मिश्रित दशमलव बाइनरी प्रारूप IEEE754 बनाम

पिछले विषय में , हमने दशमलव फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक नया प्रारूप माना, जिसे हमने मिश्रित दशमलव-बाइनरी प्रारूप (एसडीडीएफ) कहा।

यह प्रारूप आपको BCD का उपयोग किए बिना कंप्यूटर पर अंकगणितीय गणना करने की अनुमति देता है, जैसे कि गणना मैन्युअल रूप से की गई हो।
याद रखें कि मिश्रित दशमलव-बाइनरी प्रारूप (एसडीडीएफ) दशमलव फ्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं के लिए एक द्विआधारी कोड प्रतिनिधित्व प्रारूप है, जिसमें पूर्णांक मंटिसा अपने दशमलव मूल्य के द्विआधारी समकक्ष है, और घातांक 10 की शक्ति के द्विआधारी समकक्ष है। एसडीएफ में वास्तविक संख्या को इस रूप में दर्शाया गया है।

$$

$$F = SM_ {2} 10 ^ {e}$$

जहाँ $$$M_ {2}$और ई बाइनरी पूर्णांक हैं। एक दशमलव संख्या के बाइनरी समकक्ष चयनित प्रारूप में इस दशमलव संख्या का द्विआधारी कोड है। एक बाइनरी नंबर के दशमलव समकक्ष इस बाइनरी नंबर का दशमलव कोड है।

आइए हम अस्थायी बिंदु संख्याओं के मूल गुणों की तुलना करते हैं, जिन्हें IEEE754 मानक और SDDF में प्रस्तुत किया गया है। सादगी के लिए, 16-बिट मशीन शब्द पर विचार करें। यह तथाकथित आधा-सटीक प्रारूप है। तुलना परिणाम आसानी से एकल और दोहरे सटीक इंटरचेंज प्रारूप के मामले में बढ़ाया जा सकता है।

हम 16-बिट बाइनरी शब्द को निम्नलिखित क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: एस, ई, एम। संख्या के चिन्ह का S-अंक कहाँ है, e शिफ्ट किए गए घातांक का 5 बिट है, m संख्या के दशमलव mantissa के बाइनरी 10 बिट्स है। 5-बिट रजिस्टर में दर्ज ऑफसेट एक्सपोनेंट का अधिकतम बाइनरी मान emax = 11111, या दशमलव रूप emax = 31 के बराबर होगा। इस मामले में ऑफसेट 15 है।

इतना

1 है । IEEE754 में पैक किए गए नंबर मंटिसा में नंबर मंटिसा का आंशिक भाग होता है।

SDDF में मंटिसा संख्या एक बाइनरी पूर्णांक है।

२ । सामान्यीकृत IEEE मंटिसा अनपैक्ड रूप में 1.xxxxxxxxxx जैसा दिखता है। जहां x कोई भी बाइनरी अंक है।

चूंकि मंटिसा को सामान्यीकृत किया गया है, इसलिए इसका पूरा हिस्सा अनपैक्ड रूप में हमेशा 1 के बराबर होता है। इस इकाई को मशीन की मेमोरी में संग्रहीत नहीं किया जा सकता है। इस प्रकार, अनपेक्षित रूप में, आभासी इकाई को ध्यान में रखते हुए, मंटिसा में 11 बिट्स होंगे।

एसडीडीएफ में सामान्यीकृत मंटिसा दशमलव संख्या के बराबर के बराबर एक द्विआधारी पूर्णांक है, जो हमारे मामले में तीन अंकों द्वारा दर्शाया गया है: यूएक्सएक्स। जहां U कोई भी दशमलव अंक शून्य के बराबर नहीं है। X कोई दशमलव अंक है।

1023 की अधिकतम दशमलव संख्या को मंटिसा के 10 बिट्स में दर्शाया जा सकता है। 1023 से कम के सभी पूर्णांकों को 10 बिट्स द्वारा दर्शाए जाने की गारंटी दी जा सकती है। इसलिए, मंटिसा be 999 के साथ सभी दशमलव पूर्णांक बिल्कुल मंटिसा के 10 बिट्स द्वारा दर्शाए जा सकते हैं।

३ । IEEE754 में, अधिकतम सामान्यीकृत बाइनरी मंटिसा Mmax = 1.1111111111 = 1.9990234385 है

मान्य अंकों की गारंटीकृत संख्या जिसे बाइनरी 11-बिट मंटिसा द्वारा दर्शाया जा सकता है 3 है ।

SDDF में अधिकतम सामान्यीकृत दशमलव mantissa Mmax = 999 या बाइनरी Mmax = 1 111 100 111 है। mantissa के दशमलव समकक्ष में 3 दशमलव अंक होते हैं। इसलिए, हमारे उदाहरण में तीन अंकों का मंटिसा एसडीडीएफ 3 में महत्वपूर्ण दशमलव अंकों में सटीक रूप से दर्शाया गया है।

४ । IEEE754 में, एमिन = 0 के साथ न्यूनतम सामान्यीकृत मंटिसा मूल्य होगा: मिन्मिन = 1.0

एसडीडीएफ में न्यूनतम सामान्यीकृत मंटिसा, एमिन 0 पर, दशमलव संख्या Mmin = 100 के बराबर है। या बाइनरी फॉर्म में Mmin = 0001100100।

५ । अधिकतम सकारात्मक दशमलव संख्या जो कि IEEE754 प्रारूप में एक पक्षपाती प्रतिपादक के साथ लिखी जा सकती है

Fmax = 2 ^ emax * Mmax = 2 ^ 31 * 1.9990234375 = 4292870144 = 4.292870144 * 10 ^ 9। हालाँकि, मानक में, अधिकतम संख्या Fmax = 2 ^ emax = 2 ^ 31 = 4294967296 = 4.294967296 * 10 ^ 8 है। संख्या> 2 ^ 31 को समान प्लस इन्फिनिटी माना जाता है।

एक पक्षपाती प्रतिपादक के साथ SDDF प्रारूप में सटीक लिखी जा सकने वाली अधिकतम सकारात्मक दशमलव संख्या होगी

Fmax = 10 ^ emax * Mmax = 10 ^ 31 * 999 = 9.99 * 10 ^ 33

६ । IEEE प्रारूप में प्रतिनिधित्व किए जा सकने वाले अनुमानित सामान्यीकृत नंबरों की श्रेणी होगी

Fmax / Fmin = 2 ^ 31 = 4294967296 = 4.294967296 * 10 ^ 8

एसडीडीएफ प्रारूप में जिन सटीक संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, उनकी सीमा बराबर होगी
फमैक्स / फ़मिन = 9.99 * 10 ^ 31

।। IEEE में बाइनरी नंबर को ऑफ़सेट एक्सपोनेंट (एमिन = 0) के साथ बदलने का चरण है:
h = 0.0000000001 = 2 ^ -10 = 0,0009765625

SDDF में एक शिफ्ट किए गए घातांक के साथ दशमलव संख्या को बदलने का चरण है (emin = 0):
h = ००००११००१०० = १००

।। IEEE754 में, एक पक्षपाती प्रतिपादक के साथ, यदि e = 0 है, तो सभी संख्याएँ जो <1.0 हैं वे सबऑनॉर्मल हैं। जितनी छोटी सबनॉर्मल संख्या होती है, उतनी ही कम यह दशमलव के बराबर होती है। विशेष एल्गोरिदम को एक विनिमय प्रारूप में उप-संख्याओं को कूटबद्ध करने के लिए आवश्यक है, एक विनिमय प्रारूप से डिकोडिंग, साथ ही अंकगणितीय संचालन के दौरान उप-संख्याओं का निर्धारण करने के लिए विशेष जाल।

SDDF में कोई सबनॉर्मल नंबर नहीं हैं। सभी संख्याओं को एक सटीकता के साथ दर्शाया गया है, हमारे मामले में, 3 महत्वपूर्ण अंकों तक।

९ । एक निष्पक्ष घातांक के साथ, IEEE754 प्रारूप में लिखा जा सकता है कि अधिकतम सामान्यीकृत सकारात्मक दशमलव संख्या होगी
Fmax = 2 ^ emax * Mmax = 2 ^ 15 * 1.9990234375 = 65504। हालांकि, मानक में, अधिकतम संख्या संख्या Fmax = 2 ^ emax = 2 ^ 15 = 32768 है। संख्या> 32768 को समान प्लस इन्फिनिटी माना जाता है।

एक निष्पक्ष घातांक के साथ, अधिकतम सकारात्मक दशमलव संख्या जो एसडीडीएफ में लिखी जा सकती है, के बराबर होगी

Fmax = 10 ^ इमैक्स * Mmax = 999 * 10 ^ 15 = 9.99 * 10 ^ 17

१० । एक निष्पक्ष घातांक के साथ, IEEE754 प्रारूप में न्यूनतम सामान्यीकृत सकारात्मक दशमलव संख्या Fmin = 1.0 * 2 ^ -15 = होगी
3.0517578125 * 10 ^ -5।

एक निष्पक्ष घातांक के साथ, एसडीडीएफ प्रारूप में लिखा जा सकता है कि न्यूनतम सामान्यीकृत सकारात्मक दशमलव संख्या Fmin = 100 * 10 ^ -15 = 10 ^ -13 होगी

११ । एक निष्पक्ष घातांक के साथ, IEEE में न्यूनतम बाइनरी समतुल्य दशमलव कदम है:

h = 0.0000000001 * 2 ^ -15 = 2 ^ -25 = 3.0517578125 * 10 ^ -5

एक निष्पक्ष प्रतिपादक के साथ, SDDF में न्यूनतम कदम न्यूनतम संख्या के साथ मेल खाता है और इसके बराबर है:

h = 001100100 * 10 ^ -15 = 10 ^ -13

१२ । IEEE754 में, इसके बाइनरी मान पर संख्या Fd के दशमलव समकक्ष के मूल्य की निर्भरता का कार्य समान नहीं है, क्योंकि एक नियम के रूप में, संख्या के दशमलव मंटिसा के 1 कम से कम महत्वपूर्ण अंक को बदलने के लिए, मशीन Ɛ के बराबर कई एच का योग आवश्यक है।
इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि e = 0, Fd1 = 1.0 = 1.0000000000 और Fd2 = 1.11001.0001100110 हमारे पास होगा
Fd2- Fd1 = 1.0001100110 -1.0000000000 = 0.0001100110 = 0.099609375
0.0001100110 / एच = 0.0001100110 / 0.0000000001 = 1100110 = 102 = h

एसडीडीएफ में, द्विआधारी मूल्य पर एफडी संख्या के बराबर दशमलव के मूल्य की निर्भरता का कार्य एक समान है। दशमलव संख्या मंटिसा के बाइनरी समकक्ष के एच में कोई भी परिवर्तन संख्या के दशमलव बराबर के कम से कम 1 महत्वपूर्ण बिट में परिवर्तन को मजबूर करता है। यहाँ मशीन Ɛ = 1। दरअसल।

यदि ई = 0,
Fd1 = 100 = 0001100100
Fd2 = 200 = 0011001000
Fd2- Fd1 = 0011001000-0001100100 = 0001100100 = 100 = एच

अंत में, हम 32 बिट्स (IEEE754 मानक में एकल-परिशुद्धता) से मिलकर विनिमय प्रारूप के लिए IEEE754 मानक और SDDF में वास्तविक संख्याओं के प्रतिनिधित्व की मुख्य विशेषताओं को प्रस्तुत करते हैं।

IEEE754 के लिए, एकल-सटीक मशीन-शब्द बिट्स को एस कोड के 1 बिट के रूप में आवंटित किया जाता है, ई - पक्षपाती प्रतिपादक के 8 बिट्स, एम - 23 स्पष्ट mantissa बिट्स। अनपैक्ड, एम = 24।

IEEE754 के लिए:
घातीय विस्थापन गुणांक 127 इमैक्स = 127 है। M = 1.0 के साथ सबसे छोटी सामान्यीकृत संख्या का निष्पक्ष क्रम p = e-127 + 1 = -126 है। संख्या <2 ^ -126 को उप-असामान्य माना जाता है।

न्यूनतम सामान्यीकृत संख्या Fmin = 1.0 * 2 ^ -126 = 1.1754943508222875079687365372222e-38 है

अधिकतम सामान्यीकृत संख्या
Fmax = 2 ^ 127 = 1,7014118346046923173168730371588e + 38

2 ^ 127 से अधिक की संख्या को सकारात्मक अनंत माना जाता है।

एसडीडीएफ के लिए, मशीन शब्द के अंक निम्नानुसार वितरित किए जाते हैं: एस - 1 अंक, ई - 7 बिट, एम - 24 बिट। घातीय विस्थापन गुणांक 63 है। तब

इमैक्स = 64
एममैक्स = 9999999
Fmax = 9999999 * 10 ^ 64 = 9.999999 * 10 ^ 70
Fmin = 1,000,000 * 10 ^ -63 = 10 ^ -57

वास्तविक दशमलव संख्याओं के प्रतिनिधित्व की शुद्धता 7 महत्वपूर्ण दशमलव अंक है।