पाइथागोरस के गणितीय पैमाने का गणितीय औचित्य

अलेक्जेंडर वोल्शिनोव की पुस्तक का एक अध्याय "गणित और कला" (मास्को: ज्ञानोदय, 1992)

आदरणीय पाइथागोरस ने भावनाओं के प्रमाण के आधार पर संगीत के मूल्यांकन को अस्वीकार कर दिया। उन्होंने तर्क दिया कि उनके गुणों को मन से माना जाना चाहिए, और इसलिए संगीत को कान से नहीं, बल्कि गणितीय सद्भाव के आधार पर देखा गया और संगीत के अध्ययन को एक सप्तक तक सीमित करने के लिए पर्याप्त पाया गया।

प्लूटार्क

सख्ती से, हम पायथागॉरियन प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं। संगीत में गामा और पैमाना क्या है?

गामा , या पैमाना , कुछ संगीत प्रणाली (झल्लाहट) की आवाज़ों (चरणों) का एक क्रम है, स्थित, मुख्य ध्वनि (मुख्य स्वर) से आरोही या अवरोही क्रम में। "गामा" नाम ग्रीक अक्षर G gam (गामा) से आया है, जो मध्य युग में पैमाने के चरम निचले स्वर को दर्शाता है, और फिर पूरे पैमाने को।

एक संगीतमय ध्वनि की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता इसकी पिच है , जो एक ध्वनि के शरीर की दोलन आवृत्ति की चेतना में प्रतिबिंब है, जैसे कि एक स्ट्रिंग। स्ट्रिंग की दोलन आवृत्ति जितनी अधिक होती है, उतनी ही उच्च ध्वनि हमें दिखाई देती है।

प्रत्येक व्यक्तिगत ध्वनि एक संगीत प्रणाली नहीं बनाती है और यदि यह बहुत जोर से नहीं है, तो हमें बहुत प्रतिक्रिया नहीं देती है। हालांकि, पहले से ही अन्य मामलों में दो ध्वनियों का संयोजन सुखद और सामंजस्यपूर्ण हो जाता है, और दूसरों में, इसके विपरीत, यह कान को "काट" करता है। दो ध्वनियों के एक सहमत संयोजन को व्यंजन कहा जाता है , एक असंगत संयोजन को असंगति कहा जाता है । यह स्पष्ट है कि दो स्वरों का व्यंजन या विसंगति इन स्वरों या अंतराल के बीच की ऊँचाई दूरी से निर्धारित होती है।

दो टोन के बीच का अंतराल इस पैमाने में निचले के सापेक्ष ऊपरी टोन की पिच की क्रम संख्या है, और दो टन के _{21 के} अंतराल गुणांक I ऊपरी टोन की आवृत्ति का अनुपात निम्न ^* की आवृत्ति के अनुपात में है:

(6.1)

^* ( संगीत के सिद्धांत में, अंतराल और अंतराल गुणांक की अवधारणाएं सख्ती से प्रतिष्ठित नहीं हैं। परंपरा के बाद, हम अक्सर अंतराल के रूप में संक्षिप्तता के लिए अंतराल गुणांक का उल्लेख करते हैं। )

आइए अब दबाकर ध्वनियों के एक निश्चित सेट पर विचार करें, उदाहरण के लिए, एक पियानो पर कई चाबियाँ। सबसे अधिक संभावना है, हमें ध्वनियों का एक अलग सेट मिलेगा, जैसा कि वे कहते हैं, न तो गोदाम और न ही झल्लाहट। अन्य मामलों में, लगता है कि फिट होने के लिए, एक दूसरे के साथ मिलें, लेकिन उनका संयोजन चीर-फाड़, अधूरा प्रतीत होगा। मैं इस अनुक्रम को एक निश्चित नोट तक जारी रखना चाहूंगा, जो कि ध्वनियों की इस प्रणाली में सबसे स्थिर, बुनियादी और टॉनिक कहा जाता है। तो, एक संगीत प्रणाली में ध्वनियाँ कुछ निर्भरताओं द्वारा आपस में जुड़ी हुई हैं, उनमें से कुछ अस्थिर हैं और दूसरों के लिए गुरुत्वाकर्षण - स्थिर हैं ।

लेकिन न केवल टॉनिक और स्थिर और अस्थिर ध्वनियों का संयोजन संगीत प्रणाली की प्रकृति को निर्धारित करता है। नोट से लेकर ( नेचुरल नेचुरल स्केल तक) और (a) ( नेचुरल माइनर ) में से एक पंक्ति में आठ व्हाइट कीज़ को दबाकर यह सुनिश्चित करना आसान है, इन पैमानों की ध्वनि अलग-अलग होती है: पहला - मेजर - हँसमुख और हल्का लगता है, और दूसरा - मामूली - उदास और घटाटोप ^* । इसलिए, ध्वनि प्रणाली की एक और विशेषता है - मनोदशा: प्रमुख या मामूली। इस प्रकार, हम संगीत के सिद्धांत में सबसे जटिल अवधारणाओं में से एक में आते हैं - झल्लाहट की अवधारणा।

^* ( झल्लाहट की आवाज़ की प्रकृति, निश्चित रूप से, इतनी गंभीर और असमान रूप से परिभाषित नहीं है। यह सवाल बहुत ही नाजुक है, और हम इसके बारे में अध्याय के अंत में बात करेंगे। )

एक झल्लाहट संगीत ध्वनियों का एक परस्पर क्रिया है जो सुनवाई के लिए सुखद है, स्थिर लोगों पर अस्थिर ध्वनियों की निर्भरता से निर्धारित होता है, और सबसे पहले मुख्य स्थिर ध्वनि - टॉनिक, और एक निश्चित ध्वनि चरित्र - झुकाव पर होता है। संगीत संस्कृति का इतिहास अलग-अलग लोगों और अलग-अलग समय की कई विशेषताओं को जानता है। प्राचीन यूनानियों को एक दर्जन फ्रेट के बारे में पता था, और कुछ पूर्वी देशों और भारत के फ्रेट यूरोपीय सुनवाई के लिए बेहद जटिल, अजीब और असामान्य हैं। सबसे सामान्य आधुनिक मोड में सात मुख्य चरण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक में वृद्धि या कमी हो सकती है, जो पांच और अतिरिक्त ध्वनियां देती है। इस प्रकार, डायटोनिक (7-चरण) गामा झल्लाहट रंगीन (12-ध्वनि) में बदल जाता है। झल्लाहट का पहला चरण टॉनिक है। झल्लाहट की संरचना के नियम एक पूरे विज्ञान, संगीत विज्ञान की आधारशिला हैं, और कई वैज्ञानिकों और संगीतकारों ने इन कानूनों के अध्ययन के लिए अपना पूरा जीवन समर्पित किया है।

हम मुख्य रूप से गणितीय कानूनों में दिलचस्पी लेंगे जो झल्लाहट की संरचना का वर्णन करते हैं, अर्थात, संगीत प्रणाली। संगीत प्रणाली पिच रिश्तों की एक निश्चित प्रणाली की गणितीय अभिव्यक्ति है। विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक रुचि के अलावा, सिस्टम ध्वनियों के एक निश्चित पिच, जैसे कि पियानो या अंग के साथ संगीत वाद्ययंत्र ट्यूनिंग में आवेदन पाता है।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि पियानो पर कुंजियों को दबाने के साथ हमारे प्रयोग सबसे दुर्लभ और सबसे सुखद घटना के साथ समाप्त हो सकते हैं, जब लिया गया साउंड सिस्टम न केवल झल्लाहट से संबंधित होगा, बल्कि सार्थक भी होगा। विभिन्न ऊंचाइयों की ध्वनियों की ऐसी कलात्मक रूप से सार्थक अनुक्रमिक श्रृंखला को एक राग कहा जाता है। यह वही है जो हम अपने मनोदशा पर निर्भर करते हुए प्यार करते हैं - दुखी, उदास, हंसमुख ...

सैद्धांतिक संगीत विज्ञान में इस तरह के एक छोटे से भ्रमण के बाद, हम बुद्धिमान पाइथागोरस के समय में सनी हेलस के तट पर लौट सकते हैं। हम पायथागोरस प्रणाली का निर्माण करते समय पाइथागोरस और उसके छात्रों के तर्क को बहाल करने की कोशिश करेंगे, क्योंकि यह प्रणाली थी जो सहस्राब्दी के लिए निर्धारित की गई थी, अगर हमेशा के लिए, न केवल यूरोपीय, बल्कि पूर्वी भी, संगीत संस्कृति का संपूर्ण विकास। पाइथागोरस ने स्वयं कोई लिखित रचना नहीं छोड़ी थी, और पाइथागोरस की विरासत खंडहरों की एक आशाहीन ढेर लगती है, यानी गलती से बचे हुए टुकड़े और बाद में उद्धरण का एक संग्रह। निस्संदेह, ये खंडहर सुंदर हैं और अभी भी कल्पना को विस्मित करते हैं, प्रसिद्ध पार्थेनन के खंडहर की तरह, लेकिन इनमें से अधिकांश टुकड़े पूरी तरह से खो गए हैं और आप अक्सर केवल पूरे के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। और अभी तक ...

मोनोचॉर्ड - एकल-तार - प्राचीन यूनानियों के पहले संगीत वाद्ययंत्रों में से एक था। यह एक लंबा बॉक्स था, जिसमें ध्वनि को बढ़ाया गया था, जिस पर स्ट्रिंग खींची गई थी। नीचे से, स्ट्रिंग को एक अलग से लगने वाले भागों में विभाजित करने के लिए स्ट्रिंग को एक मोबाइल स्टैंड द्वारा खींचा गया था। स्ट्रिंग के नीचे एक लकड़ी के बक्से पर, डिवीजनों का एक पैमाना था, जिससे स्ट्रिंग ध्वनियों के किस भाग का सटीक निर्धारण करना संभव हो गया। बेशक, एक संगीत वाद्ययंत्र के रूप में, मोनोक्रोम हमें बहुत ही आदिम प्रतीत होगा, लेकिन यह एक उत्कृष्ट शारीरिक उपकरण और एक शिक्षण उपकरण था, जिस पर प्राचीन चिंतनकर्ताओं ने संगीत साक्षरता के ज्ञान का संकलन किया था।

पूर्वजों ने जोर देकर कहा कि पाइथागोरस पहले से ही मोनोक्रोम स्ट्रिंग के कंपन और संगीत व्यंजन (व्यंजन) के निर्माण के नियमों को जानते थे, हालांकि, हम इन कानूनों का रिकॉर्ड पाइथागोरियन आर्काइट ऑफ तरेंटस (428-365 ईसा पूर्व) से पाते हैं, जो पाइथागोरस की तुलना में एक सदी और बाद में रहते थे। । बेशक, पाइथोगोरियन स्कूल का सबसे प्रमुख प्रतिनिधि, दार्शनिक प्लेटो का दोस्त और गणितज्ञ यूडोक्सस का शिक्षक था (सी। 408 - सी। 355 ईसा पूर्व), एक राजनेता और कमांडर। अर्चितस की बहुमुखी प्रतिभा अद्भुत है: उन्होंने घन को दोगुना करने की प्रसिद्ध डी लॉस समस्या को हल किया, सबसे योग्य पाइथागोरसियन संगीत सिद्धांतकार माना जाता था, जो गणित पर आधारित यांत्रिकी को सुव्यवस्थित करने और ज्यामितीय चित्र के लिए तंत्र के आंदोलनों को कम करने के लिए सबसे पहले था, एक उड़ान कबूतर के लकड़ी के मॉडल पर काम करता था। वान डर वेर्डन के अनुसार, आर्क यूक्लिड की आठवीं पुस्तक "द बिगिनिंग" का लेखक है, जो अनुपात के अंकगणितीय सिद्धांत को निर्धारित करता है। एक राजनेता के रूप में, अर्चित का बहुत सम्मान किया गया: उन्हें लगातार सात साल ^* रणनीतिकार चुना गया, हालांकि कानून द्वारा, रणनीतिकारों को केवल एक वर्ष के लिए चुना गया था। कुशल कूटनीतिक युद्धाभ्यास के माध्यम से, अर्चित ने प्लेटो को कैद से बचाया और इस तरह महान दार्शनिक का जीवन बचाया। "शानदार आर्किटेक्ट्स, भूमि, और समुद्र, और रेत कैलकुलेटर ..." - होरेस ने लिखा है।

* ( रणनीतिकार - प्राचीन ग्रीक शहर-राज्यों में, एक सैन्य नेता शी-की सैन्य और राजनीतिक शक्तियों से संपन्न था ) ।

"पाइथागोरस-आर्चीइट के कानून", जिस पर संगीत का संपूर्ण पाइथागोरस सिद्धांत आधारित था, को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

1- लगने वाले तार की पिच (दोलन आवृत्ति f) इसकी लंबाई l के व्युत्क्रमानुपाती होती है:

(6.2)

यहाँ स्ट्रिंग के भौतिक गुणों (मोटाई, सामग्री, आदि) के आधार पर, आनुपातिकता का गुणांक है।

2. दो लगने वाले तार केवल व्यंजन देते हैं, जब उनकी लंबाई त्रिकोणीय संख्या 10 = 1 + 2 + 3 + 4, यानी 1: 2, 2: 3, 3: 4 के रूप में पूर्णांक के रूप में संदर्भित की जाती है।

ये अंतराल "परिपूर्ण व्यंजन" हैं, और उनके अंतराल गुणांक बाद में लैटिन नाम ^* दिए गए:

^* ( संगीत में अंतराल के नाम लैटिन अंक हैं, जो प्रारंभिक चरण के साथ अंतराल बनाने के पैमाने के क्रम संख्या को दर्शाते हैं: सप्तक - आठवें, पांचवें - पांचवें, चौथे - चौथे, आदि )

सप्टक

पाँच वस्तुओं का समूह

चौथाई गेलन

त्रिकोणीय संख्या 10

यह भी नोट किया गया कि स्वरों का सबसे पूर्ण संलयन एक सप्तक (2/1) द्वारा दिया जाता है, उसके बाद एक क्विंट (3/2) और एक चौथाई गेल (4/3), यानी फॉर्म के संबंध में छोटी संख्या n। अधिक व्यंजन अंतराल।

"पाइथागोरस का दूसरा नियम - आर्चीइट" और अब आश्चर्यजनक लगता है। हम पाइथागोरस के बारे में क्या कह सकते हैं, जिसे वह बस रोमांचित करता है! यहां उन्हें अपने पूरे दर्शन की पुष्टि मिली: पूर्णांक, इसके अलावा, tetraktis संख्या सब कुछ, यहां तक ​​कि संगीत पर शासन करते हैं! पाइथागोरस ने खुद को लंबे समय तक इंतजार नहीं किया और ब्रह्मांड की संरचना सहित जहां भी संभव हो, संगीत संबंधों के कानून को बढ़ाया।

इसलिए, यदि हम मोनोक्रोम स्ट्रिंग l ₁ की लंबाई के 1/12 के बराबर खंड l को लेते हैं, तो मोनोक्रोम स्केल को विभाजित करने की कीमत के रूप में, तो साथ में लंबाई के पूरे monochord स्ट्रिंग l ₁ = 12l लंबाई के अपने हिस्से ₂ = 6l के अनुरूप होगा - ध्वनि एक सप्तक है (l उच्च) ₂ / एल ₁ = एल / 2), एल ₃ = 9 एल - ध्वनि एक क्विंट अधिक है (एल ₃ / एल ₁ = 2/3) और एल ₄ = 8 एल - ध्वनि एक क्वार्ट उच्च (एल ₄ / एल ₁ = 3 = 4) है )। इस व्यंजन और इसकी परिभाषित संख्या 6, 8, 9, 12 को टेट्राद (चार) कहा जाता था। पाइथागोरस का मानना ​​था कि टेट्राद "वह पैमाना है जिसके अनुसार सायरन गाते हैं।" प्राचीन गीत, जो संगीत का प्रतीक बन गया था, को ट्यून करते समय, इसके चार तारों को टेट्राद के नियम के अनुसार ट्यून किया गया था, और शेष तारों की ट्यूनिंग झल्लाहट पर निर्भर थी जिसमें इसे बजाना था।

लेकिन प्राचीन विचारक के लिए अध्ययन की गई मात्राओं के संख्यात्मक मूल्यों को स्थापित करना पर्याप्त नहीं था। पाइथोगोरियन आंख और दिमाग न केवल मापने के लिए, बल्कि मापने के लिए भी आदी हैं, अर्थात्, अध्ययन किए गए विषयों के बीच आंतरिक संबंधों को प्रकट करने के लिए, दूसरे शब्दों में, आनुपातिक संबंध स्थापित करने के लिए। वास्तुकार एक सच्चा पाइथागोरस था, और उसने मुख्य परिपूर्ण व्यंजन के बीच आनुपातिक संबंध स्थापित किया - एक सप्तक, एक पांचवां और एक चौथा। यह निर्णय आर्किटेक्ट्स द्वारा ओक्टेव को सामंजस्यपूर्ण अंतराल में विभाजित करने की इच्छा के संबंध में प्राप्त किया गया था। शायद, आर्क सहज ज्ञान युक्त स्पष्ट धारणा पर आधारित है, जो एक साथ टन एफ ₁ और एफ ₂ = 2 एफ ₁ , मुख्य व्यंजन देते हैं - एक सप्तक, व्यंजन और उनके अंकगणित माध्य f ₃ = (एफ + एफ ₂ ) / 2 देना चाहिए। लेकिन तब स्ट्रिंग लंबाई l ₃ को स्ट्रिंग लंबाई l ₁ और l _{2 के} संदर्भ में (6.2) के अनुसार व्यक्त किया जाएगा:

यानी, l ₃ हार्मोनिक माध्य l ₁ और l _{2 है} (देखें 5.1)। इसके विपरीत का पता लगाना भी आसान है: फ़्रीक्वेंसी के लिए हार्मोनिक माध्य f ₁ और f ₂ लम्बाई l ₁ और l _{2 के} लिए अंकगणितीय माध्य में जाता है:

वो याद है आर्किटेक्ट्स के साथ, हम एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष पर आते हैं:

(6.3)


(6.4)

अर्थात्, पाँचवाँ मूल स्वर l ₁ और सप्तक l ₂ के तारों की लंबाई का हार्मोनिक माध्य है, और quart l ₁ और l ₂ का अंकगणितीय औसत है।

लेकिन अंकगणितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य का गुणनफल मूल संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है:

(6.5)

दो भागों को l ₁ ² से विभाजित करते हुए, हम दूसरा महत्वपूर्ण निष्कर्ष प्राप्त करते हैं:

(6.6)

या

अर्थात् , एक सप्तक एक चौथाई गेलन का उत्पाद है।

एल ₁ एल ₃ द्वारा विभाजित (6.5), आर्काइट को मुख्य अनुपात का तीसरा हिस्सा मिलता है - ज्यामितीय:

(6.7)

जिसे "संगीतमय" कहा जाता था: एक सप्तक एक क्विंट से संबंधित होता है जो एक मौलिक स्वर के लिए एक क्वार्ट के रूप में होता है ।

एक मोनोक्रोम स्ट्रिंग का विभाजन (एल ₁ ) उन भागों में होता है जो इसके साथ परिपूर्ण व्यंजन बनाते हैं: एक ऑक्टेव (एल ₂ ), एक पांचवें (एल ₃ ) और एक क्वार्ट (एल ₄ ) और उनके बीच के रिश्ते। अंतराल जो कि अपने भागों के साथ मोनोक्रोम के पूरे स्ट्रिंग को लाल तीरों द्वारा दिखाया गया है

दो और संबंध प्राप्त करना आसान है:

(6.8)

अर्थात्, सप्तक को दो असमान व्यंजन में विभाजित किया गया है - पाँचवाँ और चौथा । एक अंतराल जो इस अंतराल को एक सप्तक तक बढ़ाता है, उसे व्युत्क्रम कहा जाता है । इस प्रकार, क्विंट क्वार्ट का उलटा है और इसके विपरीत।

अंत में, हम क्विंट एल ₃ और क्वार्ट एल ₄ के तारों के बीच अंतराल गुणांक पाते हैं, जो एक साथ इसके अंतराल को टोन कहा जाता है (किसी दिए गए ऊंचाई के टोन-अंतराल और टोन-ध्वनि को भ्रमित न करें:

(6.9)

यानी, टोन अंतराल पाँचवें से चौथे के अनुपात के बराबर है ।

ध्यान दें कि, सीधी रेखा r ₂₁ = x ₂ - x ₁ पर सामान्य दूरी के विपरीत, अंत और शुरुआत के निर्देशांक के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है, अंतराल गुणांक - ऊंचाई की दूरी - इसके घटक टन के अनुपात के रूप में परिभाषित की गई है फिर तीन टन f ₁ <f ₂ <f ₃ बराबर दूरी r पर स्थित है और एक अंकगणितीय प्रगति x ₁ , x ₂ = x ₁ + r, x ₃ = x ₁ + 2r बना रहा है। इसलिए, अंतराल गुणांक जोड़ दिया जाता है और "ज्यामितीय रूप से" घटाया जाता है, और अंतराल खुद - "अंकगणित", सामान्य दूरी के रूप में, अर्थात्:

दो अंतराल का योग उनके अंतराल गुणांक के उत्पाद के बराबर है:

(6.10)

दो अंतराल का अंतर उनके अंतराल गुणांक के भागफल के बराबर है:

(6.11)

अंतराल को n बराबर भागों में विभाजित करने का अर्थ है अपने अंतराल गुणांक से डिग्री n की एक जड़ निकालना:

(6.12)

और टी। डी।

अंतराल गुणांक से दूरी के अंतराल पर जाने के लिए, लघुगणकीय अंतराल L = I को लॉग करने के लिए पर्याप्त है और लॉगरिदमिक आवृत्ति F = log f लॉग करें। फिर, परिभाषा का लघुगणक (6.1) और समानताएं (6.10) - (6.12) हमें दूरी के साथ सामान्य परिभाषा और कार्रवाई के नियम मिलते हैं:

(6.13)

ऑक्टेव डिवीजन की समस्या के समाधान ने आर्काइव को तर्कहीनता के तुरंत दो सबूत दिए । वास्तव में, यदि हम ऑक्टेव को दो बराबर अंतरालों में विभाजित करने का प्रयास करते हैं, तो, (6.8) I ₂₃ = I ₃₁ = I में डालते हैं, हमारे पास है

लेकिन स्ट्रिंग लंबाई के इस अनुपात के साथ, एक स्पष्ट असंगति सुनाई देती है। चूंकि व्यंजन फार्म के पूर्णांक (n + 1) के अनुपात से निर्धारित होता है: 2, विचार से पता चलता है कि संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात यह तर्कहीन है।

तर्कहीनता का दूसरा प्रमाण कम संगीतमय, लेकिन अधिक गणितीय। एक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए जो पूर्ण वर्ग नहीं है, अर्चित इसे दो असमान कारकों (2 = 1 * 2) में विघटित करता है, फिर अंकगणित का अर्थ 3/2 और हार्मोनिक का अर्थ इन कारकों से 4/3 है और इन संख्याओं से एक संगीत अनुपात तैयार करता है ( 6.7):

इस अनुपात के मध्य शब्दों का गुणनफल किसी दिए गए अंक 2 और उनके अंतर के बराबर है शून्य सन्निकटन 2 के अंतर से कम - 1 = 1. इसलिए, अनुमानित मूल्यों के रूप में माना जा सकता है ।

(अतिरिक्त के साथ 3/2, कमी के साथ 4/3]।

पहली सन्निकटन से अधिक प्रक्रिया करने के बाद, हम दूसरी सन्निकटन प्राप्त करते हैं:

और

और फिर तीसरी सन्निकटन:

और

1.414216-1.414211 = 0.000005।

चूंकि इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक दोहराया जा सकता है, यह स्पष्ट है कि संख्या तर्कहीन। रास्ते के साथ, हम पाइथोगोरियन विचार की शुद्धता के बारे में आश्वस्त हैं कि संबंध में पूर्णांक जितना बड़ा होता है, उतना ही सही वे अपरिमेय संख्या को व्यक्त करते हैं (देखें। पृष्ठ 96)। अंत में, उस अर्थ को याद करते हुए १.४१४२१३ के बराबर ..., हम देखते हैं कि अर्चित की "संगीतमय" पद्धति बहुत जल्दी सटीक मान में परिवर्तित होती है और पहले से ही तीसरा सन्निकटन पाँच सही दशमलव स्थान देता है!

लेकिन हमारे अंतराल पर वापस। तो, सप्तक को पांचवें और चौथे के दो असमान स्वरों में विभाजित किया गया है, और पांचवें - चौथे और असंगति से। टोन अंतराल को पाइथागोरसियन पैमाने का निर्माण करते समय ऊंचाई में पड़ोसी ध्वनियों (चरणों) के बीच के अंतराल के रूप में लिया गया था। यहाँ एक झल्लाहट निर्माण की कुंजी है। सोवियत संगीतज्ञ एल। ए। माजेल के अनुसार, पांचवें का अंतराल, जो एक क्वार्ट और टोन में विभाजित है, मुख्य संगीत तत्व है। स्वर को गठन की मुख्य विधा के रूप में चुनकर, प्राचीन सिद्धांतकारों को केवल मुख्य ध्वनि को अलग रखना होगा फिर दूसरा स्वर और दूसरे स्वर और क्वार्ट टोन के बीच शेष अंतराल कॉल हाफ़टोन यह नाम काफी न्यायसंगत है, क्योंकि सूत्र (6.12) के अनुसार टोन अंतराल को आधे में विभाजित करता है यानी, एक अर्धविराम लगभग आधे स्वर के बराबर है ^* । इस प्रकार सभी प्राचीन ग्रीक संगीत का आधार प्राप्त किया गया था - टेट्राकोर्ड - एक चौथाई गेलन के भीतर एक चार-तार वाला पैमाना।

^* ( संगीत सिद्धांत में स्वर का अंतराल) को अंतराल के अंकगणितीय माप की एक इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता है, और स्वर और अंतराल के अंतराल, उनके अंतराल गुणांक के विपरीत, बड़े और छोटे सेकंड कहलाते हैं। )

यह स्पष्ट है कि टेट्राकोर्ड के भीतर सेमिटोन की स्थिति के लिए केवल तीन संभावनाएं हैं, जो टेट्राकोर्ड की प्रकृति और नाम निर्धारित करती हैं:

डोरियन: हाफ़टोन - टोन - टोन;

फ़्रीजियन: टोन - सेमीटोन - टोन;

लिडियन: टोन - टोन - सेमीटोन ।

टेट्राकोर्ड्स के नाम ग्रीस और एशिया माइनर के संबंधित क्षेत्रों को इंगित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक ने अपने सद्भाव में गाया था।

बेशक, एक क्वार्ट के भीतर चार तार मेलोडी का नेतृत्व करने के लिए पर्याप्त नहीं थे, इसलिए टेट्राकोर्ड्स जुड़ा हुआ था। हमने पहले ही पता लगा लिया है कि एक सप्तक में दो क्वार्ट्स और एक टोन होते हैं; , , . , , «». «» — . :

1 , 1/2 — , . . , , , (2 — , 3 — , - - - - - - c - o ), — ^* .

^* ( «» , (1 — 1/2 — 1 — 1 — 1/2 — 1 — 1) , — . )

लिडियन सरगम ​​और इसकी गणितीय विशेषताओं की पाइथागोरस प्रणाली

, , , , , . . . f ₁ = 1, o : f ₁ = 1, f ₂ = ⁹ / ₈ , f ₃ = ⁹ / ₈ * ⁹ / ₈ = ⁸¹ / ₆₄ , f ₄ = ⁴ / ₃ . : f ₅ = ³ / ₂च _एल = ³ / ₂ , च ₆ = ³ / ₂ च ₂ = ²⁷ / ₁₆ , च ₇ = ³ / ₂ च ₃ = ₂₄₃ / ₁₂₈ , च ₈ = ³ / ₂ च ₄ = 2. अंत में, हम अंतराल गुणांक के लिए है

(6.14)

यह पाइथागोरस का कैनन है। किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के कैनन ने पहली बार पौराणिक ऑर्फ़ियस के गीत की धुन में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया।

. «» , . . , -(-), — - (-). 6 , (- — — ) . , . , , . , , . 1 , , , , — , . .

तालिका 1. प्राचीन फ्रीट्स (नीचे से ऊपर तक), प्राचीन यूनानी और मध्यकालीन नामों के फ्रीट और उनके झुकाव में टोन (1) और सेमीटोन (1/2) अंतराल का क्रम

यदि हम याद करते हैं कि अब केवल दो झटके हावी हैं - प्रमुख और मामूली, हम केवल आश्चर्य कर सकते हैं कि प्राचीन संगीत चेतना कितनी परिष्कृत थी। यूनानियों ने एक निश्चित नैतिक और सौंदर्य सामग्री, इसके "लोकाचार" के साथ प्रत्येक तरह से भरा, संगीत छवियों और आत्मा की अवस्थाओं के बीच एक स्पष्ट संबंध स्थापित किया। जादुई और यहां तक ​​कि चिकित्सा कार्यों को संगीत के लिए जिम्मेदार ठहराया गया था, लेकिन शिक्षा के साधन के रूप में संगीत के लिए विशेष महत्व जुड़ा हुआ था।

नाचते हुए मंसदा। राहत

, «» , . , , ,- (. 551-479 . . .), : « , — ». , , , . , , , , . , , , . , . , , . , , «» , , , , .

राजनीति में अरस्तू स्वतंत्रता का विरोध करता है, शायद प्लेटो से भी सख्त, मानस को प्रशिक्षित करने में सक्षम एक मोड के रूप में केवल डोरियन मोड को पहचानता है। फिर भी, अरस्तू ने विधाओं का एक विस्तृत "नैतिक" वर्गीकरण किया है, ऐसे विधाओं को परिभाषित किया है जो मानसिक संतुलन (डोरियन) का कारण बनते हैं, इसके विपरीत, इसका उल्लंघन करते हैं (हाइपोफ्रीजियन - "टेबल" मोड), उत्साह और इच्छा के लिए कार्रवाई (हाइपोडोरियन - ग्रीक त्रासदी की विधा)। एक परमानंद और परमानंद की स्थिति का कारण (Phrygian, hypolidian)।

हम प्राचीन रोमन लेखक एपुलेउस (सी। 124 -?) "फ्लोरिड्स" की पुस्तक में ग्रीक फ्रीट्स के "लोकाचार" का एक सुंदर वर्णन पाते हैं: "एंटीजेनाइड्स नामक एक फ़्लुइटिस्ट हुआ करते थे। इस संगीतकार के खेल में हर आवाज़ मधुर थी, सभी फ़ेर्ट्स उससे परिचित थे, और वह आपके लिए, आपकी पसंद के अनुसार, आइओलियन झल्लाहट की सादगी, इओनियन की संपत्ति, लिडियन की उदासी, फ्रिज़ियन की अभिलाषा, और डोरिया की उग्रता के अनुसार उसे फिर से बना सकता था। "

हालाँकि, बंद करो! क्या यहां विरोधाभास है? डोरियन मूड को जुझारू कहा जाता है, लेकिन वास्तव में, यह वास्तव में, हमारा नाबालिग है! चूंकि यह डोरियन मूड था जिसे वास्तव में ग्रीक माना जाता था, यह पता चला है कि ग्रीक संगीत का मुख्य चरित्र उदास, मामूली है। यूनानियों के लिए, डोरियन मूड जीवंतता, हंसमुखता और यहां तक ​​कि उग्रवाद की अभिव्यक्ति है। यह प्राचीनता के उत्कृष्ट समकालीन विद्वान, रूसी "चांदी की उम्र" के अंतिम दार्शनिक, प्रोफेसर ए। एफ। लोसेव (1893-1988) ^* बताते हैं: "यूनानी कला एक जीवनदायी जीवन की पुष्टि है।" महान संयम और यहां तक ​​कि उदासी भी ग्रीक को तब भी नहीं छोड़ती जब वह मज़े कर रहा होता है, जब वह ख़ुशी से अपने जीवन का निर्माण कर रहा होता है, जब वह युद्ध में मर रहा होता है। "मीरा" एक तरह से या इस सुंदर, महान, जोरदार, महत्वपूर्ण और एक ही समय में दु: खद शोक - डोरियन की ओर एक और गुरुत्वाकर्षण से मुक्त करती है। डोरियन मूड ग्रीक संगीत की मूर्तिकला शैली है ... इसलिए संपूर्ण ग्रीक मूर्तिकला बहुत विचारशील, उदास और महान है। "

^* ( अलेक्सी फेडोरोविच लोसेव का भाग्य खुश और दुखद है। वह खुश हैं क्योंकि उनके 95 साल के जीवन के आखिरी दिन तक लॉज़व ने अद्भुत कार्य क्षमता को बरकरार रखा और मुख्य कार्य को पूरा करने में कामयाब रहे - आठ-खंड "प्राचीन सौंदर्यशास्त्र का इतिहास।" दुखद, क्योंकि उनके कार्यों के अन्य आठ खंड लिखे गए हैं। आधी सदी पहले (1927 - 1930), वे शारीरिक रूप से पीड़ित थे, और लेखक खुद, अवैध रूप से दमित होने के नाते, व्हाइट सी-बाल्टिक नहर के निर्माण पर अपने दार्शनिक अनुसंधान को जारी रखा, जहां उन्होंने लिखा था: “जब मेरी आत्मा की रक्षा हो रही है, तो मैं जंजीर में बंध गया हूं शाश्वत और अनिर्वचनीय बल। "लोसेव द्वारा इनमें से एक काम करता है -" तर्क के विषय के रूप में संगीत "- इस पुस्तक के लिए एक मार्गदर्शक प्रकाश के रूप में काम कर सकता है। फिर भी, एएफ लोसेव का भाग्य खुश है, क्योंकि पांडुलिपियां जला नहीं करती हैं। आज, ए की महान दार्शनिक विरासत। एफ। लोसेव अपने पुनर्जन्म को प्राप्त करता है। )

लेकिन लिडियन तरीके के बारे में क्या? आखिरकार, यह वास्तव में हमारा प्रमुख है, जबकि एपुलेउस इसे दुखी कहता है, और प्लेटो - अंतिम संस्कार! खैर, लिडियन झल्लाहट का आकलन करने में, अरस्तू प्लेटो के साथ सहमत नहीं था, लिडियन झल्लाहट में भोलापन और आकर्षण खोजना और इसे मानसिक संतुलन का कारण बनने वाले झल्लाहट के लिए जिम्मेदार ठहराया। समय के साथ, लिडियन मोड ने अपना दुस्साहसी चरित्र खो दिया है, और प्राचीन सिद्धांतकारों ने "स्वीट लिडियन मेलोडी" या "विविध लिडियन माधुर्य" के बारे में अधिक बार बात करना शुरू कर दिया।

इस प्रकार, हम देखते हैं कि मालियों के "लोकाचार" का प्रश्न स्पष्ट रूप से हल नहीं किया गया है और मोटे तौर पर इस या उस झल्लाहट को लागू करने की परंपरा से निर्धारित होता है। और हमारे समय में, श्रोता, उदाहरण के लिए, एक सूक्ष्म और अजीब भारतीय संगीत में, प्रमुख और मामूली के बीच अंतर नहीं करता है, न कि उनके "लोकाचार" का उल्लेख करने के लिए। बेशक, प्रमुख मनोदशा लाइटर और अधिक हर्षित स्वरों द्वारा प्रतिष्ठित है, और इसके लिए उद्देश्यपूर्ण कारण हैं, जिन्हें हम अध्याय 10 में चर्चा करेंगे। लेकिन इन संभावनाओं की प्राप्ति अन्य कारकों (टेम्पो, ताल, मधुर पैटर्न, आदि) के एक मेजबान पर निर्भर करती है, और इसलिए वहाँ हैं कई हंसमुख, ऊर्जावान मामूली और दुख की बात है, प्रमुख में काम करता है। हमें कम से कम "बीनाटॉन सोनाटा" को मामूली बीथोवेन में याद करते हैं, नायक के इस उग्र-जुनून वाले एकालाप, एक भयंकर लड़ाई और यहां तक ​​कि मौत भी। कई कलाकारों ने इस सोनाटा (हालांकि, शायद, उनमें से सबसे अच्छा - दयनीय - खुद बीथोवेन से संबंधित है) के लिए कई प्रसंगों को उठाया, लेकिन इसे केवल उदास नहीं कहा जा सकता - नाबालिग। इसके विपरीत, Nocturne नंबर 2 सेशन। चोपिन के 9 वें फ्लैट के प्रमुख को कोमल श्रद्धा के मूड के साथ अनुमति दी गई है। ये लेखक की धुंधली उदास यादें हैं, लेकिन किसी भी तरह से एक हंसमुख - प्रमुख - नाटक नहीं हैं। अंत में, हम "अंतराल के लोकाचार" के बारे में कुछ शब्द कहने की कोशिश करते हैं, क्योंकि वर्तमान अध्याय संगीत अंतराल के विश्लेषण के लिए समर्पित है। हम कोशिश करेंगे, क्योंकि यह मुद्दा "लोकाचार के लोकाचार" से भी अधिक विवादास्पद और अविकसित है। और अभी तक ...

अब तक, हमने "सबसे उत्तम व्यंजन" के बारे में कुछ भी नहीं कहा है - प्राइमा (यूनिसन) (एल ₂ / एल ₁ = 1, यानी दो तार एक ही ऊंचाई की ध्वनि पैदा करते हैं), क्योंकि गणित की दृष्टि से यह अंतराल रुचि का नहीं है। हालांकि, ऑर्केस्ट्रा में, यह सबसे सरल अंतराल एक विशाल भूमिका निभाता है, जिससे यह ध्वनि की मात्रा और चमक मिलती है।

अगला सही व्यंजन है सप्तक। इसी समय, ओक्टेव भी एक तीन आयामी ध्वनि की छाप देता है, और एक अनुक्रमिक ध्वनि के साथ, विशालता और चौड़ाई की भावना। संगीतकार आई। ओ। ड्यूनेवस्की (1900-1955) द्वारा इसका एक उत्कृष्ट चित्रण "मातृभूमि का गीत" है। उसकी कोरस में ("मॉस्को से सरहद तक ..."), एक आरोही सप्तक (l ₁ / l ₂ = 2) हमारी मातृभूमि के विशाल विस्तार को चित्रित करते हुए, दो बार लगता है। यहां, दो सप्तक के बाद, एक आरोही पांचवें है। एक क्विंटा (l ₁ / l ₂ = 3/2) भी विस्तृत, लेकिन एक सप्तक की तुलना में अधिक बनावट और गतिशील है।

कई क्रांतिकारी गीतों और भजनों की धुन आरोही क्वार्ट (l ₁ / l ₂ = 4/3) के अंतराल के साथ शुरू होती है, उदाहरण के लिए, सोवियत संघ, मार्सिले का अंतर्राष्ट्रीय, गान। यहां, कॉल करने का अंतराल पूरी तरह से और सक्रिय रूप से लगता है, जैसे कॉल टू एक्शन।

एक दूसरे के अंतराल में एक विशेष "लोकाचार" होता है: एक साथ ध्वनि के साथ, यह असंगत और अप्रिय है, लेकिन क्रमिक ध्वनि के साथ अगले एक में पिछले एक से अधिक हो जाता है, जिससे एक ध्वनि से दूसरी ध्वनि का प्राकृतिक प्रवाह होता है। एक राग में, दो संदर्भ ध्वनियों के बीच के अंतराल को अक्सर दूसरे दूसरे अंतराल में भरा जाता है। उदाहरण के लिए, गीत "ए बिर्च स्टूड इन द फील्ड" लगातार पांचवें सेकंड से भरा अंतराल के साथ शुरू होता है, जो रूसी प्रकृति के स्थिर और शांत चित्रों की तरह, मेलोडी के एक शांत और स्थिर प्रवाह की छाप देता है।

और सबसे अप्रिय और असंगति अंतराल ट्राइटन या अर्ध-सप्तक (एल ₁ / एल ₂ =) है )। अपनी असंगति से, इस अंतराल ने तर्कहीनता के "संगीत प्रमाण" के लिए "आर्चिट" को प्रेरित किया ।

पुस्तक को डिजिटाइज़ करने के लिए गणित की लाइब्रेरी का धन्यवाद।