रिचर्ड हैमिंग: अध्याय 10. कोडिंग सिद्धांत - I

"इस पाठ्यक्रम का लक्ष्य आपको अपने तकनीकी भविष्य के लिए तैयार करना है।"

हाय, हैब्र। "आप और आपके काम" (+219, 2442 बुकमार्क, 394k पढ़ता है) का भयानक लेख याद है?

इसलिए हेमिंग (हाँ, हाँ, स्व-जाँच और स्वयं-सही हैमिंग कोड ) में उनके व्याख्यानों के आधार पर एक पूरी पुस्तक लिखी गई है। हम इसका अनुवाद कर रहे हैं, क्योंकि आदमी व्यवसाय की बात कर रहा है।

यह किताब सिर्फ आईटी के बारे में नहीं है, यह अविश्वसनीय रूप से शांत लोगों की सोच शैली के बारे में एक किताब है। “यह सिर्फ सकारात्मक सोच का आरोप नहीं है; यह उन परिस्थितियों का वर्णन करता है जो एक महान काम करने की संभावना को बढ़ाते हैं। ”

हमने पहले ही 28 (30 में से) अध्याय का अनुवाद किया है। और हम एक पेपर संस्करण पर काम कर रहे हैं ।

कोडिंग सिद्धांत - I

कंप्यूटर और उनके काम के सिद्धांत पर विचार करने के बाद, हम अब सूचना के मुद्दे पर विचार करेंगे: कंप्यूटर उन सूचनाओं का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं जिन्हें हम संसाधित करना चाहते हैं। किसी भी वर्ण का अर्थ इस बात पर निर्भर कर सकता है कि इसे कैसे संसाधित किया जाता है, मशीन का उपयोग किए गए बिट के लिए कोई विशिष्ट अर्थ नहीं है। सॉफ्टवेयर के इतिहास पर चर्चा करते हुए, अध्याय 4, हमने कुछ सिंथेटिक प्रोग्रामिंग भाषा पर विचार किया, जिसमें ब्रेक निर्देश का कोड अन्य निर्देशों के कोड के साथ मेल खाता था। यह स्थिति अधिकांश भाषाओं के लिए विशिष्ट है, निर्देश का अर्थ संगत कार्यक्रम द्वारा निर्धारित किया जाता है।

जानकारी प्रस्तुत करने की समस्या को सरल बनाने के लिए, हम बिंदु से बिंदु तक सूचना प्रसारित करने की समस्या पर विचार करते हैं। यह सवाल संरक्षण सूचना के मुद्दे से संबंधित है। सूचना को समय और स्थान में स्थानांतरित करने की समस्याएं समान हैं। चित्र 10.1 सूचना प्रसारित करने के लिए एक मानक मॉडल दिखाता है।



चित्र 10.1

चित्र में बाईं ओर 10.1 सूचना का स्रोत है। मॉडल पर विचार करते समय, हम स्रोत की प्रकृति के बारे में परवाह नहीं करते हैं। यह वर्णमाला, संख्याओं, गणितीय सूत्रों, संगीत नोट्स, प्रतीकों का एक सेट हो सकता है जिसके साथ हम नृत्य आंदोलनों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं - स्रोत की प्रकृति और इसमें संग्रहीत प्रतीकों का अर्थ ट्रांसमिशन मॉडल का हिस्सा नहीं है। हम केवल जानकारी के स्रोत पर विचार करते हैं, इस तरह के प्रतिबंध से हमें एक शक्तिशाली, सामान्य सिद्धांत प्राप्त होता है जिसे कई क्षेत्रों तक बढ़ाया जा सकता है। यह कई अनुप्रयोगों से एक अमूर्त है।

जब शैनन ने 1940 के दशक के अंत में सूचना का सिद्धांत बनाया, तो यह माना जाता था कि इसे संचार का सिद्धांत कहा जाना चाहिए, लेकिन उन्होंने शब्द की जानकारी पर जोर दिया। यह शब्द ब्याज में वृद्धि और सिद्धांत में निरंतर निराशा दोनों का एक निरंतर कारण बन गया है। जांचकर्ता पूरी "सूचना सिद्धांतों" का निर्माण करना चाहते थे, उन्होंने पात्रों के एक समूह के सिद्धांत में अध: पतन किया। ट्रांसमिशन मॉडल में लौटने पर, हमारे पास एक डेटा स्रोत है जिसे ट्रांसमिशन के लिए एन्कोड किया जाना चाहिए।

एनकोडर में दो भाग होते हैं, पहले भाग को स्रोत एनकोडर कहा जाता है, सटीक नाम स्रोत के प्रकार पर निर्भर करता है। विभिन्न प्रकार के डेटा के स्रोत विभिन्न प्रकार के एनकोडर के अनुरूप हैं।

एन्कोडिंग प्रक्रिया का दूसरा भाग चैनल एन्कोडिंग कहलाता है और डेटा ट्रांसमिट करने के लिए चैनल के प्रकार पर निर्भर करता है। इस प्रकार, एन्कोडिंग प्रक्रिया का दूसरा भाग ट्रांसमिशन चैनल के प्रकार के अनुरूप है। इस प्रकार, मानक इंटरफेस का उपयोग करते समय, स्रोत से डेटा शुरू में इंटरफ़ेस की आवश्यकताओं के अनुसार एन्कोड किया जाता है, और फिर उपयोग किए गए डेटा चैनल की आवश्यकताओं के अनुसार।

मॉडल के अनुसार, छवि 10.1 में, डेटा चैनल "अतिरिक्त यादृच्छिक शोर" के संपर्क में है। इस बिंदु पर सिस्टम का सारा शोर संयुक्त है। यह माना जाता है कि एनकोडर विरूपण के बिना सभी वर्णों को स्वीकार करता है, और डिकोडर त्रुटियों के बिना अपना कार्य करता है। यह कुछ आदर्श है, लेकिन कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए यह वास्तविकता के करीब है।

डिकोडिंग चरण में भी दो चरण होते हैं: चैनल - मानक, मानक - डेटा रिसीवर। डेटा अंत में उपभोक्ता को हस्तांतरित किया जाता है। और फिर, हम इस बात पर विचार नहीं कर रहे हैं कि उपभोक्ता इस डेटा की व्याख्या कैसे करेगा।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक डेटा ट्रांसमिशन सिस्टम, उदाहरण के लिए, टेलीफोन संदेश, रेडियो, टीवी कार्यक्रम, कंप्यूटर के रजिस्टरों में संख्याओं के एक सेट के रूप में डेटा प्रस्तुत करता है। मैं फिर से दोहराता हूं, अंतरिक्ष में संचरण समय या भंडारण जानकारी में संचरण से अलग नहीं है। क्या आपके पास जानकारी है जो थोड़ी देर के बाद आवश्यक हो जाएगी, फिर इसे एन्कोड किया जाना चाहिए और डेटा स्टोरेज स्रोत पर संग्रहीत किया जाना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो सूचना को डिकोड किया गया है। यदि कोडिंग और डिकोडिंग सिस्टम समान है, तो हम परिवर्तन के बिना ट्रांसमिशन चैनल के माध्यम से डेटा प्रसारित करते हैं।

प्रस्तुत सिद्धांत और भौतिकी में सामान्य सिद्धांत के बीच मूलभूत अंतर यह धारणा है कि स्रोत और रिसीवर में कोई शोर नहीं है। वास्तव में, किसी भी उपकरण में त्रुटियां होती हैं। क्वांटम यांत्रिकी में, अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार किसी भी स्तर पर शोर होता है, और प्रारंभिक स्थिति के रूप में नहीं; किसी भी मामले में, सूचना सिद्धांत में शोर की अवधारणा क्वांटम यांत्रिकी में एक समान अवधारणा के बराबर नहीं है।
निश्चितता के लिए, हम आगे सिस्टम में डेटा प्रतिनिधित्व के द्विआधारी रूप पर विचार करेंगे। अन्य रूपों को एक समान तरीके से संसाधित किया जाता है, सादगी के लिए हम उन पर विचार नहीं करेंगे।

हम चर-लंबाई एन्कोड किए गए वर्णों के साथ सिस्टम के बारे में हमारे विचार शुरू करते हैं, जैसे कि डॉट्स और डैश के शास्त्रीय मोर्स कोड में, जिसमें अक्सर होने वाले वर्ण कम होते हैं और दुर्लभ लंबे होते हैं। यह दृष्टिकोण आपको उच्च कोड दक्षता प्राप्त करने की अनुमति देता है, लेकिन यह ध्यान देने योग्य है कि मोर्स कोड टर्नरी है, बाइनरी नहीं है, क्योंकि इसमें डॉट्स और डैश के बीच एक स्थान होता है। यदि कोड के सभी वर्ण समान लंबाई के हैं, तो ऐसे कोड को ब्लॉक कोड कहा जाता है।

कोड की पहली स्पष्ट आवश्यक संपत्ति शोर की अनुपस्थिति में संदेश को विशिष्ट रूप से डिकोड करने की क्षमता है, कम से कम यह वांछित संपत्ति प्रतीत होती है, हालांकि कुछ स्थितियों में इस आवश्यकता की उपेक्षा की जा सकती है। रिसीवर के लिए ट्रांसमिशन चैनल से डेटा शून्य और लोगों के पात्रों की एक धारा की तरह दिखता है।

हम दो आसन्न वर्णों को एक डबल एक्सटेंशन, तीन आसन्न वर्णों को एक ट्रिपल एक्सटेंशन कहेंगे, और सामान्य स्थिति में, यदि हम N वर्णों को अग्रेषित करते हैं, तो रिसीवर N वर्णों के आधार कोड में परिवर्धन देखता है। रिसीवर, एन के मूल्य को नहीं जानता है, धारा को प्रसारण ब्लॉकों में विभाजित करना चाहिए। या, दूसरे शब्दों में, रिसीवर को मूल संदेश को पुनर्स्थापित करने के लिए स्ट्रीम को विशिष्ट रूप से विघटित करने में सक्षम होना चाहिए।

वर्णों की एक छोटी संख्या की वर्णमाला पर विचार करें, आमतौर पर अक्षर बहुत बड़े होते हैं। भाषाओं के अक्षर 16 से 36 अक्षरों से शुरू होते हैं, जिनमें ऊपरी और निचले मामले के अक्षर, संख्या चिह्न, विराम चिह्न शामिल हैं। उदाहरण के लिए, ASCII तालिका में 128 = 2 ^ 7 वर्ण।
एक विशेष कोड पर विचार करें जिसमें 4 वर्ण s1, s2, s3, s4 शामिल हैं

s1 = 0; s2 = 00; s3 = 01; s4 = 11।

रिसीवर को अगले प्राप्त अभिव्यक्ति की व्याख्या कैसे करनी चाहिए

0011 ?

कैसे s1s1s4 या कैसे s2s4 ?

आप इस प्रश्न का स्पष्ट जवाब नहीं दे सकते, यह कोड निश्चित रूप से डिकोड नहीं किया गया है, इसलिए, यह असंतोषजनक है। दूसरी ओर कोड

s1 = 0; s2 = 10; s3 = 110; s4 = 111

संदेश को अनूठे तरीके से डिकोड करता है। एक मनमाना स्ट्रिंग लें और विचार करें कि रिसीवर इसे कैसे डिकोड करेगा। आपको एक डिकोडिंग ट्री बनाने की आवश्यकता है जैसा कि चित्र 10.II में है। पंक्ति

110100001001101111100010100110 ...

पात्रों के ब्लॉक में तोड़ा जा सकता है

110, 10, 0, 10, 0, 110, 111, 0, 0, 0, 10, 10, 0, 110, ...

डिकोडिंग ट्री बनाने के लिए निम्नलिखित नियम के अनुसार:

यदि आप पेड़ के शीर्ष पर हैं, तो अगला चरित्र पढ़ें। जब आप एक पेड़ के पत्ते पर पहुंचते हैं, तो आप अनुक्रम को एक चरित्र में बदल देते हैं और शुरू में वापस जाते हैं।

इस तरह के पेड़ के अस्तित्व का कारण यह है कि कोई भी चरित्र दूसरे का उपसर्ग नहीं है, इसलिए आप हमेशा जानते हैं कि आपको डिकोडिंग पेड़ की शुरुआत में वापस जाने की आवश्यकता है।

निम्नलिखित पर ध्यान देना आवश्यक है। सबसे पहले, डिकोडिंग एक सख्ती से स्ट्रीम प्रक्रिया है, जिसमें प्रत्येक बिट की केवल एक बार जांच की जाती है। दूसरे, प्रोटोकॉल में आमतौर पर वर्ण शामिल होते हैं जो डिकोडिंग प्रक्रिया के अंत का एक मार्कर होते हैं और संदेश के अंत को इंगित करने के लिए आवश्यक होते हैं।

अनुगामी चरित्र का उपयोग करने में विफलता कोड डिजाइन में एक सामान्य गलती है। बेशक, आप एक निरंतर डिकोडिंग मोड प्रदान कर सकते हैं, जिस स्थिति में अनुगामी चरित्र की आवश्यकता नहीं है।



चित्र 10.II

अगला प्रश्न कोड (तत्काल) डिकोडिंग के लिए कोड है। वर्ण प्रदर्शित करके पिछले एक से प्राप्त कोड पर विचार करें

s1 = 0; s2 = 01; s3 = 011; s4 = 111।

मान लीजिए हमें अनुक्रम 011111 ... 111 मिलता है । जिस तरह से आप संदेश पाठ को डिकोड कर सकते हैं, वह केवल 3 बिट्स के समूह से समूह बिट्स में समूह बनाना है और एक प्रमुख शून्य वाले समूह का चयन करें, जिसके बाद आप डिकोड कर सकते हैं। इस तरह के कोड को अनूठे तरीके से डिकोड किया जाता है, लेकिन तुरंत नहीं! डिकोडिंग के लिए, आपको अंतरण की प्रतीक्षा करनी चाहिए! व्यवहार में, यह दृष्टिकोण डिकोडिंग दर (मैकमिलन की प्रमेय) को समाप्त करता है, इसलिए, तत्काल कोडिंग के तरीकों की तलाश करना आवश्यक है।

एक ही चरित्र को सांकेतिक शब्दों में बदलना करने के दो तरीकों पर विचार करें, Si:

s1 = 0; s2 = 10; s3 = 110; s4 = 1110, s5 = 1111,

इस विधि के डिकोडिंग ट्री को चित्र 10.III में दिखाया गया है।



चित्र 10.III

दूसरा तरीका

s1 = 00; s2 = 01; s3 = 100; s4 = 110, s5 = 111 ,

इस देखभाल के डिकोडिंग ट्री को चित्र 10.IV में दिखाया गया है।

कोड गुणवत्ता को मापने का सबसे स्पष्ट तरीका संदेशों के एक सेट की औसत लंबाई है। इसके लिए, पी की घटना की इसी संभावना से गुणा किए गए प्रत्येक वर्ण की कोड लंबाई की गणना करना आवश्यक है। इस प्रकार, पूरे कोड की लंबाई प्राप्त की जाती है। Q वर्णों की वर्णमाला के लिए कोड की औसत लंबाई L के लिए सूत्र निम्नानुसार है



जहां पाई प्रतीक सी के होने की संभावना है, ली एन्कोडेड प्रतीक की संबंधित लंबाई है। कुशल कोड के लिए, L का मान जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए। यदि P1 = 1/2, P2 = 1/4, p3 = 1/8, p4 = 1/16 और p5 = 1/16 है, तो कोड # 1 के लिए हमें कोड लंबाई मान मिलता है



और कोड # 2 के लिए



प्राप्त मूल्य पहले कोड की प्राथमिकता को इंगित करते हैं।
यदि वर्णमाला के सभी शब्दों में घटना होने की संभावना समान है, तो दूसरा कोड अधिक बेहतर होगा। उदाहरण के लिए, pi = 1/5 के साथ, कोड की लंबाई # 1



और कोड की लंबाई # 2



यह परिणाम 2 कोड के लिए प्राथमिकता दिखाता है। इस प्रकार, "अच्छा" कोड विकसित करते समय, पात्रों की घटना की संभावना पर विचार करना आवश्यक है।



चित्र 10.IV



चित्र 10. वी

क्राफ्ट असमानता पर विचार करें, जो प्रतीक कोड ली की लंबाई का सीमा मूल्य निर्धारित करता है। आधार 2 में, असमानता का प्रतिनिधित्व किया जाता है



यह असमानता बताती है कि वर्णमाला में बहुत अधिक छोटे अक्षर नहीं हो सकते हैं, अन्यथा यह राशि काफी बड़ी होगी।

किसी भी तेज अद्वितीय डिकोड कोड के लिए क्राफ्ट असमानता को साबित करने के लिए, हम एक डिकोडिंग ट्री का निर्माण करते हैं और गणितीय इंडक्शन की विधि लागू करते हैं। यदि एक पेड़ में एक या दो पत्ते हैं, जैसा कि चित्र 10. वी में दिखाया गया है, तो असमानता कोई संदेह नहीं है। इसके अलावा, यदि पेड़ के दो से अधिक पत्ते हैं, तो हम लंबे मी के पेड़ को दो उपप्रकारों में विभाजित करते हैं। प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, हम मानते हैं कि असमानता ऊंचाई एम -1 या उससे कम की प्रत्येक शाखा के लिए सही है। प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक शाखा में असमानता को लागू करना। K 'और K' 'शाखाओं के कोड की लंबाई को अस्वीकार करें। एक पेड़ की दो शाखाओं को मिलाते समय, प्रत्येक की लंबाई 1 से बढ़ जाती है, इसलिए, कोड की लंबाई में K '/ 2 और K' '/ 2 होते हैं।



प्रमेय सिद्ध है।

मैकमिलन के प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें। हम क्राफ्ट असमानता को कूट-कूट कर कूटते हैं। प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि किसी भी संख्या K> 1 के लिए, संख्या की nth शक्ति स्पष्ट रूप से n के एक रैखिक कार्य से अधिक है, जहां n एक बड़ी संख्या है। हम एनटीटी पावर को क्राफ्ट असमानता बढ़ाते हैं और अभिव्यक्ति को एक योग के रूप में पेश करते हैं



जहां Nk की लंबाई के वर्णों की संख्या है, वर्ण का न्यूनतम प्रतिनिधित्व nth की लंबाई के साथ शुरू होता है और अधिकतम लंबाई nl के साथ समाप्त होता है, जहां l एन्कोडेड वर्ण की अधिकतम लंबाई है। अद्वितीय डिकोडिंग की आवश्यकता से यह निम्नानुसार है। राशि के रूप में प्रस्तुत किया गया है



यदि K> 1 है, तो असमानता को गलत बनने के लिए पर्याप्त रूप से n बड़ा स्थापित करना आवश्यक है। इसलिए, के <= 1; मैकमिलन का प्रमेय सिद्ध है।

क्राफ्ट असमानता के आवेदन के कुछ उदाहरणों पर विचार करें। क्या 1, 3, 3, 3 की लंबाई के साथ विशिष्ट डिकोडेड कोड मौजूद हो सकता है? हाँ, तब से



1, 2, 2, 3 की लंबाई के बारे में क्या? सूत्र के अनुसार गणना करें



असमानता का उल्लंघन! इस कोड में बहुत कम वर्ण हैं।

कोमा कोड ऐसे कोड होते हैं जो वर्ण 1 से मिलकर होते हैं, जो किसी वर्ण 0 से समाप्त होता है, जिसमें अंतिम वर्ण अपवाद होता है जिसमें सभी शामिल होते हैं। विशेष मामलों में से एक कोड है।

s1 = 0; s2 = 10; s3 = 110; s4 = 1110; s5 = 11111।

इस कोड के लिए, हम क्राफ्ट असमानता के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं



इस मामले में, हम समानता हासिल करते हैं। यह देखना आसान है कि बिंदु कोड के लिए, क्राफ्ट असमानता समानता में बदल जाती है।

एक कोड का निर्माण करते समय, आपको क्राफ्ट की मात्रा पर ध्यान देने की आवश्यकता होती है। यदि क्राफ्ट राशि 1 से अधिक होने लगती है, तो यह औसत कोड लंबाई को कम करने के लिए एक अलग लंबाई के चरित्र को शामिल करने की आवश्यकता के बारे में एक संकेत है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि क्राफ्ट की असमानता का मतलब यह नहीं है कि यह कोड विशिष्ट रूप से डिकोडेबल है, लेकिन यह कि इस तरह की लंबाई के पात्रों के साथ एक कोड है जो विशिष्ट रूप से डिकोड किया गया है। एक यूनिक डीकोड कोड बनाने के लिए, आप बाइनरी ली के साथ बिट्स ली में संबंधित लंबाई असाइन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, लंबाई 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4 के लिए, हम क्राफ्ट असमानता प्राप्त करते हैं।



इसलिए, इस तरह का एक अनूठा डिकोड स्ट्रीम कोड मौजूद हो सकता है।

s1 = 00; s2 = 01; s3 = 100; s4 = 101;

s5 = 1100; s6 = 1101; s7 = 1110; s8 = 1111;

मैं इस बात पर ध्यान देना चाहता हूं कि जब हम विचारों का आदान-प्रदान करते हैं तो वास्तव में क्या होता है। उदाहरण के लिए, इस समय मैं विचार को अपने सिर से आपके पास स्थानांतरित करना चाहता हूं। मैं कुछ शब्दों का उच्चारण करता हूं जिनके माध्यम से, मेरा मानना ​​है कि आप इस विचार को समझ सकते हैं

लेकिन जब थोड़ा बाद में आप इस विचार को अपने मित्र को बताना चाहते हैं, तो आप लगभग निश्चित रूप से पूरी तरह से अलग शब्दों का उच्चारण करेंगे। वास्तव में, अर्थ या अर्थ किसी भी विशिष्ट शब्दों के भीतर संलग्न नहीं है। मैंने कुछ शब्दों का उपयोग किया है, और आप एक ही विचार को व्यक्त करने के लिए पूरी तरह से अलग-अलग लोगों का उपयोग कर सकते हैं। इस प्रकार, विभिन्न शब्द एक ही जानकारी को व्यक्त कर सकते हैं। लेकिन, जैसे ही आप अपने वार्ताकार को बताते हैं कि आप संदेश को नहीं समझते हैं, तो एक नियम के रूप में वार्ताकार अर्थ को व्यक्त करने के लिए, दूसरे या तीसरे नंबर के शब्दों का एक अलग सेट का चयन करेगा। इस प्रकार, जानकारी विशिष्ट शब्दों के एक सेट में संलग्न नहीं है। जैसे ही आप इन या उन शब्दों को प्राप्त करते हैं, तब आप बहुत सारे काम करते हैं जब शब्दों को इस विचार में अनुवाद करते हैं कि वार्ताकार आपको बताना चाहता है।

हम वार्ताकार का अनुकूलन करने के लिए शब्दों का चयन करना सीखते हैं। एक मायने में, हम अपने विचारों और चैनल में शोर के स्तर से मेल खाते शब्दों का चयन करते हैं, हालांकि इस तरह की तुलना उस मॉडल को सटीक रूप से प्रतिबिंबित नहीं करती है जिसका उपयोग मैं डिकोडिंग प्रक्रिया में शोर का प्रतिनिधित्व करने के लिए करता हूं। बड़े संगठनों में, एक गंभीर समस्या यह है कि दूसरे व्यक्ति ने जो कहा है उसे सुनने के लिए वार्ताकार की अक्षमता है। वरिष्ठ पदों पर, कर्मचारी सुनते हैं कि वे क्या सुनना चाहते हैं। कुछ मामलों में, आपको यह याद रखने की आवश्यकता है जब आप कैरियर की सीढ़ी को ऊपर ले जाते हैं। औपचारिक रूप में सूचना का प्रस्तुतीकरण हमारे जीवन की प्रक्रियाओं का एक आंशिक प्रतिबिंब है और कंप्यूटर अनुप्रयोगों में औपचारिक नियमों की सीमाओं से परे व्यापक अनुप्रयोग पाया है।

जारी रखने के लिए ...

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वैसे, हमने एक और शांत पुस्तक का अनुवाद भी शुरू किया - "द ड्रीम मशीन: द हिस्ट्री ऑफ द कंप्यूटर रिवोल्यूशन" )