खुशी का सिद्धांत। तरबूज के छिलके का नियम और असामान्यता की सामान्यता

मैं अपनी पुस्तक "खुशी के सिद्धांत" से अव्यवस्थित अध्यायों का प्रतिनिधित्व करता हूं, जो कि "हेराफेरी के कानूनों की गणितीय नींव" के उपशीर्षक के साथ "खुशी का सिद्धांत" है। यह अभी तक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक प्रकाशित नहीं हुई है, बहुत ही अनौपचारिक रूप से बता रही है कि कैसे गणित आपको दुनिया और लोगों के जीवन को जागरूकता की एक नई डिग्री के साथ देखने की अनुमति देता है। यह उन लोगों के लिए है जो विज्ञान में रुचि रखते हैं और उनके लिए जो जीवन में रुचि रखते हैं। और चूँकि हमारा जीवन जटिल है, और बड़े, अप्रत्याशित, पुस्तक में मुख्य रूप से संभावना सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों पर जोर दिया गया है। यहाँ प्रमेय सिद्ध नहीं हुए हैं और विज्ञान के मूल तत्व नहीं दिए गए हैं, यह किसी भी तरह से पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन इसे मनोरंजक विज्ञान कहा जाता है। लेकिन यह वास्तव में ऐसा लगभग चंचल दृष्टिकोण है जो हमें अंतर्ज्ञान विकसित करने की अनुमति देता है, ज्वलंत उदाहरण वाले छात्रों के लिए व्याख्यान को उज्ज्वल करता है और अंत में, गैर-गणितज्ञों और हमारे बच्चों को समझाता है कि हमें हमारे शुष्क विज्ञान में ऐसी दिलचस्प चीजें मिलीं।



इस अध्याय में, हम तरबूज और उनके छिलकों का विश्लेषण करके शुरू करते हैं, मर्फी के प्रसिद्ध कानून के साथ उनके संबंध का पता लगाते हैं, और सभी गंभीरता से सुनिश्चित करते हैं कि स्वाद पर बहस नहीं की जाती है।

क्या यह मुझे अकेला लगता है कि मैं सामान्य हूं?

कितनी बार, समाचार देखते हुए, या उन पर टिप्पणियों को पढ़ते हुए, हम हैरान हैं: "क्या इस दुनिया में सामान्य लोग हैं!" ऐसा लगता है जैसे होना चाहिए, क्योंकि हम कई हैं, और औसतन, हमें सामान्य होना चाहिए। लेकिन साथ ही, ऋषियों का कहना है कि हम में से प्रत्येक अद्वितीय है। और किशोरों को यकीन है कि वे "सामान्य लोगों" के ग्रे द्रव्यमान से निश्चित रूप से अलग हैं और किसी और की तरह नहीं हैं।

आँकड़ों से परिचित पाठक, निश्चित रूप से, कई बार देखा है कि विभिन्न असममित वितरणों के लिए, मोड (संभावना घनत्व ग्राफ पर अधिकतम) औसत मूल्य या गणितीय अपेक्षा के साथ मेल नहीं खाता है। यही है, औसत मूल्य उच्चतम संभावना घनत्व के अनुरूप नहीं है, लेकिन सभी एक ही, यह होने की उम्मीद है, यदि सबसे अधिक बार सामना नहीं किया गया है, तो कम से कम प्रमुख है। हालांकि, सब कुछ इतना सरल नहीं है। अब तक, हम एकतरफा वितरण - एक आयामी परिणाम अंतरिक्ष में वितरण पर विचार करते हैं। लेकिन जीवन बहुआयामी है, और निश्चित रूप से एक आयामी नहीं है! और जब अतिरिक्त आयाम जोड़ते हैं, तो काफी अप्रत्याशित चीजें हो सकती हैं।

बहुआयामी ज्यामिति की विशेषताओं में से एक सीमित मात्रा में सीमा के मूल्यों की हिस्सेदारी में वृद्धि है। यही मतलब है। तरबूज की शास्त्रीय समस्या पर विभिन्न आयामों के साथ विचार करें और यह पता लगाने के लिए सेट करें कि इस विशाल, मजबूत और मुंह में पानी वाले तरबूज से हमें कितना अद्भुत चीनी पल्प मिलेगा, अगर हम इसे काटते हैं, तो हमें पता चलता है कि इसके छिलके की मोटाई अधिक नहीं है $$ इसकी त्रिज्या से? ऐसा लगता है $$ यह बहुत दर्द है, लेकिन लेख की शुरुआत में यह आंकड़ा देखें, शायद हम तरबूज को ऐसे अनुपात के साथ काफी स्वीकार्य पाते हैं।

चलो एक आयामी तरबूज के साथ शुरू करते हैं - यह एक गुलाबी स्तंभ है, और इसके छिलके किनारों के साथ दो छोटे सफेद खंड हैं। पपड़ी की कुल लंबाई - यह एक आयामी दुनिया में मात्रा का एक एनालॉग है - होगा $$ तरबूज की कुल लंबाई। एक दो आयामी, पैनकेक के आकार का तरबूज, एक सफेद अंगूठी के रूप में पपड़ी, अपने आंतरिक भाग की तुलना में क्षेत्र में छोटा होगा, पहले से ही केवल तीन बार। सामान्य तीन आयामी दुनिया में, ऐसी पपड़ी लगभग होगी $$ कुल मात्रा। एक पकड़ है।

शेयरों कि छील विभिन्न आयामों के एक तरबूज में रहते हैं।

एक गेंद के लिए, साथ ही एक मनमाना आकार के शरीर के लिए, हम शरीर के कुल आयतन के लिए क्रस्ट के आयतन के अनुपात की निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं। यह शरीर के चारित्रिक आकार के लिए क्रस्ट की मोटाई के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया जाता है $$ और अंतरिक्ष के आयाम का एक घातीय कार्य है $$ :

$$

यहां अंतरिक्ष के आयाम में एक और वृद्धि के साथ, तरबूज की परत के पंद्रह प्रतिशत त्रिज्या के अनुपात के विकास का एक ग्राफ है।


चार आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पारंपरिक रूप से कम तरबूज तरबूज हमें केवल आधा मांस छोड़ देंगे, और ग्यारह आयामी दुनिया में हम केवल दावत कर सकते हैं $$ पूरे तरबूज से, जो परत बनाता है उसे दूर फेंक रहा है $$ इसकी त्रिज्या!

इसलिए, हम तरबूज के छिलके के गहन नियम को तैयार करने के लिए तैयार हैं:

एक बहु-आयामी तरबूज खरीदना, आपको मूल रूप से, इसका छिलका मिलता है।

यह शर्म की बात है, लेकिन इसका हमारी दुनिया की सामान्यता और मतलबी कानूनों से क्या लेना-देना है? काश, यह वह है जो तथाकथित "सुनहरा मतलब" की खोज को बाधित करता है, जनमत सर्वेक्षण के परिणामों का अवमूल्यन करता है और अप्रत्याशित परेशानियों की भूमिका को बढ़ाता है।

तथ्य यह है कि उनके सभी मापदंडों वाले लोगों का स्थान अनिवार्य रूप से बहुआयामी है। काफी स्वतंत्र आयामों को स्पष्ट ऊंचाई, वजन, आयु और धन के साथ-साथ बौद्धिक (आईक्यू) और भावनात्मक (ईक्यू) विकास के स्तर पर माना जा सकता है, अंत में, अवलोकन योग्य, यद्यपि औपचारिक रूप से खराब चेहरे की विशेषताओं, या चरित्र लक्षण, जैसे कि बातूनीपन का स्तर, हठ या अमूर्तता। हम आसानी से एक दर्जन और आधा पैरामीटर की गणना कर सकते हैं जो किसी व्यक्ति की विशेषता है। और इनमें से प्रत्येक पैरामीटर के लिए एक निश्चित सांख्यिकीय रूप से निर्धारित "मानक" है - सबसे अधिक अपेक्षित और, इसके अलावा, अक्सर मनाया गया मूल्य। मापदंडों के इतने समृद्ध स्थान में कितने लोग सभी मामलों में विशिष्ट होंगे? अभिव्यक्ति है कि हम छील और तरबूज की मात्रा के अनुपात की गणना करने के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है कम से कम "असामान्य" लोगों के बीच होने की संभावना की गणना करने के लिए। वास्तव में, विशिष्टता के सभी मानदंडों को संतुष्ट करने की संभावना एक साथ व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक मानदंड के लिए विशिष्ट होने की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

अब हम कार्य को बहुत सरल करेंगे ताकि भयावह सूत्र न लिखें, जिसके अनुसार कुछ भी ठीक से गणना नहीं की जा सकती है। मान लीजिए कि प्रत्येक दिशा में लोगों के गुण एक निश्चित औसत मूल्य के आसपास एक सामान्य (गौसियन) वितरण का पालन ​​करते हैं। यह, ज़ाहिर है, हमारे उद्देश्यों के लिए बेहद साहसिक है, लेकिन काफी उचित है, क्योंकि हम विशेषताओं के किसी विशिष्ट सेट के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन, स्पष्ट रूप से, हम कल्पना कर रहे हैं, इस तरह के एक अस्थिर विषय में कम से कम कुछ विशिष्ट बनाने की कोशिश कर रहे हैं। इसलिए, बहुत सामान्य तस्वीर दिखाई देने तक विवरण के साथ लोड करना जल्दबाजी होगी। इसलिए, हमने अपने मानदंड और भिन्नताओं के साथ एक सामान्य वितरण के लिए सभी मानदंड प्रस्तुत किए। इसलिए, हम दुनिया में सबसे विशिष्ट व्यक्ति के मापदंडों को निर्धारित कर सकते हैं, और उनसे विचलन की गणना कर सकते हैं। इसके अलावा, हम इस बात की परवाह नहीं करते हैं कि प्रत्येक मानदंड के लिए विशिष्ट फैलाव मूल्य क्या दिखाई देते हैं, क्योंकि हम केवल मानक विचलन से परे जाने की संभावना में रुचि रखते हैं, और यह मान वितरण के पैमाने पर निर्भर नहीं करता है। यह सब इस तथ्य की ओर जाता है कि यदि हम किसके लिए नामित करते हैं $$ मानक विचलन से बंटे हुए क्षेत्र के बाहर होने की संभावना (वितरण के बाहरी "क्रस्ट" में प्रकट होने के लिए, जो अधिक तरबूज की परत की तरह नहीं है, लेकिन पृथ्वी के वायुमंडल की तरह, बाहरी अंतरिक्ष में बहुत दूर, पतले और पतले होने की संभावना है), विचार करते समय कुछ असामान्य $$ मापदंड "तरबूज" सूत्र द्वारा गणना की जाएगी:

$$

गौसियन वितरण के लिए $$ जहाँ $$ - मानक विचलन।

तुलनात्मक मानदंडों की एक अलग संख्या और मानक परिभाषा के विभिन्न "गंभीरता" के लिए "असामान्य" होने की संभावनाएं। ऊपरी और निचले ग्राफ में भिन्नता है कि "सामान्यता" निर्धारित करते समय वे क्रमशः एक और दो मानक विचलन के त्रिज्या का उपयोग करते हैं।

ठीक है, यह पता चला है कि यह कम से कम कुछ हद तक असामान्य है। शीर्ष दस मापदंडों द्वारा लोगों का आकलन करते हुए, इस तथ्य के लिए तैयार रहें कि कुल आबादी का केवल 2% पूरी तरह से सामान्य होगा। इसके अलावा, जैसे ही हम उन्हें ढूंढते हैं, वे तुरंत सेलिब्रिटी बन जाएंगे, अपनी औसत दर्जे को खो देंगे!

क्षुद्रता का वही नियम

क्षुद्रता के क्लासिक कानूनों में से एक, इंजीनियर एडवर्ड मर्फी के दिलों में तैयार किया गया है:

"जो कुछ भी गलत हो सकता है वह गलत हो जाएगा।"

यह तुच्छ कथन से कुछ अधिक गहरा है कि सभी परिणाम, यहां तक ​​कि सबसे अधिक संभावना वाले, पूर्ण नमूने में देखे गए हैं।

मान लीजिए कि कुछ कार्य करने के लिए क्रियाओं की एक श्रृंखला करना आवश्यक है, और उनमें से प्रत्येक के लिए विफलता की एक छोटी संभावना है। क्या संभावना है कि सब कुछ एक अड़चन के बिना चला जाएगा? यह सरल है - आपको सभी चरणों के लिए सफलता की संभावना को गुणा करना होगा। और फिर तरबूज के छिलके का कानून चालू होता है: हमारे मामले में, आपातकालीन स्थितियों में सीमाओं की भूमिका जितनी बड़ी होगी, उतनी ही महत्वपूर्ण होगी। एक दर्जन कदम उनमें से प्रत्येक पर त्रुटि की 5% संभावना के लिए पर्याप्त हैं 50% तक बढ़ने के लिए पूरी चीज़ की विफलता की संभावना! वही कई हिस्सों के साथ जटिल प्रणालियों पर लागू होता है, जिनमें से प्रत्येक विफल हो सकता है। सरलतम मामले में, तरबूज के छिलके के एक ही कानून के अनुसार प्रणाली की विफलता की संभावना की गणना प्रत्येक भाग की विफलता की संभावना से की जाती है।

हमारा तर्क अत्यंत सरल है, और मर्फी का नियम उद्देश्य की तुलना में अधिक भावनात्मक है और ट्रूइज्म की तरह लगता है, लेकिन फिर भी, यह इस अवलोकन से था कि बीसवीं शताब्दी के चालीसवें और पचास के दशक में एक नया बड़ा विज्ञान शुरू हुआ: विश्वसनीयता का सिद्धांत। उसने समय जोड़ा, सिस्टम तत्वों, अर्थव्यवस्था, साथ ही मानव कारक के परस्पर संबंध, और इंजीनियरिंग विज्ञान के बाहर आवेदन पाया: अर्थशास्त्र में, नियंत्रण सिद्धांत और, अंत में, प्रोग्रामिंग में।

हम इस विषय पर लौटेंगे जब हम अंतिम दिन के कानून का अध्ययन करेंगे, जो प्रिंटर को परियोजना के पूरा होने के दिन रद्दी करने के लिए मजबूर करता है। मर्फी का नियम, समय से सम्मानित - वास्तव में भयानक बल! इस बीच, विशिष्टता और सामान्यता के विषय पर वापस जाएं।

खुशी अपने जैसे ही निदान के साथ दोस्तों को ढूंढ रही है।

हम सभी अलग हैं, यह समझ में आता है, लेकिन क्या किसी भी मानदंड के अनुपालन का सवाल उठाना संभव है, क्या हम मूल्यांकन और तुलना करने की कोशिश कर रहे हैं? आप पूछते हैं, इसमें गलत क्या है? हम हमेशा किसी की तुलना किसी के साथ करते हैं, सबसे अधिक बार, खुद दूसरों के साथ, लेकिन कभी-कभी हम किसी और का मूल्यांकन करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, गणित की दृष्टि से, सब कुछ इतना सरल नहीं है।

तुलना करना आदेश के संबंध को निर्धारित करना है। यही है, कि एक निश्चित सेट के एक तत्व को, एक अर्थ में, दूसरे से पहले। हमने स्कूल में भी यह सीखा है: 20 से कम 2, एक हाथी व्हेल से कमजोर है, एक अनुबंध पैसे से अधिक महंगा है, आदि। लेकिन यहां कई सवाल हैं। सोमवार या मंगलवार से पहले क्या आता है? रविवार या सोमवार के बारे में क्या? और क्या रविवार है कि सोमवार से पहले, या शनिवार के बाद? और कौन सी संख्या अधिक है: 2 + 3i या 3 + 2i? हम इंद्रधनुष के रंगों को क्रम में नाम दे सकते हैं और यहां तक ​​कि सभी मध्यवर्ती रंगों को वास्तविक संख्या के साथ जोड़ सकते हैं - प्रकाश की आवृत्ति, लेकिन इन रंगों के अलावा कई गैर-वर्णक्रमीय रंग हैं, वे एक रंग का पहिया बनाते हैं जो टाइपोग्राफर्स और डिजाइनरों से परिचित हैं, क्या आंखों से दिखाई देने वाले सभी रंगों को क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है? ये उदाहरण बताते हैं कि आदेश के संबंध में कठिनाइयां हैं। उदाहरण के लिए, सप्ताह के कई दिनों पर संक्रामकता काम नहीं करती है (क्योंकि $$ होना चाहिए $$ लेकिन इसके लिए $$ होना चाहिए $$ उस का पालन नहीं करता है $$ हमेशा अनुसरण करता है $$ )। जटिल संख्याओं के क्षेत्र में अधिक / कम की अवधारणा को पेश करने का प्रयास इन संख्याओं के अंकगणित के अनुरूप नहीं है, और रंगों में इन दोनों कमियों हैं।

और आप लोगों, पुस्तकों, व्यंजनों, प्रोग्रामिंग भाषाओं और अन्य वस्तुओं की तुलना कैसे कर सकते हैं जिनके कई पैरामीटर हैं, यहां तक ​​कि सशर्त रूप से औपचारिक भी? सिद्धांत रूप में, यह संभव है, लेकिन केवल परिभाषाओं और मैट्रिक्स पर पहले सहमत होने से, अन्यथा यह एक अंतहीन, तूफानी और व्यर्थ बहस होगी। काश, गरमागरम बहस सबसे अधिक बार पहले से ही मेट्रिक्स चुनने के चरण में उठती है, क्योंकि वे स्वयं एक निश्चित सेट बनाते हैं, जिस पर आदेश के संबंध को निर्धारित करना भी आवश्यक है।

हालांकि, कोई व्यक्ति बहुआयामी वस्तुओं की तुलना के बारे में तर्क करने का एक पूरी तरह से सार्थक और असंदिग्ध तरीका पेश कर सकता है, उदाहरण के लिए, लोग। एक बहुआयामी पैरामीटर अंतरिक्ष में, प्रत्येक वस्तु को एक सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है - संख्याओं का एक समूह - मानदंड जो इसे चिह्नित करते हैं। वैक्टर (उदाहरण के लिए, मानव समाज) का एक पहनावा पर विचार करते हुए, हम देखेंगे कि उनमें से कुछ सह-निर्देशित या कम से कम दिशाओं में बंद हो जाते हैं, इसलिए उनकी लंबाई पहले से ही तुलना की जा सकती है। इसी समय, कुछ वैक्टर ऑर्थोगोनल (ज्यामितीय अर्थ में - लंबवत, व्यापक अर्थ में - स्वतंत्र) होंगे, और उनके अनुरूप लोग बस एक-दूसरे के लिए समझ से बाहर होंगे: वे कई मापदंडों में संयुग्मित स्थानों में दिखाई देंगे, जैसे कुख्यात भौतिक विज्ञानी और गीतकार। यह तर्क देने का कोई मतलब नहीं है कि एक अच्छा कवि किसी भी तरह से प्रतिभाशाली इंजीनियर या प्रकृति-प्रदत्त एथलीट से बेहतर या बुरा है। केवल एक चीज जिसे आंका जा सकता है वह है वेक्टर की लंबाई - उपहार की डिग्री, औसत से दूरी।

इस संबंध में, एक जिज्ञासु सवाल उठ सकता है: किसी दिए गए आयाम के अंतरिक्ष में यादृच्छिक वैक्टर का अनुपात आनुपातिक क्या होगा, और कौन सा हिस्सा ओर्थोगोनल होगा? आप समान विचारधारा वाले लोगों को कितना पा सकते हैं, या कम से कम उन लोगों को जिनके साथ आप अपनी तुलना कर सकते हैं?

दो-आयामी दुनिया में, प्रत्येक वेक्टर कोलीनियर (कोडायरेक्शनल) के एक-आयामी स्थान और ऑर्थोगोनल वैक्टर के एक-आयामी स्थान से मेल खाता है। यदि हम "लगभग" सह-दिशात्मक और "लगभग" ऑर्थोगोनल वैक्टर मानते हैं, तो वे अनुमेय विचलन के समान विकल्प के साथ एक ही क्षेत्र के सेक्टर बनाते हैं। अर्थात्, समान और भिन्न वस्तुएं, जब दो मानदंडों पर विचार करते हैं, तो एक ही राशि होगी।


दो आयामी और तीन आयामी अंतरिक्ष में लगभग कोलीनियर और लगभग ऑर्थोगोनल वैक्टर।

तीन आयामी दुनिया में, तस्वीर बदल जाएगी। सह-निर्देशित वैक्टर अभी भी एक-आयामी स्थान बनाते हैं, जबकि ऑर्थोगोनल वैक्टर पहले से ही विमान - दो-आयामी स्थान को भरते हैं। वैक्टर की लंबाई तय करना $$ और एक कोण से आदर्श दिशाओं से थोड़ा विचलन की अनुमति देता है $$ ध्रुवों के चारों ओर गोलाकार क्षेत्रों के क्षेत्र के साथ लगभग सह-दिशात्मक वैक्टर की संख्या की तुलना की जा सकती है $$ , और लगभग ऑर्थोगोनल वैक्टर की संख्या - भूमध्य रेखा के आसपास पट्टी के क्षेत्र के साथ: $$ । उनका रवैया $$ विचलन को कम करते हुए $$ असीमित रूप से बढ़ रहा है।

चार-आयामी दुनिया में, ऑर्थोगोनल वैक्टर पहले से ही तीन-आयामी स्थान बनाते हैं, जबकि कोडोनोमेनिअल वैक्टर अभी भी एक-आयामी स्थान में हैं, और उनकी संख्या में अंतर पहले से ही आदर्श से विचलन के वर्ग के आनुपातिक रूप से बढ़ता है। लेकिन इस स्तर पर संभावना सिद्धांत को चालू करना बेहतर होता है और यह पता लगाना कि ऑर्थोगोनल या कोडायरेक्शनल वैक्टर मिलने की संभावना क्या है, दो वैक्टर को यादृच्छिक, आयाम पर अंतरिक्ष से ले जाना $$ ? यादृच्छिक वैक्टर के बीच कोणों का वितरण हमें इस बारे में बताएगा। सौभाग्य से, बहुआयामी क्षेत्रों के क्षेत्रों पर चर्चा करते हुए, यह विश्लेषणात्मक रूप से गणना की जा सकती है और अंतिम रूप में प्रस्तुत की जा सकती है:

$$

यहां $$ गामा फ़ंक्शन, वास्तविक (और यहां तक ​​कि जटिल) संख्याओं के लिए एक सामान्यीकरण है।

विभिन्न आयामों के रिक्त स्थान के लिए यादृच्छिक वैक्टर के कोणीय वितरण।

अब यह स्पष्ट है कि द्वि-आयामी स्थान के लिए कोण समान रूप से वितरित किए जाते हैं, तीन-आयामी - साइनसोइडल फ़ंक्शन के अनुपात में, और बढ़ते आयाम के साथ, वितरण लगातार घटते फैलाव के साथ सामान्य हो जाता है। दो से ऊपर के सभी आयामों के लिए, वितरण मोड 90 डिग्री है और पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल वैक्टर का अनुपात बढ़ता है क्योंकि मापदंडों की संख्या बढ़ जाती है। सबसे महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि सह-दिशात्मक वैक्टर (लगभग 0 या 180 डिग्री का कोण होने पर व्यावहारिक रूप से अंतरिक्ष की पर्याप्त उच्च आयामीता के साथ नहीं रहते हैं। आइए अधिक या कम समान (सह-दिशात्मक, तुलनीय) वैक्टर पर विचार करें जिनके कोण 30 डिग्री से कम हैं (यह एक बहुत छोटा कोण है: $$ )। फिर, जब कुछ चयनित वेक्टर के समान दो मानदंडों की तुलना में, सभी यादृच्छिक वैक्टरों में से केवल एक तिहाई बाहर हो जाएगा। तीन मानदंडों का उपयोग करने से आप किसी दिए गए वेक्टर के साथ तुलना कर सकते हैं $$ चार मानदंडों के लिए पूरा सेट - पहले से ही $$ , और आयाम के प्रत्येक बाद के जोड़ इस अंश को आधे से कम कर देंगे। यदि हम कठोर हैं और अपने आप को एक छोटे कोण तक सीमित करते हैं, तो समान माना जाने वाले वैक्टरों का अनुपात और भी तेजी से घटेगा।

इस प्रकार, हम तरबूज के छिलके के नियम का सदिश सूत्रीकरण प्राप्त करते हैं:

उच्च-आयामी स्थानों में, लगभग सभी वैक्टर एक दूसरे के लिए रूढ़िवादी हैं।

या समकक्ष: बिना साथी के स्वाद और रंग।

बुद्धिमानी से तुलना करें, जीवन में सामान्यता न देखें और असामान्यता से न डरें। गणित खुद हमें बताता है कि लोगों की एक जटिल दुनिया में हम केवल समानता की डिग्री के बारे में बात कर सकते हैं, लेकिन तुलना के बारे में नहीं। इसलिए, सत्य की खोज में, अंतहीन विवादों में उलझने का कोई कारण नहीं है, इसके बजाय, यह एक अलग राय, दूसरे संयुग्मित स्थान से एक दृश्य को देखने और सुनने की कोशिश कर रहा है, जिससे दुनिया की आपकी धारणा समृद्ध होती है।

ऋषि सही हैं: हम सभी अद्वितीय हैं और हमारी विशिष्टता में बिल्कुल समान हैं।

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मैं आपको इस पुस्तक के पहले पाठकों को प्रश्नों, परिवर्धन और टिप्पणियों के लिए आमंत्रित करता हूं, जो बिना किसी संदेह के इसे और अधिक सटीक, समृद्ध और अधिक रोचक बनाएंगे।