एक मनमाना संकेत के आयाम मॉडुलन

जैसा कि आप जानते हैं, एएम एक प्रकार का मॉड्यूलेशन है जिसमें वाहक सिग्नल का आयाम मॉड्यूलेशन (सूचना) सिग्नल के कानून के अनुसार बदल जाता है। एएम के एक सैद्धांतिक और व्यावहारिक विवरण के साथ कई स्रोत हैं। विवरण दिया गया है, सबसे पहले, एएम सिग्नल की आवृत्ति संरचना को दिखाने के लिए। मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के रूप में, सिंगल-टोन सिग्नल आमतौर पर माना जाता है। यह संकेत एक साधारण साइन फ़ंक्शन द्वारा सेट किया गया है। वे हमेशा मुझसे पूछते थे, और मैं सोचता था कि एएम का वर्णन कैसे किया जाए क्योंकि एक मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के रूप में एक मनमाना संकेत होगा। यह एक मनमाना संकेत है, जिसकी आवृत्ति स्पेक्ट्रम में कई घटक होते हैं, जो ब्याज की होती है, क्योंकि प्रसारण को ध्वनि प्रसारित करने के लिए AM का उपयोग किया जाता है।

आइए उपरोक्त मामले के लिए एएम का वर्णन करने का प्रयास करें, यह ध्यान में रखते हुए कि मॉड्यूलेटिंग सिग्नल को विभिन्न आयामों और चरणों के साथ अलग-अलग आवृत्तियों के सरल एकल-टोन संकेतों के निरंतर योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। गणितीय विश्लेषण की पेचीदगियों में जाने के बिना, यह संकेत एक निरंतर योग (फूरियर अभिन्न) के रूप में लिखा जा सकता है:

$$

$$S (t) = \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df, \ _; \; \? \; \? \? \? \? \? \ _; (१)$$

जहाँ $$$एम$ - सिग्नल फ्रीक्वेंसी की ऊपरी सीमा (मॉड्यूलेट सिग्नल का बैंड), $$$च$ एकीकरण चर आवृत्ति के लिए जिम्मेदार है, और $$$f \ _ (0; m] $ मे$ । कार्यों $$$ए (एफ)$ और $$$\ varphi (f)$ - आवृत्ति पर संकेत घटक का आयाम और चरण $$$च$ ।

इस सूत्र का अभिन्न रूप तथाकथित है फूरियर श्रृंखला के शब्द के आयाम-चरण रूप में त्रिकोणमितीय दृढ़ीकरण जिसमें संकेत का विस्तार किया जा सकता है। इंटीग्रल इन (1) को फूरियर इंटीग्रल कहा जा सकता है, क्योंकि वास्तव में, यह एक निरंतर योग है, अर्थात निरंतर फूरियर श्रृंखला जिसमें मूल संकेत विघटित होता है। एक समान श्रृंखला में संकेत का विस्तार इस संकेत की आवृत्ति रचना का एक विचार देता है। इस प्रकार, प्रारंभिक modulating संकेत sinusoids की एक निरंतर राशि के रूप में प्रस्तुत किया जाता है (इस मामले में, सुविधा के लिए, $$$cos$ ) विभिन्न आवृत्तियों $$$च$ से $$$0$ को $$$एम$ , उनमें से प्रत्येक का अपना आयाम है $$$ए (एफ)$ चरण पारी $$$\ varphi (f)$ । समारोह $$$ए (एफ)$ मूल संकेत की आवृत्ति स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व करता है $$$एस (टी)$ ।

यह ध्यान देने योग्य है कि संकेत सीमित समय के लिए माना जाता है। $$$t \ में [0; t_0]$ । आमतौर पर, जब यह एक ऑडियो सिग्नल की बात आती है, तो, एक नियम के रूप में, आवृत्ति स्पेक्ट्रम बहुत ही कम सिग्नल टुकड़े के लिए विचार करने के लिए व्यावहारिक समझ में आता है। जाहिर है, सिग्नल की अवधि, अधिक कम आवृत्ति (शून्य के करीब) घटक वर्णक्रमीय संरचना में दिखाई देंगे, जिनकी तुलना श्रव्य रेंज में ध्वनि आवृत्तियों के साथ नहीं की जा सकती है।

मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के अलावा, एक टोन सिग्नल है, जो एक आवृत्ति के साथ एक वाहक दोलन है $$$f_c$ , आयाम $$$सी$ और शून्य प्रारंभिक चरण:

$$

$$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct), \ _; \; \? \; \? \? \? \? \?;?; (2)$$

अतिरिक्त $$$f_c \ gg m$ । दरअसल, प्रसारण में, वाहक आवृत्ति संचरित संकेत की बैंडविड्थ से कई गुना अधिक है।

अब हम सीधे आयाम मॉड्यूलेशन की प्रक्रिया की ओर मुड़ते हैं।

AM संकेत ज्ञात है $$$S_ {AM}$ वाहक संकेत और मॉड्यूलेटिंग सिग्नल को गुणा करने का परिणाम है, पहले से बायस्ड और मॉड्यूलेशन इंडेक्स द्वारा "अनुक्रमित" $$$k$ , यानी।

$$

$$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t))। \ _; \; \? \; \; \? \; \? \?; (3)$$

तथाकथित overmodulation से बचने के लिए $$$k \ _ (0; 1)$ ।

हम प्रारंभिक डेटा (1) और (2) को अभिव्यक्ति (3) में बदलते हैं, कोष्ठक खोलते हैं, एकीकरण चर के अभिन्न स्वतंत्र में सम्मिलित करते हैं $$$च$ कुछ कारक:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Big (1 + k \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Big) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) bf।$$

हम एकीकृत कार्यों के लिए उत्पाद को बदलने के लिए प्रसिद्ध स्कूल त्रिकोणमितीय फार्मूला लागू करते हैं:

$$

$$\ sin a \ cos b = \ frac12 \ Big (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Big) $$$

यह सूत्र AM में प्रमुख है और AM सिग्नल की वर्णक्रमीय संरचना में इन्हीं "दो पक्ष" पर जोर देता है।

समानता को जारी रखते हुए, हम परिणामी राशि के अभिन्न को दो अभिन्न के योग में विभाजित करते हैं, कोष्ठक का विस्तार करते हैं और कोष्ठक को कार्यों के तर्कों में आवश्यक कारक निकालते हैं:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ frac12 \ Big (\ sin (2 \ pi f_ct-) - 2 \ pi ft + \ varphi ( च)) + \\ + \ sin (2 \ pi f_ct + (2 \ pi ft + \ varphi (f)) \ Big) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + \ _rac12kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t +) \ varphi (f)) df।$$

तीन परिणामी शब्द क्रमशः प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसा कि समानता, वाहक संकेत, "निचले" और "ऊपरी" पक्ष के संकेतों से देखा जा सकता है। एक ठोस विवरण देने से पहले, हम निम्नलिखित कॉन्फ़िगरेशन में चर प्रतिस्थापन विधि लागू करके समानता जारी रखते हैं:

$$

$$\ start {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f), \; dw = \ pm df, \\ df = \ pm dw, \; f = \ pm (w-f_c), \\ w (0) = f_c, \; w (m) = (f_c \ pm m)। \ अंत {bmatrix}।$$

हम इसे बहुत प्रतिस्थापन का उपयोग करेंगे:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ limit_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w \ sin) (2 \ pi wt) - (aphphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ limit_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ _i wt + \ varphi (w-f_c)) dw$$

पहले इंटीग्रल में एकीकरण की सीमा को स्वैप करके (जिसके परिणामस्वरूप इंटीग्रल के सामने संकेत विपरीत में बदल जाएगा), हम दो इंटीग्रल को एक में जोड़ सकते हैं। इसके अलावा, वाहक संकेत का वर्णन करने वाला पहला शब्द भी वहां पेश किया जा सकता है। इस मामले में, स्वाभाविक रूप से, आयाम और चरण के अभिन्न कार्यों को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए। यह सब गणितीय विश्लेषण की पेचीदगियों में जाने के बिना सशर्त और अधिक विस्तृत प्रस्तुति के लिए किया जाता है। इस प्रकार, यह पता चला है:

$$

$$S_ {AM} (t) = \ int \ limit_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi wt + \ psi (w)) dw,$$

जहाँ

$$

$$B (w) = \ _ {केस {}} frac12kCA (f_c-w), \ _!?;? (F_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C, \ _? \?!?!? \ _ \ _; ;:; \; \;?;; \; \; \? \; \? \; \? \; \? \? \? \; \; w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c), \;?;?; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {केसेस \ _? \;? \;? \ _? \ _! \ _ \ _; \; \; (4)$$

और

$$

$$\ psi (w) = \ _ {मामलों} शुरू - \ varphi (f_c-w), \ _ \;?; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0, \ _? \;? \ _ \ _; ; \ _; \; \; \; \? \; \? \; \? \? \; \? \; \? \? \? \ _ \ _। w = f_c \\ \ varphi (w-f_c), \;?;?; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {मामलें}। \ _? \;? \;? \ _? \ _ \ _; ;; \; (5)$$

इस प्रकार, नए टुकड़ा-परिभाषित कार्य (4) और (5) पेश किए गए जो आवृत्ति के कार्य के रूप में आयाम और चरण में परिवर्तन का वर्णन करते हैं। फ़ंक्शन के घटकों (4) को देखते हुए, कोई यह नोटिस कर सकता है कि तीसरा घटक फ़ंक्शन के समानांतर हस्तांतरण द्वारा प्राप्त किया गया है $$$ए (एफ)$ पर $$$f_c$ , और पहला - एक प्रारंभिक दर्पण के साथ फैल गया। फ़ंक्शंस के सामने लगातार स्थिरांक, जो आयाम को कम करते हैं, मैं ध्यान नहीं देता। यही है, एएम सिग्नल के स्पेक्ट्रम में तीन घटक होते हैं: वाहक, ऊपरी पक्ष और निचला पक्ष, जो (4) में परिलक्षित होता था।

अंत में, यह ध्यान देने योग्य है कि एएम को जटिल संकेतों और जटिल संख्याओं के आधार पर अधिक जटिल दृष्टिकोण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। इस लेख में चर्चा की गई सामान्य संकेत में एक काल्पनिक घटक नहीं है। जटिल विमान पर वेक्टर आरेखों का उपयोग करते हुए प्रतिनिधित्व को ध्यान में रखते हुए, काल्पनिक घटक के बिना एक संकेत दोनों घटकों के साथ दो जटिल संकेतों से बना है। यह स्पष्ट है अगर हम दो वैक्टरों के योग के रूप में एकल-टोन संकेत का प्रतिनिधित्व करते हैं जो x (रे) अक्ष के संबंध में विपरीत दिशाओं में सममित रूप से घूमते हैं। इन वैक्टर की रोटेशन गति सिग्नल की आवृत्ति के बराबर है, और आवृत्ति के संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) की दिशा है। इस से यह निम्नानुसार है कि काल्पनिक घटक के बिना सिग्नल की आवृत्ति स्पेक्ट्रम में न केवल एक सकारात्मक है, बल्कि एक नकारात्मक घटक भी है। और, ज़ाहिर है, यह शून्य के संबंध में सममित है। यह इस प्रतिनिधित्व के साथ है कि यह तर्क दिया जा सकता है कि आयाम मॉड्यूलेशन की प्रक्रिया में, मॉड्यूलेटिंग सिग्नल के स्पेक्ट्रम को आवृत्ति पैमाने पर शून्य से दाईं ओर वाहक आवृत्ति (और बाएं भी) में स्थानांतरित किया जाता है। इस मामले में, "निचला पक्ष" उत्पन्न नहीं होता है, यह पहले से ही मूल मॉड्यूलेशन सिग्नल में मौजूद है, हालांकि यह नकारात्मक आवृत्ति रेंज में स्थित है। यह पहली नज़र में अजीब लगता है, क्योंकि प्रकृति में, ऐसा लगता है, कोई नकारात्मक आवृत्ति नहीं है। लेकिन गणित कई आश्चर्य प्रस्तुत करता है।