🕹️ 👨🏾 🖕🏽 दशमलव अंकगणितीय के लिए द्विआधारी गणना 🈵 🎶 🤜🏼

द्विआधारी अंकगणित का उपयोग करके दशमलव सटीकता की समस्या की जांच करना जारी है, जो पिछले पदों [1,2,3,4] में शुरू हुआ, मैं दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के प्रारूप में प्रस्तुत वास्तविक संख्याओं की गणना करने के लिए एल्गोरिदम विकसित करने में सक्षम था, जो कि बिल्कुल उसी तरह देता है जैसे कि गणना मैन्युअल रूप से की जाएगी।

ये एल्गोरिदम IEEE754 मानक द्वारा विनियमित बाइनरी अंकगणितीय का उपयोग करते हैं। एल्गोरिदम के संचालन का परीक्षण करने के लिए, C ++ में एक परीक्षण कार्यक्रम विकसित किया गया था जो 18-बिट दशमलव कैलकुलेटर को लागू करता है।
चूंकि सामग्री की मात्रा पोस्ट के प्रारूप से अधिक है, इसलिए मैंने सार के रूप में मुख्य बिंदुओं को निर्धारित किया है। हम इस पोस्ट को May Theses :( कहेंगे।

So.

यह ज्ञात है कि

उपयोगकर्ता के लिए अंकगणित दशमलव अंकगणित है।

बी-आर्य अंकगणित भी हैं, जहां बी संख्या प्रणाली का आधार है, किसी भी गैर-मूल्य का मान [5] ले रहा है।

विभिन्न पैमानों पर संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए, हम मंटिसा के उत्पाद के रूप में फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के अंकन का उपयोग करते हैं और आधार की कुछ मनमानी डिग्री। यह तथाकथित घातीय संकेतन है।

यदि संख्या की डिग्री तय हो गई है और संख्या का मंटिसा पूर्णांक है, तो इस प्रारूप को निश्चित-बिंदु प्रारूप कहा जाता है। निश्चित-बिंदु प्रारूप का एक विशेष मामला एक संख्या है जिसमें डिग्री शून्य है। यह प्रारूप पूर्णांक स्वरूप है।

यदि मंटिसा पूर्णांक भाग c and 0 और c <b के साथ b-ary संख्या प्रणाली में एक भिन्नात्मक संख्या है, तो ऐसी संख्या को सामान्यीकृत कहा जाता है।

इस तथ्य के बावजूद कि, उनकी भौतिक प्रकृति से, संख्या लगभग अनुमानित हैं, एक कंप्यूटिंग डिवाइस के लिए ये सटीक संख्याएं हैं और डिवाइस को उपयोगकर्ता-निर्दिष्ट सटीकता के साथ उन पर संचालन करना होगा।

अंकगणित में सटीक गणना का मतलब बिंदु [6] के बाद किसी दिए गए महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण अंकों के साथ परिणाम प्राप्त करना है।

कंप्यूटर में सभी गणना बाइनरी रूप में की जाती है। उनके लिए, आधार b = 2 है।

चूंकि द्विआधारी और दशमलव संख्या प्रणाली असंगत हैं, जब दशमलव वास्तविक संख्याओं को द्विआधारी कोड में परिवर्तित करते हैं, तो अक्सर हमें दशमलव संख्या के द्विआधारी समतुल्य का अनुमानित मूल्य मिलता है। इसलिए, जब दशमलव संख्याओं को बाइनरी में अनुवाद करते हैं, तो प्रतिनिधित्व त्रुटियां होती हैं।

दशमलव संख्याएं जिनमें सटीक द्विआधारी समतुल्य होते हैं, प्रतिनिधित्व योग्य कहलाती हैं।
दशमलव संख्याएं जिनके पास बाइनरी समतुल्य नहीं है, को गैर-प्रस्तुति कहा जाता है।

सभी पूर्णांक दशमलव संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने योग्य है यदि उनके बाइनरी समकक्ष में महत्वपूर्ण अंकों की संख्या मशीन शब्द क्षेत्र के बिट ग्रिड से अधिक नहीं है जिसमें वे लिखे गए हैं।

अधिक बाइनरी अंक संख्या के बाइनरी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करते हैं, प्रस्तुति त्रुटि जितनी छोटी होती है। यह प्रोसेसर के परिचालन रजिस्टर की क्षमता को लगातार बढ़ाने की इच्छा को बताता है।

कोई भी दशमलव संख्या जिसका द्विआधारी समतुल्य में महत्वपूर्ण अंकों की संख्या होती है जो मशीन शब्द के बिट ग्रिड से अधिक होती है, केवल लगभग प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

अंकगणित संचालन, जिसके परिणामस्वरूप मशीन शब्द मंटिसा की थोड़ी गहराई से अधिक होता है, एक अनुमानित संख्या लौटाता है।

अनुमानित संख्या में सही, संदिग्ध और गलत नंबर हो सकते हैं।
गणना में गलत संख्या सटीकता को प्रभावित करती है और कभी-कभी पूरी तरह से गलत परिणाम पैदा कर सकती है [3]।

अनुमानित गणना के सिद्धांत के अनुसार, सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, अनुमानित संख्याओं को गोल किया जाता है ताकि गलत संख्याओं को बाहर किया जा सके [6]।

वह सटीकता जो उपयोगकर्ता चाहता है, या गणनाओं में प्राप्त कर सकता है, वह मान्य अंकों की संख्या से निर्धारित होता है जो कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम प्रदान करता है।

किसी भी बाइनरी नंबर को अतिरिक्त बिट्स को त्यागकर, बाइनरी अंकों की निर्दिष्ट संख्या तक गोल किया जा सकता है।

इसी तरह, किसी भी दशमलव संख्या को दशमलव अंकों की आवश्यक संख्या तक गोल किया जा सकता है, अतिरिक्त अंकों को छोड़ दिया जाता है।

आप किसी भी द्विआधारी संख्या में अतिरिक्त बाइनरी अंकों को उसके दशमलव अंकों के बराबर संख्या में गोल करने के लिए नहीं छोड़ सकते, क्योंकि दशमलव संख्या के द्विआधारी समतुल्य की थोड़ी गहराई कम करने से इसके दशमलव समकक्ष में अमान्य अंकों की संख्या बढ़ जाएगी।

दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किसी भी वास्तविक संख्या को फ्लोटिंग-पॉइंट नंबर (टीएफटी) के प्रारूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है, जिसमें मंटिसा एक पूर्णांक है। एनटीसी में प्रदर्शक उस संख्या में बिंदु की स्थिति का संकेत देगा।

यदि संख्या एक पूर्णांक मंटिसा के साथ एक एनटीसी के प्रारूप में प्रस्तुत की जाती है, तो मंटिसा और इस संख्या के प्रतिपादक को बाइनरी कोड में सटीक रूप से परिवर्तित किया जा सकता है।

नई

एक प्रारूप जिसमें दशमलव टीएनटी मंटिसा को दशमलव पूर्णांक मंटिसा के द्विआधारी समकक्ष द्वारा दर्शाया गया है, और घातांक 10 (बेस बी = 10) की शक्ति के द्विआधारी समतुल्य है, को मिश्रित दशमलव-बाइनरी प्रारूप (एसडीडीएफ) कहा जाएगा।

एसडीडीएफ और बाइनरी टीएफटी प्रारूप के बीच का अंतर यह है कि एसडीडीएफ में घातांक बेस डिग्री b = 10 के बराबर है, जबकि बाइनरी टीएफटी प्रारूप का घातांक बाइनरी बेस डिग्री b = 2 के बराबर है। तदनुसार, एसडीडीएफ के लिए, संख्या के रूप में प्रस्तुत किया जाएगा

F = M_{2} 10^{e}

$F = M_ {2} 10 ^ {e}$ और IEEE754 मानक में, सीएनसी के लिए, के रूप में

F = M_{2} 2^{e}

$F = M_ {2} 2 ^ {e}$ ।

एसडीडीएफ और बाइनरी दशमलव (डीडीएफ या बीसीडी) टीएफटी प्रारूप के बीच का अंतर यह है कि डीडीएफ में मंटिसा और घातांक पूर्णांक दशमलव संख्या होते हैं, जिसमें प्रत्येक अंक को बाइट या टेट्रड के रूप में लिखा जाता है, जबकि सभी दशमलव संख्या एसडीडीएफ में व्यक्त की जाती हैं। उनके पूर्णांक बाइनरी समकक्ष।

इस प्रकार, किसी भी दशमलव वास्तविक संख्या को एसडीडीएफ में एन महत्वपूर्ण दशमलव अंकों तक द्विआधारी कोड के साथ दर्शाया जा सकता है।

SDDF में दशमलव CTDs पर सभी अंकगणितीय संचालन साधारण अंकगणित के नियमों के अनुसार किए जाते हैं, जहाँ सभी तर्क पूर्णांक होते हैं।

प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन से पहले, दशमलव संख्या को एसडीडीएफ प्रारूप में दर्शाया गया है: [एस, एम, जेड, ई]। संख्या के चिह्न (0 या 1) का S- कोड कहाँ है। M एक अंक के मंटिसा के बराबर द्विआधारी पूर्णांक है जो दशमलव अंकों की संख्या के साथ है। एन जहां गणना की सटीकता है। z प्रतिपादक का चिन्ह है, e प्रतिपादक का मान है। ऐसा प्रतिनिधित्व एक सामान्यीकृत दशमलव प्रतिनिधित्व है।

उदाहरण के लिए, एन = 7 महत्वपूर्ण अंकों की सटीक गणना के लिए, संख्या 123,456 को 1234560 * 10 ^ -4 के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

N = 7 के लिए न्यूनतम दशमलव मंटिसा M = 1,000,000 होगा।

N = 7 के लिए अधिकतम दशमलव मंटिसा M = 9999999 होगा।

अधिकतम 7-बिट संख्या 9999999 के बाइनरी समकक्ष 100 110 001 001 011 001 111 111 होंगे। इसमें 24 बाइनरी अंक शामिल हैं। इसलिए, 1,000,000 से 9999999 तक की सीमा में दशमलव मंत्रों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक द्विआधारी 24-बिट रजिस्टर की आवश्यकता होती है।

यदि 32-बिट बाइनरी मशीन शब्द में, जिसमें 24 अंक मंटिसा को सौंपे जाते हैं, एक अंक एस के हस्ताक्षर को सौंपा जाता है, एक अंक एक्सपेंटर जेड के, और एक्सपोर्टर को 6 अंक, तो दशमलव वास्तविक संख्याओं को ऐसे एसडीएफ में दर्शाया जा सकता है। N = 7 महत्वपूर्ण दशमलव संख्याओं के लिए सटीक। इन संख्याओं का पूर्ण मान 1,000,000 * 10 ^ -64 से 9999999 * 10 ^ 64 तक है।

प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन के बाद, संख्या के दशमलव मंटिसा को सामान्य किया जाना चाहिए और निकटतम पूर्णांक तक गोल किया जाना चाहिए। ऐसा करने के लिए, संख्या के मंटिसा के परिणामी बाइनरी समतुल्य, यदि आवश्यक हो, बाइनरी को 10 से गुणा या इस हद तक विभाजित किया जाना चाहिए कि मंटिसा के दशमलव बराबर के अंकों की संख्या N के बराबर हो जाए। परिणामी संख्या निकटतम पूर्णांक तक गोल होनी चाहिए।

एक उदाहरण है।

एन = 7 तक, अभिव्यक्ति का परिणाम (9675,423 * 10 ^ 2-9,675421 * 10 ^ 5) * 10 ^ 6 - 199992
मैन्युअल रूप से या विंडोज कैलकुलेटर पर गणना, यह अभिव्यक्ति संख्या 8.000000 के बराबर होगी
हम ऑपरेंड को सामान्यीकृत रूप में लिखते हैं:

A=9,675423*10^5= 9675423*10^-1
B= 9675,421*10^2 = 9675421*10^-1
C=1000000 = 1000000*10^0
D = 1999920*10^-1

SDDF में, इन परिचालनों का प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जाएगा:

A=[0, 9675423,1, 1]
B=[0,9675421,1, 1]
C=[0, 1000000,0, 0]
D=[0, 1999920,1, 1]

अंतर ज्ञात करें S = AB। चूंकि A और B के ऑपरेंड एक समान होते हैं, इसलिए हम उनके अंतर का मूलमंत्र पाते हैं:

9675423-9675421=2

मंटिसा एस को सामान्य करने के लिए, हमें इसे 10 ^ 6 से गुणा करना होगा, जबकि घातांक को 6 से कम करना होगा। फिर S = 2 * 1,000,000 = 2,000,000 * 10 ^ -7

हम उत्पाद पी = डी * सी की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, कारकों के मंटिसा को गुणा करें और घातांक जोड़ें:

एम = 2,000,000 * 10 ^ -7 * 1,000,000 * 10 * 0 = 2,000,000,000,000,000 * 10 ^ -7
मंटिसा को सामान्य करने के बाद, हमें P = 2,000,000 * 10 ^ -1 मिलता है।
गणना R का परिणाम बराबर होगा:
आर = पीडी = 2,000,000 * 10 ^ -1-1999920 * 10 ^ -1 = 80 * 10 ^ -1
सामान्य होने के बाद, हमें R = 8000000 * 10 ^ -6 मिलता है।

तुलना के लिए, एक्सेल में इस अभिव्यक्ति की गणना करने से परिणाम आर = 8,0000698E + 00 मिलता है।

लेखक ने एसडीडीएफ में एक कैलकुलेटर एल्गोरिथ्म विकसित किया है जो 18 महत्वपूर्ण अंकों तक दशमलव संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन को करता है। एल्गोरिथ्म की शुद्धता की पुष्टि करने के लिए, एक C ++ प्रोग्राम लिखा गया था। चूंकि लेखक एक पेशेवर प्रोग्रामर नहीं है, इसलिए विकसित कार्यक्रम केवल गणना एल्गोरिदम के अध्ययन के लिए है।

नीचे, एक उदाहरण के लिए, एक स्क्रीनशॉट निम्नलिखित अभिव्यक्ति की गणना को प्रदर्शित करता है:

1,23456789098765432*10^8 * 9,87654321234567891*10^(-9) - 1,2193263123914037*10^0≈ 3.0*10^(-17)

प्रदर्शन का परीक्षण करने के लिए, दो 18-बिट संख्याओं को गुणा करने का संचालन एक चक्र में शुरू किया गया था। कार्यक्रम एक Intel® Core (TM) i3-4330 CPU@3.50GHz 3.50 GHz कंप्यूटर पर चला। रैम 8.0 जीबी। सिस्टम प्रकार: 64-बिट गति ≈ 2.4 * 10 ^ 6 गुणा प्रति सेकंड के बराबर थी।

मैं अब तक विंडोज और एक्सेल कैलकुलेटर की गति के साथ तुलना नहीं कर सकता, पर्याप्त शिक्षा नहीं है :(। गणना की सटीकता के लिए। यह वैसा ही है जैसे कि गणना मैन्युअल रूप से की गई थी।

संदर्भ:

दशमलव अंकगणितीय के लिए द्विआधारी गणना

यह ज्ञात है कि

नई

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