उंगलियों पर आयाम मॉडुलन

हाल ही के एक लेख में, " एक महत्वाकांक्षी सिग्नल का आयाम मॉड्यूलेशन " , इसके लेखक ने भ्रम की स्थिति में स्पेक्ट्रम के गठन के बारे में अपनी समझ को पेश करने की कोशिश की। लेकिन चित्रणों की कमी और गणित के एक अतिरिक्त परिवर्तन से अभिन्न रूप से जुड़े लोगों को लेखक के विचारों को समझने और लेख की सराहना करने से रोका गया; जबकि विषय काफी सरल है - और हम इसे फिर से विचार करने की कोशिश करेंगे, इस बार चित्रों और वोल्फग्राम मैथमेटिका के साथ।

तो, आयाम मॉड्यूलेशन का विचार एक कम-आवृत्ति सिग्नल - आवाज या संगीत - एक उच्च-आवृत्ति (वाहक) सिग्नल को संशोधित करना है, कई बार श्रव्य सीमा से अधिक होता है और हवा में एक संकीर्ण आवृत्ति बैंड पर कब्जा कर लेता है। केवल वाहक द्वारा सिग्नल को गुणा करके मॉड्यूलेशन स्वयं किया जाता है:





यहां हमारे पास 5 की आवृत्ति के साथ साइन लहर है:





और संकेत ही - 1 की आवृत्ति के साथ:





आप देख सकते हैं कि संकेत को स्थानांतरित कर दिया गया है और केवल सकारात्मक मूल्य हैं। यह आकस्मिक नहीं है और इसके बाद की सही बहाली की संभावना के लिए एक शर्त है। इसे कैसे पुनर्स्थापित करें? बहुत आसान है! मॉड्यूलेट किए गए सिग्नल के चरण को 90 डिग्री ( हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म के रूप में जाना जाता है) के चरण को शिफ्ट करना आवश्यक है, और संशोधित और परिवर्तित सिग्नल के वर्गों की राशि की जड़ की गणना करें:





एक सरल (लेकिन किसी न किसी) संस्करण में, हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को वाहक आवृत्ति अवधि के एक चौथाई द्वारा सिग्नल देरी से बदल दिया जा सकता है, और अंतिम सिग्नल को अतिरिक्त रूप से कम-पास फिल्टर द्वारा फ़िल्टर किया जा सकता है। एक और भी सरल संस्करण में, आप जड़ों और वर्गों को बिल्कुल भी नहीं गिन सकते, लेकिन निरपेक्ष मान से सिग्नल को फ़िल्टर करें (जो आमतौर पर रेडियो रिसीवर में उपयोग किया जाता है)।

अब देखते हैं कि स्पेक्ट्रा के साथ क्या होता है। हम वाहक के फूरियर रूपांतरण की गणना करते हैं:





चूंकि डायरक डेल्टा फ़ंक्शन शास्त्रीय अर्थों में एक फ़ंक्शन नहीं है, इसलिए इसका ग्राफ मानक तरीके से नहीं बनाया जा सकता है; इसलिए, हम इसे सामान्य रूप से स्वीकृत शैली का उपयोग करके मैन्युअल रूप से करेंगे:





प्रारंभिक सूत्र में अपेक्षित रूप से समान आवृत्ति प्राप्त हुई। एक ही आवृत्ति की एक और उपस्थिति, लेकिन एक माइनस साइन के साथ, आकस्मिक नहीं है - इस घटना को हर्मिटियन समरूपता कहा जाता है और इस तथ्य का एक परिणाम है कि विचाराधीन फ़ंक्शन विशुद्ध रूप से वास्तविक है और जटिल प्रतिनिधित्व में एक शून्य काल्पनिक घटक है। परिवर्तन के बाद स्पेक्ट्रम में काल्पनिक घटकों की अनुपस्थिति इस तथ्य के कारण है कि शुरू में हमारे कार्य भी सममित हैं (शून्य के संबंध में सममित)।

अब हम सिग्नल के लिए फूरियर रूपांतरण करते हैं:









यहां हमने अतिरिक्त रूप से निर्देशांक के केंद्र में डायक डेल्टा फ़ंक्शन प्राप्त किया - सिग्नल में एक निरंतर घटक की उपस्थिति के कारण, जिसकी परिभाषा द्वारा कोई दोलन नहीं है - जो हमें इसे शून्य आवृत्ति के रूप में विचार करने की अनुमति देता है।

यदि वे गुणा किए जाते हैं तो स्पेक्ट्रम का क्या होगा? आइए देखें:









सिद्धांत से, हम जानते हैं कि समय डोमेन में गुणा आवृत्ति डोमेन (और इसके विपरीत, जो व्यापक रूप से एफआईआर फ़िल्टरिंग में उपयोग किया जाता है) में दृढ़ संकल्प के बराबर है। और जब से किसी एक सिग्नल को कनवल्शन के अधीन किया जाता है, उसमें केवल एक (पॉजिटिव और नेगेटिव) फ्रीक्वेंसी होती है, तो कनविक्शन के परिणामस्वरूप हमें फ्रीक्वेंसी में सिग्नल का एक लीनियर ट्रांसफर मिला (दोनों दिशाओं में)। और चूंकि समरूपता बनी हुई थी, इसलिए संकेत में अभी भी एक काल्पनिक घटक नहीं है।

अब हम इसे एक जटिल ( विश्लेषणात्मक ) रूप में लाते हैं, नकारात्मक आवृत्ति सीमा को शून्य करते हुए:





और उलटा फूरियर रूपांतरण करें:





चूंकि फ़ंक्शन अब जटिल है, इसके ग्राफ को बनाने के लिए, वास्तविक और काल्पनिक घटकों को अलग-अलग निकालना आवश्यक है:





अब हमारे सिग्नल में एक काल्पनिक घटक है, जो कि 90 डिग्री द्वारा स्थानांतरित मूल सिग्नल है। यदि हम त्रिकोणमितीय रूप में परिणामी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं तो यह अधिक स्पष्ट होगा:





अभी बहुत स्पष्ट नहीं है। आइए सरल बनाने की कोशिश करें:





अब यह सच्चाई की तरह दिखता है - और जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मूल सिग्नल का कार्य भी सरल हो गया है। आइए इसे उसके मूल रूप में लौटाने की कोशिश करें:





1/2 कारक संयोग से प्रकट नहीं हुआ - आधा स्पेक्ट्रम शून्य करने के बाद, हमने तदनुसार संकेत शक्ति कम कर दी। ठीक है, अब, एक जटिल जटिल संकेत होने पर, हम गणना करने के लिए इस मॉड्यूल को ले सकते हैं:





एक जटिल संख्या के मापांक की गणना काल्पनिक और वास्तविक घटकों के योग के मूल के माध्यम से की जाती है। और इससे यह स्पष्ट है कि एन्कोडेड सिग्नल में केवल सकारात्मक मान क्यों होना चाहिए - यदि इसमें नकारात्मक मान शामिल हैं, तो बहाली के बाद वे भी सकारात्मक हो जाएंगे, जिसे ओवरमोड्यूलेशन कहा जाता है:





क्वाडरेचर लोकल ऑसिलेटर की मदद से सिग्नल रिकवरी भी संभव है - जब संग्राहक सिग्नल को फिर से वाहक आवृत्ति से गुणा किया जाता है, लेकिन इस बार यह जटिल है:













इस तथ्य के कारण कि आवृत्ति डोमेन में जटिल आवृत्ति में नकारात्मक आवृत्ति सीमा में नकल के बिना केवल एक नाड़ी होती है, सजा के परिणामस्वरूप हमें एक रैखिक स्पेक्ट्रम स्थानांतरण प्राप्त होता है, जिसमें स्पेक्ट्रम का नकारात्मक हिस्सा केंद्र में वापस आता है, और सकारात्मक एक और आगे बढ़ता है, और यह केवल एक कम-पास फिल्टर द्वारा फ़िल्टर किया जाएगा।

निष्कर्ष

जैसा कि आप देख सकते हैं, फूरियर रूपांतरण के माध्यम से आयाम मॉडुलन पर विचार करने में कुछ भी जटिल नहीं है; अगर हम इसे विशेष रूप से स्कूल स्तर पर मानते हैं, तो यह याद रखना पर्याप्त है कि (वाहक) राशि का उत्पाद (त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में संकेत का प्रतिनिधित्व करता है) उत्पादों के योग के बराबर है (वाहक आवृत्ति पर व्यक्तिगत रूप से श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य) - और, तदनुसार, इस तरह के प्रत्येक उत्पाद को विघटित किया जाता है। मूल लेख के लेखक द्वारा पहले से ही सूत्र के अनुसार दो साइनसोइड्स का योग।

एक चौकस पाठक यह भी नोटिस कर सकता है कि मॉड्यूलेशन के परिणामस्वरूप वाहक आवृत्ति के संबंध में एक स्पेक्ट्रम सममित होता है, इसका मतलब है कि डेटा अतिरेक है और आप केवल एक साइडबैंड छोड़ सकते हैं, जिससे हवा पर कब्जा आवृत्ति बैंड कम हो सकता है। ऐसी तकनीक मौजूद है , लेकिन यह एक पूरी तरह से अलग कहानी है।