🍡 ➰ 🤱 तंत्रिका नेटवर्क, संचालन, विविधता और टोपोलॉजी के मूलभूत सिद्धांत 🚀 ✊🏾 🧚

तंत्रिका नेटवर्क ने पैटर्न मान्यता के क्षेत्र में क्रांति ला दी है, लेकिन ऑपरेशन के सिद्धांत की स्पष्ट व्याख्या नहीं होने के कारण, उनका उपयोग दवा और जोखिम मूल्यांकन जैसे क्षेत्रों में नहीं किया जाता है। इसके लिए नेटवर्क के दृश्य प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है, जो इसे एक ब्लैक बॉक्स नहीं, बल्कि कम से कम "पारभासी" बना देगा। क्रिस्टोफर ओलाह, न्यूरल नेटवर्क्स, मैनिफोल्ड्स और टोपोलॉजी में, तंत्रिका नेटवर्क ऑपरेशन के सिद्धांतों का प्रदर्शन किया और उन्हें टोपोलॉजी और विविधता के गणितीय सिद्धांत के साथ जोड़ा, जो इस लेख के लिए आधार के रूप में कार्य करता है। एक तंत्रिका नेटवर्क के संचालन को प्रदर्शित करने के लिए, कम-आयामी गहरे तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग किया जाता है।

गहरे तंत्रिका नेटवर्क के व्यवहार को समझना आमतौर पर एक तुच्छ कार्य नहीं है। कम आयामी गहरे तंत्रिका नेटवर्क - नेटवर्क का पता लगाना आसान है जिसमें प्रत्येक परत में केवल कुछ न्यूरॉन्स होते हैं। निम्न-आयामी नेटवर्क के लिए, आप ऐसे नेटवर्क के व्यवहार और प्रशिक्षण को समझने के लिए विज़ुअलाइज़ेशन बना सकते हैं। यह परिप्रेक्ष्य तंत्रिका नेटवर्क के व्यवहार की गहन समझ प्रदान करेगा और उस कनेक्शन का निरीक्षण करेगा जो तंत्रिका विज्ञान को गणित के क्षेत्र के साथ जोड़ता है जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है।

कुछ रोचक डेटा डेटा को वर्गीकृत करने में सक्षम तंत्रिका नेटवर्क की जटिलता पर मौलिक निचली सीमाएं सहित कई दिलचस्प चीजें इस से अनुसरण करती हैं।

एक उदाहरण का उपयोग करके नेटवर्क के सिद्धांत पर विचार करें

चलो एक साधारण डेटा सेट के साथ शुरू करते हैं - एक विमान पर दो घटता। नेटवर्क कार्य वक्रों से संबंधित बिंदुओं को वर्गीकृत करना सीखेगा।

एक तंत्रिका नेटवर्क के व्यवहार की कल्पना करने का एक स्पष्ट तरीका, यह देखने के लिए कि एल्गोरिथ्म डेटा सेट से सभी संभव वस्तुओं (हमारे उदाहरण में, बिंदुओं) को कैसे वर्गीकृत करता है।

चलो एक इनपुट और आउटपुट परत के साथ, तंत्रिका नेटवर्क के सबसे सरल वर्ग से शुरू करते हैं। ऐसा नेटवर्क दो वर्गों के डेटा को एक लाइन से विभाजित करके अलग करने की कोशिश करता है।

इस तरह के नेटवर्क का उपयोग व्यवहार में नहीं किया जाता है। आधुनिक तंत्रिका नेटवर्क में आमतौर पर उनके इनपुट और आउटपुट के बीच कई परतें होती हैं, जिन्हें "छिपी" परत कहा जाता है।

सरल नेटवर्क आरेख

हम इस नेटवर्क के व्यवहार की कल्पना करते हैं, यह देखते हुए कि यह अपने क्षेत्र में विभिन्न बिंदुओं के साथ क्या करता है। एक छिपी-परत नेटवर्क एक लाइन की तुलना में अधिक जटिल वक्र से डेटा को अलग करती है।

प्रत्येक परत के साथ, नेटवर्क डेटा को रूपांतरित करता है, एक नया दृश्य बनाता है। हम इनमें से प्रत्येक दृश्य में डेटा देख सकते हैं और एक छिपी हुई परत के साथ नेटवर्क उन्हें कैसे वर्गीकृत करता है। जब एल्गोरिथ्म अंतिम प्रस्तुति तक पहुंचता है, तो तंत्रिका नेटवर्क डेटा के माध्यम से एक रेखा खींचेगा (या उच्च आयामों में - एक हाइपरप्लेन)।

पिछले विज़ुअलाइज़ेशन में, एक कच्चे दृश्य में डेटा पर विचार किया जाता है। आप इनपुट लेयर को देखकर इसकी कल्पना कर सकते हैं। अब इसे पहली परत में बदलने के बाद विचार करें। छिपी हुई परत को देखकर आप इसकी कल्पना कर सकते हैं।
प्रत्येक माप परत में एक न्यूरॉन की सक्रियता से मेल खाती है।

छिपी हुई परत को दृश्य पर प्रशिक्षित किया जाता है ताकि डेटा रैखिक रूप से अलग हो सके।

निरंतर परत प्रतिपादन

पिछले अनुभाग में वर्णित दृष्टिकोण में, हम प्रत्येक परत के अनुरूप प्रस्तुति को देखकर नेटवर्क को समझना सीखते हैं। इससे हमें विचारों की असतत सूची मिलती है।

गैर-तुच्छ हिस्सा समझ रहा है कि हम एक से दूसरे में कैसे जाते हैं। सौभाग्य से, तंत्रिका नेटवर्क स्तरों में ऐसे गुण होते हैं जो इसे संभव बनाते हैं।
तंत्रिका नेटवर्क में कई अलग-अलग प्रकार की परतें होती हैं।

एक विशिष्ट उदाहरण के लिए एक तन परत पर विचार करें। तन-तन-परत (Wx + b) में निम्न शामिल हैं:

"वजन" मैट्रिक्स डब्ल्यू का रैखिक परिवर्तन
वेक्टर बी का उपयोग करके अनुवाद
तन का हाजिर आवेदन।

हम इसे इस प्रकार निरन्तर रूपांतरित कर सकते हैं:

ऑपरेशन का यह सिद्धांत अन्य मानक परतों से मिलता-जुलता है, जिसमें एक आयतन परिवर्तन शामिल है, इसके बाद एक मोनोटोनिक सक्रियण फ़ंक्शन का बिंदुवार अनुप्रयोग होता है।
इस पद्धति का उपयोग अधिक जटिल नेटवर्क को समझने के लिए किया जा सकता है। तो, निम्न नेटवर्क दो सर्पिलों को वर्गीकृत करता है जो कि चार छिपी परतों का उपयोग करके थोड़ा पेचीदा होता है। समय के साथ, यह देखा जा सकता है कि तंत्रिका नेटवर्क कच्चे दृश्य से उच्च स्तर तक चलता है जो नेटवर्क ने डेटा को वर्गीकृत करने के लिए अध्ययन किया है। हालांकि सर्पिल शुरू में पेचीदा होते हैं, अंत की ओर वे रैखिक रूप से अलग होते हैं।

दूसरी ओर, अगला नेटवर्क, जो कई स्तरों का भी उपयोग करता है, लेकिन दो सर्पिलों को वर्गीकृत नहीं कर सकता है, जो अधिक पेचीदा हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि इन कार्यों में सीमित जटिलता है, क्योंकि कम आयामी तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग किया जाता है। यदि व्यापक नेटवर्क का उपयोग किया गया था, तो समस्या निवारण सरल हो गया था।

तांग परतें

प्रत्येक परत अंतरिक्ष को फैलाती है और संकुचित करती है, लेकिन यह कभी नहीं कटती है, टूटती नहीं है, और इसे मोड़ती नहीं है। सहज रूप से, हम देखते हैं कि प्रत्येक परत पर टोपोलॉजिकल गुण संरक्षित हैं।

ऐसे परिवर्तन जो टोपोलॉजी को प्रभावित नहीं करते हैं उन्हें होमोमोर्फिज्म कहा जाता है (विकी - यह बीजीय प्रणाली ए का मानचित्रण है जो मूल संचालन और बुनियादी संबंधों को संरक्षित करता है)। औपचारिक रूप से, वे पूर्वाग्रह हैं जो दोनों दिशाओं में निरंतर कार्य करते हैं। एक विशेषण मैपिंग में, एक सेट का प्रत्येक तत्व दूसरे सेट के ठीक एक तत्व से मेल खाता है, और एक व्युत्क्रम मानचित्रण जिसमें समान गुण निर्धारित होता है।

प्रमेय

यदि एन मैट्रिक्स और एन आउटपुट वाले लेयर्स होमोमोर्फिज्म होते हैं, यदि वेट मैट्रिक्स डब्ल्यू डिजनरेट नहीं होता है। (आपको डोमेन और रेंज के बारे में सावधान रहने की आवश्यकता है।)

सबूत:

1. मान लें कि डब्ल्यू में एक नोनजरो निर्धारक है। फिर यह एक रैखिक व्युत्क्रम के साथ एक विशेषण रैखिक कार्य है। रैखिक कार्य निरंतर हैं। तो, डब्ल्यू द्वारा गुणा एक होमियोमॉर्फिज़्म है।
2. मैपिंग - समरूपता
3. तन (दोनों सिग्मॉइड और सॉफ्टप्लस, लेकिन ReLU नहीं) निरंतर व्युत्क्रम के साथ निरंतर कार्य हैं। यदि हम उस क्षेत्र और सीमा के बारे में सावधान हैं जो हम विचार कर रहे हैं तो वे पूर्वाग्रह हैं। उनका उपयोग पॉइंटवाइज़ एक समरूपता है।

इस प्रकार, यदि डब्ल्यू में एक गैर-बीजाणु निर्धारक है, तो फाइबर होमोमोर्फिक है।

टोपोलॉजी और वर्गीकरण

दो वर्गों A, B2R2 के साथ दो-आयामी डेटा सेट पर विचार करें:

ए = {एक्स | d (x, 0) <1/3}

बी = {एक्स | 2/3 <d (x, 0) <1}

एक लाल, बी नीला

आवश्यकता: एक तंत्रिका नेटवर्क 3 या अधिक छिपी परतों के बिना इस डेटासेट को वर्गीकृत नहीं कर सकता है, चाहे चौड़ाई कितनी भी हो।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, सिग्मॉइड फ़ंक्शन या सॉफ्टमैक्स परत के साथ वर्गीकरण हाइपरप्लेन (या इस मामले में लाइन) को खोजने की कोशिश करने के बराबर है जो अंतिम प्रतिनिधित्व में ए और बी को अलग करता है। केवल दो छिपी परतों के साथ, नेटवर्क topologically इस तरह से डेटा साझा करने में असमर्थ है, और इस डेटा सेट में विफलता के लिए बर्बाद है।
अगले विज़ुअलाइज़ेशन में, हम एक अव्यक्त दृश्य का निरीक्षण करते हैं, जबकि नेटवर्क वर्गीकरण लाइन के साथ प्रशिक्षण ले रहा है।

इसके लिए प्रशिक्षण का नेटवर्क एक सौ प्रतिशत परिणाम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
एल्गोरिथ्म एक गैर-उत्पादक स्थानीय न्यूनतम में आता है, लेकिन ~ 80% वर्गीकरण सटीकता प्राप्त करने में सक्षम है।

इस उदाहरण में, केवल एक छिपी हुई परत थी, लेकिन यह काम नहीं किया।
स्वीकृति। या तो प्रत्येक परत एक समरूपता है, या परत के भार मैट्रिक्स में निर्धारक 0 है।

सबूत:

यदि यह एक समरूपता है, तो ए अभी भी बी से घिरा हुआ है, और रेखा उन्हें अलग नहीं कर सकती है। लेकिन मान लें कि इसमें 0 का निर्धारक है: तो डेटा सेट कुछ अक्ष पर ढह जाता है। चूंकि हम मूल डेटासेट के लिए कुछ होमियोमॉर्फिक के साथ काम कर रहे हैं, ए बी से घिरा हुआ है, और किसी भी धुरी पर ढहने का मतलब है कि हमारे पास ए और बी मिश्रित से कुछ बिंदु होंगे, और यह भेद करना असंभव बनाता है।

यदि हम तीसरे छिपे हुए तत्व को जोड़ते हैं, तो समस्या तुच्छ हो जाएगी। तंत्रिका नेटवर्क निम्नलिखित प्रतिनिधित्व को पहचानता है:

दृश्य हाइपरप्लेन के साथ डेटासेट को अलग करना संभव बनाता है।
यह समझने के लिए कि क्या चल रहा है, आइए एक सम-विषम डेटा सेट को देखें, जो एक आयामी है:

ए = [- १ / ३,१ / ३]
बी = [- १, −2 / 3], [२ / ३,१]
दो या अधिक छिपे हुए तत्वों की एक परत का उपयोग किए बिना, हम इस डेटासेट को वर्गीकृत नहीं कर सकते। लेकिन, यदि हम दो तत्वों के साथ एक नेटवर्क का उपयोग करते हैं, तो हम सीखेंगे कि डेटा को एक अच्छे वक्र के रूप में कैसे प्रस्तुत किया जाए, जो हमें निम्न कक्षाओं को अलग करने की अनुमति देता है:

क्या चल रहा है? एक छिपा तत्व जब x> -1/2 पर आग लगाना सीखता है, और जब x> 1/2 से आग लगाना सीखता है। जब पहला ट्रिगर किया जाता है, लेकिन दूसरा नहीं, तो हम जानते हैं कि हम ए में हैं।

विविधता अनुमान

क्या यह वास्तविक दुनिया से डेटासेट पर लागू होता है, जैसे छवि सेट? यदि आप विविधता परिकल्पना के बारे में गंभीर हैं, तो मुझे लगता है कि यह मायने रखता है।

बहुआयामी परिकल्पना यह है कि प्राकृतिक डेटा आरोपण अंतरिक्ष में कम आयामी कई गुना बनाते हैं। दोनों सैद्धांतिक [1] और प्रयोगात्मक [2] कारणों को मानते हैं कि यह सच है। यदि ऐसा है, तो वर्गीकरण एल्गोरिदम का कार्य उलझे हुए कई गुना के बंडल को अलग करना है।

पिछले उदाहरणों में, एक वर्ग ने दूसरे को पूरी तरह से घेर लिया। हालांकि, यह संभावना नहीं है कि कुत्ते की छवियों की विविधता पूरी तरह से बिल्ली की छवियों के संग्रह से घिरी हो। लेकिन अन्य, अधिक प्रशंसनीय सामयिक परिस्थितियां हैं जो अभी भी उत्पन्न हो सकती हैं, जैसा कि हम अगले भाग में देखेंगे।

कनेक्शन और समरूपता

एक और दिलचस्प डेटासेट दो जुड़े हुए तोरी ए और बी है।

पिछले डेटा सेटों की तरह, जिनकी हमने जांच की थी, इस डेटा सेट को n + 1 आयामों का उपयोग किए बिना विभाजित नहीं किया जा सकता है, अर्थात् चौथा आयाम।

टोपोलॉजी के क्षेत्र में कनेक्शन का अध्ययन समुद्री मील के सिद्धांत में किया जाता है। कभी-कभी, जब हम एक कनेक्शन देखते हैं, तो यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि क्या यह असंयम है (बहुत सारी चीजें जो एक साथ उलझ जाती हैं लेकिन निरंतर विरूपण से अलग हो सकती हैं) या नहीं।

अपेक्षाकृत सरल असंयम।

यदि केवल तीन इकाइयों के साथ परतों का उपयोग करने वाला एक तंत्रिका नेटवर्क इसे वर्गीकृत कर सकता है, तो यह असंगत है। (प्रश्न: क्या सभी अवतारों को केवल तीन अवतारों के साथ नेटवर्क पर वर्गीकृत किया जा सकता है, सैद्धांतिक रूप से?)

इस नोड के दृष्टिकोण से, एक तंत्रिका नेटवर्क द्वारा बनाए गए अभ्यावेदन का निरंतर विज़ुअलाइज़ेशन कनेक्शनों को हटाने की एक प्रक्रिया है। टोपोलॉजी में, हम इस मूल समरूपता को मूल लिंक और अलग किए गए लोगों के बीच कहेंगे।

औपचारिक रूप से, ए और बी के बीच के आस-पास के स्थान का समस्थानिक एक सतत कार्य है F: [0,1] × X → Y ऐसा है कि हर फीट X से अपनी सीमा तक एक होमोमोर्फिज़्म है, F0 एक पहचान समारोह है, और F1 मैप्स A से B. T तक है। करें.ई.। फीट ए मैप से ए से बी तक मैप पर लगातार जाता रहता है।

प्रमेय: प्रवेश द्वार और नेटवर्क स्तर के प्रतिनिधित्व के बीच आस-पास के स्थान का समस्थानिक होता है अगर: a) W पतित नहीं है, b) हम छिपे हुए परत में न्यूरॉन्स को स्थानांतरित करने के लिए तैयार हैं और c) कोई अन्य छिपे हुए तत्व से अधिक हैं।

सबूत:

1. सबसे कठिन हिस्सा रैखिक परिवर्तन है। इसे संभव बनाने के लिए, हमें एक सकारात्मक निर्धारक की आवश्यकता है। हमारा आधार यह है कि यह शून्य के बराबर नहीं है, और हम साइन को उल्टा कर सकते हैं यदि यह दो छिपे हुए न्यूरॉन्स को स्विच करके नकारात्मक है, और इसलिए हम यह गारंटी दे सकते हैं कि निर्धारक सकारात्मक है। सकारात्मक निर्धारक मेट्रिसेस का स्थान जुड़ा हुआ है, इसलिए वहाँ मौजूद है p: [0,1] → GLn®5 जैसे कि p (0) = Id और p (1) = W। हम पहचान फ़ंक्शन से W- परिवर्तन का लगातार उपयोग कर सकते हैं। फ़ंक्शंस x → p (t) x, प्रत्येक टाइम पॉइंट t पर गुणा x एक लगातार पासिंग मैट्रिक्स p (t) द्वारा।
2. हम फ़ंक्शन x → x + tb का उपयोग करके पहचान फ़ंक्शन से बी-मैप पर लगातार आगे बढ़ सकते हैं।
3. हम समान फ़ंक्शन से लगातार फ़ंक्शन के साथ of के पॉइंटवाइज उपयोग के लिए आगे बढ़ सकते हैं: x → (1-t) x + t from (x)

अब तक, जिन रिश्तों की हमने बात की थी, वे वास्तविक आंकड़ों में दिखाई देने की संभावना नहीं है, लेकिन उच्च स्तर के सामान्यीकरण हैं। यह प्रशंसनीय है कि ऐसी विशेषताएं वास्तविक डेटा में मौजूद हो सकती हैं।

कनेक्शन और नोड एक-आयामी कई गुना हैं, लेकिन हमें 4 आयामों की आवश्यकता है ताकि नेटवर्क उन सभी को खोल सके। इसी प्रकार, n- आयामी कई गुना विस्तार करने में सक्षम होने के लिए एक उच्च आयामी स्थान की भी आवश्यकता हो सकती है। सभी एन-आयामी कई गुना 2n + 2 आयामों में विस्तारित किया जा सकता है। [3]

आसान निकास

आसान तरीका यह है कि कई गुना अलग-अलग खींचने की कोशिश करें और उन हिस्सों को फैलाएं जो जितना संभव हो उतना पेचीदा हो। यद्यपि यह एक वास्तविक समाधान के करीब नहीं होगा, लेकिन ऐसा समाधान अपेक्षाकृत उच्च वर्गीकरण सटीकता प्राप्त कर सकता है और स्वीकार्य स्थानीय न्यूनतम हो सकता है।

इस तरह की स्थानीय मिनीमा टोपोलॉजिकल समस्याओं को हल करने की कोशिश करने के मामले में बिल्कुल बेकार हैं, लेकिन टोपोलॉजिकल समस्याएं इन समस्याओं के अध्ययन के लिए अच्छी प्रेरणा प्रदान कर सकती हैं।

दूसरी ओर, यदि हम केवल अच्छे वर्गीकरण परिणामों को प्राप्त करने में रुचि रखते हैं, तो दृष्टिकोण स्वीकार्य है। यदि डेटा का एक छोटा सा हिस्सा कई गुना अधिक पर पकड़ा जाता है, तो क्या यह एक समस्या है? यह संभावना है कि इस समस्या के बावजूद, मनमाने ढंग से अच्छे वर्गीकरण परिणाम प्राप्त करना संभव होगा।

मैनिफोल्ड्स में हेरफेर के लिए बेहतर परतें?

यह कल्पना करना मुश्किल है कि एफाइन परिवर्तनों के साथ मानक परतें कई गुना हेरफेर करने के लिए वास्तव में अच्छी हैं।

शायद यह समझ में आता है कि एक पूरी तरह से अलग परत है, जिसे हम अधिक पारंपरिक लोगों के साथ रचना में उपयोग कर सकते हैं?

एक वेक्टर क्षेत्र का एक दिशा जिसमें हम कई गुना बदलाव करना चाहते हैं का अध्ययन आशाजनक है:

और फिर हम वेक्टर फ़ील्ड के आधार पर अंतरिक्ष को ख़राब करते हैं:

कोई निश्चित बिंदुओं पर वेक्टर क्षेत्र का अध्ययन कर सकता है (बस एंकर के रूप में उपयोग के लिए निर्धारित परीक्षण डेटा से कुछ निश्चित बिंदुओं को ले सकता है) और किसी तरह इंटरपोल कर सकता है।

ऊपर वेक्टर क्षेत्र का रूप है:

P (x) = (v0f0 (x) + v1f1 (x)) / (1 + 0 (x) + f1 (x))

जहां v0 और v1 वैक्टर हैं, और f0 (x) और f1 (x) एन-डायमेंशनल गाऊसी हैं।

K- निकटतम पड़ोसी परतें

रैखिक पृथक्करण तंत्रिका नेटवर्क के लिए एक बड़ी और संभवतः अनुचित आवश्यकता हो सकती है। K- निकटतम पड़ोसियों (k-NN) विधि का उपयोग करना स्वाभाविक है। हालाँकि, k-NN की सफलता उस प्रस्तुति पर बहुत अधिक निर्भर करती है जिसे वह वर्गीकृत करता है, इसलिए k-NN के अच्छी तरह से काम करने से पहले एक अच्छी प्रस्तुति की आवश्यकता होती है।

के-एनएन उस प्रतिनिधित्व के संबंध में भिन्न है जिस पर वह कार्य करता है। इस तरह, हम सीधे k-NN को वर्गीकृत करने के लिए नेटवर्क को प्रशिक्षित कर सकते हैं। इसे एक प्रकार की "निकटतम पड़ोसी" परत के रूप में देखा जा सकता है जो सॉफ्टमैक्स के विकल्प के रूप में कार्य करता है।
हम प्रत्येक मिनी-पार्टी के लिए प्रशिक्षण के अपने पूरे सेट के साथ चेतावनी नहीं देना चाहते हैं, क्योंकि यह एक बहुत महंगी प्रक्रिया होगी। अनुकूलित दृष्टिकोण मिनी-लॉट के प्रत्येक तत्व को मिनी-लॉट के अन्य तत्वों के वर्गों के आधार पर वर्गीकृत करना है, प्रत्येक इकाई को वर्गीकरण लक्ष्य से दूरी द्वारा विभाजित किया गया है।

दुर्भाग्य से, यहां तक कि जटिल आर्किटेक्चर के साथ, k-NN का उपयोग करने से त्रुटि की संभावना कम हो जाती है - और सरल आर्किटेक्चर का उपयोग परिणामों को नीचा दिखाता है।

निष्कर्ष

डेटा के टोपोलॉजिकल गुण, जैसे कि रिश्ते, गहराई के बावजूद, कम-आयामी नेटवर्क का उपयोग करके कक्षाओं के रैखिक विभाजन को असंभव बना सकते हैं। यहां तक कि उन मामलों में जहां यह तकनीकी रूप से संभव है। उदाहरण के लिए, सर्पिल, जिसे अलग करना बहुत मुश्किल हो सकता है।

सटीक डेटा वर्गीकरण के लिए, तंत्रिका नेटवर्क को विस्तृत परतों की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, तंत्रिका नेटवर्क की पारंपरिक परतें खराब रूप से मैनिफोल्ड्स के साथ महत्वपूर्ण जोड़तोड़ का प्रतिनिधित्व करने के लिए अनुकूल हैं; यहां तक कि अगर हम वजन को मैन्युअल रूप से सेट करते हैं, तो हम जो रूपांतरण चाहते हैं, उन्हें कॉम्पैक्ट रूप से प्रस्तुत करना मुश्किल होगा।

स्रोतों और स्पष्टीकरण के लिंक

[१] बहुत सारे प्राकृतिक परिवर्तन आप किसी चित्र पर करना चाह सकते हैं, जैसे किसी वस्तु का अनुवाद या स्केलिंग करना, या प्रकाश को बदलना, अगर आपने उन्हें लगातार किया तो छवि स्थान में निरंतर घटता बनेगी।

[२] कार्लसन एट अल। पाया गया कि छवियों के स्थानीय पैच एक क्लेन बोतल बनाते हैं।
[३] इस परिणाम का उल्लेख विकिपीडिया के समस्थानिक आइसोटोपी संस्करणों में किया गया है।

तंत्रिका नेटवर्क, संचालन, विविधता और टोपोलॉजी के मूलभूत सिद्धांत

सरल नेटवर्क आरेख

तांग परतें

टोपोलॉजी और वर्गीकरण

विविधता अनुमान

कनेक्शन और समरूपता

आसान निकास

K- निकटतम पड़ोसी परतें

निष्कर्ष

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