खुशी का सिद्धांत। मर्फ़ोलोजी का परिचय

मैं हेब के पाठकों को उनकी पुस्तक "खुशी के सिद्धांत" के अध्याय के साथ उपशीर्षक के साथ परिचित करना चाहता हूं "विधि के कानूनों के गणितीय नींव।" यह अभी तक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक प्रकाशित नहीं हुई है, बहुत ही अनौपचारिक रूप से बता रही है कि कैसे गणित आपको दुनिया और लोगों के जीवन को जागरूकता के नए स्तर पर देखने की अनुमति देता है। यह उन लोगों के लिए है जो विज्ञान में रुचि रखते हैं और उनके लिए जो जीवन में रुचि रखते हैं। और चूँकि हमारा जीवन जटिल है, और बड़े, अप्रत्याशित, पुस्तक में मुख्य रूप से संभावना सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों पर जोर दिया गया है। यहाँ प्रमेय सिद्ध नहीं हुए हैं और विज्ञान के मूल तत्व नहीं दिए गए हैं, यह किसी भी तरह से पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन इसे मनोरंजक विज्ञान कहा जाता है। लेकिन यह वास्तव में ऐसा लगभग चंचल दृष्टिकोण है जो हमें अंतर्ज्ञान विकसित करने की अनुमति देता है, ज्वलंत उदाहरण वाले छात्रों के लिए व्याख्यान को उज्ज्वल करता है और अंत में, गैर-गणितज्ञों और हमारे बच्चों को समझाता है कि हमारे शुष्क विज्ञान में हमें क्या दिलचस्प मिला।



यह पहले अध्यायों में से एक है, जिसमें एक साइकिल चालक के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम उन उपकरणों पर विचार करते हैं जिन्हें हमें अन्याय को मापने की आवश्यकता है: लोरेंज वक्र और गनी इंडेक्स, साथ ही कुख्यात पारेतो और दुर्जेय निरीक्षक।

कानून कानून है

इस पुस्तक में हम विभिन्न परेशानियों के बारे में बात करेंगे। परिचित, अपेक्षित और इतनी पूर्वानुमानित कि उन्हें कानूनों का दर्जा प्राप्त हुआ। उनमें से बहुत से पहले से ही तैयार किए गए हैं: यह गिरने वाले सैंडविच का कानून है, और मर्फी का नियम: " यदि कोई परेशानी हो सकती है, तो यह होगा " और इस विषय पर चिशोलम कानून: " जब चीजें अच्छी तरह से चलती हैं, तो निकट भविष्य में कुछ घटित होगा। "और एटोर का अवलोकन:" अगला मोड़ हमेशा तेजी से आगे बढ़ रहा है। "उनमें से अधिकांश काफी तुच्छ हैं, लेकिन मुइर के नियम के अनुसार," जब हम एक चीज को खींचने की कोशिश करते हैं, तो यह पता चलता है कि यह सब कुछ के साथ जुड़ा हुआ है। हम इन कानूनों के तर्कसंगत कर्नेल को खोजने का प्रयास करेंगे । लेकिन इसके लिए नहीं उनसे लड़ने के लिए, लेकिन खुशी के लिए। और चूंकि हम इस मामले में गणित का उपयोग करेंगे, परिणाम के विपरीत, खुशी अजीब और उपयोगी होगी। ठीक है, अगर हमारा तर्क हमें बहुत दूर ले जाता है, तो हम फारस के दृष्टिकोण को अपना सकते हैं: " उचित परिकल्पना की संख्या जो किसी भी घटना को समझाती है, अनंत है। " अंत में, ग्रॉसमैन, ख एल एल मेनकिन के हवाले से, सही ढंग से बताया कि " जटिल। समस्याओं में हमेशा सरल, समझने में आसान, गलत समाधान होते हैं। "

हमारे साथ होने वाली कुछ परेशानियाँ स्वाभाविक और निर्धारित हैं, और कुछ प्रकृति में रूढ़िवादी, संभाव्य हैं।

उदाहरण के लिए, यदि आपको अपना वेतन 10% कम किया गया था, और फिर माफी मांगी गई और 10% की वृद्धि हुई, तो अंत में आप हार गए क्योंकि

$$

$$x (1-0.1) (1 + 0.1) = x (1-0.01) <x$$

इसके अलावा, अगर वेतन पहले बढ़ गया है, और फिर, माफी मांगने के बिना भी, इसे उसी 10% से कम किया जाता है, तो परिणाम समान होगा, क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गुणांक को गुणा करना है। यह बहुत ही सरल, आपत्तिजनक है, लेकिन इसका भाग्य से कोई लेना-देना नहीं है।

नियतात्मक परेशानी का एक और उदाहरण वह जादू है जो हेडफ़ोन के साथ हमारी जेब में होता है: हम अपनी जेब में बड़े करीने से मुड़े हुए हेडफ़ोन लगाते हैं, और आधे घंटे के बाद वहां चमत्कार होता है, और हम अपनी जेब से तारों का एक जंगली बंडल निकालते हैं। 2007 में, सनी और निर्मल सैन डिएगो के दो वैज्ञानिकों द्वारा एक गंभीर वैज्ञानिक लेख प्रकाशित किया गया था, "एक उत्साहित धागे पर नोड्स का सहज गठन," जिसमें एक जेब में हेड फोन्स का विश्लेषण किया जाता है और विस्तार से मॉडलिंग की जाती है। लेखक, गाँठ सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और शारीरिक प्रयोगों के आधार पर, यह स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि वाइंडिंग की मानक विधि के साथ, हेडफ़ोन को वास्तव में मिलाते हुए कुछ ही सेकंड के बाद, पेचीदा, अतिरिक्त प्राप्त करने की आवश्यकता होती है। हालाँकि, हम पहले से ही इसका अवलोकन कर रहे हैं, केवल अनुमानित उलझाव गति यहाँ अप्रत्याशित है। गणितीय तरीके से इस उपद्रव से निपटना काफी संभव है: आपको हेडफ़ोन को फोल्ड करने के तरीके को बदलने की ज़रूरत है - न कि रिंग्स के साथ, जो नोड्स बनाते हैं, लेकिन विपरीत दिशा में छोरों की एक श्रृंखला के साथ, जैसा कि आंकड़े में दिखाया गया है। तह की इस पद्धति के साथ, लूप परस्पर एक दूसरे को नष्ट कर देते हैं और नोड्स नहीं बनते हैं। कई सालों से मैं हेडफ़ोन को इस तरह से मोड़ रहा हूं, एक शांत टोपोलॉजिस्ट की तरह महसूस कर रहा हूं, और हर बार जब मैं आनन्दित होता हूं, एक चाल की तरह, जब वे खुद को हाथ के एक लापरवाह झटकों से खोलते हैं।

तारों को मोड़ने के तरीकों में से एक, उनके स्पर्शरेखा के लिए अग्रणी नहीं। वह इस तथ्य पर भी अच्छा है कि जिस तरह से आप अपनी उंगलियों को प्यार की मुद्रा में डालते हैं।

लेकिन उन कानूनों के बीच भी जो प्रकृति में रूढ़िवादी हैं, हर कोई समान रूप से दिलचस्प नहीं है। उदाहरण के लिए, बुक का नियम: "आप हमेशा अपनी पिछली जेब में चाबी पाते हैं।" कोई तर्कसंगत आधार नहीं है। एक साधारण गणना से पता चलता है कि सभी जेबों के लिए चाबी खोजने की समान संभावना के साथ, बाद वाला दूसरों से अलग नहीं है। क्या यह है कि आप किसी भी तरह और कई बार देख रहे हैं, आप सभी जेबों को बेतरतीब ढंग से जांचेंगे। इस मामले में, पॉकेट की संख्या के लिए संभाव्यता फ़ंक्शन जिसमें चाबियाँ दिखाई देती हैं, के लिए होगी $$$एन$जेब ज्यामितीय वितरण द्वारा वर्णित हैं:

$$

$$P (n) = \ frac {1} {N} \ left (1- \ _ frac {1} {N} \ right) ^ {n-1},$$

और अपेक्षित पॉकेट नंबर समान होगा $$$एन$। यानी एक मायने में, बीच कानून लागू किया जा रहा है। हालांकि, इस तरह से हम चाबियों की तलाश कर रहे हैं, जब तक कि हमें वास्तव में टॉयलेट में जाने की आवश्यकता नहीं है, और फिर यह पहले से ही अर्थ का एक पूर्ण कानून है।

हम ऐसे कानूनों में दिलचस्पी लेंगे जो विरोधाभासी और शिक्षाप्रद हैं, ऐसे कानून जो बुरी चट्टान की तरह दिखते हैं, विकल्पों में से एक को चुनना, सबसे अधिक कष्टप्रद और अप्रिय, अंतर्ज्ञान के विपरीत यह सुझाव देते हुए कि यह विकल्प सबसे संभावित नहीं होना चाहिए।

अगर लंबे, लंबे, लंबे, अगर लंबे रास्ते के साथ ...

मैं शौकिया तौर पर साइकिल चलाने का बहुत बड़ा प्रशंसक हूं। सुबह जल्दी ट्रैक पर दौड़ने से बेहतर और क्या हो सकता है, चिल में, एक आसान ढलान को लुढ़काते हुए ... यह भावना अंतहीन पर्वतारोहण या इसके लिए हेडविंड के प्रतिरोध को पार करने के लिए लायक है! सच है, कभी-कभी ऐसा लगता है कि अवरोही की तुलना में अधिक आरोही हैं, और हवा जहाँ भी मुड़ती है, वहां आने का प्रयास करती है। इस संबंध में मर्फ़ोलॉजी की पुस्तकों में, साइकिल चालक का नियम दिया गया है:

कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कहाँ जाते हैं - यह ऊपर और ऊपर की ओर है।

मैं कामचटका में रहता हूं, पेट्रोपावलोव्स्क में बहुत सारे स्लाइड हैं, और शहर के चारों ओर सवारी करते हुए, उन्हें टाला नहीं जा सकता। हालांकि, मुझे इस विचार से आश्वस्त होना चाहिए कि घर से अपना रास्ता शुरू करने के बाद, मैं फिर से घर लौटता हूं, जिसका मतलब है कि कुल वंश कुल चढ़ाई के बराबर होना चाहिए। एक रेडियल मार्ग विशेष रूप से ईमानदार होगा। एक सममित पहाड़ी से मिलकर 2 किमी के ट्रैक की कल्पना करें: एक किलोमीटर ऊपर, एक किलोमीटर नीचे। मैं 10 किमी / घंटा की गति से काफी लंबे समय तक ऊपर जा सकता हूं, और वंश पर मैं 40 किमी / घंटा की गति रखने की कोशिश करता हूं (हां, मैं सावधान हूं और हेलमेट में सवारी करता हूं)। इसका मतलब है कि मैं चढ़ाई की तुलना में चढ़ाई पर चार गुना अधिक समय बिताऊंगा, और सामान्य तस्वीर इस प्रकार होगी: यात्रा के समय का 4/5 एक हल्के चढ़ाई पर खर्च किया जाएगा, और एक सुखद वंश पर केवल 1/5। यह शर्म की बात है - चलने का 80% समय पथ के कठिन वर्गों से बना है! अगर मैं हमारे पहाड़ी शहर से बाहर, सागर की ओर या अवाची नदी घाटी में पंप करता हूं, तो लगभग कोई स्लाइड नहीं होगी, लेकिन मेरे पास अभी भी एक हेडविंड और एक निष्पक्ष हवा है, या एक खराब सड़क वाले खंड हैं।

आइए संभावना के सिद्धांत से साइकिल चालक के कानून को देखें। यदि मैं अपनी बाइक की सवारी के दौरान बहुत सारी सेल्फी लेता हूं, और फिर मैं उन्हें एक मिश्रित पैक की तलाश किए बिना प्राप्त करना शुरू कर देता हूं, तो चित्रों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा मुझे नारंगी हेलमेट में एक झुका हुआ आंकड़ा दिखाएगा, जो विनम्रतापूर्वक ऊपर की ओर रेंगते हुए या हवा के खिलाफ होगा। एक विज्ञापन चित्र से एक तस्वीर में एक उड़ान और चमकते साइकिल चालक को देखने की संभावना, अफसोस, केवल 20% होगी। और आंकड़े क्या कहेंगे? यदि हम एक पहाड़ी ट्रैक पर साइकिल चालकों की एक बड़ी भीड़ को बाहर जाने देते हैं, तो थोड़ा इंतजार करें, और उनके घनत्व का निरीक्षण करें, हम देखेंगे कि अधिकांश एथलीट कठिन क्षेत्रों में कैसे भीड़ करते हैं, और कुल द्रव्यमान में एक शांत मुस्कुराता हुआ चेहरा खोजने की संभावना इतनी महान नहीं होगी!

पहाड़ी ट्रैक पर साइकिल चालकों के पहनावे के आंदोलन के सिमुलेशन मॉडलिंग का परिणाम। आंदोलन में प्रत्येक भागीदार के लिए, इसकी शक्ति निर्धारित की जाती है, यह अपनी अधिकतम गति निर्धारित करता है, दोनों चढ़ाई पर और वंश पर (वायु प्रतिरोध को ध्यान में रखा जाता है)। यह देखा जा सकता है कि आंदोलन की शुरुआत के तुरंत बाद, अधिकांश पहनावा अप पर केंद्रित है।

आइए, एक बार स्कूल में, एक सममित त्रिकोणीय पहाड़ी के साथ चलते हुए, समय पर साइकिल चालक की गति की निर्भरता ग्राफ पर दिखाएं। हम सब कुछ एक वयस्क तरीके से करते हैं, कार्य के अपने पैमाने पर: हम दूरी को किलोमीटर में नहीं, बल्कि सामान्य पथ के अंशों में मापेंगे, हम यात्रा के समय के साथ भी ऐसा ही करेंगे। रास्ते की पहली छमाही (खंड) $$$AB$) साइकिल चालक धीरे-धीरे और लंबे समय के लिए चला गया - $$$4/5$हर समय, और दूसरा (खंड) $$$ई.पू$) जल्दी से overcame - के लिए $$$1/5$समय।


कुल पथ और समय के शेयरों में साइकिल चालक की अनुसूची।

इस दुनिया के अन्याय का न्याय करने का एक पूरी तरह से सार्वभौमिक तरीका है, जिसे अर्थशास्त्री, जनसांख्यिकी, पारिस्थितिकीविदों, या विपणक द्वारा अपनाया गया है - लोरेंत्ज़ वक्र और संबंधित गनी सूचकांक । किसी मूल्यवान वस्तु के ज्ञात वितरण के लिए, उदाहरण के लिए, एक निश्चित जनसंख्या में धन, यह संभव है, धन के स्तर को बढ़ाकर सेट के सदस्यों को क्रमबद्ध करने के बाद, सबसे पहले, एक संचयी वक्र बनाने के लिए, जनसंख्या के आकार के लिए एक्स अक्ष को सामान्य करने, और वाई अक्ष को उसके सामान्य कल्याण के लिए। इसका परिणाम अमेरिकी अर्थशास्त्री मैक्स ओटो लोरेंज के नाम पर एक वक्र है। जब हमने साइकिल चालक के आंदोलन की साजिश रची, तो हमने अनिवार्य रूप से लोरेंज वक्र को केवल दो स्तंभों वाले पथ के हिस्सों के साथ गति वितरित करने के लिए प्लॉट किया।


यात्रा मार्ग के साथ साइकिल चालक गति का वितरण।

बेशक, हर आंदोलन अनुसूची को लोरेंट्ज़ वक्र के रूप में नहीं माना जा सकता है। इसे बनाने से पहले, आपको गति बढ़ाकर यात्रा की अवधि को क्रमबद्ध करना होगा, और फिर निर्माण के लिए आगे बढ़ना होगा। दूसरे शब्दों में, पहले आपको हिस्टोग्राम के हिस्टोग्राम का निर्माण करने की आवश्यकता है, और फिर क्रमिक रूप से हिस्टोग्राम के सभी स्तंभों के योगदान को जोड़ना, छोटे मूल्यों के योगदान से शुरू करना, सबसे बड़ा के साथ समाप्त होना। परिणाम हर जगह अवतल वक्र होना चाहिए जो विकर्ण से नीचे जाता है ( $$$एसी$)। इस विकर्ण को समानता वक्र कहा जाता है , हमारे मामले में यह पूरे पथ के साथ एक स्थिर (औसत) गति, या एक एकल स्तंभ (डेल्टा-आकार की संभावना घनत्व फ़ंक्शन) के साथ एक हिस्टोग्राम से मेल खाती है। और आर्थिक अर्थों में - कल्याण की सार्वभौमिक समानता। लोरेंट्ज़ वक्र जितना अधिक समानता वक्र से विचलित होता है, उतना ही कम "निष्पक्ष" वितरण माना जा सकता है। जैसे ही हम अपनी दुनिया के अर्थ और अन्याय के नियमों का अध्ययन करते हैं, न्याय का अध्ययन करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली शब्दावली और उपकरण दोनों का उपयोग करना बुद्धिमानी है।

डेल्टा जैसी वितरण के अलावा किसी भी वितरण के लिए लोरेंत्ज़ वक्र के तहत क्षेत्र समानता वक्र के तहत क्षेत्र की तुलना में कम होगा। उनका अंतर असमानता या वितरण के "अन्याय" की एक औपचारिक विशेषता के रूप में काम कर सकता है। यह विशेषता गिन्नी सूचकांक में परिलक्षित होती है । इसकी गणना समानता वक्र और लोरेंट्ज़ वक्र द्वारा गठित आंकड़े के दोगुने क्षेत्र के रूप में की जाती है। एक आदर्श दुनिया के लिए, गिन्नी इंडेक्स 0 है, सबसे बुरे संस्करण में यह एक को जाता है। उदाहरण में हमने जांच की, यह 0.35 है। यह एक बहुत अच्छा संकेतक है। उदाहरण के लिए, रूस में जनसंख्या के बीच धन का वितरण अब 0.39 का अमेरिका में सूचकांक है, अमेरिका में - 0.49, ऑस्ट्रिया और स्वीडन में यह 0.3 से अधिक नहीं है, और 2017 में पूरी दुनिया के लिए यह 0.66 हो गया। इसलिए, साइकिल चालकों के साथ स्थिति, निश्चित रूप से अपमानजनक और अनुचित है, लेकिन काफी सहिष्णु है।

हमने दूरी द्वारा गति के वितरण पर विचार किया, और क्या होगा यदि हमें समय द्वारा गति का वितरण दिया जाता है (हम यात्रा के समय को अंतराल में विभाजित करते हैं और अंतराल की संख्या को एक या किसी अन्य गति से गिनते हैं)। लोरेंटेज़ आरेख के आयाम के कारण, हम फिर से संबंधित वक्र को साजिश कर सकते हैं, और यहां तक ​​कि पिछले परिणाम के साथ तुलना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आधा यात्रा का समय, एक घंटा, 10 किमी / घंटा की गति से एक साइकिल चालक की सवारी और 40 किमी / घंटा की गति पर एक घंटे की सवारी करें (यह किस क्रम में कोई फर्क नहीं पड़ता)। फिर पूरे रास्ते का 1/5 हिस्सा कम गति तक और 4/5 तेज गति से गिर जाएगा। लोरेंत्ज़ वक्र, समय के साथ वेग वितरण के मामले में, एक दूरी पर वेगों के वितरण के लिए लोरेंत्ज़ वक्र का एक प्रतिबिंब होगा, जो समानता की रेखा के लिए तिरछे, लंबवत के सापेक्ष होता है। इस मामले में, गिन्नी इंडेक्स समान होगा, क्योंकि जब वक्र परिलक्षित होता है, तो इसके तहत क्षेत्र नहीं बदलेगा। तो अन्याय के स्तर के अनुसार, ये दो अलग-अलग स्थितियां एक ही हैं, हालांकि दूसरा मामला बहुत अधिक सुखद लगता है!


दो अलग-अलग गति के साथ समान यात्रा समय के मामले में एक साइकिल चालक की गति (लोरेंट्ज़ वक्र) की अनुसूची।

कृपया ध्यान दें, कुछ औपचारिक सूचकांक की मदद से, हमने पूरी तरह से अलग और अतुलनीय चीजों की तुलना करना शुरू किया, यह आकर्षक और खतरनाक दोनों है। आपको यह जानने की जरूरत है कि औपचारिक सूचकांक और मानदंड हमेशा किसी चीज के बराबर होते हैं, भले ही यह समझ में आता हो या नहीं। हम देशों की आबादी के बीच धन के वितरण की तुलना करते हैं और कुछ विकल्पों से मतभेदों के संदर्भ में मार्ग को पार करने में लगने वाले समय के वितरण को उचित मानते हैं। जब तक हम तुच्छ आचरण करते हैं और कभी-कभी, गुंडागर्दी के कानूनों के बारे में बातचीत करते हैं, शायद यह एक उचित तुलना है, लेकिन गणित में, निश्चित रूप से ऐसा नहीं किया जा सकता है। लोरेंत्ज़ कर्व, और इससे गिनी इंडेक्स को औपचारिक रूप से पिक्चर में पिक्सल्स की चमक के हिस्टोग्राम या लाइव स्पीच में शब्दों की आवृत्ति के लिए गणना की जा सकती है, इससे न्याय से कोई संबंध नहीं होगा, और बहुत कम समझदारी होगी। इसलिए, किसी भी भयानक चीज के लिए गिन्नी इंडेक्स को ध्यान में रखते हुए, हम इसे अर्थ इंडेक्स कहेंगे ताकि शब्दों के निराकरण से पाठक को भ्रमित न किया जा सके।

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निष्कर्ष है कि साइकिल चालक एक निचले गियर में पुताई करता है: "दुनिया अनुचित है और अधिकांश ऊर्जा काम का सबसे बेवकूफ हिस्सा लेती है", जिसे अक्सर पारेतो सिद्धांत या "80/20" सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। यह पूर्ण अनुभववाद है, किसी ने परेतो सिद्धांत को साबित नहीं किया है, लेकिन यह अक्सर उद्धृत किया जाता है कि यह पहले से ही सच्चाई का आभास देता है। इसका उपयोग एक बहाने के रूप में किया जाता है और एक निर्देश के रूप में, यह विभिन्न अभिव्यक्तियों में पाया जाता है और कभी-कभी यह काम करता है, उदाहरण के लिए, "80/20" का सिद्धांत 0.6 के क्रम के अर्थ सूचकांक से मेल खाता है - जैसा कि दुनिया भर में धन के वितरण के लिए है। यह समझते हुए कि यह भाग्य की साजिश नहीं है, बल्कि सबसे सरल गणित है, जिसके साथ संघर्ष करने का कोई मतलब नहीं है, कोई भी काम में थकाऊ अप और थकाऊ लेकिन अपरिहार्य चरणों का आनंद लेना सीख सकता है, कम से कम दिमाग में समस्याओं को हल करना या ध्यान करना। ताओवादियों ने हमेशा के लिए जीने का प्रयास किया, और सही ढंग से तर्क दिया कि, शरीर पर काम करने के लिए, अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए, मन की तैयारी की आवश्यकता होती है। वास्तव में, शाश्वत जीवन के लिए, आपको न केवल लगाव को छोड़ने की क्षमता की आवश्यकता है, बल्कि धैर्य, साथ ही लंबे समय तक आनंद लेने की क्षमता की भी आवश्यकता है।

पेरेटो सिद्धांत में समझने के लिए अधिक कठोर सामान्यीकरण उपयोगी है। औसत साइकिल चालक के नाम पर अर्थ का नियम, एक आधिकारिक वैज्ञानिक शीर्षक है: निरीक्षण का विरोधाभास । यह प्रसिद्ध घटना समाजशास्त्रीय सर्वेक्षणों से संबंधित कई अध्ययनों में पाई गई है, असफलताओं के सिद्धांत में परीक्षण (लागू गणित का एक भाग जो जटिल प्रणालियों की विश्वसनीयता से संबंधित है), अव्यवस्थित रूप से लेकिन अधिक देखी गई घटनाओं की ओर देखे गए परिणामों को व्यवस्थित रूप से स्थानांतरित करना।

हमें सार्वजनिक परिवहन यात्रियों के सर्वेक्षण के साथ एक उत्कृष्ट उदाहरण देना चाहिए। प्रति दिन लाइन पर बहुत सारी बसें चलती हैं, अपेक्षाकृत कम समय में बसें ओवरफ्लो होती हैं, और बाकी समय वे लगभग खाली ही चलती हैं। यदि हम यात्रियों से पूछताछ करते हैं, तो उनमें से एक महत्वपूर्ण हिस्सा एक भीड़ भरी बस में होगा (वहां बस अधिक लोग हैं), और हमें सामान्य असंतोष की अभिव्यक्ति मिलेगी। यदि हम ड्राइवरों का साक्षात्कार करते हैं, तो वे मार्गों के एक महत्वपूर्ण हिस्से की अपूर्णता और उन्हें बेकार करने वाले अधिकारियों की अनुचितता के बारे में शिकायत करेंगे। एक लचीली अनुसूची स्थिति को सुचारू कर देगी, लेकिन, किसी भी स्थिति में, लोरेंट्ज़ वक्र सभी बसों में यात्रियों की समान स्थिति की अविश्वसनीय स्थिति के अनुरूप समानता वक्र से विचलित हो जाएगा।

प्रायिकता सिद्धांत के लिए परिचय में, एक विशेष अपारदर्शी बैग अक्सर पाया जाता है, जिसमें गणितज्ञ विभिन्न वस्तुओं को डालते हैं, और फिर बेतरतीब ढंग से उन्हें बाहर निकालते हैं, कभी-कभी बहुत विचारशील निष्कर्ष निकालते हैं। विरोधाभास का समाधान यह है कि हम यात्री प्रवाह प्रणाली का समग्र रूप से विश्लेषण करते हैं और बसों को बैग में रखते हैं, और सर्वेक्षण का संचालन करते हुए, हम यात्रियों को यादृच्छिक (निरीक्षण) से बाहर निकालते हैं और उनके आधार पर निष्कर्ष निकालने की कोशिश करते हैं। चित्र दिखाता है कि अंतर क्या है:

बस के आंकड़े कहते हैं कि उनमें से 75% स्वतंत्र और बेकार हैं। इसी समय, एक यात्री सर्वेक्षण में पाया जाएगा कि उस दिन यात्रा करने वाले 64% यात्री भीड़भाड़ वाले वाहनों में थे।

चलो इस स्थिति को लोरेंज वक्र की साजिश से देखते हैं, इस बार, पिछले आंकड़े से बसों पर यात्रियों की संख्या के लिए वास्तविक एक। ऐसा करने के लिए, आपको यात्रियों की संख्या के आधार पर बसों को क्रमबद्ध करना होगा और क्रमिक रूप से उनमें से प्रत्येक के कुल यात्री प्रवाह में योगदान को संक्षेप में प्रस्तुत करना होगा:


लॉरेंज वक्र अच्छी तरह से बस की स्थिति की देखी गई अनुचितता को दर्शाता है: बसों का आधा यात्री प्रवाह का केवल पांचवां हिस्सा ले जाता है।

इस मामले में, लोरेंट्ज़ वक्र, दिखाता है कि समूह सदस्यता (ऊर्ध्वाधर अक्ष) के अनुसार तत्वों के वितरण का विश्लेषण करते समय कुछ समूहों (क्षैतिज अक्ष) में तत्वों की संख्या के वितरण की मात्राओं को कैसे स्थानांतरित किया जाता है। यह, वास्तव में, निरीक्षण का विरोधाभास है: निरीक्षक द्वारा देखी गई तस्वीर विकृत हो जाती है, क्योंकि वह समूहों का विश्लेषण नहीं करता है, लेकिन समूहों के तत्व, जबकि मनाया औसत और मंझला वितरण के अधिक "वजनदार पूंछ" की ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है।

अपने आप से, हमारे साइकिल चालक का कानून बहुत सरल है, लेकिन यह हर बार क्षुद्रता के अन्य कानूनों को बढ़ाएगा, और उनके लिए एक उदास भावनात्मक स्वर जोड़ देगा। क्षुद्रता के नियमों के बारे में सोचकर, मुझे छवि के रंग घटता को बदलने के मामले में निरीक्षक की दुनिया की धारणा के विरूपण के बारे में सोचना पसंद है। रेखापुंज ग्राफिक संपादकों में, हम छवियों को संशोधित करने के लिए कर्व्स टूल का उपयोग करते हैं, चमक में पिक्सेल की संख्या के वितरण को स्थानांतरित करते हैं। यहाँ, उदाहरण के लिए, कैसे लोरेंत्ज़ वक्र जो हमने बसों के लिए प्राप्त किया था, वास्तविकता की धारणा को बदल देता है। जैसा कि हम उम्मीद करते हैं, दुनिया की तस्वीर गहराती जा रही है।


उदाहरण से लोरेंत्ज़ वक्र, जिसे रेखापुंज ग्राफिक्स संपादक में "कर्व" फ़िल्टर के रूप में उपयोग किया जाता है, कमचटका बस के गहरे चित्र को बनाता है। शिकायत करते हुए कि बसें "हमेशा देर से" और "हमेशा लोगों से भरी" होती हैं, इस तथ्य पर आराम करें कि यह निरीक्षण विरोधाभास के साथ जुड़ा हुआ भ्रम मात्र है!

निरीक्षण विरोधाभास अपने चरम में खुद को प्रकट कर सकता है: यदि हमारे सैद्धांतिक बैग में रखे गए तत्वों के समूहों में से हैं, जिनके तत्व न केवल दुर्लभ हैं, बल्कि बिल्कुल भी अवलोकन योग्य नहीं हैं, तो हमें उत्तरजीवी की एक व्यवस्थित त्रुटि मिलती है। इस घटना को अक्सर विभिन्न डेमोस्ट्रेटिंग लेखों में बताया जाता है, शुरुआत व्यवसायियों और प्रोग्रामर के लिए, उन्हें आश्वासन देते हुए कि पुस्तकों में वर्णित सफल पथ उनके लिए सबसे अधिक संभावना है, क्योंकि, वे कहते हैं, असफल किताबें नहीं लिखी जाती हैं। हालाँकि, इसका मतलबी कानूनों से कोई लेना-देना नहीं है, इसलिए हम इन तर्कों को छोड़ दें। द्वारा और बड़े, वर्णित विरोधाभास डेटा प्राप्त करने और प्रसंस्करण करते समय की गई कार्यप्रणाली त्रुटियां हैं, उनके बारे में जानना उपयोगी है, लेकिन, दुर्भाग्य से, वे इन तरीकों से बहुत दूर के लोगों के बीच वास्तविक डेटा के अनुचित हेरफेर के रूप में आंकड़ों के बारे में व्यापक राय देते हैं।

हम साइकिल चालक के कानून और उसके प्रभाव से एक से अधिक बार मिलेंगे: धन के वितरण के अन्याय को देखते हुए लाइन में या बस स्टॉप पर खड़े होना। और लोरेंट्ज़ घटता है और खलनायक सूचकांक हमें साहसपूर्वक अलग-अलग चीजों के बीच तुलना करने की अनुमति देगा। गणित एक सटीक विज्ञान है, लेकिन कोई भी गणितज्ञों को दुर्व्यवहार करने से मना नहीं करता है। उनके पाठ्यक्रम में, सर्कल और बिना झगड़े के।

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हैबे पर अध्यायों को प्रकाशित करने का अनुभव बहुत उपयोगी निकला: पाठकों की टिप्पणियों ने मुझे शब्दों को सही करने, उदाहरणों के सेट का विस्तार करने और अपने स्वयं के क्षितिज की अनुमति दी। मुझे इस पुस्तक में बात करने में खुशी होगी कि हमारे समुदाय ने इसे संपादित करने में मदद की है और इसके लेखन में भाग लेने के लिए हैबर के रचनाकारों और निवासियों को धन्यवाद दिया है।