आयामहीन गुब्बारा। उपयोगितावादी आयाम विश्लेषण जादू

मुझे हवा की तुलना में एक विमान लाइटर की ऊर्ध्वाधर उड़ान के हाल्बे डायनेमिक्स पर हाल ही में प्रकाशित लेख द्वारा इस छोटे लेख को लिखने के लिए प्रेरित किया गया था। मैं एक टिप्पणी लिखना चाहता था, लेकिन यह जल्दी से कुछ और में बढ़ गया और, यह अधिक उपयोगी लगता है।

मूल लेख वातावरण में एक गुब्बारे या एक गुब्बारे की गतिशीलता की गणना करने का एक उदाहरण प्रदान करता है। इस मामले में, वायुमंडल के घनत्व और तापमान के वायु प्रतिरोध और ग्रेडिएंट दोनों को ध्यान में रखा जाता है, ताकि समस्या एक nontrivial विभेदक समीकरण को कम कर दे, जिसे पायथन भाषा का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है। लेख में सब कुछ ठीक है: गेंद ने ले लिया, जहां आवश्यक था, रोक दिया, हमें अधिकतम ऊंचाई और वृद्धि का समय मिला। मुझे एक और गेंद लॉन्च करने, अधिक कहने, इसे अधिक अच्छी तरह से लोड करने या हाइड्रोजन को हीलियम में बदलने में कोई समस्या नहीं हुई - कोई समस्या नहीं है - कार्यक्रम में मापदंडों को बदलें और फिर से सब कुछ गणना करें। कार्यक्रम समझ में आता है, रैखिक, यह काम करता है, इसलिए यदि मॉडल जटिल नहीं है तो यहां क्या सुधार किया जा सकता है?

आप मॉडल और गणना किसी विशेष गेंद के लिए नहीं बल्कि कार्यों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए सार्वभौमिक रूप से उपयोगी बन सकते हैं। अंतर समीकरण के संख्यात्मक एकीकरण में इष्टतम गणना सटीकता सुनिश्चित करना संभव है। मापदंडों की एक विस्तृत श्रृंखला में गणना करते समय आप एकीकरण सीमाओं को मैन्युअल रूप से सेट करने की आवश्यकता को समाप्त कर सकते हैं। अंत में, आप एक संख्यात्मक समाधान के बिना हमारी गेंद की उड़ान की गतिशीलता के बारे में बहुत कुछ बता सकते हैं। और इस सब के लिए, एक पुरानी चाल है, सच्ची और विश्वसनीय, एक बार कंप्यूटर पर किसी भी गणना के लिए अनिवार्य है और इससे पहले कि वे दिखाई दें, और अब वैकल्पिक और अक्सर जादू और कला से संबंधित हैं - एक आयाम रहित रूप और अपने स्वयं के तराजू के लिए समीकरण लाते हैं । मैं एक उदाहरण के रूप में एयरोनॉटिक्स की समस्या का उपयोग करूंगा और दिखाऊंगा कि इस तकनीक का उपयोग करते समय समस्या का विश्लेषण कैसे अधिक सार्थक और सुरुचिपूर्ण हो जाता है। और फिर मैं समझाऊंगा कि यह प्रोग्रामर के लिए क्यों महत्वपूर्ण हो सकता है, और यह लेख हब "कार्यात्मक प्रोग्रामिंग" में क्यों समाप्त हुआ।

अपने स्वयं के तराजू के समीकरणों को कम करने का सार समय, दूरी, द्रव्यमान, धाराओं और अन्य आयामी चर के माप की ऐसी इकाइयों को खोजना और उनका परिचय देना है जिसमें कार्य सबसे सरल और सुरुचिपूर्ण रूप लेता है। ऐसी इकाइयों को समस्या की विशेषता या उचित पैमाने कहा जाता है। उसी समय, इसके समाधान को प्रभावित करने वाले मापदंडों की संख्या काफी कम हो जाती है, और यदि आप स्वयं-समान समाधान पर ठोकर खाने के लिए भाग्यशाली हैं, तो पैरामीटर पूरी तरह से गायब हो सकते हैं!

आमतौर पर, एक इस तकनीक से परिचित हो जाता है जब वे एक हार्मोनिक थरथरानवाला की गतिशीलता का अध्ययन करते हैं, गति के समीकरण को एक विहित रूप में लाते हैं। वास्तव में, जो भी थरथरानवाला (बड़े या छोटे, कम या उच्च आवृत्ति, यांत्रिक या विद्युत चुम्बकीय), अगर आप समय को सेकंड में नहीं, बल्कि मुक्त दोलनों की अवधि में मापते हैं, और आयाम मीटर में नहीं, लेकिन, कहते हैं, प्रारंभिक विचलन के परिमाण में। , तो किसी भी रैखिक थरथरानवाला के लिए समीकरण एक ही रूप होगा:

$$

$$x '' + 2 \ zeta x '+ x = 0$$

सभी हार्मोनिक चिपचिपे घर्षण ऑसिलेटर्स के बारे में सब कुछ जानने के लिए इस समीकरण के समाधान के गुणों का अध्ययन करना पर्याप्त है। घर्षण के बिना, समस्या में पैरामीटर पूरी तरह से गायब हो जाते हैं, और हम समाधान के रूप में प्राप्त करते हैं, एक अनुकरणीय साइनसॉइड। फिर भी, अन्य साइनसोइड, निर्देशांक के एक सरल रैखिक परिवर्तन तक, बिल्कुल समान हैं, इसलिए उन्हें व्यक्तिगत रूप से विश्लेषण करने का कोई मतलब नहीं है।

दूसरे क्रम के घटता का विश्लेषण करते समय भी यही स्थिति होती है। उनके विहित (सबसे कॉम्पैक्ट) रूप में परबोला, हाइपरबोला या दीर्घवृत्त की जांच करने के बाद, हमने उनके सभी उल्लेखनीय गुणों को सीखा है। उसके बाद, यह ज्ञान किसी भी गैर-तुच्छ चतुर्भुज तक फैला हुआ है। इसके अलावा, एक ही तकनीक का उपयोग दूसरे क्रम के गणित (आंशिक डेरिवेटिव में) के समीकरणों के विश्लेषण में किया जाता है।

भौतिकी में अपने स्वयं के तराजू पर एक आयामहीन रूप में समस्या को लाना, प्रोग्रामिंग में विहित रूप या कुछ पैटर्न की खोज से मेल खाता है। और, सौभाग्य से, यह पूरी तरह से औपचारिक एल्गोरिथ्म के साथ व्यक्त किया जा सकता है:

1. हम चर के लिए औपचारिक पैमाने के कारकों का परिचय देते हैं;
2. हम पूरे समीकरण को किसी भी मात्रा में उसकी शर्तों के आयाम से विभाजित करते हैं;
3. पैमाने के कारकों सहित परिणामी आयामहीन परिसरों से, हम अपने पास जितने कारक चुनते हैं, और उन्हें एकता के बराबर करते हैं;
4. हम समस्या के मापदंडों के संदर्भ में स्केल कारकों को व्यक्त करके परिणामी समीकरणों को हल करते हैं, और शेष परिसरों को समानता मानदंडों के रूप में उपयोग करते हैं।

नतीजतन, हम विहित रूप में समीकरणों को प्राप्त करते हैं, समस्या के आइगेनवैल्यूज़, और शारीरिक रूप से समान प्रणालियों के समाधान के सामान्यीकरण के लिए समानता मानदंड भी। जितने अधिक पैमाने आप दर्ज कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, समरूपता) का उपयोग करते हुए, गति का समीकरण जितना अधिक संक्षिप्त होगा और कम नियंत्रण पैरामीटर समस्या में रहेगा। शोधकर्ता के लिए असली खजाना वह स्थिति है जब समस्या के सभी मापदंडों को बाहर करना और एक वक्र में इसके सभी संभव समाधान पेश करना संभव है। इस तरह के समाधान को आत्म-समान कहा जाता है और वे जीवन को सरल बनाते हैं, आंशिक अंतर समीकरणों को साधारण अंतर समीकरणों में बदल देते हैं, या बीजगणित में भी। उपरोक्त एल्गोरिथ्म के दूसरे और तीसरे चरण में चयन और तर्क की आवश्यकता होती है, वे कम से कम औपचारिक हैं, लेकिन भले ही आप जानवर बल विधि का उपयोग करते हैं, इस स्तर पर आप समस्या की बहुत गहरी व्यवस्थित समझ प्राप्त कर सकते हैं।

आइए हम विमान पर लेख में दिए गए गति के मूल समीकरण की ओर मुड़ते हैं, और इसके उदाहरण से दर्शाते हैं कि कैसे इसे अपने तराजू पर एक आयामहीन रूप में बदला जा सकता है। समीकरण का रूप है:

$$

$$m \ frac {d ^ 2h} {dt ^ 2} = -mg + g W \ rho_0 e ^ {- bh} - \ frac {1} {2} c S \ rho_0 e ^ {- bh} \ operatorname { हस्ताक्षर} \ बायां (\ frac {dh} {dt} \ right) \ left (\ frac {dh} {dt} \ right) ^ 2,$$

प्रारंभिक स्थितियों के साथ

$$

$$h (0) = h '(0) = 0.$$

यहां $$$ज$ - गेंद की ऊंचाई, $$$एम$ - कार्गो के साथ पूरे विमान का द्रव्यमान, $$$जी$ - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण, $$$डब्ल्यू$ - गेंद में गैस की मात्रा, $$$सी$ - गुणांक खींचें, $$$एस$ - विशेषता प्रतिरोध क्षेत्र, $$$ρ_0$ - शून्य ऊंचाई पर वायु घनत्व, $$$ब$ - बोल्ट्जमैन वितरण में गुणांक।

पहला कदम। हम समय और दूरी के लिए औपचारिक पैमानों का परिचय देते हैं:

$$

$$h = h_0 y, \ quad t = t_0 \ tau \ qquad (1)$$

और डेरिवेटिव को निरूपित करने के लिए स्ट्रोक का उपयोग करते हुए गति के समीकरण को फिर से लिखें:

$$

$$m \ frac {h_0} {t_0 ^ 2} y '= -mg + g W \ rho_0 e ^ {- b h_0 y} \ left [1 - \ frac {c S} {2Wc} {frac {h_0 ^ 2} {t_0 ^ 2} \ operatorname {साइन} (y ') (y') ^ 2 \ right]।$$

हमारे मामले में प्रारंभिक शर्तें तुच्छ हैं, इसलिए उन्हें छोड़ दिया जा सकता है, लेकिन सामान्य तौर पर, हमें उन्हें भी फिर से लिखना होगा।

दूसरा चरण, वास्तव में, समीकरण का निराधार है। इसमें सभी शब्दों में बल का आयाम है और हम उन्हें किसी भी बल में विभाजित करने के लिए स्वतंत्र हैं। आमतौर पर जड़ता के बल से विभाजित - दूरी के दूसरे व्युत्पन्न में एक कारक द्वारा। इस मामले में, समस्या के मापदंडों के रूप में, गतिशील समानता के लिए प्रसिद्ध मानदंड, जैसे रेनॉल्ड्स या यूलर नंबर, आमतौर पर प्राप्त होते हैं। लेकिन हमारे कार्य में, हम कार्य में शामिल सभी बलों को गुरुत्वाकर्षण के लिए असाइन करते हैं $$$मिलीग्राम$ और इसीलिए। हम मुख्य रूप से स्थिर संतुलन की स्थिति में रुचि रखते हैं - किसी दिए गए भार क्षमता पर गेंद की अधिकतम ऊंचाई और इसके लिए संक्रमण का समय। और स्थिर संतुलन प्रणाली के जड़त्वीय गुणों पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन यह सीधे गुरुत्वाकर्षण पर निर्भर करता है। इसलिए, हम विभाजित करते हैं और जो संभव है उसे कम करते हैं:

$$

$$\ frac {h_0} {gt_0 ^ 2} y '= -1 + \ frac {W \ rho_0} {m} e ^ {- b h_0 y} \ left [1 - \ frac {c}} {2W g } \ frac {h_0 ^ 2} {t_0 ^ 2} \ operatorname {साइन} (y ') (y') ^ 2 \ right] $$$

सब कुछ, समीकरण आयाम रहित है, अब सभी चर और इसमें सभी शब्द बस संख्याएँ हैं। और अब हम कार्य मापदंडों की संख्या को कम करने के लिए लंबाई और समय के ऐसे पैमानों को चुनने के लिए स्वतंत्र हैं। हमारे पास दो अज्ञात हैं $$$h_0$ और $$$t_0$ और चार आयाम रहित परिसर:

$$

$$\ frac {h_0} {gt_0 ^ 2}, \ quad \ frac {W \ rho_0} {m}, \ quad b h_0, \ quad \ frac {c S} {2W g} \ _rac {h_0 ^ 2} {} t_0 ^ 2}$$

इसका मतलब है कि हम उनमें से दो को गायब कर सकते हैं बस उन्हें एकता के बराबर कर सकते हैं। इसके अलावा, दूसरा परिसर बड़े पैमाने पर कारकों पर निर्भर नहीं करता है, और हमें विनाश के लिए शेष दो का चयन करने की आवश्यकता है। और फिर, हम स्थैतिक संतुलन के बारे में तर्क की ओर मुड़ते हैं जो हमें रुचता है। संतुलन की स्थिति शून्य त्वरण के समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात, यह हमारे लिए कोई मायने नहीं रखेगा कि कौन सा कारक ऊंचाई के दूसरे व्युत्पन्न में होगा और हम समीकरण के दाईं ओर मापदंडों की संख्या को न्यूनतम कर सकते हैं। इस प्रकार, हम निम्नलिखित समाधान पर आते हैं: हम स्केल कारकों को चुनते हैं ताकि हमारे द्वारा सूचीबद्ध परिसरों का तीसरा और चौथा समीकरण से गायब हो जाए। इसके लिए हम मान लेते हैं

$$

$$b h_0 = 1, \ quad \ frac {c S} {2W g} \ frac {h_0 ^ 2} {t_0 ^ 2} = 1$$

और समस्या के अपने पैमाने प्राप्त करें:

$$

$$h_0 = \ frac {1} {b}, \ quad t_0 = \ frac {1} {b} \ sqrt {\ frac {c S} {2W g}}। \ qquad (2) $$$

शेष मापदंडों को निम्नानुसार दर्शाया गया है:

$$

$$\ frac {h_0} {gt_0 ^ 2} = \ frac {1} {\ Gamma}, \ quad \ frac {W \ rho_0} {m} = B.$$

यह शायद हमारे परिवर्तनों का सबसे जादुई चरण है, जो कला के सबसे करीब है। लेकिन अनुभव और कुछ तर्क सही पैमाने चुनने में मदद करते हैं। और फिर यही अनुभव हमें विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में समान घटनाओं को देखने और जटिल प्रणालियों की विशेषता गुणों का अनुमान लगाने की अनुमति देता है।

मैं अपने आप को प्राप्त किए गए तराजू और मापदंडों के भौतिक अर्थ के विश्लेषण को स्थगित करने की अनुमति दूंगा, हालांकि यह भी बहुत सुखद और दिलचस्प है, लेकिन मैं तुरंत सबसे स्वादिष्ट - अपने स्वयं के तराजू पर आयामहीन समीकरण की ओर मुड़ूंगा:

$$

$$\ frac {1} {\ Gamma} y '= B e ^ {- y} \ left (1 - \ operatorname {sign} (y') (y ') ^ 2 \ right) -1, \ quad y (0) = y '(0) = 0. \ qquad (3)$$

यहाँ! मैं इस तरह के समीकरण को हल करने, विश्लेषण करने और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने के लिए तैयार हूं। और जब मैं फैसला करता हूं, तो मैं आसानी से अपने खुद के तराजू से मीटर और सेकंड में स्थानांतरित कर सकता हूं, अनुपात (1) और (2) में एन्कोडेड।

तो चलिए शुरू करते हैं। आइए पाते हैं, शुरुआत के लिए, जहां हमारा सामान्यीकृत गुब्बारा बंद हो जाएगा। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण में गति और त्वरण दोनों को शून्य करते हैं (3):

$$

$$0 = B e ^ {- y ^ *} - 1,$$

हम कहाँ मिलेंगे

$$

$$y ^ * = \ ln B.$$

तुरंत निष्कर्ष: अधिकतम ऊंचाई के अस्तित्व के लिए, स्थिति $$$B> 1 ​​$ । अगला, हम अनुमान लगाते हैं कि गेंद इस ऊँचाई तक कब तक पहुँचेगी। ऐसा करने के लिए, हम त्वरण को शून्य करते हैं और पहले क्रम की काऊची समस्या को हल करते हैं:

$$

$$० = बी ई ^ {- वाई} \ लेफ्ट (१ - (वाई ’) ^ २ \ राइट) - १, \ क्वाड वाई (०) = वाई ^ *।$$

इसे चर के पृथक्करण की विधि द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, और अभिन्न को कम करता है:

$$

$$\ tau ^ * = \ int_0 ^ {y ^ *} \ frac {B dy} {\ sqrt {Be ^ y}} = 2 \ operatorname {arth} \ left (\ sqrt {1 - \ fy {1}} B}} \ right)।$$

देखो, यहाँ वे हैं - सही ढंग से चुने गए तराजू के फल! अधिकतम ऊंचाई और इसकी उपलब्धि की विशेषता समय दोनों ही पैरामीटर के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं $$$ब$ । इसका मतलब है कि हम कुछ मूल्य तय कर सकते हैं $$$B> 1 ​​$ विभिन्न मूल्यों के लिए समीकरण (3) को हल करने के लिए रेखांकन की एक श्रृंखला का निर्माण करें $$$गामा$ और इस तरह किसी भी मूल्य के लिए समस्या को हल करने के सभी विकल्पों का तुरंत वर्णन करें $$$ब$ !

यह विभिन्न मूल्यों के लिए संख्यात्मक रूप से एकीकृत समस्या (3) द्वारा प्राप्त समाधानों का एक सार्वभौमिक एक-पैरामीटर परिवार है $$$गामा$ :


संतुलन ऊंचाई तक पहुंचने के बाद, गुब्बारा कुछ समय के लिए नम दोलन बनाता है, हालांकि, इस ऊंचाई तक पहुंचने की विशेषता समय का सही अनुमान लगाया गया है। कसौटी से $$$गामा$ केवल दोलनों की अवधि और उनके क्षय का समय निर्भर करता है। यह पैरामीटर जितना बड़ा है, उतना ही "कठिन" हमारा सिस्टम है।

यह ग्राफ के इस परिवार को एक आयामी दृश्य में अनुवाद करने के लिए बना हुआ है, बस अक्षों के साथ मूल्यों को संबंधित स्केल कारकों द्वारा गुणा करना है। और अब संख्यात्मक प्रयोग समाप्त हो गया है और इसके परिणामों ने सार्वभौमिक अर्थ प्राप्त कर लिया है। आप कार्य के वास्तविक आयामी मापदंडों को स्थानापन्न कर सकते हैं, और तुरंत पहले से ही मीटर और सेकंड में कुल्हाड़ियों पर नंबर प्राप्त कर सकते हैं! इस तरह के परिणाम को पहले ही एक गंभीर हैंडबुक में कठोर गुब्बारों के लिए या एक ग्राफ में पूरी घटना का वर्णन करने वाले वैज्ञानिक लेख में प्रकाशित किया जा सकता है।

अब देखते हैं कि मापदंडों और चर के रूप में हमें क्या मिला। गेंद का द्रव्यमान बदलें $$$एम$ कुल गैस द्रव्यमान $$$W \ rho_g$ और पेलोड जनता $$$एम$ :

$$

$$m = W \ rho_g + M = W \ rho_g (1 + \ अल्फा),$$

जहाँ $$$\ Alpha = \ frac {M} {W \ rho_g}$ - विमान की सापेक्षिक वहन क्षमता। इसके अलावा, हम गोलाकार लेते हैं और इसके क्षेत्र और आयतन को त्रिज्या के माध्यम से व्यक्त करते हैं $$$आर$ । इस प्रतिनिधित्व में, हमें समस्या के पैरामीटर मिलते हैं:

$$

$$B = \ frac {\ rho_0} {\ rho_g (1 + \ Alpha)}, \\ \ Gamma = \ frac {3 c B} {8 R b} $$$

पहला उछाल गुणांक है, जो उपयोग की गई गैस और भार को उठाया जा रहा है, एक बहुत ही महत्वपूर्ण पैरामीटर है, इसमें सभी द्रव्यमान मात्राएं शामिल हैं। दूसरे से पता चलता है कि गेंद का आकार और आकार वायुमंडल में घनत्व ढाल से कैसे संबंधित है, अर्थात वायुमंडलीय अशुद्धताएं गेंद के आकार के सापेक्ष कितनी बड़ी हैं।

पैमाने निम्नानुसार व्यक्त किया गया है:

$$

$$h_0 = 1 / b \\ \ tau_0 = \ frac {1} {2 b} \ sqrt {\ frac {3 c B} {2 g R}} = \ sqrt {\ frac {\ _ gma} {gb}}$$

दूरी पैमाने केवल घनत्व ढाल द्वारा निर्धारित किया जाता है। यह बिल्कुल सच है, क्योंकि इस ढाल की वजह से गेंद का बढ़ना सामान्य तौर पर कहीं रुक जाता है। विशेषता समय में गतिशील मात्रा शामिल थी - गुरुत्वाकर्षण त्वरण, द्रव्यमान अनुपात और वायु प्रतिरोध।

गेंद के दृष्टिकोण की विशेषता ऊंचाई और समय

$$

$$h ^ * = y ^ * h_0 = \ frac {1} {b} \ ln B, \\ t ^ * = \ tau ^ * t_0 = 2 \ sqrt {\ frac {\ _ gma} {g}}} \ operatorname * {arth} \ left (\ sqrt {1 - \ frac {1} {B}} दाहिने)$$

कार्य के मुख्य मापदंडों और दायरे के संदर्भ में भी व्यक्त किया गया।

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि मूल लेख में दिए गए भौतिक मापदंडों के लिए क्या होता है:

$$

$$B = 4.57 \\ \ गामा = 686 \\ h_0 = 8000 \ m \\ \ tau_0 = 12.47 \ min \\ h ^ = = 12166.6 \ m \\ t ^ * = 13.72% प्रति मिन$$

संक्षेप में देना। मशीन को कार्य खिलाने से पहले कागज पर थोड़ा काम करने के बाद, हम एक अधिक समझदार, सार्वभौमिक परिणाम प्राप्त करने में सक्षम थे और समाधान के सबसे महत्वपूर्ण गुणों पर ध्यान दिया। उसी समय, हमने समाधान की "प्रतिरूपकता" नहीं खोई। यहाँ मेरा मतलब है। हमने समस्या को सबसे सामान्य शब्दों में तैयार किया, और फिर, पहले से ही एक समाधान प्राप्त करने के बाद, हमने नई "सुविधाओं" को जोड़ना शुरू किया, उदाहरण के लिए, हमने पेलोड की अवधारणा और इसे उठाने वाले गैस के द्रव्यमान को साझा किया। इस जटिलता ने पैमाने के मूल्यों को प्रभावित किया, लेकिन समाधान की प्रकृति को नहीं बदला।

यदि बाद में तापमान ढाल जोड़ने के लिए आवश्यक है, तो घातांक में अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो जाएगी, लेकिन इसका सार और, सबसे महत्वपूर्ण बात, पैमाने में बदलाव नहीं होगा:

$$

$$\ exp \ left (\ frac {-b h T_0} {T_0 - a h} \ right)$$

आयाम देने के बाद यह इस तरह दिखेगा:

$$

$$\ exp \ left (\ frac {-y} {1 - \ psi y} \ right),$$

नया पैरामीटर कहां है $$$\ psi = \ frac {a} {bT_0}$ दिखाता है कि घनत्व और तापमान ग्रेडिएंट कितने सहसंबद्ध हैं। चूंकि ये वायुमंडलीय पैरामीटर हमसे स्वतंत्र हैं, $$$\ psi$ के बराबर है $$$0.17$ । निरंतर के मूल्य, वैसे, तापमान ढाल के प्रभाव के महत्व को दर्शाता है, यह बड़ा नहीं है, लेकिन नगण्य नहीं है। ग्राफ़ का परिवार थोड़ा बदल जाएगा, लेकिन, सबसे महत्वपूर्ण बात, यह एक-पैरामीटर रहेगा।

गणना के लिए समस्या के अपने पैमानों के उपयोग का एक और महत्वपूर्ण प्लस है: इस मामले में, चर आमतौर पर "मध्यम" मान लेते हैं, जो कि एकता के करीब है। यह फ्लोटिंग पॉइंट गणनाओं के लिए बहुत उपयोगी है: परिमाण के क्रम में बहुत भिन्नता वाले मूल्यों के साथ संचालन में सटीकता नहीं खोई जाती है। इसके अतिरिक्त, किसी कार्य में व्यक्तिगत प्रभावों की भूमिकाओं की उनकी समानता मानदंड या चर के मूल्यों की तुलना करके इसकी सही ढंग से तुलना करना संभव हो जाता है। उदाहरण के लिए, मान $$$B = 4.5$ इंगित करता है कि कितनी बार वातावरण के साथ बातचीत की ताकत गुरुत्वाकर्षण से अधिक है। और चारित्रिक आयाम रहित गति का वर्ग $$$(y ^ * / \ tau ^ *) ^ 2 \ sim 0.3$ उछाल के मुकाबले विमान के ऊर्ध्वाधर आंदोलन में वायु प्रतिरोध के महत्व की डिग्री को दर्शाता है, जो कोष्ठक में एक इकाई द्वारा व्यक्त किया गया है।

अंत में, आयाम रहित चर और मापदंडों में गणना की इस तथ्य के साथ एक निश्चित आंतरिक स्थिरता है कि अंतर समीकरणों के समाधान लगभग हमेशा पारलौकिक कार्य हैं, और केवल आयामहीन मात्रा उनके तर्क और परिणाम हो सकते हैं। कंप्यूटर भी संख्याओं के साथ विशेष रूप से संचालित होता है - आयाम रहित मात्रा। स्टेटिक टाइपिंग, सिद्धांत रूप में, आप प्रकारों के स्तर पर भौतिक मात्राओं के आयामों को दर्ज करने और संकलन के दौरान शुद्धता के लिए कार्यक्रमों की जांच करने की अनुमति देते हैं, लेकिन संख्यात्मक स्तर पर हम अभी भी केवल मात्राओं के साथ ही काम करते हैं। इकाइयों और आयामों से जुड़ी कोई भी त्रुटि ऐसी गणनाओं में खो जाती है। यह गणना के लिए कार्य को तैयार करने के लिए उचित है, अप्रासंगिक को छोड़कर, और केवल सबसे आवश्यक और विलायक के लिए प्राकृतिक छोड़ दें।

और अगर हम अन्य परिसरों को चुनते हैं, या सभी बलों को गुरुत्वाकर्षण के लिए नहीं, बल्कि, जड़ता को कहते हैं, तो क्या होगा? दो पैरामीटर समीकरण में बने रहेंगे, लेकिन घटता का परिवार दो-पैरामीटर बन जाएगा, और यह एक आरेख पर नहीं दिखाया जा सकता है। मैं मानता हूं, पहली बार में यह मेरे साथ हुआ था, क्योंकि लंबाई के हिसाब से मुझे गेंद का दायरा मिला। लेकिन इन घटों के साथ खेलने के बाद, मैंने उनकी ज्यामितीय समानता (आप सभी परवलयों में एक को देखें), और प्राप्त मानदंडों और समीकरणों के एक और सरसरी विश्लेषण से मुझे छिपे हुए समरूपता का नेतृत्व किया और सुझाव दिया कि हमारे समीकरणों का "विहित रूप" क्या होना चाहिए। यह, हालांकि, एक सुंदर व्यवसाय है! कार्य स्वयं के बारे में बताने लगता है। मुझे ऐसा लगता है कि हास्केल या सी # में एक कार्यक्रम में प्रकार और डेटा संरचनाओं की एक प्रणाली का निर्माण हो रहा है: जब कार्यक्रम की वास्तुकला कार्य की आंतरिक संरचना से मेल खाती है, तो सब कुछ आश्चर्यजनक रूप से प्राकृतिक, सुरुचिपूर्ण हो जाता है, विशेष मामलों को "स्वचालित रूप से" काम किया जाता है और अमूर्त की परतों की संख्या घट जाती है।

अपने आप में भौतिक मात्राओं के आयाम बहुत दिलचस्प हैं। वे एक रैखिक स्थान बनाते हैं, और समानता मानदंडों की खोज को एक आयामी स्थान में कर्नेल खोजने की समस्या को कम किया जा सकता है, जिससे इस प्रक्रिया को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। वे, कुछ हद तक, भौतिक कंप्यूटिंग में प्रकार की भूमिका निभाते हैं। चूंकि कंपाइलर प्रोग्राम की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए स्थैतिक टाइपिंग का उपयोग करता है, इसलिए भौतिक विज्ञानी अपनी गणनाओं और परिणामों को सत्यापित करने के लिए आयामों का उपयोग करता है।जैसा कि एक कड़ाई से टाइप की गई शुद्ध कार्यात्मक भाषा (उदाहरण के लिए, हास्केल में), एक फ़ंक्शन कोड को इसके प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है, उसी तरह, भौतिक मात्रा के आयाम के आधार पर, कोई भी आयाम रहित परिसरों का निर्माण कर सकता है, भौतिक प्रणालियों में विशिष्ट मात्रा और अत्यंत उपयोगी और सार्वभौमिक परिणाम प्राप्त कर सकता है। यांत्रिकी, गैस और ऊष्मागतिकी, क्वांटम यांत्रिकी, आदि में इसके कई उदाहरण हैं। मेरा सुझाव है कि आप एक अद्भुत काम से परिचित हों जो पाइथागोरस प्रमेय से लेकर सितारों के दोलनों और आकाश में बिखरे रेले की समस्याओं के आयामी विश्लेषण को लागू करने के सुंदर उदाहरणों का एक गुच्छा प्रदान करता है। यह काम जॉन व्हीलर, शिक्षक रिचर्ड फेनमैन के शब्दों को उद्धृत करता है, जिन्होंने "व्हीलर रूल्स" नाम प्राप्त किया:

« , . : (! ! !) , ; . : , . , . . ».

प्रोग्रामर के लिए यह सलाह बहुत परिचित लगती है: अपने हस्ताक्षर (प्रकार) और उसके व्यवहार (परीक्षण) पर निर्णय किए बिना एक फ़ंक्शन कोड लिखना शुरू न करें; कोड लिखने से पहले, आपको प्रकार, डेटा संरचना और उनके संबंधों पर विचार करना चाहिए। यह ठीक वही है जो ओओपी और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग के लिए शक्तिशाली है - ये सिद्धांत केवल वहां काम नहीं करते हैं, वे, जब कुशलता से उपयोग किया जाता है, तो खुद को सबसे प्राकृतिक और सुरुचिपूर्ण समाधान सुझाते हैं, और एफपी के मामले में, वे एक गहन गणितीय स्तर पर ऐसा करते हैं, जिससे कार्यक्रमों के गुणों को साबित करना और कुछ चार्ज करना संभव हो जाता है। कंपाइलर को प्रोग्राम प्रॉपर्टीज़ के उत्पादन पर काम करना।

गणित सीखें, खूबसूरती से कार्यक्रम करें और मज़े करें!