) + \ frac {1} {9} (- 1) + \ frac {1} {9} (- 1) + \ frac {1} {9} (1) + \ frac {1} {9} (0) = 0$$

और फिर से आप और आपके प्रतिद्वंद्वी ड्रा में आ गए। लेकिन यहाँ अंतर यह है कि किसी भी खिलाड़ी के पास रणनीति बदलने के लिए प्रोत्साहन नहीं है! यदि प्लेयर बी किसी भी असंतुलित रणनीति पर चला जाएगा, जहां एक विकल्प - कहते हैं, एक पत्थर - दूसरों की तुलना में अधिक बार चुना गया था, तो प्लेयर ए बस अपनी रणनीति को बदल देगा और अधिक बार पेपर का चयन करेगा। अंत में, यह प्रत्येक दौर में प्लेयर ए के लिए एक सकारात्मक समग्र परिणाम की ओर ले जाएगा। जब खिलाड़ी A रणनीति चुनता है, तो ठीक यही होता है $$$(\ frac {1} {4}, \ frac {1} {2}, \ frac {1} {{}}$ खिलाड़ी बी की रणनीति के खिलाफ $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {{}}$ ।

बेशक, अगर खिलाड़ी ए से चलता है $$$(\ frac {1} {3}, \ frac {1} {3}, \ frac {1} {{}}$ एक असंतुलित रणनीति के तहत, खिलाड़ी बी इसी तरह लाभ लेने में सक्षम होगा। इसलिए, कोई भी खिलाड़ी केवल अपनी रणनीति में बदलाव करके अपने परिणामों में सुधार नहीं कर सकता है। खेल नैश के संतुलन तक पहुंच गया।

नैश द्वारा साबित किया गया है कि इस तरह के खेल में समान संतुलन कई कारणों से बहुत महत्वपूर्ण है। कारणों में से एक यह है कि वास्तविक जीवन से कई स्थितियों को खेल के रूप में मॉडलिंग की जा सकती है। जब लोगों के एक समूह को व्यक्तिगत और सामूहिक लाभों के बीच चयन करने के लिए मजबूर किया जाता है - उदाहरण के लिए, बातचीत में या सामान्य संसाधनों के लिए प्रतिस्पर्धा की प्रक्रिया में - आप देख सकते हैं कि रणनीतियों का उपयोग किया जाता है और जीत का मूल्यांकन किया जाता है। नैश के काम का इतना बड़ा प्रभाव पड़ा है, इस गणितीय मॉडल की सर्वव्यापी प्रकृति के लिए धन्यवाद।

एक और कारण यह है कि नैश संतुलन, एक अर्थ में, सभी खिलाड़ियों के लिए एक सकारात्मक परिणाम है। जब यह संतुलन हो जाता है, तो कोई भी खिलाड़ी अपनी रणनीति में बदलाव करके अपने परिणामों में सुधार नहीं कर सकता है। ऐसे सामूहिक परिणाम हो सकते हैं जो तब प्राप्त किए जा सकते हैं जब सभी खिलाड़ी पूर्ण सहयोग करते हैं, लेकिन यदि आप केवल अपने आप को नियंत्रित कर सकते हैं, तो नैश संतुलन उन परिणामों में से सबसे अच्छा होगा जिन्हें आप प्राप्त कर सकते हैं।

इसलिए, कोई भी उम्मीद कर सकता है कि आर्थिक प्रोत्साहन पैकेज, कर कोड, अनुबंध की शर्तों और नेटवर्क डिजाइन जैसे "खेल" नैश संतुलन का कारण बनेंगे, जिसमें अपने स्वयं के हितों में काम करने वाले व्यक्ति एक परिणाम के साथ आएंगे जो सभी को सूट करता है और सिस्टम स्थिर हो जाते हैं। लेकिन इस तरह के खेल खेलते समय, क्या यह मान लेना उचित है कि खिलाड़ी नैश के संतुलन में स्वाभाविक रूप से आते हैं?

ऐसा सोचने का मोह है। हमारे खेल "रॉक-पेपर-कैंची" में हम तुरंत अनुमान लगा सकते हैं कि खिलाड़ियों में से कोई भी बेहतर नहीं खेल सकता, सिवाय संयोग के खेलते हुए। लेकिन आंशिक रूप से ऐसा होता है क्योंकि सभी खिलाड़ियों की वरीयताओं को अन्य सभी खिलाड़ियों के लिए जाना जाता है: हर कोई जानता है कि एक दूसरे को कितना जीतना होगा और प्रत्येक परिणाम के साथ हारना होगा। लेकिन क्या होगा अगर प्राथमिकताएं अधिक छिपी और जटिल हैं?

एक नए खेल की कल्पना करें जिसमें खिलाड़ी बी को तीन अंक मिलते हैं जब वह कैंची के खिलाफ जीतता है, और किसी अन्य जीत के लिए एक अंक। यह मिश्रित रणनीति को बदल देगा: प्लेयर बी अक्सर पत्थर का चयन करेगा, जब खिलाड़ी ए कैंची का चयन करता है तो ट्रिपल इनाम की उम्मीद करता है। और यद्यपि अंकों का अंतर खिलाड़ी A के पुरस्कारों को सीधे प्रभावित नहीं करता है, लेकिन खिलाड़ी B की रणनीति में परिणामी परिवर्तन एक नई प्रति-रणनीति A को जन्म देगा।

और यदि प्लेयर B के प्रत्येक पुरस्कार अलग और छिपे हुए होंगे, तो प्लेयर A को प्लेयर बी की रणनीति जानने के लिए कुछ समय की आवश्यकता होगी। प्लेयर ए अनुमान से पहले कई राउंड होने चाहिए, आइए बताते हैं कि प्लेयर बी समझने के लिए कितनी बार एक पत्थर चुनता है कितनी बार उसे कागज चुनने की आवश्यकता होती है।

अब कल्पना करें कि 100 लोग रॉक-पेपर-कैंची खेलते हैं, और उनमें से प्रत्येक के पास गुप्त पुरस्कारों का एक अलग सेट है, जिनमें से प्रत्येक इस बात पर निर्भर करता है कि वे अपने 99 विरोधियों में से कितने को पत्थर, कैंची या कागज से जीतते हैं। संतुलन बिंदु तक पहुंचने के लिए आवश्यक पत्थर, कैंची या कागज को चुनने के लिए सिर्फ सही आवृत्ति की गणना करने में कितना समय लगेगा? सबसे अधिक संभावना है, बहुत कुछ। शायद खेल से ज्यादा खुद ही चलेगा। शायद ब्रह्मांड के जीवन काल से अधिक लंबा!

बहुत कम से कम, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि पूरी तरह से तर्कसंगत और विचारशील खिलाड़ी जो अच्छी रणनीति चुनते हैं और अपने स्वयं के हित में कार्य करते हैं, परिणामस्वरूप खेल में एक संतुलन आएगा। यह विचार 2016 में ऑनलाइन प्रकाशित एक लेख को रेखांकित करता है। यह साबित करता है कि कोई सामान्य समाधान नहीं है कि सभी खेलों में कम से कम एक अनुमानित नैश संतुलन हो सकता है। यह कहना नहीं है कि आदर्श खिलाड़ी कभी भी खेलों में संतुलन के लिए प्रयास नहीं करते हैं - अक्सर वे वास्तव में प्रयास करते हैं। इसका सिर्फ यह मतलब है कि यह मानने का कोई कारण नहीं है कि अगर सही खिलाड़ी खेल खेलते हैं, तो संतुलन हासिल किया जाएगा।

जब हम एक परिवहन नेटवर्क विकसित करते हैं, तो हम यह आशा कर सकते हैं कि सभी खिलाड़ी, अर्थात् ड्राइवर और पैदल यात्री, जिनमें से प्रत्येक घर का सबसे तेज़ रास्ता खोजना चाहते हैं, सामूहिक रूप से एक संतुलन तक पहुँचते हैं जिसमें एक अलग मार्ग चुनकर कुछ भी नहीं जीता जा सकता है। हम उम्मीद कर सकते हैं कि जॉन नैश का अदृश्य हाथ उन्हें इस तरह निर्देशित करेगा कि उनके प्रतिस्पर्धी और संयुक्त हित - ट्रैफिक जाम से बचने के लिए सबसे कम संभव मार्ग का चयन करें - संतुलन बनाएंगे।

लेकिन लगातार बढ़ती जटिलता के साथ हमारे रॉक-पेपर-कैंची खेल से पता चलता है कि ऐसी उम्मीदें सच नहीं हो सकती हैं। एक अदृश्य हाथ इन खेलों में से कुछ को नियंत्रित कर सकता है, लेकिन अन्य खेल इसका प्रतिरोध करते हैं, खिलाड़ियों को एक जीत के लिए अंतहीन प्रतिस्पर्धा में फंसाते हैं जो लगातार पहुंच से बाहर है।

अभ्यास

1. कहो खिलाड़ी बी मिश्रित रणनीति के साथ खेल रहा है $$$(\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2}, 0)$ । लंबे समय में अपनी जीत की मात्रा को अधिकतम करने के लिए A को किस मिश्रित रणनीति का चयन करना चाहिए?
2. कहो खिलाड़ी बी मिश्रित रणनीति के साथ खेल रहा है $$$(\ frac {1} {6}, \ frac {2} {6}, \ frac {3} {{}}$ । लंबे समय में अपनी जीत की मात्रा को अधिकतम करने के लिए A को किस मिश्रित रणनीति का चयन करना चाहिए?
3. यदि प्रत्येक खिलाड़ी को टाई के लिए एक बिंदु मिल जाए तो खेल की गतिशीलता कैसे बदल सकती है?