बोशर्नित्सन की प्रमेय

लेख एक सरल प्रमाण देता है कि एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस की खुद की मैपिंग, दूरी को कम नहीं करना, एक आइसोमेट्री है।

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प्रदर्शन $$$f: E \ rightarrow E$ मीट्रिक के साथ मीट्रिक स्थान $$$\ rho (\ cdot, \ cdot)$ अगर किसी के लिए आइसोमेट्री कहा जाता है $$$x, y $ E मे$ निष्पक्ष समानता $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ । यहाँ हम निम्नलिखित कथन को सिद्ध करते हैं:

प्रमेय। अगर $$$f: E \ rightarrow E$ अपने आप में एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान की मैपिंग ऐसी

$$$\ rho (x, y) \ leq \ rho (f (x), f (y)) (1)$

किसी के लिए $$$x, y $ E मे$ फिर मैपिंग करें $$$च$ - आइसोमेट्री।

मीट्रिक कॉम्पैक्ट सेट के बारे में कुछ सरल कथनों को याद करें और आगे के विस्तार के लिए आवश्यक कुछ सम्मेलनों और परिभाषाओं को प्रस्तुत करें।

के माध्यम से $$$| A |$ हम एक परिमित सेट के तत्वों की संख्या को निरूपित करते हैं $$$ए$ ।

के लिए $$ और $$$\ varepsilon> 0$ बहुत $$$Q_ {x, \ varepsilon} = \ {y: y \ _ in, \ rho (x, y) <\ varepsilon \}$ चलो बुलावा आया $$$\ _ varepsilon$ -अभिनय बिंदु $$$x$ (या खुली गेंद पर केंद्रित $$$x$ और त्रिज्या $$$\ _ varepsilon$ )।

परिमित सेट $$$A \ सब्सेट E$ बुला लेंगे $$$\ _ varepsilon$ में नेटवर्क $$$ई$ (या सिर्फ $$$\ _ varepsilon$ -network) यदि किसी बिंदु के लिए $$ एक बिंदु है $$$य \ _ $$ ऐसा है $$$\ rho (x, y) <\ _ varepsilon$ । बहुत $$$B \ सब्सेट E$ बुला लेंगे $$$\ _ varepsilon$ -क्या हुआ अगर $$$\ rho (x, y) \ geq \ varepsilon$ किसी के लिए $$$x, y $ B मे$ ऐसा है $$$x \ neq y$ ।

किसी भी परिमित सेट के लिए $$$A = \ बाएँ \ {a_1, \ ldots, a_m \ right \} \ subset E$ द्वारा निरूपित करें $$$ल (ए)$ राशि $$$\ sum _ {i \ leq j} \ rho \ left (a_i, a_j \ right)$ । मूल्य $$$ल (ए)$ सेट की लंबाई को बुलाओ $$$ए$ ।

1. अनुक्रम करते हैं $$$\ बाएँ \ {a_n \ right \}$ । $$$\ बाएँ \ {b_n \ right \}$ कई तत्व $$$ई$ उसी के अनुसार जुटे
बिंदुओं के लिए $$$a, b \ _ E $ मे$ । तो $$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ rightarrow \ rho (a, b)$ पर $$$n \ rightarrow \ infty$ ।

प्रमाण स्पष्ट असमानताओं पर विचार करें

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) \ leq \ rho (a, b) + \ rho \ left (a_n, a a right) + \ rho \ बाएँ (b_n, b_ दाएँ) (2)$

$$$\ rho \ left (a_n, b_n \ right) + \ rho \ left (a_n, a a right) + \ rho \ left (b_n, b \ right) \ geq \ rho (a, b (3) $$

क्योंकि $$$a_n \ rightarrow a$ । $$$b_n \ rightarrow b$ पर $$$n \ rightarrow \ infty$ तब के लिए $$$\ varepsilon> 0$ ऐसा स्वाभाविक है $$$एन$ सबके लिए $$$n> एन$ होगा

$$$\ rho \ left (a_n, a a right) <\ frac {\ varepsilon} {2}, \ rho \ left (b_n, b \ right) <\ frac {\ _ varepsilon} {2} (4)$

से $$$(2), (3), (4)$ यह इस प्रकार है $$$\ बाईं | \ rho (a, b) - \ rho \ left (a_n, b_n \)) \ right | <\ varepsilon$ सभी के लिए $$$n> एन$ ।

2. प्रत्येक के लिए $$$\ varepsilon> 0$ में $$$ई$ एक परिमित है $$$\ _ varepsilon$ -net।

प्रमाण ओपन बॉल फैमिली $$$\ बाईं \ {Q_ {x, \ varepsilon} \ right \}$ जहाँ $$$x$ के माध्यम से चलाता है $$$ई$ एक कोटिंग है $$$ई$ । को टी। $$$ई$ कॉम्पैक्ट, गेंदों का परिमित परिवार चुनें $$$\ बाईं \ {Q_ {x_1, \ varepsilon}, \ ldots, Q_ {x_m, \ varepsilon} \ right \}$ कवर भी $$$ई$ । यह स्पष्ट है कि सेट $$$A = \ बाएँ \ {x_1, \ ldots, x_m \ right \}$ - अंतिम $$$\ _ varepsilon$ -net।

3. अंतरिक्ष $$$ई$ सीमित कर दिया। अर्थात्, ऐसी संख्या है $$$d> 0$ कि $$$\ rho (x, y) <d$ किसी के लिए $$$x, y $ E मे$ ।

सबूत तुरंत 2 से आता है। वास्तव में, हम डालते हैं $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ left (x_i, x_j \ right)$ जहाँ $$$x_i$ । $$$x_j$ - तत्व $$$\ _ varepsilon$ -nets $$$ए$ । यह स्पष्ट है कि $$$\ rho (x, y) \ leq g + 2 \ varepsilon$ ।

4. यदि $$$B = \ बाएँ \ {a, \ ldots, a_n \ right \}$ - अंतिम $$$\ frac {\ _ varepsilon} {2}$ में नेटवर्क $$$ई$ फिर किसी के लिए $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट $$$K$ होगा $$$| K | \ leq | B |$ , टी ई $$$| K | \ leq n$ ।

प्रमाण गेंदों का मेल$$ $ इनलाइन $ \ underset {i = 1} {\ ओवरसेट {n} {\ unicode {222a}}}} Q_ {a_i, \ frac {\ _ varepsilon} {2}} $ इनलाइन $ आवरण $$$ई$ । अगर $$$| K |> n$ फिर दो अलग-अलग तत्वों से $$$K$ गेंदों में से एक में होगा $$$Q_ {a_i, \ frac {\ _ varepsilon} {2}}$ , जो इस तथ्य का खंडन करता है कि $$$K$ - $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट।

5. सभी को $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट $$$A \ सब्सेट E$ संख्या का मिलान करें $$$ल (ए)$ - इसकी लंबाई। हम पहले ही साबित कर चुके हैं कि एक ऐसा फंक्शन जो किसी को भी खड़ा कर दे $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट $$$ए$ मिलान संख्या $$$| A |$ यह सीमित कर दिया। ध्यान दें कि फ़ंक्शन प्रत्येक $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट $$$A \ सब्सेट E$ इसकी लंबाई से मेल खाता है $$$ल (ए)$ भी सीमित है।

6. चलो $$$c = \ sup l (A)$ जहाँ $$$\ _$ सब ले लिया $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट $$$A \ सब्सेट E$ । फिर निष्पक्ष

लेम्मा 1. वहाँ है $$$\ _ varepsilon$ विरल सेट $$$C = \ बाएँ \ {a, \ ldots, a_k \ right \}$ ऐसा है $$$l (C) = c$ । $$$सी$ यह है $$$\ _ varepsilon$ में नेटवर्क $$$ई$ । $$$च (C)$ भी है $$$\ _ varepsilon$ में नेटवर्क $$$ई$ और किसी के लिए $$$a_i, a_j \ _ C $ मे$ होगा $$$\ rho \ बाएँ (a_i, a_j \ दाएँ) = \ rho \ बाएँ (f \ बाएँ (a_i \ दाएँ), f \ बाएँ (a_j \ दाएँ) \ दाएँ)$ ।

7. लेम्मा 2. नक्शा $$$च$ लगातार जारी है $$$ई$ । अधिक सटीक: यदि $$$\ rho (x, y) <\ _ varepsilon$ किसी के लिए $$$x, y $ E मे$ तो $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ ।

प्रमाण विचार करना $$$\ _ varepsilon$ -net $$$सी$ लेम्मा से 1. यदि $$$x$ गेंद से संबंधित नहीं है $$$Q_ {a_i, \ varepsilon}$ तो $$$x$ का नहीं है $$$Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ । इसका मतलब है कि ऐसा है $$$मैं$ कि $$$x \ _ क्यू_ {a_i, \ varepsilon} $ मे$ और $$$f (x) \ _ Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon} $ मे$ । इसी तरह से है $$$ज$ कि $$$y \ _ क्यू_ {a_j, \ varepsilon} $ मे$ और $$$f (y) \ _ Q_ {f \ left (a_j \ right), \ varepsilon} $ मे$ । हमारा अनुमान है $$$\ rho (f (x), f (y))$ । यह स्पष्ट है कि $$$\ rho (f (x), f (y)) <\ rho \ left (f \ left (a_i \ right), f \ left (a_j \ right) \ right) + \ varepsilon + \ _ vpspsilon = \ rho \ बाएँ (a_i, a_j \ right) +2 \ varepsilon$ । और कब से $$$\ rho (x, y) <\ _ varepsilon$ , और $$$x \ _ क्यू_ {a_i, \ varepsilon} $ मे$ । $$$y \ _ क्यू_ {a_j, \ varepsilon} $ मे$ तो $$$\ rho \ left (a_i, a_j \ right) <3 \ varepsilon$ । इसलिए, $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ ।

तो हमने यह साबित कर दिया है $$$च$ लगातार प्रदर्शित करता है $$$ई$ में $$$ई$ । यह लेम्मा 1 से आता है जो प्रत्येक के लिए है $$$\ varepsilon> 0$ वहाँ $$$\ _ varepsilon$ में नेटवर्क $$$ई$ ऐसा है $$$च$ इस नेटवर्क के तत्वों के बीच दूरी बनाए रखता है। इसलिए, किसी भी बिंदु के लिए $$$x, y $ E मे$ अनुक्रम पा सकते हैं $$$x_n \ rightarrow x$ । $$$y_n \ rightarrow y$ ऐसा है $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right) = \ rho \ left (x_n, y_n \ right)$ । लेकिन $$$\ rho \ left (x_n, y_n \ right) \ rightarrow \ rho (x, y)$ पर $$$n \ rightarrow \ infty$ । मैपिंग की निरंतरता से $$$च$ यह इस प्रकार है $$$f \ left (x_n \ right) \ rightarrow f (x)$ । $$$f \ left (y_n \ right) \ rightarrow f (y)$ पर $$$n \ rightarrow \ infty$ । इसलिए, $$$\ rho \ left (f \ left (x_n \ right), f \ left (y_n \ right) \ right) \ rightarrow \ rho (f (x), f (y))$ पर $$$n \ rightarrow \ infty$ । और किसी के लिए $$$एन$ समानता रखती है $$$\ rho \ बाएँ (x_n, y_n \ दाएँ) = \ rho \ बाएँ (f \ बाएँ (x_n \ दाएँ), f \ बाएँ (y_n \ दाएँ) \ दाएँ)$ तो $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ ।

टिप्पणी

बोशर्नित्सन प्रमेय का यह प्रमाण मेरे विद्यार्थी मित्र, अब अमेरिकी गणितज्ञ लियोनिद लक्समबर्ग के साथ मास्को की अपनी एक यात्रा के दौरान की बातचीत पर आधारित है और यह उनके प्रस्तावित विचार की मेरी प्रस्तुति है।

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स्लोबोडनिक शिमोन ग्रिगोरीविच ,
आवेदन के लिए सामग्री डेवलपर "ट्यूटर: गणित" ( हैबे पर लेख देखें), शारीरिक और गणितीय विज्ञान के उम्मीदवार, मास्को में स्कूल 179 पर गणित के शिक्षक