प्रकाश के प्रक्षेपवक्र के साथ संख्या सिद्धांत क्या जोड़ता है?

गॉस के बाद, हम गणित की "शाही" स्थिति को पहचानते हैं, और यह देखते हुए कि हमारी कंपनी में एक क्षमता केंद्र "एल्गोरिदम समर्थन" है, हमारे पास अक्सर इस विषय पर दिलचस्प सामग्री होती है: हमारे सहयोगी अपने स्वयं के, लेखक के लेख लिखते हैं, फिर अध्ययन करते हैं यह दिलचस्प विदेशी सहयोगियों के साथ होता है, तीसरे पक्ष के लेखों की संक्षिप्त समीक्षा और अनुवाद तैयार करते हैं। यह शायद उन लोगों के लिए उपयोगी होगा जो हमारे हितों को साझा करते हैं, इसलिए हमने इन सामग्रियों और ज्ञान को साझा करने का निर्णय लिया।


गणित में, अक्सर ऐसा होता है कि यह सबसे सरल चीजें हैं जो हर किसी और सभी को मालूम होती हैं, जैसे कि तर्कसंगत संख्याएं, यह समझना बहुत मुश्किल है। उदाहरण के लिए, गणितज्ञ कई सौ वर्षों से डायोफैंटाइन समीकरणों के लिए तर्कसंगत समाधान खोज रहे हैं। भौतिकी से उधार लिए गए विचारों ने हज़ार साल के काम को सुलझाने में मदद की। हमारे आंशिक अनुवाद और अवलोकन के साथ, क्वांटा पत्रिका में प्रकाशित एक लेख प्रस्तुत है।

मिनखुन किम, ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ, यह पता लगाने की कोशिश कर रहे हैं कि कौन से तर्कसंगत संख्या कुछ प्रकार के डायोफैटिन समीकरणों को हल कर सकती हैं। गणित की यह समस्या लगभग 3,000 साल पुरानी है। चूंकि तर्कसंगत निर्णय ज्यामितीय पैटर्न का पालन नहीं करते हैं, यह वास्तव में एक मुश्किल काम है। इतना जटिल कि 1986 में गर्ड फालिंग को केवल यह साबित करने के लिए फील्ड्स पुरस्कार मिला कि डायोफैंटाइन समीकरणों के कुछ वर्गों में तर्कसंगत समाधानों की एक सीमित संख्या है। गणितज्ञ स्वयं फाल्टिंग की सफलता को "अप्रभावी प्रमाण" कहते हैं क्योंकि यह तर्कसंगत समाधानों की सटीक संख्या का नाम नहीं देता है और उन्हें पहचानने की अनुमति नहीं देता है।

किम एक विस्तारित संख्यात्मक संदर्भ में तर्कसंगत संख्याओं को देखने की कोशिश करता है जिसमें छिपे हुए पैटर्न दिखाई देने लगते हैं। किम भौतिकी में इस तरह के संदर्भ की खोज करने में कामयाब रहे: गणितज्ञ के अनुसार, प्रकाश के प्रक्षेपवक्र के साथ तर्कसंगत समाधान बहुत आम हैं। किम ने लंबे समय तक संदेह जताया कि वह सही थे और उनका काम अन्य वैज्ञानिकों को मना सकता है और केवल हाल ही में उन्होंने अपने विचार को आम जनता के सामने पेश करने का फैसला किया था। किम के अनुसार, अगले 15 वर्षों में, संख्या सिद्धांत भौतिकी के साथ बहुत अधिक निकटता से जुड़ जाएगा।

क्वांटा में प्रकाशित एक लेख के लेखक केविन हार्टनेट लिखते हैं:

“गणितज्ञ अक्सर कहते हैं कि एक वस्तु जितना अधिक सममित होती है, उतना ही आसान होता है उसका अध्ययन करना। इसे ध्यान में रखते हुए, वे एक से अधिक सममित संदर्भ में डायोफैटिन समीकरणों के अध्ययन को रखना चाहेंगे जिसमें समस्या आमतौर पर दिखाई देती है। यदि ऐसा किया जा सकता है, तो कोई आवश्यक तर्कसंगत बिंदुओं की खोज करने के लिए पता लगाए गए समरूपता का उपयोग कर सकता है।

संख्याओं के समूह सममित भी हो सकते हैं, और संख्याओं के सेट को जितना अधिक सममित किया जाएगा, यह समझना उतना ही आसान होगा: आप अज्ञात मूल्यों की गणना करने के लिए सममित संबंधों का उपयोग कर सकते हैं। संख्याएँ जिनमें एक निश्चित प्रकार के सममित संबंध होते हैं, एक "समूह" बनाते हैं, और आप समूह के गुणों का उपयोग करके इसमें सभी संख्याओं को समझ सकते हैं। लेकिन समीकरण के तर्कसंगत समाधानों के सेट में समरूपता नहीं होती है और एक समूह नहीं बनता है, जो गणितज्ञों को एक असंभव काम के साथ अकेला छोड़ देता है, एक-एक करके सभी समाधान खोजने का प्रयास करता है।

1940 के दशक से, गणितज्ञों ने अधिक सममित संदर्भों में डायोफैंटाइन समीकरणों को रखने के तरीकों का पता लगाना शुरू किया। क्लाउड चबाती ने पाया कि पी-एडिक नंबरों का उपयोग करके बड़े ज्यामितीय स्थान के भीतर, तर्कसंगत संख्याएं अपने स्वयं के सममित उप-रूप बनाती हैं। उन्होंने इस उप-स्थान को डायोफैंटाइन समीकरणों के ग्राफ के साथ जोड़ा: उनके चौराहे बिंदु समीकरण के तर्कसंगत समाधान के अनुरूप हैं।

1980 के दशक में, रॉबर्ट कोलमैन ने चबाती के काम को पूरक बनाया। इसके बाद के कई दशकों तक, कोलमैन-चबाती दृष्टिकोण, डायोफैंटाइन समीकरणों के तर्कसंगत समाधान खोजने के लिए सबसे अच्छा उपकरण था। हालांकि, यह केवल तभी काम करता है जब समीकरणों का ग्राफ एक निश्चित अनुपात में एक बड़े स्थान के संबंध में होता है। जब यह अनुपात आवश्यकताओं को पूरा नहीं करता है, तो सटीक बिंदुओं की खोज जिस पर तर्कसंगत संख्याओं के साथ समीकरण वक्र को जटिल किया जाता है।

चबाती के काम का विस्तार करने के लिए, किम एक और भी बड़ा स्थान खोजना चाहता था जिसमें डायोफैंटाइन समीकरणों को रखा जा सके। "


और यहां किम "स्पेस-टाइम", "स्पेस ऑफ़ स्पेस" की भौतिक अवधारणाओं के एक एनालॉग का उपयोग करने का सुझाव देते हैं:

“समझने के लिए क्यों, प्रकाश की एक किरण पर विचार करें। भौतिकविदों का मानना ​​है कि प्रकाश क्षेत्रों के बहुआयामी स्थान से होकर जाता है। इस अंतरिक्ष में, प्रकाश एक ऐसे मार्ग के साथ आगे बढ़ेगा जो "कम से कम कार्रवाई" के सिद्धांत से मेल खाता है, यानी एक ऐसे मार्ग के साथ जो बिंदु A से बिंदु B पर जाने के लिए आवश्यक समय को कम करता है। यह सिद्धांत बताता है कि प्रकाश एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाने पर प्रकाश का अपवर्तन क्यों होता है। घुमावदार रास्ता बिताए समय को कम करता है। भौतिकी में सामना किए गए स्थानों के ऐसे बड़े स्थानों में अतिरिक्त समरूपताएं हैं जो उन सभी स्थानों में अनुपस्थित हैं जो वे प्रतिनिधित्व करते हैं। ये समरूपता कुछ बिंदुओं पर ध्यान आकर्षित करती है, उदाहरण के लिए, पथ, कम से कम समय। एक अलग तरीके से या एक अलग संदर्भ में निर्मित, इन समान समरूपताओं पर अन्य बिंदुओं द्वारा जोर दिया जा सकता है, उदाहरण के लिए, समीकरणों के तर्कसंगत समाधानों के अनुरूप अंक।

संख्या सिद्धांत में, अंतरिक्ष-समय की तरह कुछ है। यह कुछ रास्ते बनाने और सभी संभावित रास्तों के स्थान का निर्माण करने के विभिन्न तरीके भी प्रदान करता है। किम एक ऐसी योजना विकसित कर रहा है जिसमें प्रकाश के प्रक्षेपवक्र को खोजने और डायोफैंटाइन समीकरणों के तर्कसंगत समाधान खोजने की समस्याएं एक समस्या का चेहरा हैं।

डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान रिक्त स्थान बनाते हैं, जो समीकरणों द्वारा परिभाषित होते हैं। ये वक्र एक-आयामी हो सकते हैं, चक्र की तरह, या बहुआयामी। उदाहरण के लिए, यदि आप डायोफैंटाइन समीकरण x4 + y4 = 1 के जटिल समाधानों की साजिश करते हैं, तो आपको तीन छेदों के साथ एक टोरस मिलता है। इस टोरस के तर्कसंगत बिंदुओं में एक ज्यामितीय संरचना नहीं होती है, और यह उनकी खोज को एक कठिन काम बनाता है, लेकिन वे अंतरिक्ष के अधिक बहुआयामी स्थानों में बिंदुओं के अनुरूप हो सकते हैं, जिसमें पहले से ही एक निश्चित संरचना होगी। "

स्रोत