प्रारंभिक ब्रह्मांड 5. एक समान विस्तार वाले ब्रह्मांड के कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट और गतिकी, भाग 1

मुक्त व्याख्यान की साइट पर MIT OpenCourseWare ने ब्रह्मांड के मुद्रास्फीति मॉडल के रचनाकारों में से एक एलन गस के ब्रह्मांड विज्ञान पर व्याख्यान का एक कोर्स पोस्ट किया।

आपका ध्यान पांचवें व्याख्यान के अनुवाद के लिए आमंत्रित किया गया है: "एक समान विस्तार वाले ब्रह्मांड के कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट और गतिकी, भाग 1"।


आज हम एक समान विस्तार वाले ब्रह्मांड के किनेमैटिक्स पर विचार समाप्त करते हैं, जिसकी हमने पिछली बार चर्चा की थी। इस विषय से एकमात्र प्रश्न जिसे हमने अभी तक नहीं छुआ है वह है ब्रह्मांड संबंधी रेडशिफ्ट। फिर हम एकसमान विस्तार की गतिशीलता पर आगे बढ़ते हैं - गुरुत्वाकर्षण ब्रह्मांड के विस्तार को कैसे प्रभावित करता है। यह आज के मुख्य विषय और अगले कुछ व्याख्यान होंगे।

लौकिक समय

आपको याद दिला दूं कि पिछले व्याख्यान के अंत में हमने समन्वय प्रणाली में घड़ी के सिंक्रनाइज़ेशन के बारे में बात की थी, जिसका उपयोग हम एक समान रूप से विस्तार करने वाले ब्रह्मांड का वर्णन करने के लिए करेंगे। स्मरण करो कि हमने साथ वाले निर्देशांक पेश किए, जो ब्रह्मांड के साथ विस्तार करते हैं। हम यह मान लेंगे कि ब्रह्मांड पूरी तरह से सजातीय और आइसोट्रोपिक है, और सभी ऑब्जेक्ट इस समन्वय प्रणाली में आराम करते हैं।

वास्तविक ब्रह्मांड में, इस समन्वय प्रणाली के सापेक्ष पदार्थ की कुछ गति है, क्योंकि ब्रह्मांड पूरी तरह से सजातीय नहीं है। लेकिन अब हम एक सन्निकटन के साथ काम करेंगे जिसमें हमारा मॉडल ब्रह्मांड बिल्कुल सजातीय है और सभी मामले एक विस्तारित समन्वय प्रणाली के सापेक्ष आराम कर रहे हैं।

अब याद रखें कि हमने आखिरी व्याख्यान में ब्रह्माण्ड संबंधी समय कैसे निर्धारित किया था। कल्पना करें कि ब्रह्मांड में हर बिंदु पर एक घड़ी है जो पदार्थ के सापेक्ष बाकी है, और इसलिए एक समन्वय प्रणाली के साथ एक विस्तार है। ऐसी सभी घड़ियाँ स्थानीय समय को मापती हैं, और हम उनके तुल्यकालन पर सहमत होना चाहते हैं। पिछली बार, हमें पता चला था कि हम घड़ी को सिंक्रनाइज़ कर सकते हैं यदि कोई ब्रह्मांड संबंधी घटनाएं हैं जो ब्रह्मांड में कहीं से भी देखी जा सकती हैं, और जो समय के साथ बदलती हैं। हमने दो उदाहरण दिए: एक हबल कॉन्स्टैंट में परिवर्तन है, जिसे स्थानीय स्तर पर मापा जा सकता है और जब हबल निरंतर एक निश्चित मान लेता है तो आपकी घड़ी को शून्य पर सेट करने के लिए सहमत होता है।

दूसरा उदाहरण कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड रेडिएशन का तापमान है। हमारे मॉडल ब्रह्मांड में, आप अपनी घड़ी को शून्य पर सेट करने के लिए सहमत हो सकते हैं जब कॉस्मिक बैकग्राउंड रेडिएशन का तापमान 5 डिग्री या किसी दिए गए नंबर तक पहुँच जाता है। यदि समान घटनाएं हैं, और वे हमारे ब्रह्मांड में हैं, तो आप सभी घड़ियों को सिंक्रनाइज़ कर सकते हैं। यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक बार घड़ी एक बार सिंक्रनाइज़ हो जाने के बाद, यह एकरूपता की हमारी धारणा के कारण सिंक्रनाइज़ रहेगी। यही है, अगर हर कोई इस बात से सहमत है कि शून्य समय पर ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि विकिरण का तापमान 10 डिग्री है, और हर कोई 15 मिनट इंतजार करता है, तो हर कोई इस अवधि के दौरान एक ही तापमान में गिरावट देखेगा, अन्यथा यह पूर्ण समरूपता की हमारी परिकल्पना का उल्लंघन करेगा। ।

छात्र: क्या यह सच है कि पृष्ठभूमि विकिरण का तापमान सभी जड़त्वीय पर्यवेक्षकों के लिए समान है?

शिक्षक: यह विभिन्न जड़त्वीय पर्यवेक्षकों के लिए बिल्कुल समान नहीं है। यह पर्यवेक्षकों के विशेषाधिकार प्राप्त वर्ग के लिए समान है, जो मामले के औसत वितरण के संबंध में आराम कर रहे हैं और इसलिए, साथ समन्वय प्रणाली के संबंध में हैं। यदि आप ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि विकिरण के माध्यम से चलना शुरू करते हैं, तो आप अब एक समान तापमान वितरण नहीं देखेंगे। आप विपरीत दिशा में एक दिशा और ठंडे में विकिरण हॉटटर देखेंगे। वास्तव में, जैसा कि मैंने उल्लेख किया है, हम अपने वास्तविक ब्रह्मांड में इस प्रभाव को देखते हैं। हम स्पष्ट रूप से ब्रह्मांडीय पृष्ठभूमि विकिरण के सापेक्ष, प्रकाश की गति के लगभग 1/1000 पर गतिमान हैं। तो पर्यवेक्षक की गति के संबंध में विकिरण तापमान अपरिवर्तनीय नहीं है।

कोई दूसरा प्रश्न पूछ सकता है: क्या दृश्यमान विकिरण का तापमान दृश्य ब्रह्मांड के विभिन्न स्थानों में समान है? जहां तक ​​हम न्याय कर सकते हैं, हां। पृष्ठभूमि विकिरण के तापमान को मापने के लिए एक सीधा तरीका है, जिसे हम दूर के आकाशगंगाओं में कुछ वर्णक्रमीय रेखाओं को देखकर, पाठ्यक्रम में बाद में बात करेंगे। कुछ आकाशगंगाओं में जहाँ ये रेखाएँ दिखाई देती हैं, कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड रेडिएशन के तापमान को सीधे मापा जा सकता है। हमारे मॉडल में, हम पूर्ण समरूपता मानते हैं कि हर जगह सब कुछ समान है। यद्यपि वास्तविक ब्रह्मांड में समरूपता पूर्ण नहीं है, लेकिन हमारे ब्रह्मांड की अनुमानित समरूपता के पुख्ता सबूत हैं।

छात्र: यदि कुछ पर्यवेक्षक ब्लैक होल के पास रहते हैं, तो क्या यह ऐसे पर्यवेक्षकों के लिए घड़ी के सिंक्रनाइज़ेशन को प्रभावित करेगा?

शिक्षक: बेशक यह होगा। कोई ब्रह्मांड को एक घड़ी में सिंक्रनाइज़ कर सकता है, केवल यह मानते हुए कि ब्रह्मांड बिल्कुल सजातीय है। जैसे ही विषमताएं दिखाई देती हैं, जैसे कि ब्लैक होल, या यहां तक ​​कि सूर्य जैसे तारे, वे विचलन पैदा करते हैं जो घड़ी को एक-दूसरे के साथ सिंक्रनाइज़ करने से रोकते हैं। जैसे ही द्रव्यमान एकाग्रता प्रकट होता है, एकरूपता केवल अनुमानित हो जाती है। लेकिन ये विचलन छोटे हैं। सूर्य से उत्पन्न विक्षेप एक मिलियन के क्रम के होते हैं। इसलिए, एक बहुत अच्छे सन्निकटन में, ब्रह्मांड का वर्णन हमारे सजातीय मॉडल द्वारा किया गया है। हालाँकि, यदि आप आकाशगंगाओं के केंद्रों में स्थित सुपरमासिव ब्लैक होल में से किसी एक के बहुत करीब पहुँच जाते हैं, तो यह पता चलता है कि आपकी घड़ी की प्रगति पर इसका बहुत ही गहरा प्रभाव है।

कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट

अगला विषय, जैसा कि मैंने वादा किया था, ब्रह्माण्ड संबंधी रेडशिफ्ट है। तीसरे व्याख्यान में, हमने ध्वनि तरंगों के लिए डॉपलर शिफ्ट और प्रकाश तरंगों के लिए सापेक्षवादी डॉपलर शिफ्ट के बारे में बात की, जो सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को ध्यान में रखते हैं। हालांकि, कॉस्मोलॉजी को सापेक्षता के विशेष सिद्धांत द्वारा पूरी तरह से वर्णित नहीं किया गया है, हालांकि कॉस्मोलॉजी में स्थानीय घटनाओं का वर्णन करने के लिए सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। सापेक्षता के विशेष सिद्धांत में गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव शामिल नहीं हैं, और वैश्विक स्तर पर, कॉस्मोलॉजी के लिए गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव बहुत महत्वपूर्ण हैं। इसलिए, ब्रह्मांड के कई गुणों को समझने के लिए सापेक्षता का विशेष सिद्धांत पर्याप्त नहीं है, जिसमें कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट भी शामिल है। हालांकि, यह पता चला है कि कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट का वर्णन करने का एक तरीका है, जो इसे सापेक्षता के विशेष सिद्धांत की तुलना में और भी अधिक व्याख्या करता है। सबसे पहले, मैं इसका वर्णन करूंगा, और फिर हम इस बारे में बात करेंगे कि यह सरल-दिखने वाला परिणाम सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के निष्कर्ष के साथ कैसे तुलना करता है, जो कम से कम स्थानीय रूप से भी सही होना चाहिए।

तो, मान लीजिए कि हम एक दूर की आकाशगंगा को देख रहे हैं, और प्रकाश इस आकाशगंगा में स्थित एक स्रोत द्वारा उत्सर्जित होता है। हम यह समझना चाहते हैं कि विकिरण में प्रकाश की आवृत्ति और आवृत्ति के बीच संबंध क्या है जो हम तब प्राप्त करेंगे जब प्रकाश प्राप्त होता है।


इस स्थिति की कल्पना करने के लिए, आइए एक समन्वय प्रणाली का परिचय दें, $$$x$ । यह हमारी साथी समन्वय प्रणाली होगी। $$$x$ डिवीजनों में मापा जाता है। हम अपने आप को मूल और दूर की आकाशगंगा को हमसे कुछ दूरी पर रख देंगे। उसका एक विशिष्ट समन्वय है। $$$l_c$ ( $$$सी$ संप्रदाय को निरूपित करता है)। $$$l_c$ हमारे साथ आकाशगंगा से दूरी है। भौतिक दूरी जिसे हम कहेंगे $$$l_p$ ( $$$पी$ भौतिक का मतलब है), समय पर निर्भर करता है, क्योंकि ब्रह्मांड का विस्तार हो रहा है। जैसा कि हमने पहले कहा था $$$l_p (t) = a (t) l_c$ । स्केल फैक्टर $$$(t)$ , जो समय पर निर्भर करता है, साथ की दूरी से गुणा किया जाता है, जो समय पर निर्भर नहीं है। इस प्रकार, भौतिक दूरी बस स्केल फैक्टर के अनुपात में बढ़ जाती है $$$(t)$ ।

अब मान लीजिए कि आकाशगंगा एक प्रकाश तरंग का उत्सर्जन करती है, और हम लहर के crests के बीच की दूरी को निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं, जो तरंगदैर्ध्य के बराबर है। चूंकि हम केवल लकीरों में रुचि रखते हैं, हम बस कल्पना करते हैं कि प्रत्येक रिज एक आवेग है, और उन दोनों के बीच क्या होता है, हमें दिलचस्पी नहीं है। हम आकाशगंगा द्वारा उत्सर्जित क्रमिक प्रकाश दालों का पालन करेंगे।

यह महत्वपूर्ण है कि हम अपने मॉडल के लिए जानते हैं कि प्रकाश तरंगें एक साथ समन्वय प्रणाली में कैसे फैलती हैं। अगर $$$x$ संबद्ध समन्वय है, तो $$$dx / dt$ - प्रकाश की गति के साथ, जो प्रकाश की सामान्य गति के बराबर है $$$सी$ लेकिन पैमाने कारक द्वारा विभाजित:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

यहाँ पैमाना कारक मीटर को विभाजनों में परिवर्तित करने की भूमिका निभाता है। $$$सी$ प्रति सेकंड मीटर में मापा जाता है। भाग देनेवाला $$$सी$ पर $$$(t)$ हम प्रति सेकंड प्रकाश की गति प्राप्त करते हैं, जैसा कि हम चाहते थे, क्योंकि $$$x$ मीटर में नहीं, बल्कि विभाजनों में मापा जाता है। डिवीजन एक मनमानी इकाई है जिसे हम अपने साथी समन्वय प्रणाली का वर्णन करने के लिए चुनते हैं।

इस समीकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि समन्वय प्रणाली में प्रकाश की गति समय पर निर्भर करती है, लेकिन निर्भर नहीं करती है $$$x$ । हमारा ब्रह्मांड सजातीय है, इसलिए सभी बिंदु हैं $$$x$ बराबर। इसलिए, समय के प्रत्येक क्षण में, दो हल्के दाने समान गति के साथ आगे बढ़ेंगे, चाहे वे कहीं भी हों। हमें बस इतना ही चाहिए। पहला आवेग दूर की आकाशगंगा को छोड़ कर हमारी ओर बढ़ता है, दूसरा आवेग पहले का अनुसरण करता है। समय के किसी भी क्षण में दूसरा आवेग पहले आवेग के समान गति के साथ आगे बढ़ेगा, भले ही समय के साथ इसकी गति बदल जाए।

इसका मतलब निम्न है। दालों के साथ वेग समय के साथ अलग-अलग हो सकता है, लेकिन जब तक वे दोनों एक ही साथ गति से आगे बढ़ते हैं, किसी भी समय वे साथ-साथ समन्वय प्रणाली में एक दूसरे से बिल्कुल दूरी पर होंगे। $$$$x$ दो दालों के बीच की दूरी समय के साथ बदलती नहीं है। यदि समय के साथ-साथ दूरी नहीं बदलती है, और भौतिक दूरी हमेशा स्केल फैक्टर के उत्पाद के साथ दूरी के बराबर होती है, तो प्रकाश नाड़ी की भौतिक तरंगदैर्ध्य बस स्केल फैक्टर के अनुपात में खिंच जाएगी। ब्रह्मांड के विस्तार के साथ तरंगदैर्घ्य बढ़ेगा, जैसे ब्रह्मांड के विस्तार के साथ ब्रह्मांड के हमारे मॉडल में कोई अन्य दूरी बढ़ेगी। यह एक महत्वपूर्ण विचार है, यह बहुत सरल है, और इसमें सब कुछ शामिल है।

क्या $$$$x$ लगातार इसका मतलब है $$$$l$ भौतिक दूरी आनुपातिक है $$$(t)$ , जिसका अर्थ है कि प्रकाश की तरंग दैर्ध्य $$$λ$ , t के एक फंक्शन के रूप में, आनुपातिक है $$$(t)$ ।

तरंग दैर्ध्य तरंग अनुपात की अवधि से संबंधित है $$$λ = c t$ । तरंग दैर्ध्य एक अवधि में एक यात्रा की दूरी की दूरी है। इसलिए, यदि $$$λ$ आनुपातिक $$$(t)$ , तब $$$$t$ , लहर की अवधि आनुपातिक होगी $$$(t)$ । इसलिए:

$$$$ $ $ $ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _} </ o} को प्रदर्शित करता है। )}} {a (t_ {स्रोत)}} $ $ प्रदर्शन $ $

।

तो तरंग दैर्ध्य अनुपात ब्रह्मांड के फैलाव के समय की संख्या है। यह प्रारंभिक और अंतिम समय में पैमाने के कारकों के अनुपात के बराबर है। हमने तरंग अवधि का उपयोग करके रेडशिफ्ट का निर्धारण किया। अवधि का अनुपात, या तरंग दैर्ध्य का अनुपात, या स्केल कारकों का अनुपात 1 + z है।

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs।)}} {A (t_ {स्रोत)}}$$

कॉस्मेटोलॉजिकल रेडशिफ्ट का संबंध सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के साथ है
कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट, सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के रिडफ़्ट से संबंधित है, जिसके लिए सूत्र हम पहले प्राप्त कर चुके हैं? हमारा परिणाम दो अर्थों में अलग-अलग है जो हमने तीसरे व्याख्यान में किया था। पहला कारण जो हमारे लिए महत्वपूर्ण है वह यह है कि ब्रह्माण्ड संबंधी गणना उन प्रभावों को ध्यान में रखती है जिन्हें पिछली गणनाओं द्वारा ध्यान में नहीं लिया गया था। विशेष रूप से, इस तथ्य के बावजूद कि हमें एक बहुत ही सरल गतिज तर्क का उपयोग करके उत्तर मिला, जिसमें, पहली नज़र में, व्यावहारिक रूप से कोई गणित नहीं है, यह वास्तव में बहुत मजबूत है, क्योंकि यह न केवल सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को ध्यान में रखता है, बल्कि सामान्य सिद्धांत भी है सापेक्षता। इसमें गुरुत्वाकर्षण के सभी प्रभाव शामिल हैं। गुरुत्वाकर्षण इस तथ्य को प्रभावित नहीं करता है कि प्रकाश की गति साथ है $$$c / a (t)$ । यह केवल मूलभूत भौतिक धारणा के साथ-साथ इकाइयों का रूपांतरण है, प्रकाश की गति हमेशा बराबर होती है $$$सी$ किसी भी पर्यवेक्षक के बारे में।

इसलिए, जब हम गुरुत्वाकर्षण पर विचार करते हैं, तो यह अनुपात बनाए रखा जाता है, और यह एकमात्र ऐसी चीज थी जिसका हमने उपयोग किया था, इसलिए गुरुत्वाकर्षण उत्तर को प्रभावित नहीं कर सकता है। क्या हमने सापेक्षता के विशेष सिद्धांत से कुछ भी याद किया है? मैंने उस समय के फैलाव को ध्यान में नहीं रखा, जो हमारे सापेक्ष पुनर्वित्त गणना के लिए महत्वपूर्ण था।

क्या मुझसे कोई गलती हुई है? क्या मुझे कहीं समय जोड़ने की आवश्यकता है? वास्तव में, नहीं। हमारी गणना में दो घंटे शामिल थे: आकाशगंगा में घड़ी और हमारी घड़ी, जिसका उपयोग हम विकिरण की अवधि और रिसेप्शन की अवधि को मापने के लिए करते थे। लेकिन ये दोनों घड़ियाँ स्थानीय मामले के सापेक्ष बाकी हैं, भले ही वे एक दूसरे के सापेक्ष चल रही हों। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, वे ब्रह्मांडीय समय को मापते हैं। कॉस्मोलॉजिकल समय एक बहुत ही अजीब तरह का समय है, यह किसी भी जड़त्वीय प्रणाली में समय नहीं है। घड़ियां एक-दूसरे के सापेक्ष घूम रही हैं, इसलिए, यदि हमने जड़त्वीय प्रणाली में समय का निर्धारण किया है, तो ऐसी घड़ी को कभी भी सिंक्रनाइज़ नहीं किया जा सकता है और समय उन पर संयोग नहीं करेगा।

लेकिन ब्रह्मांड के समय की प्रणाली में, वे एक ही समय दिखाते हैं। चूंकि प्रत्येक घड़ी स्थानीय पदार्थ के सापेक्ष बाकी है, इसलिए वे मापते हैं $$$टी$ ब्रह्माण्ड संबंधी समय। इस प्रकार, कोई समय फैलाव आवश्यक नहीं है। ऐसा नहीं है कि हम इसे भूल गए, यह वहां नहीं है। इसका उपयोग गणनाओं में नहीं किया जाता है।

इस प्रकार, प्राप्त परिणाम, चाहे कितना भी सरल लग सकता है, वास्तव में सापेक्षता और गुरुत्वाकर्षण दोनों के विशेष सिद्धांत के प्रभावों को पूरी तरह से कवर करता है। मुझे ध्यान दें कि यह स्पष्ट नहीं है कि गुरुत्वाकर्षण यहाँ कहाँ है। मैंने आपको बताया कि परिणाम में गुरुत्वाकर्षण के सभी प्रभाव शामिल हैं। गुरुत्वाकर्षण कहाँ छिपा है? मैं आपसे यह सवाल पूछना चाहता हूं। जब मैंने गणना की तो गुरुत्वाकर्षण का उल्लेख नहीं होने पर भी मैं गुरुत्वाकर्षण को कैसे प्रभावित करता हूँ?

छात्र: स्केल फैक्टर के माध्यम से।

शिक्षक: यह सही है, स्केल फैक्टर के माध्यम से। हमने बात नहीं की है कि कैसे बदलना है $$$(t)$ । परिवर्तन $$$(t)$ स्पष्ट रूप से गुरुत्वाकर्षण प्रभाव शामिल होंगे। यही कारण है कि हमारा परिणाम गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है, हालांकि हमें जवाब पाने के लिए गुरुत्वाकर्षण का उपयोग या उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं थी। ब्रह्माण्डीय पुनर्वितरण का उत्तर इसलिए सरल है क्योंकि $$$(t)$ पहले से ही बहुत सारी जानकारी शामिल है। हमने सिर्फ इस बात का फायदा उठाया कि यह बहुत सरल अभिव्यक्ति है $$$(t)$ हम कैसे गणना करेंगे के बारे में अभी तक कुछ भी कहे बिना $$$(t)$ । यह पहला अंतर है।

दो गणनाओं के बीच एक और महत्वपूर्ण अंतर उत्तर में प्रयुक्त चर है। एक ही प्रश्न के कई अलग-अलग उत्तर हो सकते हैं, जिसके आधार पर चर का उपयोग किया जाता है। इस मामले में, हम रेडशिफ्ट व्यक्त करते हैं $$$z$ एक साथ समन्वय प्रणाली में आराम करने वाली वस्तुओं के लिए। दूसरी ओर, सापेक्षता के विशेष सिद्धांत में गणना, जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में मापी गई गति के आधार पर z देता है। इस प्रकार, परिणाम पूरी तरह से अलग शब्दों में व्यक्त किए जाते हैं।

यदि हम रिलेटिव और कॉस्मोलॉजिकल रेडशिफ्ट के लिए प्राप्त उत्तरों की तुलना करने की कोशिश करते हैं तो क्या होगा? केवल एक मामला है जिसमें वे तुलना करने के लिए वैध हैं। चूंकि हमने जो गणना की है, उसमें गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव शामिल हैं, और सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का उपयोग करते हुए गणना में गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव शामिल नहीं हैं, एकमात्र मामला जिसमें हम उनकी तुलना कर सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि वे संयोग करते हैं जब गुरुत्वाकर्षण नगण्य है।

हम ब्रह्मांडीय मॉडल पर विचार कर सकते हैं, जहां गुरुत्वाकर्षण छोटा है, इसमें कोई विरोधाभास नहीं है। यदि गुरुत्वाकर्षण नगण्य है, तो यह कैसे व्यवहार करेगा $$$(t)$ ? यदि कोई गुरुत्वाकर्षण नहीं है, $$$(t)$ रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए $$$टी$ । इसका मतलब है कि सभी गति स्थिर हैं। इस प्रकार, गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति के विशेष मामले में, $$$(t)$ समय के साथ रैखिक बढ़ता है। इस स्थिति में, आप हमेशा यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि रैखिक शब्द में जो स्थिरांक जोड़ा गया है वह शून्य हो जाता है, बस उस समय शून्य समय निर्धारित करता है जब $$$(t)$ शून्य के बराबर। इस प्रकार, गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में, हम कह सकते हैं कि $$$(t)$ टी के समानुपाती होना चाहिए।

फिर इस विशेष मामले के लिए, हमारी दो गणनाओं का मेल होना चाहिए। आप इसे स्वयं देख सकते हैं। यह इतना सरल नहीं है, इसके लिए आपको दो समन्वय प्रणालियों के बीच संबंधों को समझने की आवश्यकता होगी। सापेक्षता के विशेष सिद्धांत का उत्तर एक जड़त्वीय समन्वय प्रणाली में दिया गया है, जो गुरुत्वाकर्षण की उपस्थिति में बिल्कुल भी मौजूद नहीं है। यह एक जटिल तरीके से विस्तार समन्वय प्रणाली के साथ जुड़ा हुआ है, जो समय के फैलाव और लोरेंत्ज़ संकुचन के साथ जुड़ा हुआ है जो आंदोलन के विस्तार से होता है।

आपको इन दोनों समन्वय प्रणालियों के बीच संबंध का पता लगाना होगा। जब आप ऐसा करते हैं और उत्तरों की तुलना करते हैं, तो आप पाएंगे कि वे वास्तव में बिल्कुल मेल खाते हैं। यह सब सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के साथ उत्कृष्ट समझौते में है, विशेष मामले में जब गुरुत्वाकर्षण अनुपस्थित है।

न्यूटन और स्टेटिक यूनिवर्स

हमने उन सभी चीजों पर चर्चा की जो मैं एक समान रूप से विस्तारित ब्रह्मांड के किनेमैटिक्स के बारे में बताना चाहता था, अब हम गतिशीलता पर आगे बढ़ने के लिए तैयार हैं। हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि गुरुत्वाकर्षण ब्रह्मांड को कैसे प्रभावित करता है ताकि गणना करने में सक्षम हो$$a ( t ) समय के साथ बदलता है। यह व्यवहार को समझने का एकमात्र लक्ष्य होगा।$a(t)$$$$a(t)$ ।

यह प्रश्न, एक अर्थ में, आइजैक न्यूटन पर वापस जाता है। मैं यह नोट करना चाहता हूं कि कॉस्मोलॉजी में एक दिलचस्प बात यह है कि, अगर आप कॉस्मोलॉजी के इतिहास को देखें, तो कई महान भौतिकविदों ने कॉस्मोलॉजिकल मुद्दों का विश्लेषण करने की कोशिश करते हुए बड़ी गलतियां कीं। आज हम न्यूटन की गलतियों में से एक पर चर्चा करेंगे। यहां तक ​​कि न्यूटन जैसे महान भौतिक विज्ञानी भी मूर्खतापूर्ण गलतियां कर सकते थे। उन्होंने वास्तव में गुरुत्वाकर्षण के अपने सिद्धांत के ब्रह्माण्ड संबंधी परिणामों का विश्लेषण करने में एक बेवकूफ गलती की।

न्यूटन, जैसे हबल से पहले सभी का मानना ​​था कि ब्रह्मांड स्थिर था। उन्होंने अंतरिक्ष में बिखरे तारों के स्थिर वितरण के रूप में ब्रह्मांड का प्रतिनिधित्व किया। अपने करियर की शुरुआत में, जहां तक ​​मुझे इतिहास की जानकारी है, उन्होंने माना कि सितारों का वितरण अनंत अंतरिक्ष में सीमित था। लेकिन कुछ बिंदु पर, उन्होंने महसूस किया कि अगर खाली जगह में एक परिमित द्रव्यमान वितरण होता है, और सभी पदार्थ एक दूसरे के साथ एक आकर्षक बल के साथ आकर्षित होते हैं, तो दूरी के वर्ग के लिए आनुपातिक रूप से आनुपातिक होता है, जिसे वह जानता था, क्योंकि वह इसे खोला था, परिणामस्वरूप, सब कुछ संपीड़ित होना चाहिए। बिंदु। उन्होंने फैसला किया कि उनकी धारणा काम नहीं करती थी, लेकिन फिर भी उन्हें यकीन था कि ब्रह्मांड स्थिर है, क्योंकि सब कुछ स्थिर लग रहा था, सितारे कहीं भी नहीं चले गए।

इसलिए उन्होंने सोचा कि क्या बदला जा सकता है, और यह तय किया कि यह मानने के बजाय कि सितारे एक परिमित वितरण बनाते हैं, यह मानने से बेहतर है कि उन्हें अंतरिक्ष में असीम रूप से वितरित किया जाए। वह इस प्रकार है, और यह ठीक त्रुटि है कि यदि सितारे अनंत स्थान को भरते हैं, तो भले ही वे सभी एक दूसरे को आकर्षित करते हों, उनके पास आंदोलन के लिए एक पसंदीदा दिशा नहीं होगी। चूंकि उनके पास आंदोलन के लिए एक पसंदीदा दिशा नहीं होगी, क्योंकि वे सभी पक्षों से आकर्षित होते हैं, वे जगह पर बने रहते हैं। इस प्रकार, उनका मानना ​​था कि द्रव्य का एक अनंत, समान वितरण स्थिर होगा, कि द्रव्यमान के इस तरह के अनंत वितरण में कोई गुरुत्वाकर्षण बल उत्पन्न नहीं होगा।

उन्होंने स्पष्ट रूप से इसके पक्ष में विभिन्न दलीलें सुनीं। एक तर्क कि अनंत वितरण स्थिर होगा, यह तर्क था कि एक अनंत बल इसे दाईं ओर खींचता है और एक अनंत बल इसे कण पर बाईं ओर खींचता है। चूंकि दोनों अनंत हैं, इसलिए वे एक दूसरे को बेअसर करते हैं। न्यूटन ने इस तर्क को स्वीकार नहीं किया। वह यह समझने के लिए पर्याप्त परिष्कृत था कि अनंत शून्य से अनंत आवश्यक रूप से शून्य नहीं है। हालांकि, न्यूटन आश्वस्त था कि अनंत द्रव्यमान वितरण स्थिर होगा।

जिस तर्क ने उन्हें आश्वस्त किया, वह प्रत्येक पक्ष पर मामले की अनंतता नहीं थी, बल्कि समरूपता थी। उन्होंने जो तर्क दिया वह यह था कि यदि आप इस अनंत वितरण के किसी भी बिंदु को देखते हैं, यदि आप इस बिंदु को चारों ओर देखते हैं, तो सभी दिशाएं समान दिखेंगी, और अनंत तक फैले पदार्थ के साथ, और इसलिए कोई दिशा नहीं होगी जिसमें बल होना चाहिए किसी विशेष कण पर कार्य करना। और यदि बल की कोई दिशा नहीं है, तो यह शून्य होना चाहिए। यही तर्क न्यूटन ने लिया था।

अब हम इस पर अधिक विस्तार से चर्चा करेंगे और यह समझने की कोशिश करेंगे कि आधुनिक विद्वान इस तर्क से कैसे संबंधित हैं। वैसे, मैं एक ऐतिहासिक तथ्य का उल्लेख करना चाहता हूं। न्यूटन के तर्क, जहां तक ​​मुझे पता है, अल्बर्ट आइंस्टीन तक, सैकड़ों वर्षों से किसी से भी पूछताछ नहीं की गई है। अल्बर्ट आइंस्टीन, अपने नए सामान्य सापेक्षतावाद के नए सिद्धांत का उपयोग करते हुए ब्रह्मांड विज्ञान का वर्णन करने की कोशिश कर रहे थे, यह महसूस करने वाले पहले व्यक्ति थे कि भले ही आपके पास एक अनन्त जन वितरण हो, यह ढह जाता है। आइंस्टीन ने महसूस किया कि न्यूटनियन भौतिकी में भी यही होगा, यह सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत की विशेषता नहीं है। इसने ऐतिहासिक रूप से लोगों को पुनर्विचार करने और यह समझने के लिए कि न्यूटन गलत थे, सापेक्षता के एक सामान्य सिद्धांत के निर्माण की आवश्यकता है।

एक स्थिर ब्रह्मांड की असंभवता

न्यूटन ने जिस तरह से किया था, उस समस्या का विश्लेषण करने की कोशिश करने में कठिनाई यह थी कि न्यूटन गुरुत्वाकर्षण को एक दूरी पर काम करने वाले बल के रूप में देखता था। यदि हमारे पास दो वस्तुएं दूरी पर स्थित हैं$$r इसके अलावा, वे एक-दूसरे को बल के अनुपात में आकर्षित करेंगे$r$$$$1/r^2$ ।न्यूटन के समय से, न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करने के अन्य तरीकों का आविष्कार किया गया है जो स्थिति को बहुत स्पष्ट करते हैं। न्यूटन के विवरण का उपयोग करने में कठिनाई यह है कि यदि हम इन सभी बलों को आनुपातिक रूप से जोड़ने का प्रयास करते हैं$$1 / आर 2 , हमें डाइवर्जिंग मात्रा मिलती है, जिसकी व्याख्या हमें समझने की आवश्यकता है। लेकिन यह समझने के लिए कि न्यूटन गलत था, न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के अन्य योगों को देखना सबसे आसान था। मैं उनमें से दो का वर्णन करूंगा, जिनमें से आप पहले से ही परिचित हो सकते हैं। मैं कोलॉम्ब के नियम के साथ सादृश्य द्वारा पहले का वर्णन करूंगा। कूलम्ब का नियम वास्तव में गुरुत्वाकर्षण के नियम के समान है। कूलॉम्ब का नियम कहता है कि कोई भी आवेशित कण एक विद्युत क्षेत्र बनाता है जो कि दूरी से विभाजित आवेश के बराबर होता है और आवेश से निर्देशित इकाई वेक्टर द्वारा गुणा किया जाता है।$1/r^2$

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

यह कूलम्ब का नियम है। कभी-कभी इसमें एक स्थिर होता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि इसे किस इकाइयों में मापा जाता है$$q , लेकिन यह हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है। मेरा मानना ​​है कि हम इस समीकरण का उपयोग करते हैं, जहां स्थिरांक 1 है।जैसा कि आप जानते हैं, कोलोम्ब कानून से आपगौस कानूनप्राप्त कर सकते हैं। यदि कूलम्ब कानून सत्य है, तो हम निश्चित रूप से कह सकते हैं किकिसी भी बंद सतह परविद्युत क्षेत्र के प्रवाह काअभिन्न अंग क्याहै। यह सतह के अंदर आवेश की कुल मात्रा के समानुपाती होता है।$q$

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

जहाँ $$क्यू में n बंद सतह के अंदर आवेश की कुल मात्रा है। आप न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को लगभग उसी तरह से लिख सकते हैं जैसे न्यूटन ने इसे तैयार किया था। आप वस्तु से दिए गए दूरी पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण व्यक्त कर सकते हैं:$q_{}$

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

यह एक ही उलटा वर्ग कानून है और शुरुआत में स्थिर को छोड़कर, कूलम्ब के नियम के समान है। स्थिरांक में विपरीत संकेत है, जो कुछ मामलों में महत्वपूर्ण है, लेकिन अब नहीं। महत्वपूर्ण बात यह है कि इस समीकरण को गौस कानून के रूप में सुधार किया जा सकता है, और इसे गुरुत्वाकर्षण का गौसियन कानून कहा जाता है। एकमात्र तरीका यह भिन्न होता है जो निरंतर आगे है:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

अब आइए न्यूटन द्वारा माने जाने वाले पदार्थ का समान वितरण करें। न्यूटन ने तर्क दिया कि सभी अनन्त स्थान को भरने वाले पदार्थ का एक समान वितरण करना संभव है, और यह स्थिर होगा, अर्थात कोई त्वरण नहीं होगा। न्यूटन की भाषा में त्वरण की कमी का मतलब है कि$$→ जी को हर जगह शून्य होना चाहिए। लेकिन अंतिम सूत्र से यह इस प्रकार है कि यदि$\vec g$$$→ जी हर जगह शून्य के बराबर है, तो का अभिन्न$\vec g$$$→ किसी बंद सतह पर जी भी शून्य के बराबर होगा, और इसलिए, इस सतह के अंदर संलग्न कुल द्रव्यमान भी शून्य के बराबर होना चाहिए। लेकिन अगर हमारे पास द्रव्यमान का एक समान वितरण है, तो कुल संलग्न द्रव्यमान, किसी भी गैर-अक्षीय आयतन के लिए शून्य नहीं होगा। इस प्रकार, यह स्पष्ट है कि प्रणाली स्थिर है जो सीधे गॉस न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के निर्माण का विरोध करती है।बस मज़े के लिए, मैं आपको एक और समान तर्क दूंगा, न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण के एक और अधिक आधुनिक सूत्रीकरण का उपयोग करके। यदि आप उससे नहीं मिले हैं और यह नहीं समझ रहे हैं कि मैं किस बारे में बात कर रहा हूं, तो चिंता न करें, यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है। तुम में से जो उसे जानता है, मैं उसे ले आऊंगा। न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण को तैयार करने का दूसरा तरीका गुरुत्वाकर्षण क्षमता का परिचय देना है। मैं पत्र का उपयोग करूंगा$\vec g$

$$φ गुरुत्वाकर्षण क्षमता के लिए। यह निम्नानुसार गुरुत्वाकर्षण त्वरण के साथ जुड़ा हुआ है:$φ$$$→जी =- →∇ cp$\vec g = - \vec ∇φ$ जहाँ $$→∇ cp$\vec ∇φ$एक ढाल है $$$φ$ । ढाल $$φ इकाई वेक्टर है$φ$$$मैं एक्स की दिशा में के व्युत्पन्न से गुणा$\hat i$$$φ द्वारा$φ$$$एक्स , प्लस एक यूनिट वेक्टर$x$$$जम्मू अक्ष y की दिशा में, के व्युत्पन्न से गुणा$\hat j$$$φ द्वारा$φ$$$हां , प्लस एक यूनिट वेक्टर$य$$$कश्मीर के व्युत्पन्न से गुणा$\hat k$$$φ द्वारा$φ$$$$z$ :

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

एक बार जब हमने गुरुत्वाकर्षण क्षमता निर्धारित कर ली है, तो हम गॉस कानून के अंतर रूप को लिख सकते हैं, जो तथाकथित पॉइसन समीकरण बन जाता है। यह दावा करता है कि

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

जहां ओले द्रव्यमान घनत्व है, और $$$∇^2φ$ के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है $$$φ$ पर $$$x$ , प्लस दूसरा व्युत्पन्न $$$φ$ पर $$$य$ , प्लस दूसरा व्युत्पन्न $$$φ$ पर $$$z$ :

$$$ $ प्रदर्शन $ $ ∇ ^ 2φ = \ frac {\ आंशिक ^ 2 ∇} {\ आंशिक x ^ 2} + \ frac {\ आंशिक ^ 2 φ} {\ आंशिक y ^ 2} + \ frac {\ आंशिक 2} φ} {\ आंशिक z ^ 2} $ $ प्रदर्शन $ $

इसे पोइसन समीकरण कहा जाता है। यदि द्रव्यमान घनत्व दिया जाता है, तो आप गुरुत्वाकर्षण क्षमता पा सकते हैं, फिर आप इसकी ढाल की गणना कर सकते हैं, और पा सकते हैं $$$\ vec जी$ । यह गुरुत्वाकर्षण के अन्य योगों के बराबर है। लेकिन इससे हमें न्यूटन के दावे का एक और परीक्षण मिलता है कि बिना किसी गुरुत्वाकर्षण बल के पदार्थ का समान वितरण होता है। यदि कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं हैं, तो $$$\ vec जी$ शून्य होना चाहिए, जैसा कि हमने एक मिनट पहले कहा था। और इस तथ्य से $$$\ vec जी$ शून्य के बराबर, यह निम्नानुसार है कि ढाल $$$φ$ शून्य के बराबर।

यदि आप ढाल फार्मूला को देखते हैं, तो यह एक वेक्टर है। एक शून्य वेक्टर के लिए, इसके तीन घटकों में से प्रत्येक शून्य के बराबर होना चाहिए, और, इसलिए, व्युत्पन्न $$$φ$ पर $$$x$ के व्युत्पन्न $$$φ$ पर $$$य$ के व्युत्पन्न $$$φ$ पर $$$z$ गायब हो जाएगा। इसका मतलब है कि $$$φ$ हर जगह स्थिर होना चाहिए, यह किसी भी स्थानिक समन्वय के संबंध में व्युत्पन्न नहीं है। इसलिए, यदि $$$\ vec जी$ शून्य के बराबर फिर ढाल $$$φ$ शून्य के बराबर और $$$φ$ सभी जगह में एक स्थिर है। अगर $$$φ$ यह हर जगह स्थिर है, जो गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में होता है, फिर यह तुरंत स्पष्ट है कि $$$Φ ^ 2∇$ शून्य के बराबर होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि ρ शून्य के बराबर होना चाहिए, अर्थात कोई द्रव्यमान घनत्व नहीं होगा। लेकिन न्यूटन एक गैर-शून्य द्रव्यमान घनत्व चाहता था, एक पदार्थ समान रूप से अनंत स्थान पर वितरित किया गया था। यह एक और प्रदर्शन है कि न्यूटन का तर्क गलत था।

सशर्त रूप से अभिन्न अभिन्न

इसलिए, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि न्यूटन गलत था, लेकिन हमें यह समझने के लिए न्यूटन के तर्क का अधिक ध्यानपूर्वक विश्लेषण करने की आवश्यकता है कि उसने कहां गलती की। अगली बात जिस पर मैं चर्चा करना चाहता हूं वह है अनंत ब्रह्मांड के लिए न्यूटनियन गुरुत्वाकर्षण बलों को जोड़ने की अस्पष्टता। मैंने उल्लेख किया है कि न्यूटन की गणना के साथ वास्तविक समस्या यह है कि उसने जिस राशि की गणना की है वह विचलन है, और आपको गणना करने की कोशिश करते समय सावधानी बरतने की आवश्यकता है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, मैं एक अभिन्न उदाहरण के साथ शुरू करना चाहता हूं जो एक अस्पष्ट मूल्य देता है। मैं कुछ गणितीय अवधारणाओं का परिचय दूंगा। आइए कल्पना करें कि हमारे पास कुछ मनमाना कार्य है $$$च (x)$ जहाँ $$$x$ सिर्फ एक चर होगा।

हम इसे तीन आयामों में सामान्य करेंगे, जो हमें रुचता है, लेकिन हम एक चर के साथ शुरू करेंगे। अगर हमारा कोई फंक्शन है $$$च (x)$ , हम माइनस इन्फिनिटी से अनन्तता से अभिन्न विचार कर सकते हैं $$$च (x)$ मैं उसे फोन करूंगा $$$I_1$ :

$$

$$I_1 = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) dx$$

यह एक ऐसा अभिन्न अंग है जो शरीर पर काम करने वाले सभी गुरुत्वाकर्षण बलों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। अब मैं इस मामले पर विचार करना चाहता हूं $$$I_1$ परिमित है।

मुझे पहले और अधिक सटीक रूप से यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि मेरा क्या मतलब है $$$I_1$ , माइनस से प्लस इनफिनिटी तक। हम अभिन्न की सीमा के रूप में माइनस इनफिनिटी से अनन्तता को परिभाषित कर सकते हैं $$$-L$ को $$$एल$ से $$$च (x)$ जिस पर $$$एल$ अनंत को जाता है:

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \ to \ infty} \ int \ limit _ {- L} ^ Lf (x) d1$$

हमें अभिन्न की गणना करने की आवश्यकता है $$$-L$ को $$$एल$ । अगर हम ऐसा मान लें $$$च (x)$ परिमित है, अभिन्न भी हमेशा परिमित है। मैं मान लूँगा कि फंक्शन ही $$$च (x)$ परिमित है, हम केवल अभिन्न के अभिसरण के बारे में चिंता करेंगे $$$एल$ अनंत के लिए रुझान। तो किसी भी दिए के लिए $$$एल$ अभिन्न कुछ प्रकार की संख्या है। तब कोई आश्चर्यचकित हो सकता है कि यह संख्या कब सीमा तक जाती है $$$एल$ अनंत को जाता है? यदि ऐसा है, तो हम इसे मूल्य कहेंगे $$$I_1$ । माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी तक के अभिन्न अंग से हमारा तात्पर्य है।

अब इस मामले पर विचार करें कि यह मान कब मौजूद है, कब $$$I_1$ कम अनन्तता, अर्थात् इसका कुछ परिमित मूल्य है। लेकिन मैं अभिन्न पर भी विचार करना चाहता हूं, जिसे मैं फोन करूंगा $$$I_2$ , जिसे माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी के लिए अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, लेकिन पूर्ण मूल्य से $$$च (x)$ :

$$

$$I_2 = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | dx$$

अब थोड़ी शब्दावली। अगर $$$I_2$ कम अनन्तता, अगर यह अभिसरण करता है, तो $$$I_1$ जिसे पूर्ण रूप से अभिसरण कहा जाता है । पूर्ण रूप से अभिसरण का अर्थ है कि अभिन्न अभिसरण, भले ही फ़ंक्शन के निरपेक्ष मान का उपयोग किया जाता है। इसके विपरीत, यदि $$$I_2$ विचलन, लेकिन एक ही समय में $$$I_1$ फिर जुटता है $$$I_1$ सशर्त रूप से अभिसरण कहा जाता है । इस प्रकार, यदि किसी फ़ंक्शन का अभिन्न अभिसरण होता है, लेकिन उसी फ़ंक्शन के पूर्ण मूल्य का अभिन्न अभिसरण नहीं होता है, तो इस मामले को सशर्त अभिसरण कहा जाता है।

इस पृथक्करण का कारण यह है कि सशर्त रूप से अभिन्न अभिन्न बहुत खतरनाक हैं। वे खतरनाक हैं क्योंकि वे अच्छी तरह से परिभाषित नहीं हैं। आप कोई भी मूल्य प्राप्त कर सकते हैं जिसे हम एक अलग क्रम में इंटीग्रांड जोड़कर चाहते हैं। जब तक हम एक निश्चित आदेश का पालन करते हैं, जो कि अभिन्न के प्रतीक में निहित है, हमें एक अद्वितीय उत्तर मिलता है। लेकिन, अगर, उदाहरण के लिए, हम केवल एकीकरण की शुरुआत को आगे बढ़ाते हैं, तो हम एक अलग उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। आमतौर पर हम इसकी उम्मीद नहीं करते हैं। आमतौर पर हम केवल संख्या रेखा के साथ एकीकृत करते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम अभिन्न की गणना करना कहां से शुरू करते हैं। इस प्रकार, परिणाम बहुत कम परिभाषित हो जाता है जब हम सशर्त रूप से अभिन्न इंटीग्रल्स के साथ काम करते हैं।

उस विशिष्ट अभिन्न पर आगे बढ़ने से पहले, जो हमें रुचता है, जिसकी सहायता से हम पदार्थ के अनंत वितरण के गुरुत्वीय बलों को जोड़ने का प्रयास करेंगे, मैं एक बहुत ही सरल कार्य का एक उदाहरण दूंगा जो इस अभिन्नता को दिखाता है जब अभिन्न अभिसरण करता है, लेकिन पूरी तरह से अभिसरण नहीं करता है। आप एक अलग क्रम में इंटीग्रल के हिस्सों को जोड़कर हम जो भी जवाब चाहते हैं, प्राप्त कर सकते हैं। एक उदाहरण जो मैं विचार करूंगा वह है f (x), जो +1 है यदि x> 0 और -1 है तो x <0 है। मैं इंगित नहीं करता कि यह x = 0 के बराबर है या नहीं, यह एकीकरण के दौरान कोई फर्क नहीं पड़ता। एक भी बिंदु मायने नहीं रखता। आप x = 0 के साथ फ़ंक्शन के लिए कोई भी मान ले सकते हैं, इससे कुछ भी नहीं बदलेगा।

यदि हम इसे सममित रूप से एकीकृत करते हैं, तो हम माइनस इनफिनिटी से अनन्तता तक एकीकरण से क्या मतलब है, की परिभाषा का पालन करते हुए, हमें पूर्ण कमी मिलती है।

जब हम इससे एकीकृत करते हैं $$$-L$ को $$$एल$ , हम शून्य हो जाते हैं क्योंकि नकारात्मक भागों और अभिन्न के सकारात्मक भागों के बीच एक पूर्ण कमी है। फिर, यदि आप सीमा लेते हैं, तो कब $$$एल$ अनंत तक जाता है, शून्य सीमा शून्य होगी। इस कथन में कोई अस्पष्टता नहीं है।

इस प्रकार, संकेतित क्रम में इंटीग्रल के हिस्सों को एक साथ जोड़ने पर, हमें इंटीग्रल मिलता है, जो शून्य के बराबर है। लेकिन परिणाम उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें हम इन भागों को डालते हैं। विशेष रूप से, यदि हम केवल एकीकरण की शुरुआत को बदलते हैं, तो नई शुरुआत से दूर जाना शुरू करते हैं, तो हमें एक अलग उत्तर मिलेगा। आइए, सीमा को फिर से कब देखें $$$एल$ अनंत तक जाता है, लेकिन इसके बजाय से एकीकृत करता है $$$-L$ को $$$एल$ हम से एकीकृत करेंगे $$$ल-ल$ को $$$ए + एल$ ।

यह वास्तव में एक ही अभिन्न अंग है, हम सिर्फ एकीकरण की हमारी शुरुआत के अधिकार में स्थानांतरित हो गए। किसी विशेष मामले में $$$एक$ शून्य के बराबर है, और हम पहले जैसे ही हैं, लेकिन अगर $$$एक$ शून्य के बराबर नहीं, इसका मतलब है कि हमारे अभिन्न की गणना शुरू से की जाती है $$$x = एक$ से नहीं $$$x = 0$ ।

पहले हमें अभिन्न की गणना करनी चाहिए $$$ल-ल$ को $$$ए + एल$ और फिर जब सीमा ले $$$एल$ अनंत के लिए प्रयास करें, और देखें कि हमें क्या मिलता है।

यह समझना आसान है कि हमें क्या मिलता है। जैसे ही $$$एल$ बड़ा हो रहा है $$$एक$ जवाब अब बढ़ने के साथ नहीं बदलता है $$$एल$ । जब हम बढ़ाते हैं $$$एल$ , हम बाईं ओर कुछ नकारात्मक भाग जोड़ते हैं, और दाईं ओर समान सकारात्मक भाग, और वे एक दूसरे को बेअसर करते हैं। जब $$$एल = एक$ अभिन्न 0 से 2 तक होगा $$$एक$ । अभिन्न में फ़ंक्शन के केवल सकारात्मक मूल्य होंगे, एकीकरण अंतराल 2 होगा $$$एक$ , इसका मतलब है कि अभिन्न 2 होगा $$$एक$ । किसी भी बड़े मूल्यों के लिए $$$एल$ अभिन्न वही होगा, क्योंकि, जैसा है $$$एल$ जैसा कि मैंने कहा, हम सिर्फ दाईं ओर सकारात्मक मूल्यों और बाईं ओर नकारात्मक मूल्यों को जोड़ने पर वापस काटते हैं। इसलिए, इस एकीकरण में सीमा का एक निश्चित मूल्य है, जो 2 के बराबर है $$$एक$ ।

$$$एक$ - यह वह संख्या है जहां से हमने एकीकरण शुरू किया है, इसलिए यह कुछ भी हो सकता है। हम चुन सकते हैं $$$एक$ जैसा हम चाहते हैं। इस प्रकार, हम कोई भी उत्तर प्राप्त कर सकते हैं जो हम चाहते हैं कि हम एक अनियंत्रित क्रम में अभिन्न के कुछ हिस्सों को जोड़ सकें। यह सशर्त रूप से अभिन्न अभिन्न की मौलिक अनिश्चितता है। हम देखेंगे कि एक अनंत द्रव्यमान वितरण में एक कण पर कार्य करने वाली ताकतों को जोड़ने का प्रयास सिर्फ एक सशर्त रूप से अभिन्न अभिन्न अंग है। इसलिए, हम कोई भी उत्तर प्राप्त कर सकते हैं जो हम चाहते हैं, और इसका कोई मतलब नहीं होगा जब तक कि आप इसे बहुत सावधानी से न करें।

गुरुत्वाकर्षण बलों को जोड़ने की समस्या

अब मैं एक कण पर एक पदार्थ के अनंत वितरण में अभिनय करने वाले बल की गणना करना चाहता हूं और दिखाता हूं कि मैं अलग-अलग उत्तर प्राप्त कर सकता हूं, इस आदेश के आधार पर कि मैं गुरुत्वाकर्षण बल जोड़ूंगा। प्रत्येक उदाहरण में, मैं एक निश्चित क्रम में शक्ति जोड़ूंगा और मुझे एक निश्चित उत्तर मिलेगा, हालांकि मुझे अलग-अलग उत्तर मिलेंगे, जिसके आधार पर मैं चयन करता हूं।

आइए किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल की गणना करने का प्रयास करें $$$पी$ पदार्थ के अनंत वितरण में। पदार्थ अनंत तक स्लाइड, और पूरे स्थान को भरता है। हम एक निश्चित क्रम में इस सभी पदार्थ के गुरुत्वाकर्षण योगदान को जोड़ देंगे।

हमारी पहली गणना में, हम एक बिंदु पर केंद्रित गाढ़े गोले में स्थित पदार्थ से गुरुत्वाकर्षण बलों को जोड़ते हैं $$$पी$ । पहले हम अंतरतम शेल लेते हैं, फिर दूसरा शेल, तीसरा शेल आदि। केंद्र से दूर जा रहा है। इस मामले में, यह समझना आसान है कि बिंदु पर कार्य करने वाला बल $$$पी$ इस क्रम में गणना 0 है, क्योंकि प्रत्येक शेल के लिए $$$पी$ केंद्र में स्थित है, और समरूपता विचारों के कारण, बलों को मुआवजा दिया जाना चाहिए। वास्तव में, यह ज्ञात है, और हम जल्द ही इस तथ्य का लाभ उठाएंगे कि शेल के अंदर शेल का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र शून्य है। यह न्यूटन ने साबित कर दिया था। और शेल के बाहर, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र बिल्कुल वैसा ही दिखता है जैसे कि सभी शेल सामग्री इसके केंद्र में केंद्रित थी। यह स्पष्ट है कि इस मामले में बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल $$$पी$ बराबर ०।

अब हम एक अधिक जटिल मामले पर विचार करेंगे, जिसमें हम एक बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल की गणना भी करते हैं $$$पी$ । लेकिन हम एक और बिंदु के आसपास केंद्रित गोलाकार गोले का उपयोग करेंगे, $$$क्यू$ । अब $$$क्यू$ उन गोले को परिभाषित करता है जिनका उपयोग हम ताकत जोड़ने के लिए करेंगे। हम शून्य से अनंत तक सभी गोले से बलों को जोड़ेंगे, अर्थात्। बिंदु पर सभी बलों को जोड़ें $$$पी$ पदार्थ के सभी अनंत वितरण से। लेकिन हम इन ताकतों को एक अलग क्रम में जोड़ देंगे, क्योंकि हम उस क्रम को खोलेंगे, जिस पर केंद्र केंद्रित है $$$क्यू$ । पहले हम छायांकित क्षेत्र के योगदान को देखते हैं, जो चारों ओर गोले है $$$क्यू$ की दूरी से कम दूरी पर रेडीआई है $$$क्यू$ को $$$पी$ । इन सभी गोले के लिए, बिंदु $$$पी$ खोल के बाहर है। इसलिए, प्रत्येक शेल ठीक उसी तरह से कार्य करता है जैसे बिंदु पर केंद्रित बिंदु के कुल द्रव्यमान के बराबर बिंदु द्रव्यमान $$$क्यू$ सभी गोले का केंद्र। इस प्रकार, पदार्थ जो छायांकित क्षेत्र में है, बिंदु पर बल में योगदान देता है $$$पी$ बल के बराबर है कि एक छायांकित द्रव्यमान पैदा होता है अगर यह एक बिंदु पर केंद्रित था $$$क्यू$ ।

दूसरी ओर, अन्य सभी गोले जिसके लिए गोले होंगे $$$पी$ अंदर स्थित है। $$$पी$ अब इन गोले के केंद्र में नहीं है, लेकिन न्यूटन को पता चला कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। गोलाकार खोल के अंदर, गुरुत्वाकर्षण बल किसी भी स्थान पर शून्य है, भले ही यह सीमा के कितना करीब हो। शेल के विभिन्न हिस्सों से सभी बलों को सटीक रूप से मुआवजा दिया जाता है। यदि हम सीमा पर पहुंचते हैं, तो हम मान सकते हैं कि इस सीमा की दिशा में एक आकर्षण होगा। दरअसल, इस मामले में, इस सीमा पर एक विशिष्ट कण के लिए आकर्षण बल मजबूत हो जाता है, क्योंकि यह आनुपातिक है $$$1 / r ^ 2$ । लेकिन जब हम सीमा पर पहुंचते हैं, तो अधिक से अधिक पदार्थ विपरीत दिशा में होता है। और ये दोनों प्रभाव एक दूसरे को पूरी तरह से रद्द कर देते हैं। वैसे, यह तथ्य कि शेल के अंदर एक कण पर अभिनय करने वाला बल शून्य है, गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस कानून का उपयोग करके आसानी से साबित किया जा सकता है।

इसलिए, बाहरी गोले कोई योगदान नहीं करते हैं। हमने पाया कि बिंदु पर बल $$$पी$ छायांकित द्रव्यमान द्वारा निर्मित बल के बराबर। एक बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण $$$पी$ एक सरल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: यह विभाजित किए गए छायांकित क्षेत्र के कुल द्रव्यमान के G गुना के बराबर है $$$b ^ 2$ जहाँ $$$ब$ के बीच की दूरी के बराबर $$$क्यू$ और $$$पी$ , और एक यूनिट वेक्टर से गुणा करके निर्देशित किया गया है $$$क्यू$ अलग $$$पी$ :

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

और यह एक गैर-मूल्य है। इस प्रकार, हम एक शून्य या गैर-शून्य परिणाम प्राप्त करते हैं, जिसके आधार पर हम मामले के अपने अनंत वितरण से बलों को जोड़ते हैं। इसके अतिरिक्त, हमें कोई भी उत्तर मिल सकता है, क्योंकि हम चुन सकते हैं $$$ब$ कैसे आप चाहते हैं। उत्तर निर्भर करता है $$$ब$ और जैसे-जैसे बढ़ता है मनमाने ढंग से बड़ा होता जाता है $$$ब$ । ऐसा लग सकता है कि प्रतिक्रिया बढ़ने के साथ घटती जाती है $$$ब$ लेकिन वास्तव में यह द्रव्यमान के रूप में बढ़ रहा है $$$एम$ जैसे बढ़ रहा है $$$b ^ 3$ । हम चुनकर किसी भी दिशा में ताकत हासिल कर सकते हैं $$$क्यू$ से सही दिशा में $$$पी$ । वास्तव में, हम ताकत जोड़ने की इस पद्धति का उपयोग करके कोई भी उत्तर प्राप्त कर सकते हैं।

समस्या यह है कि ये गोले वास्तव में मौजूद नहीं हैं। हम सिर्फ इन गोले के साथ मानसिक रूप से काम करते हैं। पदार्थ समान रूप से वितरित किया जाता है और कोई गोले नहीं होते हैं। गोले विशुद्ध रूप से मानसिक वस्तुएं हैं जो प्रतिक्रिया को प्रभावित नहीं करना चाहिए। वे केवल उस क्रम को निर्धारित करते हैं जिसमें हम गुरुत्वाकर्षण बलों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।