हम लेख "बेईमान खेल, या ड्रॉ के आयोजक हमें कैसे धोखा दे रहे हैं" के लिए संभावनाओं की गणना करते हैं।

एक प्रसिद्ध ट्रेडिंग नेटवर्क द्वारा खेल के विश्लेषण पर एक लेख क्लाउड 4 वाई में बहुत रुचि पैदा करता है। यहां आपको गति देने के लिए कुछ मार्ग दिए गए हैं:

एक बार, एक धूप वसंत की सुबह, एक शहर के मंच को पढ़ते हुए, मैं एक प्रसिद्ध व्यापारिक नेटवर्क से एक सरल गेम के साथ एक लिंक पर आया। विश्व कप के लिए समर्पित खेल (एक्शन) फुटबॉल की गेंदों से भरे तीन मैदानों में से एक था। गेंद पर क्लिक करके, हमने एक विशेष उत्पाद के साथ एक तस्वीर खोली। तीन समान चित्रों को खोलते समय, प्रतिभागी को नेटवर्क के किसी एक स्टोर में इस उत्पाद की मुफ्त प्राप्ति की गारंटी दी गई थी। इसके अलावा, एक गेंद के नीचे एक लाल कार्ड की एक छवि थी, जिसके उद्घाटन का मतलब खेल का अंत था।

लेख के लेखक ने अपने नुकसान के कारणों की जांच शुरू की और गणना के परिणामों के आधार पर, निम्नलिखित पाया:

नैपकिन पर सूत्रों का एक त्वरित स्केच, और यह निकला कि जीतने की संभावना 1/4 है। 5 क्षेत्रों के लिए, मुझे टिंकर करना था, लेकिन गणना की संभावना भी 25% थी।
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स्क्रिप्ट चलाने से मुझे अप्रत्याशित परिणाम मिला - 25% जीत। जीतने वाले तत्वों की संख्या और खेतों की कुल संख्या के साथ खेले जाने के बाद, मुझे पता चला कि इस तरह के खेल में जीतने की संभावना फ़ील्ड की संख्या पर निर्भर नहीं करती है और एक से बढ़ कर जीतने वाले तत्वों की संख्या से विभाजित होने के बराबर है।

हम इस तरह की गणना की शुद्धता में रुचि रखते थे और, Excel के साथ नैपकिन की जगह, हम गणितीय सत्य की खोज में काम करने के लिए तैयार हैं। हमारी गणना की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए, पाठक जो संभाव्यता सिद्धांत के शौकीन हैं, उन्हें बिल्ली के लिए आमंत्रित किया जाता है।

सबसे पहले, हम खेल के नियमों का पता लगाते हैं। इसमें, यह जाने बिना, हब्र स्टेकेंको के उपयोगकर्ता ने उनकी टिप्पणी में मदद की। वह यह भी लिखते हैं:

यदि आप लेखक की स्क्रिप्ट को देखते हैं, तो यह इस धारणा पर लिखा गया है कि मैदान पर एक उत्पाद के तीन कार्ड होने चाहिए, पांच अन्य सामानों के एक कार्ड, और एक लाल कार्ड, जबकि खेल का वर्णन बिल्कुल इसका पालन नहीं करता है - नियम यह नहीं कहते हैं जीतने वाला संयोजन मैदान पर मौजूद होना चाहिए।

हालाँकि, नियम कहते हैं कि कुल 26 उत्पाद शामिल हैं। यह पता चलता है कि 9 कार्ड जारी किए गए हैं: 8 कार्ड दोहराव वाले 26 उत्पादों के संयोजन हैं, और एक कार्ड लाल है।

ऐसी परिस्थितियों में, जीतने की गणितीय संभावना की गणना सुझाए गए मूल पद के लेखक की तुलना में कुछ अधिक जटिल है। खेल में कई परतें शामिल हैं:

• लाल कार्ड खोले बिना एन कार्ड खोलने की संभावना खेल की एक अलग अवधि की संभावना है, भले ही कोई पुरस्कार हो।
• एक ही सामान के साथ 3 कार्ड के संयोजन को इकट्ठा करने की संभावना। यह संभावना अलग-अलग खेल अवधि के साथ बदलती है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि सामान के साथ 8 कार्ड का एक सेट और हमेशा एक लाल में जरूरी नहीं कि कम से कम एक जोड़ी समान कार्ड हों, एक साथ तीन का उल्लेख नहीं करना।

आइए एक सरल से शुरू करें - यह समझने में कि लाल कार्ड के नियम के कारण उनके द्वारा खोले जाने वाले कार्ड की संख्या में वृद्धि के साथ प्रतिभागियों की संख्या में कमी कैसे आएगी।

विभिन्न खेल लंबाई के विषम

हम गणना करते हैं कि यह कितनी संभावना है कि एन परीक्षणों (खुले कार्ड) के लिए लाल खोला जाएगा।

UPD: शुरू में, हमने एक द्विपद वितरण का उपयोग करके लाल खोलने की संभावना की गणना की। यह हमें सख्ती से 1 लाल कार्ड की गारंटी नहीं देता है, इस तरह के वितरण के साथ सबसे अधिक संभावना एक लाल कार्ड था, लेकिन 0 या सभी 9 एक बहुत, बहुत कम संभावना के साथ हो सकता है। फिर, टिप्पणी में एक गलती की ओर इशारा करने और सही समाधान का सुझाव देने के लिए स्टेकेंको का धन्यवाद।



अंतिम कॉलम दिखाता है कि इस अवधि के साथ खेल में सौ में से कितने खिलाड़ी बने हुए हैं। बाकी खिलाड़ियों को लाल कार्ड के कारण समाप्त कर दिया जाता है, बिना यह जाने कि कार्ड के जारी किए गए सेट में एक विजेता संयोजन था या नहीं।

अब हम एक ही सामान के साथ तीन कार्डों के संयोजन को इकट्ठा करने की संभावनाओं की गणना करेंगे। यह पुरस्कार प्राप्त करने के लिए एक शर्त है।

पुरस्कार की संभावना

हम तार्किक रूप से खेल को विघटित करते हैं। हम पहला कार्ड खोलते हैं, और फिर इस कार्ड के लिए जोड़ी का चयन करते हैं, जोड़ी के लिए तीन का चयन करते हैं। इस दृष्टिकोण के साथ, हम तीन या अधिक प्रयासों में 3 समान कार्ड प्राप्त करने की संभावना की गणना कर सकते हैं, इस तथ्य के आधार पर कि खेल में 26 उत्पाद हैं।

परीक्षणों या परीक्षणों की एक निश्चित संख्या वाले कार्यों के लिए, यदि किसी भी परीक्षण का परिणाम केवल सफलता या विफलता हो सकता है, परीक्षण स्वतंत्र हैं, और सफलता की संभावना पूरे प्रयोग में स्थिर रहती है, तो हम बर्नौली फार्मूले का उपयोग करेंगे - एक्सेल में, BOMOM.DIS फ़ंक्शन।

BINOM.RASP फ़ंक्शन का उपयोग करके, आप गणना कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, अगले तीन नवजात शिशुओं में से दो लड़के होंगे। तीन प्रयासों में एक ही की खोज की संभावना क्या है?

= BINOM.RASP (3; 3; 1/26; 0) नकाब से
= BINOM.DISP (सफलताओं की संख्या; परीक्षणों की संख्या; सफलता की संभावना; अभिन्न)

या यहाँ 8 प्रयासों में 3 समान और कुछ सामान प्राप्त करने की संभावना की गणना करने का सूत्र है।

= BINOM.RASP (3; 8; 1/26; 0), है ना?

वास्तव में नहीं। जब हम 4 परीक्षणों में खेल की अवधि तक पहुंच गए, तो लाल खोलने की अनुमति नहीं दी और खेलना जारी रखा, हमें एक विजेता तीन का चयन करने के लिए दो जोड़ों की संभावना के साथ एक स्थिति मिलती है।

परंपरागत रूप से, 26 में से दो सामान ए और बी हैं। हमारे खुले कार्ड ए-बी-ए-बी हैं। संभावना अब 1/26 नहीं है, लेकिन 1/26 + (1/26) * "खेल की दी गई अवधि के लिए दो जोड़े की संभावना । "

खेल की दी गई अवधि के लिए दो जोड़े की संभावना = BINOM.DISP (2; 5; 1/26; 0); ^ 2

7 वें प्रयास से अधिक लंबे गेम तक पहुंचने पर, हमें ए-बी-ए-बी-बी-बी जैसे संयोजन मिलते हैं। इसका मतलब है कि संभावना अब बराबर है

= 1/26 * (1 + BINOM.RASP (2; 7; 1/26; 0) ^ 2 + BINOM.RASP (2; 7; 1/26; 0) ^ 3) और हम 1 के लिए तीसरा कार्ड ढूंढ रहे हैं। 2 या तीन जोड़े।

UPD: इसके अलावा, शुरू में हम इस बात पर ध्यान नहीं देते थे कि हमारी गणना का पहला प्रयास, लाल को चुनने की संभावना से मुक्त, 26 उत्पादों में से किसी एक की खोज है, जिसका अर्थ है 100% सफलता। मैट्रिक्स में किसी उत्पाद के दोहराव की संख्या किसी एक उत्पाद के साथ मेल खाने की संख्या है, जिसका अर्थ है कि किसी एकल उत्पाद के लिए दो पुनरावृत्तियां जीतने के लिए पर्याप्त हैं, और एक विशिष्ट अनुमानित परिणाम के साथ मैच 3 नहीं। इस प्रकार, किसी भी कार्ड की पहली पसंद और दो एक ही फॉर्म के दो और लेने का प्रयास कुल तीन प्रयोग।

संभावनाओं को जानते हुए, हम एक मैट्रिक्स का निर्माण कर रहे हैं:



इसमें हम खेल की अवधि के प्रत्येक संस्करण के लिए किसी उत्पाद की अधिकतम संख्या की पुनरावृत्ति की संभावना पाते हैं। याद रखें कि 4 वें प्रयास और 7 पर परिवर्तन जीतने की संभावना, जिसका अर्थ है कि हम इसे BINOM.RASP सूत्र में ध्यान में रखते हैं

हमें 3 या अधिक के किसी भी उत्पाद की अधिकतम संख्या के साथ विकल्प की आवश्यकता है। चूंकि हम तीनों को इकट्ठा करते ही खेल बंद कर देंगे, इसलिए हम बोल्ड क्षेत्र में कॉलम द्वारा संभावनाओं को जोड़ते हैं।



इसके बाद, हम इस तरह की अवधि के साथ पुरस्कार जीतने की संभावना से प्रत्येक खेल की अवधि को गुणा करते हैं। इन टुकड़ों को समेटते हुए, हमें प्रति 10,000 खिलाड़ियों पर 0.0192 या 192 विजेताओं की संभावना मिलती है।

हां, वास्तव में यह बहुत कम संभावना है। सभी 25% पर नहीं। आइए खेल के नियमों को फिर से देखें:

8. पुरस्कार राशि:

8.1। उपलब्ध पुरस्कार: नाम और मात्रा
...
कुल 166,000

हम जीतने की संभावना से 116,000 को विभाजित करते हैं और सभी पुरस्कारों को खेलने के लिए लगभग 6 मिलियन प्रतिभागियों को प्राप्त करते हैं। स्मरण करो कि 1 जनवरी, 2018 को, रोस्टैट के अनुसार, रूस में 146 938 921 स्थायी निवासी थे। जाहिर है, यह खेल के आयोजकों का विचार है - रूस के लगभग हर नागरिक को जीतने का मौका देने के लिए।

UPD: परिवर्तनों के बाद अंतिम संभावना बदल गई है। अब हम लिपियों की मदद से अभ्यास में अपनी गणना का परीक्षण कर सकते हैं, लेकिन पिछली पीढ़ी के गणितज्ञों और सिद्धांतकारों के दिमाग का भगवान का उपहार अद्भुत है, जिन्होंने इस तरह की कई संभावनाओं की गणना की, कागज पर सही समाधान खोजने और मानसिक प्रयोगों का उपयोग किया।

कोड के विश्लेषण से मूल प्रकाशन के लेखक को पता चला कि खेल शुरू होने से पहले ही, स्क्रिप्ट "इसके परिणाम" को जानती है, लेकिन कोई भी नहीं जानता कि पूर्वनिर्धारित परिणाम क्या स्क्रिप्ट विशिष्ट उपयोगकर्ता को देगा। मुद्दे के गणितीय पक्ष को जानने के बाद, आप आयोजकों की ईमानदारी के बारे में अपना निष्कर्ष निकाल पाएंगे।