जादू निरंतर

जादू नामक वर्ग हैं। ठीक है, शायद हर कोई जानता है कि ऐसे वर्गों में संख्याओं का योग क्षैतिज, लंबवत और मुख्य विकर्ण समान है, अर्थात्, समान संख्या के बराबर, इस संख्या-योग को जादू स्थिरांक कहा जाता है (इसके बाद एम _एन , जहां n वर्ग का आकार है; n> 2)। स्कूल में वापस, मुझे इस स्थिरांक की गणना करने का सूत्र याद आया: M _n = n * (n ² + 1) / 2, यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं था कि यह कहां से आया है ... हम इसे यहां से निकालने की कोशिश करेंगे, हो सकता है कि किसी ने पहले ही इसे काट लिया हो, शायद वही हो , शायद एक अलग तरीके से, यह सिर्फ लिखने से कोई फर्क नहीं पड़ता।

एक बार फिर से वर्गों में प्रवेश करते हुए, एक बार मैंने ऐसा कुछ देखा। यदि आप बाएं से दाएं कॉलम में 1 से n ² तक की संख्या दर्ज करते हैं, तो आपको किसी भी मुख्य विकर्ण पर संख्याओं को जोड़ते समय हमेशा जादू की स्थिति मिलती है, यहां आप देख सकते हैं:

एम ₃ :
१ ४ 7
२ ५ 8
३ ६ ९

एम ₄ :
१ ५ ९ १३
२ ६ १० १४
3 7 11 15
४ 4 १२ १६

सूत्र के अनुसार:

एम ₃ = एन * (एन ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
एम ₄ = एन * (एन ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

तिरछे (ऊपर बोल्ड में दिखाया गया है):

एम ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
एम ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

सूत्र के विपरीत, विकर्ण एक उत्तर देने में सक्षम हैं कि क्या हो रहा है। विकर्णों पर संख्याओं पर विचार करें:

एम ₃ = 1 + 5 + 9
एम _४ = १ + ६ + ११ + १६

हम इसे अलग तरह से लिखते हैं:

M ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

क्या आपने गौर किया है? अब n से सामान्य रूप में:

M _n = 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n)

इसे फिर से संगठित करें (बोल्ड)
M _n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

और यह (बोल्ड में हाइलाइट किया गया)
M _n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) + n)

और:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

एन ब्रैकेट से बाहर रखें:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)) [1]

अब हम एक नया अंकन प्रस्तुत करते हैं,

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
तो
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

अब हम सूत्र [1] को ध्यान में रखते हुए [2] और [३] को फिर से लिखते हैं, और प्राप्त करते हैं:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

या तो:

एम _एन = एस _एन * (एन + 1) - एन ²

[5]

इसे ध्यान में रखते हुए S _n -



स्पष्ट रूप से सूत्र S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2, द्वारा परिकलित
[5] में स्थानापन्न करें:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = एन * (एन ² + 1) / 2

एम _एन = एन * (एन ² + 1) / 2

QED