प्रारंभिक ब्रह्मांड 6. एक सजातीय विस्तार ब्रह्मांड की गतिशीलता, भाग 2

मुक्त व्याख्यान की साइट पर एमआईटी ओपनकोर्सवेयर ने ब्रह्मांड के मुद्रास्फीति मॉडल के रचनाकारों में से एक एलन गस के ब्रह्मांड विज्ञान पर व्याख्यान का एक कोर्स पोस्ट किया।

आपका ध्यान छठे व्याख्यान के अनुवाद के लिए आमंत्रित है: "एक सजातीय विस्तार ब्रह्मांड की गतिशीलता, भाग 2"।

एक स्थिर ब्रह्मांड की असंभवता

आइए संक्षेप में दोहराएं कि हमने पिछली बार क्या रोका था, क्योंकि हमने पिछले विषय को समाप्त नहीं किया था।

हमने एक पूरी तरह से सजातीय ब्रह्मांड पर विचार किया जिसमें सभी स्थान भरते हैं। स्मरण करो कि न्यूटन इस निष्कर्ष पर पहुंचा था कि ऐसी प्रणाली स्थिर होगी। हालांकि, मेरा तर्क है कि न्यूटनियन यांत्रिकी के नियमों के अनुसार भी ऐसी प्रणाली स्थिर नहीं होगी।


मैंने कुछ सबूत दिए हैं। उदाहरण के लिए, हमने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के लिए गॉस प्रमेय की जांच की। काफी सरल तर्क का उपयोग करते हुए, हम न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से चले गए, एक बल के रूप में तैयार होकर, गौस कानून के लिए। यदि गुरुत्वाकर्षण बल को न्यूटन के नियम द्वारा वर्णित किया जाता है, तो किसी भी कण के लिए एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का निर्माण होता है, गौस कानून पूरा होता है।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण वेक्टर प्रवाह $$$\ vec जी$ किसी भी बंद सतह के माध्यम से बराबर है $$$-4 $GM$ जहाँ $$$एम$ - सतह के अंदर द्रव्यमान। यदि हम पदार्थ के अनंत वितरण के लिए गॉस कानून लागू करते हैं, और मान लें कि न्यूटन सही था, और कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं हैं, तो इसका मतलब होगा कि गुरुत्वाकर्षण त्वरण $$$\ vec जी$ यह हर जगह शून्य होगा। फिर बहो $$$\ vec जी$ किसी भी सतह के माध्यम से भी शून्य होगा। मगर $$$-4 $GM$ स्पष्ट रूप से एक नॉनज़ेरो आकार वाले किसी भी मात्रा के लिए शून्य के बराबर नहीं है। इस प्रकार, न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम का ऐसा सूत्र स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि पदार्थ का अनंत वितरण स्थिर नहीं हो सकता है।

इसके अलावा, मैंने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के एक अलग, अधिक आधुनिक स्वरूपण को तथाकथित पॉसन समीकरण के रूप में दिखाया। उसे उसके जानने वालों के लिए दिया गया था। यदि आप उससे परिचित नहीं हैं, तो कुछ भी बुरा नहीं है। यह आवश्यक नहीं है।


गुरुत्वाकर्षण के नियम के इस निरूपण के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण क्षमता का परिचय देते हैं, और गुरुत्वाकर्षण त्वरण को eration ऋणात्मक ढाल ational के रूप में लिखते हैं। तब यह दिखाया जा सकता है कि can पोइसन समीकरण का पालन करता है,

$$$ $ प्रदर्शन $ $ ∇ ^ 2φ = 4ρGρ $ $ प्रदर्शन $ $

जहां ओएल मास घनत्व है।

फिर, यह तुरंत स्पष्ट है कि पदार्थ का स्थैतिक वितरण असंभव है। यदि पदार्थ का वितरण स्थिर था, तो वेक्टर $$$\ vec जी$ 0. के बराबर होगा। इसका मतलब है कि of का ग्रेडिएंट 0. के बराबर होगा। इसका मतलब यह होगा कि φ एक स्थिर होगा। यदि a एक स्थिर होगा, $$$Φ ^ 2∇$ 0 के बराबर होगा, और यह पॉइसन समीकरण के साथ असंगत है।

मैं यह भी कहना चाहता हूं कि आधुनिक दृष्टिकोण से, पोइसन समीकरण जैसे समीकरणों को मूल न्यूटन समीकरण की तुलना में अधिक मौलिक माना जाता है, जो दूरी पर गुरुत्वाकर्षण को एक क्रिया के रूप में मानता है। विशेष रूप से, जब सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत के लिए न्यूटन के नियम को सामान्य करते हुए, आइंस्टीन ने पॉइसन समीकरण के साथ शुरू किया, न कि कुछ दूरी पर बल का वर्णन करने वाले कानून के साथ।

सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में दूरी पर बल की कार्रवाई का वर्णन करने वाला कोई कानून नहीं है। सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत एक तरह से पोइसन समीकरण के समान है। इस दृष्टिकोण से संबंधित मुख्य विचार यह है कि भौतिक विज्ञान के सभी नियमों को स्थानीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

पोइसन समीकरण एक स्थानीय समीकरण है। यह एक अंतर समीकरण है जो अंतरिक्ष में हर बिंदु पर चलता है और कहता है कि अंतरिक्ष में एक बिंदु पर कोई बात दूसरे बिंदु पर कैसे प्रभावित करती है। यह प्रभाव समीकरण का परिणाम है, और शुरू में समीकरण में नहीं बनाया गया है।

गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना की अस्पष्टता

फिर हमने चर्चा की कि अगर हम न्यूटन के नियम और कार्रवाई का उपयोग करके दूर से अपनी सेना को जोड़ते हैं तो क्या होगा। मैंने दिखाया कि हम एक सशर्त रूप से अभिन्न अभिन्न अंग प्राप्त करते हैं। इस तरह का एक अभिन्न अभिसरण करता है, लेकिन यह विभिन्न मूल्यों को अभिन्न अंग के अलग-अलग हिस्सों में रखने के क्रम के आधार पर परिवर्तित कर सकता है।


हमने बलों को जोड़ने के दो संभावित आदेशों की जांच की। हमने एक बिंदु पर बल की गणना की $$$पी$ पदार्थ के अनंत वितरण के अंदर स्थित है। हम मान सकते हैं कि पूरी तस्वीर पदार्थ से भरी है। हमारे कार्य में, पदार्थ पूरे चित्र और पूरे ब्रह्मांड को समान रूप से भरता है। केवल एक चीज जो हम अपनी दो गणनाओं में अलग-अलग करेंगे, वह यह है कि पदार्थ द्वारा निर्मित बलों को एक अलग क्रम में संक्षेप में प्रस्तुत करना है।

यदि आप चारों ओर गाढ़ा गोले द्वारा आदेशित पदार्थ लेते हैं $$$पी$ , फिर प्रत्येक शेल बिंदु पर कोई बल नहीं बनाता है $$$पी$ । इसलिए, सीमा में, जब हम अनंत संख्या में गोले जोड़ते हैं, तो योग अभी भी 0. होगा। इस प्रकार, इस मामले के लिए हम प्राप्त करते हैं $$$\ vec जी$ बराबर ०।

लेकिन न्यूटन का नियम हमें कुछ भी नहीं बताता है कि बलों को किस क्रम में रखा जाए। न्यूटन का नियम बस कहता है कि प्रत्येक द्रव्यमान आनुपातिक रूप से एक बल बनाता है $$$1 / r ^ 2$ , और एक वेक्टर क्या है। न्यूटन के अनुसार, प्रत्येक द्रव्यमान द्वारा बनाए गए बल वैक्टर को जोड़ना आवश्यक है। आमतौर पर वैक्टर को जोड़ना सराहनीय होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम उन्हें किस क्रम में रोकते हैं। लेकिन हमारे मामले में, इसके अलावा मामलों का क्रम। इसलिए, उत्तर मिला हुआ है।

इसे देखने के लिए, हम एक अलग जोड़ आदेश पर विचार करेंगे। हम गोलाकार गोले का उपयोग करना जारी रखेंगे क्योंकि उनके साथ काम करना आसान है। इसे दूसरे तरीके से मोड़ा जा सकता है, लेकिन किसी भी अन्य रूप का उपयोग करना अधिक कठिन है।

इस बार हम एक और बिंदु पर केंद्रित गोलाकार गोले पर विचार करेंगे। हम इस बिंदु को कहेंगे $$$क्यू$ । हम फिर से बिंदु पर बल की गणना करेंगे $$$पी$ अंतरिक्ष को भरने वाले पदार्थ के अनंत वितरण द्वारा निर्मित, अर्थात्, हम पहले की तरह ही समस्या का समाधान करेंगे, लेकिन हम एक अलग क्रम में बलों को जोड़ देंगे।

पिछली बार हमने दिखाया था कि क्षेत्र के अंदर का सारा मामला, केन्द्रित है $$$क्यू$ और एक त्रिज्या से दूरी से कम है $$$क्यू$ को $$$पी$ , बिंदु पर बल में योगदान देता है $$$पी$ । और बाकी सभी पदार्थ को गोलाकार गोले में विभाजित किया जा सकता है, जिसके लिए बिंदु $$$पी$ अंदर स्थित है। गोलाकार खोल के अंदर, बल शून्य है। इसलिए बाकी सभी पदार्थ कोई योगदान नहीं करते हैं।

इस मामले में, बिंदु पर बल $$$पी$ में स्थित एक बिंदु द्रव्यमान द्वारा निर्मित बल के बराबर $$$क्यू$ , और छायांकित क्षेत्र के कुल द्रव्यमान के बराबर द्रव्यमान। जाहिर है, यह बल शून्य के बराबर नहीं है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि हम अलग-अलग बिंदुओं को चुनकर किसी भी शक्ति को प्राप्त कर सकते हैं $$$क्यू$ । हम एक दूर बिंदु चुनकर ताकत बढ़ा सकते हैं। क्योंकि बल हमेशा बिंदु की दिशा में इंगित करेगा $$$क्यू$ , हम एक बिंदु चुनकर किसी भी दिशा में शक्ति प्राप्त कर सकते हैं $$$क्यू$ उपयुक्त स्थान पर।

इसलिए, हम बलों को कैसे सारांशित करते हैं, इसके आधार पर हम कोई भी उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, दूरी पर एक क्रिया के रूप में गुरुत्वाकर्षण का वर्णन अस्पष्टता की ओर जाता है। गॉस कानून या पॉइसन कानून के रूप में गुरुत्वाकर्षण का वर्णन बताता है कि सिस्टम स्थिर नहीं हो सकता है। जल्द ही हम यह पता लगाने की कोशिश करेंगे कि वह कैसा व्यवहार करेगी।

समरूपता की समस्या

अब मैं उस तर्क पर लौटना चाहता हूं जिसने ब्रह्मांड के स्थिर स्वरूप के न्यूटन को आश्वस्त किया। न्यूटन का मानना ​​था कि पदार्थ के अनंत वितरण में एक निश्चित बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण की गणना करते समय, एक समरूपता समस्या उत्पन्न होती है। इस बिंदु से सभी दिशाएं समान दिखती हैं। यदि गुरुत्वाकर्षण त्वरण किसी दिए गए बिंदु पर मौजूद है, तो इसे कहां निर्देशित किया जाना चाहिए? यह समरूपता तर्क बहुत तार्किक है और बहुत ही ठोस लगता है। कोई त्वरण नहीं हो सकता है, केवल इसलिए कि उसके लिए कोई पसंदीदा दिशा नहीं है।

शायद न्यूटन को इस तर्क की पतनशीलता को समझाना मुश्किल होगा। मुझे नहीं पता कि हम उसे मना पाए या नहीं। हमारे पास ऐसा करने का प्रयास करने का कोई अवसर नहीं है।
लेकिन अगर हमारे पास ऐसा कोई अवसर था, तो हम उसे समझाने की कोशिश करेंगे कि त्वरण आमतौर पर एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में मापा जाता है। न्यूटन ने खुद हमेशा उसे ऐसा बताया। उसके लिए, एक अद्वितीय जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली थी, स्थिर गति के लिए सटीक, निर्धारित तारों के सापेक्ष। यह न्यूटन की शब्दावली है। इसलिए उन्होंने जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम निर्धारित किया। भौतिकी के उनके सभी नियम इस जड़त्वीय प्रणाली में मान्य थे।

दूसरी ओर, यदि सभी स्थान पदार्थ से भरे हुए हैं, जो, जैसा कि हम दावा करते हैं, अनुबंध करेंगे, तो निश्चित सितारे मौजूद नहीं हैं। एक जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली का बहुत विचार गायब हो जाता है। ऐसी कोई वस्तु नहीं है जो किसी भी संभावित जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के संबंध में एक समान हो या आराम से चलती हो।

एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम की अनुपस्थिति में, यह माना जाना चाहिए कि सभी त्वरण, जैसे वेग, सापेक्ष हैं। हम दूसरे के सापेक्ष एक कण के त्वरण के बारे में बात कर सकते हैं। लेकिन कोई एक कण के निरपेक्ष त्वरण की बात नहीं कर सकता है, क्योंकि कोई जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम नहीं है जिसमें त्वरण को मापा जा सकता है।

जब सभी त्वरण सापेक्ष होते हैं, तो यह पता चलता है कि सही विवरण, जिसे हम अंततः घटाते हैं, हबल के नियम के समान विवरण है। हबल का नियम गति का नियम है। यह बताता है कि किसी भी पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, अन्य सभी वस्तुओं को इस पर्यवेक्षक से हटा दिया जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि ऐसा लगता है कि पर्यवेक्षक एक विशेष स्थान पर है, आप किसी भी अन्य पर्यवेक्षक के संदर्भ के फ्रेम में जा सकते हैं और ठीक उसी तस्वीर को देख सकते हैं। इस प्रकार, यह तथ्य कि पर्यवेक्षक से सभी वस्तुओं को हटा दिया जाता है, एकरूपता का उल्लंघन नहीं करता है। यह उस समरूपता को नहीं तोड़ता है जिसे हम सिस्टम में शामिल करने की कोशिश कर रहे हैं। वही त्वरण के लिए जाता है। मैं अब इसे साबित नहीं करूंगा। हम अपने भविष्य की गणना के दौरान इसे दिखाएंगे।

हमारे ढहने वाले ब्रह्मांड में, कोई भी पर्यवेक्षक खुद को आराम करने के लिए विचार कर सकता है। तब प्रेक्षक यह देखेगा कि अन्य सभी कण उसकी ओर गति कर रहे हैं। हालांकि ऐसा लगता है कि पर्यवेक्षक एक विशेष स्थान पर है, यह नहीं है। आप किसी भी अन्य पर्यवेक्षक के संदर्भ के फ्रेम में जा सकते हैं और देख सकते हैं कि वह अब आराम कर रहा है, और अन्य सभी वस्तुएं उसकी ओर तेजी से बढ़ रही हैं।

ब्रह्मांड का गणितीय मॉडल

अब हम आगे बढ़ने और एक गणितीय मॉडल बनाने के लिए तैयार हैं जो हमें दिखाएगा कि पदार्थ का समान वितरण कैसे व्यवहार करेगा। पहले हम अनंत समस्या को खत्म करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक परिमित गेंद से शुरू करते हैं। फिर, बहुत अंत में, हम इस गेंद के आकार को अनंत तक बढ़ा देंगे।

हमारा लक्ष्य हमारे ब्रह्मांड के गणितीय मॉडल का निर्माण करना है। हम इसमें उन तीन विशेषताओं को शामिल करना चाहते हैं जिनकी हमने पहले चर्चा की थी - आइसोट्रॉपी, समरूपता और हबल का नियम। हम इसे एक यांत्रिक प्रणाली के रूप में बनाएंगे जो हमारे लिए ज्ञात यांत्रिकी के नियमों का उपयोग करती है। हम न्यूटन के नियमों का उपयोग करेंगे। लेकिन मैं आपको आश्वस्त करता हूं कि, हालांकि हम न्यूटन के नियमों का उपयोग करेंगे, हमें जो उत्तर मिलेगा वह सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत द्वारा दिए गए उत्तर के साथ मेल खाता है। हम बाद में चर्चा करेंगे कि ऐसा क्यों है। हम अनुमानित गणना पर समय बर्बाद नहीं करेंगे। हमें एक बिल्कुल सही गणना मिलेगी, जो हमें बिल्कुल सही उत्तर देगी।


ब्रह्मांड के एक मॉडल का निर्माण करने के लिए, हम कल्पना करते हैं कि हमारा ब्रह्मांड पदार्थ से भरे परिमित आकार की एक गेंद है। चलो $$$t_i$ - यह हमारी तस्वीर में समय का प्रारंभिक बिंदु है। समय के इस बिंदु को ब्रह्मांड के विकास के दृष्टिकोण से कोई विशेष नहीं होना चाहिए। जब हम मॉडल का निर्माण करते हैं, तो हम गणना कर सकते हैं कि ब्रह्मांड बाद के दिनों में कैसे व्यवहार करेगा $$$t_i$ और पहले के समय की तुलना में $$$t_i$ । $$$t_i$ - यह सिर्फ वर्तमान समय है।

समय के लिए $$$t_i$ हम अपनी गेंद को अधिकतम आकार देंगे $$$R_ {अधिकतम, i}$ । मैंने इसे अधिकतम कहा क्योंकि गेंद कणों से भरी हुई है। इस प्रकार, यह गेंद के केंद्र से किसी भी कण की प्रारंभिक अधिकतम दूरी है। के दौरान प्रारंभिक अर्थ $$$t_i$ । हम बहुत छोटे कणों से धूल को भरने वाले पदार्थ पर विचार करेंगे। पदार्थ का घनत्व होता है $$$ρ_i$ । पदार्थ समरूप और समस्थानिक है, केंद्र से कम से कम आइसोट्रोपिक।

अब हम हबल कानून को जोड़ना चाहते हैं। हमारे मॉडल ब्रह्माण्ड में, हबल नियम के अनुसार, विस्तार और विस्तार करते हुए, हम सभी के पास है। अर्थात्, सभी गति को केंद्र से दूरी के अनुपात में निर्देशित किया जाएगा। मैं कण वेग को निरूपित करूंगा $$$v_i$ । $$$मैं$ प्रारंभिक गति का मतलब है। किसी भी कण के लिए, प्रारंभिक समय में, वेग हबल कानून का पालन करेगा। यह कुछ स्थिरांक के बराबर होगा जिसे मैं नाम दूंगा $$$H_i$ हबल का प्रारंभिक मान सदिश समय है $$$\ vec r$ जो कि गेंद के केंद्र से कण तक वेक्टर के बराबर है। यह दर्शाता है कि प्रश्न में कण कहाँ स्थित है।

$$

$$\ vec v_i = H_i \ cdot \ vec r$$

इस तरह से $$$\ vec v_i$ - किसी भी कण का प्रारंभिक वेग। $$$H_i$ - हबल का प्रारंभिक स्थिरांक। एक $$$\ vec r$ कण का स्थान।

जैसा कि मैंने कहा, हम एक परिमित आकार की प्रणाली के साथ शुरू करेंगे जिसके साथ हम काम कर सकते हैं। हम जानते हैं कि विशिष्ट रूप से गणना करने के लिए, कम से कम सिद्धांत रूप में, इस तरह की प्रणाली दी गई प्रारंभिक शर्तों के तहत कैसे विकसित होगी। गणना के अंत में, हम सीमा को पास करेंगे जब $$$R_ {अधिकतम, i}$ अनंत को जाता है। इस प्रकार, हम अपने मॉडल को अनंत स्थान तक विस्तारित करेंगे।

शिशुओं के बारे में एक छोटा सा विषयांतर

मैं अनंत के बारे में कुछ शब्द भी कहना चाहता हूं, क्योंकि मैं हाल ही में एक दिलचस्प चीज के साथ मिला हूं। यह एक छोटा विषयांतर है, आप इसे अनदेखा कर सकते हैं। लेकिन जो लोग रुचि रखते हैं, उनके लिए अनंत की अवधारणा ने मल्टीवर्स पर विचार करते समय एक अप्रत्याशित आश्चर्य प्रस्तुत किया, जिसकी मैंने समीक्षा व्याख्यान में थोड़ी बात की, और जिसके लिए हम पाठ्यक्रम के अंत में लौट आएंगे।

मल्टीवर्स ने पहले की तुलना में शिशुओं के साथ काम करना अधिक सावधानी से किया। इस प्रक्रिया में, मैंने अनंत के बारे में कुछ चीजें सीखीं जिसने मुझे आश्चर्यचकित कर दिया। असल में, भौतिकी में हम अनंत को परिमित प्रणालियों की सीमा के रूप में मानते हैं, जैसा कि हम अपने मॉडल में करते हैं। यदि हम एक अनंत प्रणाली के व्यवहार को समझना चाहते हैं, तो भौतिकी में हम अक्सर एक परिमित प्रणाली को देखकर शुरू करते हैं, जो गणितीय रूप से काम करना बहुत आसान है। फिर हम उस सीमा को लेते हैं जिस पर सिस्टम अधिक से अधिक हो जाता है।

भौतिकी में, यह लगभग सभी स्थितियों में काम करता है। मेरा मानना ​​है कि यह काम करता है क्योंकि हम मानते हैं कि भौतिक बातचीत स्थानीय है। जो बहुत दूर तक होता है वह यहाँ क्या हो रहा है, उस पर कोई असर नहीं डालता।

जैसा कि हम अपने क्षेत्र को अधिक से अधिक बनाते हैं, हम अधिक से अधिक दूरी पर पदार्थ जोड़ते हैं। यह नया पदार्थ जो हम जोड़ते हैं, यह बहुत प्रभावित नहीं करेगा कि अंदर क्या हो रहा है। वास्तव में, हमारे कार्य में, बाहर से जोड़े गए अतिरिक्त पदार्थ का इस बात पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा कि अंदर क्या हो रहा है, इस तथ्य के कारण कि गोलाकार खोल के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र 0 है।

यह एक विशिष्ट स्थिति है, और इस वजह से, भौतिकविद् हमेशा शिशुओं को परिमित प्रणालियों की सीमा के रूप में मानते हैं। हालांकि, मैं यह नोट करना चाहता हूं कि यह हमेशा सही नहीं होता है। ऐसे समय होते हैं जब यह बिल्कुल गलत है। गणितज्ञ यह जानते हैं, लेकिन भौतिक विज्ञानी आमतौर पर ऐसा नहीं करते हैं।

इसलिए, मैं यह नोट करना चाहता हूं कि सभी शिशुओं को अच्छी तरह से परिमित प्रणालियों की सीमा के रूप में वर्णित नहीं किया गया है। यह हमारे मॉडल ब्रह्मांड के विवरण पर लागू नहीं होता है। यहां सब कुछ ठीक है। मैं अपने लघु विषयांतर को समाप्त करने के बाद अपने मॉडल की चर्चा जारी रखूंगा।

एक प्रणाली के उदाहरण के रूप में जो अनंत है और इसे परिमित प्रणालियों की सीमा के रूप में अच्छी तरह से वर्णित नहीं किया गया है, हम कई प्राकृतिक संख्याएं ले सकते हैं $$$\ mathbb N$ ।

मान लीजिए कि हम प्राकृतिक संख्याओं के सेट को एक परिमित सेट की सीमा के रूप में वर्णित करना चाहते हैं। आप सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर विचार करने का प्रयास कर सकते हैं क्योंकि N से अनंत की ओर झुकाव वाले प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय। यदि हम अधिक से अधिक संख्याओं के सेट लेते हैं और सीमा लेते हैं, तो क्या हम सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट प्राप्त करेंगे?

आप सोच सकते हैं कि इसका जवाब हां में है। मेरा तर्क है कि परिणामी सेट पूर्णांकों के सेट के बराबर नहीं है। वास्तव में, मेरा तर्क है कि सीमा बिल्कुल भी मौजूद नहीं है, इसलिए यह पूर्णांकों के सेट के बराबर नहीं हो सकता है।

यह स्पष्ट करने के लिए, मैं आपको याद दिलाऊंगा कि सीमा क्या है। चूंकि हमारे पास गणित का पाठ्यक्रम नहीं है, इसलिए मैं कठोर परिभाषा नहीं दूंगा। मैं आपको केवल एक उदाहरण देता हूँ जो उन तथ्यों को ताज़ा करेगा जो आपने गणित पाठ्यक्रमों में सीखे थे।

मान लीजिए हम सीमा पर विचार करते हैं $$$पाप (x) / x$ पर $$$x$ 0. करने के लिए यह ज्ञात है कि यह क्या के बराबर है। आमतौर पर लिटल के नियम का उपयोग करें। लेकिन आप सीधे सीमा परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं। सीमा मान 1 है।

किसी के लिए $$$x$ 0 के बराबर नहीं, हम इस अभिव्यक्ति की गणना कर सकते हैं। पर $$$x = 0$ अभिव्यक्ति अस्पष्ट है। जैसे ही $$$x$ करीब और 0 के करीब हो रहा है, परिणामी संख्या 1 के करीब हो रही है। हम संख्या को चुनकर मनमाने ढंग से 1 के करीब प्राप्त कर सकते हैं $$$x$ करीब ०।

यदि हम समान अवधारणा को 1 से N के पूर्णांक के सेट पर लागू करते हैं, तो क्या यह बढ़ते हुए N के साथ सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के करीब आएगा? क्या सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए 1 से 10 के करीब नंबर हैं? नहीं। और 1 से लाख तक? अभी भी असीम रूप से दूर है। 1 से एक अरब? 1 से 10 तक सौवें?

कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस सीमा को ऊपरी सीमा के रूप में चुनते हैं, हम अभी भी कई प्राकृतिक संख्याओं से असीम रूप से दूर हैं। हम करीब नहीं आ रहे हैं। हमारे सेट प्राकृतिक संख्याओं के सेट में परिवर्तित नहीं होते हैं। यह एक अलग अवधारणा है।

इससे क्या फर्क पड़ता है?क्या कोई प्रश्न है जहां यह महत्वपूर्ण है, क्या आप किसी अन्य तरीके से या इस सीमा से निर्धारित प्राकृतिक संख्याओं पर विचार करते हैं? मुझे पहले बताएं कि वे कैसे परिभाषित हैं।

यदि आप गणितज्ञों से पूछते हैं कि वे प्राकृतिक संख्याओं के समूह को कैसे परिभाषित करते हैं, तो मुझे लगता है कि वे सभी कहेंगे कि वे पीनो के स्वयंसिद्ध शब्दों का उपयोग करते हैं। पीनो के स्वयंसिद्धों में प्रमुख बिंदु, जो अनंत संख्या की प्राकृतिक संख्या के अस्तित्व को निर्धारित करता है, उत्तराधिकार का स्वयंसिद्ध है।

पीनो के स्वयंसिद्ध शब्दों में से एक है जो गणितीय रूप से प्राकृतिक संख्याओं का वर्णन करता है, यह कथन है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में एक संख्या होती है। इसके अलावा, ऐसे अन्य कथन हैं जो गारंटी देते हैं कि अगला नंबर पिछले वाले में से एक नहीं है। इस प्रकार, किसी भी संख्या के लिए, एक भी बड़ी संख्या होती है। स्वयंसिद्धों का यह सेट शुरू में प्राकृतिक संख्याओं के सेट की अनंतता की गारंटी देता है। इसे परिमित सेट की सीमा के रूप में नहीं माना जाता है और इसे परिमित सेट की सीमा के रूप में नहीं माना जा सकता है। क्योंकि कोई भी परिमित सेट अनंत सेट की तरह नहीं है।

क्या फर्क पड़ता है? क्या ऐसी समस्याएं हैं जिनमें यह महत्वपूर्ण है, क्या हम पूर्णांक का इस तरह से वर्णन कर सकते हैं या नहीं? मैं मानता हूं कि जिन कार्यों को मैं जानता हूं, वे दूर की कौड़ी हैं। लेकिन मैं यह कहना चाहता हूं कि गणित में "वंचित" शब्द कोई मायने नहीं रखता। यदि आप कहीं विरोधाभास पाते हैं, तो कोई भी आपको यह नहीं बताएगा कि इस विरोधाभास को अनदेखा किया जाना चाहिए, क्योंकि यह दूर की कौड़ी है। यदि यह वास्तव में एक विरोधाभास है, तो यह मायने रखता है।

वह प्रश्न जिसमें यह वास्तव में मायने रखता है कि क्या हम प्राकृतिक संख्याओं को प्रारंभिक रूप से अनंत मानते हैं, या हम उन्हें एक सीमा के रूप में मानते हैं, उदाहरण के लिए, सवाल यह है - प्राकृतिक संख्याओं का कौन सा हिस्सा इतना बड़ा है कि जब वे दोगुनी हो जाती हैं तो वे प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं?

यदि हम किसी भी N के लिए एक परिमित सेट पर विचार करते हैं, तो चाहे कितना भी बड़ा N, इस सेट से पूर्णांक का आधा हिस्सा इतना बड़ा हो कि उन्हें दोगुना न किया जा सके ताकि वे इस सेट में बने रहें। यह अनुपात पूरा हो जाएगा चाहे हम कितने भी बड़े N

को चुनें। दूसरी तरफ, यदि हम प्राकृतिक संख्याओं की अनंत श्रृंखला को देखें, तो हम जानते हैं कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को दोगुना किया जा सकता है, हमें बस एक और प्राकृतिक संख्या मिलती है। यह प्राकृतिक संख्याओं की संपत्ति का एक उदाहरण है, जो कि अगर हम प्राकृतिक संख्याओं के सेट को एक सीमा के रूप में मानते हैं तो गलत होगा। आप ऐसा नहीं कर सकते

यह एक छोटा रिट्रीट था। यह सिर्फ एक चेतावनी है कि आपको परिमित सेट की सीमा के रूप में अनंत के बारे में सावधान रहने की आवश्यकता है। हालाँकि, यह सीधे हमारे विषय से संबंधित नहीं है।

इस्तेमाल किए गए फॉर्म पर एक नोट
चलो हमारे मॉडल पर वापस जाएं। मैं मॉडल में उपयोग किए जाने वाले फ़ॉर्म के बारे में कुछ टिप्पणी करना चाहता हूं। हम गोले का उपयोग करते हैं। आप पूछ सकते हैं, गोले क्यों हैं?

क्षेत्र अब तक का सबसे सरल रूप है जिसके साथ हम काम कर सकते हैं। क्षेत्र भी आइसोट्रॉपी की गारंटी देता है, केंद्र से कम से कम आइसोट्रॉपी। हम कर सकते हैं, बहुत अधिक काम, उपयोग, उदाहरण के लिए, एक घन, घन को अधिक से अधिक बढ़ाना। क्यूब जैसे-जैसे बड़ा और बड़ा होता जाता है, यह पूरे स्थान को भी भर देगा। यह माना जा सकता है कि यह अन्य विधि एक ही जवाब देगी। और यह वास्तव में है।

यदि हम क्यूब्स का उपयोग करते हैं, तो हमारे पास अधिक संगणना होगी। लेकिन हमें एक ही जवाब मिलेगा। घन काफी सममित है। इस मामले में, यह गोले के समान परिणाम देगा। मैं आपको नहीं बताऊंगा कि मनमाने आकार के लिए परिणाम की गणना कैसे करें। लेकिन मैं गारंटी देता हूं कि क्यूब वही जवाब देगा।

दूसरी ओर, यदि हम तीन, या कम से कम दो अलग-अलग पक्षों के साथ समांतर चतुर्भुज का उपयोग करते हैं, तो हम शुरुआत में असममित आकृति के साथ शुरू करेंगे। दिशाओं में से एक पर प्रकाश डाला जाएगा। फिर, यदि हम ऐसे समानांतर चतुर्भुज का उपयोग करते हैं, उसी तरह जैसे हम गोले का उपयोग करते हैं, तो हम शुरू में विसंगति पैदा करेंगे। हमें ब्रह्मांड का एक अनिसोट्रोपिक मॉडल मिलेगा।

चूंकि हम एक वास्तविक ब्रह्मांड का अनुकरण करने की कोशिश कर रहे हैं जो अत्यधिक आइसोट्रोपिक है, हम एक ऐसे फॉर्म का उपयोग करते हैं जो आइसोट्रॉपी की गारंटी देता है। एक गोला सबसे सरल रूप है जिसका उपयोग किया जा सकता है।

ब्रह्मांड के विकास में पदार्थ की भूमिका

अब, हमारे मॉडल में गतिशीलता जोड़ते हैं। हम जिस गतिशीलता को जोड़ते हैं वह विशुद्ध रूप से न्यूटोनियन गतिशीलता होगी। हम उस पदार्थ पर विचार करेंगे जो गोले को भरता है, न्यूटोनियन कणों की धूल, या, यदि आप चाहें, तो न्यूटन के कणों की गैस।

ये कण गैर-सापेक्ष होंगे, जिन्हें न्यूटोनियन शब्द से समझा जाता है। यह मॉडल हमारे वास्तविक ब्रह्मांड का वर्णन इसके विकास के एक महत्वपूर्ण खंड के लिए करता है, लेकिन विकास की पूरी अवधि के लिए नहीं। इससे पहले कि हम जारी रखें, मैं वास्तविक ब्रह्मांड के बारे में कुछ शब्द कहना चाहता हूं और विकास के विभिन्न युगों में क्या बात हावी रही।

शुरुआत में, हमारे ब्रह्मांड में, हम मानते हैं, विकिरण हावी है। इसका मतलब है कि अगर हम समय के साथ अपने ब्रह्मांड के विकास का पालन करते हैं, और देखें कि पहले के सभी समय में क्या हुआ था, तो कॉस्मिक बैकग्राउंड रेडिएशन के फोटॉन एक नीली पारी का अनुभव करेंगे।

हमने पाया कि ब्रह्मांड के विस्तार के रूप में वे एक लाल रंग का अनुभव करते हैं। इसका मतलब है कि यदि हम विपरीत दिशा में एक्सट्रपलेशन करते हैं, तो वे एक नीली पारी का अनुभव करेंगे। प्रत्येक फोटॉन अधिक ऊर्जावान हो रहा है। फोटॉनों की संख्या स्थिर रहती है। मात्रा में कमी के कारण उनकी एकाग्रता बढ़ जाती है। और वे अधिक ऊर्जावान हो रहे हैं।

इस बीच, साधारण पदार्थ और काले पदार्थ के कणों की सांद्रता, जो भी इससे होती है, समय के साथ पीछे की ओर बढ़ने पर भी बढ़ जाती है। लेकिन वे अधिक ऊर्जावान नहीं बनते। प्रोटॉन एक कण रहता है जिसकी ऊर्जा प्रोटॉन समय के द्रव्यमान के बराबर होती है$$$c^2$ ।

इस प्रकार, जैसा कि आप समय में पीछे की ओर बढ़ते हैं, कॉस्मिक माइक्रोवेव बैकग्राउंड रेडिएशन की ऊर्जा घनत्व पदार्थ के ऊर्जा घनत्व के साथ तुलना में अधिक हो जाती है। बाद में हम सीखेंगे कि इसकी गणना कैसे करें। उनकी तुलना लगभग 50,000 वर्ष की ब्रह्मांड आयु में की जाती है।

छात्र: यदि कण तरंग हैं, तो वे क्यों नहीं बदलते हैं?

शिक्षक: वास्तव में, वे थोड़ा बदल रहे हैं। लेकिन हम मानते हैं कि इन कणों की नगण्य गति है। उनकी गति एक नीली पारी का अनुभव करती है। लेकिन नीले रंग की ऑफसेट प्रारंभिक मूल्य के लिए आनुपातिक है। यदि प्रारंभिक मूल्य बहुत छोटा है, भले ही इसे स्थानांतरित कर दिया गया हो, आवेग अभी भी नगण्य है।

इस प्रकार, वास्तविक ब्रह्मांड में, लगभग 50,000 वर्ष पुराना होने तक, विकिरण हावी था। हम इस बारे में कुछ व्याख्यानों में बात करेंगे। लेकिन आज हम इस पर ध्यान नहीं देते हैं। फिर, ब्रह्मांड के इतिहास में लगभग 50,000 वर्ष से लेकर 9 बिलियन वर्ष तक, बल्कि एक बड़ा कालखंड, ब्रह्मांड पर हावी रहा। पदार्थ का अर्थ गैर-सापेक्ष पदार्थ है। यह कॉस्मोलॉजी में एक मानक शब्द है। जब हम कहते हैं कि ब्रह्मांड का बोलबाला है, हालांकि हम nonrelativistic शब्द का उपयोग नहीं करते हैं, यह सब निहित है। यह ऐसा मामला है जिस पर हम आज विचार करेंगे, सामान्य गैर-सापेक्ष पदार्थ जो अंतरिक्ष को भरता है।

फिर हमारे वास्तविक ब्रह्मांड में एक और परिवर्तन हुआ - लगभग 9 बिलियन वर्षों से वर्तमान तक और, संभवतः, भविष्य में भी ऐसा ही होगा, ब्रह्मांड में अंधेरे ऊर्जा हावी होने लगी। डार्क एनर्जी एक ऐसी चीज है जिससे ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार होता है। बिग बैंग के लगभग 9 बिलियन साल बाद से ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार हो रहा है।

साधारण मामला डार्क एनर्जी में नहीं बदलता, जैसा कि प्रभुत्व में बदलाव के कारण अपेक्षित हो सकता है। ब्रह्मांड के विस्तार के दौरान वे अलग तरह से व्यवहार करते हैं। स्केल कारक के घन के अनुपात में साधारण पदार्थ का घनत्व कम हो जाता है। कणों की एक निश्चित संख्या बढ़ती मात्रा में वितरित की जाती है। डार्क एनर्जी, उन कारणों के लिए जो हम पाठ्यक्रम के अंत के करीब सीखते हैं, ब्रह्मांड के विस्तार के रूप में इसकी ऊर्जा घनत्व को नहीं बदलता है। 9 अरब साल पहले, सामान्य पदार्थ का घनत्व अंधेरे ऊर्जा के घनत्व से नीचे गिर गया था। फिर डार्क एनर्जी हावी होने लगी और ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार होने लगा। आज, अंधेरे ऊर्जा कुल ऊर्जा का लगभग 60% या 70% बनाती है। यह पूर्ण प्रभुत्व नहीं है। लेकिन यह सबसे बड़ा हिस्सा है।

आज की गणना के लिए, हम मध्य अवधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे और दिखावा करेंगे कि यह पूरी कहानी है। हम वापस आएंगे और अन्य युगों पर चर्चा करेंगे। हम उनकी अनदेखी नहीं करेंगे। लेकिन आज हम उनकी चर्चा नहीं करेंगे।

गोले में तोड़ना

इसलिए, हम उस ब्रह्मांड पर विचार करेंगे, जिस पर बात हावी है। हम न्यूटनियन यांत्रिकी का उपयोग करेंगे। इस तथ्य के बावजूद कि हम न्यूटोनियन यांत्रिकी का उपयोग करेंगे, मैं आपको आश्वासन देता हूं, और मैं बाद में कुछ तर्क देने की कोशिश करूंगा, यह बिल्कुल वैसा ही जवाब देगा जैसा कि सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत का है।

गेंद के विस्तार का वर्णन करने वाले समीकरणों को लिखने के लिए, हम गोलाकार गोले का उपयोग करेंगे। हम अपनी गेंद को इसके गोले के रूप में पेश करेंगे। दूसरे शब्दों में, प्रारंभिक समय में, हम पदार्थ को गोले में विभाजित करते हैं। हम प्रत्येक गोले के लिए एक संकेतन पेश करते हैं और उनके विकास का पता लगाते हैं।

कारण हम सभी मामलों को गोले के साथ वर्णित कर सकते हैं क्योंकि सभी कणों के प्रारंभिक वेग त्रिज्या के साथ निर्देशित होते हैं। हबल के नियम के अनुसार, गति गेंद के केंद्र से दूर त्रिज्या वेक्टर के समानुपाती होती है। इसलिए, हमारे सभी प्रारंभिक वेग त्रिज्या के साथ निर्देशित होते हैं।

इसके अलावा, कणों के लिए न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण को भी त्रिज्या के साथ निर्देशित किया जाएगा। इसलिए, किसी भी कण की गति को त्रिज्या के साथ निर्देशित किया जाएगा। कभी भी कोई भी बल नहीं होगा जो कण पर स्पर्शरेखा की दिशा में कार्य करता हो, जहाँ स्पर्शरेखा का मतलब रेडियल के अलावा कोई भी दिशा है। प्रत्येक कण की त्रिज्या को बदलते समय, इसके कोणीय चर ϕ और of समय में स्थिर रहेंगे। इसलिए, मैं अब उनके बारे में बात नहीं करूंगा।

प्रत्येक खोल में एक पदनाम है $$$r_i$ शुरुआती समय में इसकी त्रिज्या के बराबर $$$t_i$ । भविष्य में, यह शेल पदनाम संरक्षित है।

गति का वर्णन करने के लिए, हम फ़ंक्शन का परिचय देते हैं $$$r (r_i, t)$ । फ़ंक्शन शेल के त्रिज्या के बराबर है $$$r_i$ समय पर $$$टी$ । समारोह $$$r (r_i, t)$ हमें दिखाता है कि शेल किसी भी बाद या पहले के समय में कहां है।

मुझे यह कहना चाहिए कि पाठ्यपुस्तक में आपको जो मैं आपको दिखाऊंगा, उससे अधिक सरल निष्कर्ष दिखाई देगा। मैं इसे क्यों उलझा रहा हूं? तथ्य यह है कि मेरी गणना पाठ्यपुस्तक में दिए गए एक से अधिक दिखाएगी। अधिकांश पाठ्यपुस्तकों का मानना ​​है कि गोले की आवाजाही हबल कानून का पालन करना और पूरी तरह से एक समान घनत्व बनाए रखना होगा। हम यह नहीं मानेंगे कि पदार्थ सजातीय बना हुआ है। हम साबित करते हैं कि यह सजातीय बना हुआ है। यह मुझे प्रतीत होता है कि किसी चीज़ को साबित करने की अपेक्षा उसे साबित करना बेहतर है।

एक और समस्या है जो थोड़ी अधिक जटिल है। फिर, यह एक सूक्ष्मता है जो पाठ्यपुस्तकों में सबसे अधिक उल्लेखित नहीं है। हमारे पास विभिन्न विस्तार योग्य गोले हैं। हम किसी भी शेल पर अभिनय करने वाले बल की गणना कर सकते हैं यदि हम जानते हैं कि इस शेल के अंदर कौन सा पदार्थ है। बाहर की तरफ गोले ताकत पैदा नहीं करते हैं। इसलिए, यह जानना बहुत महत्वपूर्ण है कि गोले किस क्रम में स्थित हैं। प्रारंभ में, हम, निश्चित रूप से, यह जानते हैं। के अनुसार उन्हें आदेश दिया जाता है $$$r_i$ । लेकिन जैसे ही वे चलना शुरू करते हैं, सिद्धांत रूप में, एक संभावना है कि गोले एक दूसरे को पार करना शुरू कर देंगे।

यदि गोले चटकते हैं, तो गति के हमारे समीकरण बदल जाएंगे, क्योंकि शेल पर काम करने वाले पदार्थ की मात्रा बदल जाएगी। हमें इसे ध्यान में रखना होगा। सौभाग्य से, यह समस्या उत्पन्न नहीं होती है। हम इसे निम्नानुसार दिखाएंगे। प्रारंभ में, सभी गोले एक दूसरे से हबल कानून के अनुसार हटा दिए जाते हैं। हबल के नियम में कहा गया है कि कोई भी दो कण एक दूसरे से दूर अपनी गति के सापेक्ष आनुपातिक गति से चलते हैं। यह किसी भी दो गोले के लिए सही है। यदि गोले अन्तर्विभाजक करने लगते हैं, तो वे निश्चित रूप से इसे तुरंत नहीं करेंगे। कोई दो गोले नहीं हैं जो शुरू में एक दूसरे से संपर्क करते हैं। सभी गोले शुरू में एक दूसरे से अलग होते हैं।

मौजूदा बलों के कारण यह स्थिति बदल सकती है। हालांकि, हम ऐसे समीकरण लिख सकते हैं जो कम से कम तब तक संतुष्ट होंगे जब तक कि गोले के चौराहे दिखाई न दें। यदि गोले प्रतिच्छेदन करते हैं, तो इन समीकरणों को चौराहों के समय तक मान्य होना चाहिए। इसलिए, समीकरणों को यह दिखाना चाहिए कि गोले काटेंगे। गोले गति के समीकरणों के विपरीत शुरू नहीं कर सकते। हम देखेंगे कि हमारे समीकरणों के अनुसार, गोले का कोई चौराहा नहीं होगा।

इसलिए, हम उन समीकरणों को लिखते हैं जो तब तक मान्य होते हैं जब तक कि गोले का कोई चौराहा न हो। जब तक गोले का कोई अंतर नहीं होता है, तब तक किसी भी खोल के अंदर का कुल द्रव्यमान स्वतंत्र होता है। ये अंदर के अन्य गोले हैं। इस प्रकार, एक प्रारंभिक त्रिज्या के साथ शेल पर $$$r_i$ शेल के अंदर द्रव्यमान द्वारा बनाया गया बल कार्य करता है। हम खोल के अंदर द्रव्यमान के लिए सूत्र लिख सकते हैं। प्रारंभिक त्रिज्या के साथ खोल के अंदर द्रव्यमान $$$r_i$ प्रारंभिक द्रव्यमान घनत्व द्वारा गुणा के खोल की प्रारंभिक मात्रा के बराबर, $$$ρ_i$

$$

$$M (r_i) = \ frac {4 3} 3 {r_i} ^ 3ρ_i$$

हम एक अंतर समीकरण की रचना करते हैं
न्यूटन का नियम हमारी प्रणाली में एक मनमाना कण के त्वरण को निर्धारित करता है। न्यूटन का नियम बताता है कि त्वरण एक इकाई त्रिज्या वेक्टर से एक कण के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है और न्यूटन के निरंतर समय के बराबर होता है जो कि गोले के अंदर के द्रव्यमान से विभाजित होता है जो कि मूल से शेल की दूरी के वर्ग से विभाजित होता है। यह वह दूरी है जो फ़ंक्शन के बराबर है $$$r (r_i, t)$ । यह समय में किसी विशेष बिंदु पर शेल की त्रिज्या है।

$$

$$\ vec g = - \ frac {GM (r_i)} {r ^ 2 (r_i, t)}} हैट $$$

यह एक चर द्वारा निरूपित किसी भी शेल के लिए सही है। $$$r_i$ ।

यह वास्तव में महत्वपूर्ण समीकरण है। बाकी सब उससे पीछा करते हैं। यह न्यूटन की प्रमेय को दर्शाता है कि यदि द्रव्यमान को गोलाकार रूप से सममित रूप से वितरित किया जाता है, तो कण से दूरी की तुलना में बड़े त्रिज्या के किसी भी खोल का द्रव्यमान कण के त्वरण में योगदान नहीं करता है। त्वरण केवल छोटे रेडी के गोले के द्रव्यमान से निर्धारित होता है।

हम जानते हैं कि सभी आंदोलन रेडिए के साथ होते हैं। बस हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि कैसे $$$आर$ समय के साथ बदलाव। हम इसे एक साधारण अंतर समीकरण के रूप में लिख सकते हैं $$$आर$ , बिना किसी वैक्टर के।

$$

$$\ ddot r = - \ frac {4 3} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r ^ 2}$$

$$$\ ddot r$ त्वरण है। हमने फंसाया $$$M (r_i)$ पिछले सूत्र से। $$$आर$ का कार्य है $$$r_i$ और $$$टी$ । मैं अब इसका संकेत नहीं दूंगा।

सिस्टम का विस्तार करते समय $$$r_i$ प्रत्येक शेल के लिए बस एक स्थिर, अलग है, लेकिन समय में स्थिर है। कल्पना कीजिए कि हम एक विशिष्ट शेल के लिए एक समस्या को हल कर रहे हैं। $$$ρ_i$ - यह भी एक स्थिर है। यह प्रारंभिक समय में घनत्व के बराबर है और इसके मूल्य को बरकरार रखता है।

हमें एक अंतर समीकरण मिला, जिसमें केवल समय बदलता है $$$आर$ , और अधिक कुछ नहीं। यह दूसरे क्रम का अंतर समीकरण है $$$आर$ ।

प्रारंभिक शर्तें

एक बात है कि आप सभी को याद रखना चाहिए जब दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों के साथ काम करना। एक ही समाधान के लिए, हमें प्रारंभिक स्थितियों की आवश्यकता है। यदि यह दूसरे क्रम का समीकरण है, और न्यूटन के समीकरण आमतौर पर प्राप्त होते हैं, तो हमें प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग का संकेत देना चाहिए ताकि दूसरे क्रम का समीकरण एक अद्वितीय उत्तर दे।

हम स्थिति का प्रारंभिक मूल्य निर्धारित करेंगे $$$आर$ और गति का प्रारंभिक मूल्य $$$\ डॉट आर$ कणों। हमें एक प्रणाली मिलेगी जिसे हम गणित दे सकते हैं। यदि गणितज्ञ पर्याप्त स्मार्ट है, तो वह इसे हल कर सकता है।

इसलिए, हम प्रारंभिक मूल्य निर्धारित करना चाहते हैं $$$आर$ , समय पर प्रारंभिक साधन $$$t_i$ । जाहिर है कि यह सिर्फ बराबर है $$$r_i$ ।

$$

$$r (r_i, t_i) = r_i$$

यदि हम इस समीकरण के लिए एक अद्वितीय समाधान चाहते हैं, तो हमें वेग का प्रारंभिक मूल्य भी निर्धारित करना होगा $$$\ डॉट आर$ । प्रारंभिक का मतलब फिर से दौरान $$$t_i$ । यह हबल स्थिरांक द्वारा निर्धारित होता है। प्रत्येक प्रारंभिक कण वेग त्रिज्या के हबल के प्रारंभिक मूल्य के बराबर है।

$$

$$\ _r = H_ir_i$$

यह हबल एक्सटेंशन है जिसे हमने मूल रूप से सिस्टम में पेश किया है। हमारे पास एक विशुद्ध गणितीय प्रणाली है। हमारे पास दूसरे क्रम का अंतर समीकरण और प्रारंभिक शर्तें हैं $$$आर$ और $$$\ डॉट आर$ । यह एक अनूठा समाधान प्रदान करता है। यह शुद्ध गणित है। अधिक भौतिकी की जरूरत नहीं है, कम से कम इस स्तर पर।

एकरूपता सहेजा जा रहा है

समीकरणों की इस प्रणाली की दिलचस्प गणितीय विशेषताओं को नोटिस कर सकते हैं। हम देखेंगे कि ये समीकरण चमत्कारिक रूप से हमारी व्यवस्था की समरूपता को बनाए रखते हैं। इसे समीकरणों में बनाया गया है। इन समीकरणों की प्रमुख विशेषता यह है कि आप इनसे छुटकारा पा सकते हैं $$$r_i$ परिवर्तनशील चर द्वारा।

चलो एक नए फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं $$$यू$ । मैंने मनमाने ढंग से नामित करने के लिए एक पत्र चुना, आप कोई भी ले सकते हैं।

$$

$$u (r_i, t) = \ frac {r (r_i, t)} {r_i}$$

किसी भी कार्य के लिए, $$$r (r_i, t)$ आप हमेशा एक नए फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं जो कि विभाजित किए गए मूल फ़ंक्शन के बराबर है $$$r_i$ ।

अब देखते हैं कि हमारे समीकरणों का क्या होता है। मैं इसकी पुष्टि करता हूं $$$r_i$ गायब हो जाएगा। आइए देखें कि यह कैसे होता है:

$$$ $ प्रदर्शन $ $ \ ddot u = \ frac {\ ddot r} {r_i} = - \ frac {4 f} 3 \ frac {Gr ^ 3_iρ_i} {r_ir ^ 2} = - - frac {4π} 3 \ frac { Gr ^ 3_iρ_i} {u ^ 2r ^ 3_i} = - \ frac {4π} 3 \ frac {Gρ_i} {u ^ 2} $ $ प्रदर्शन $ $

समीकरण दिखाता है कि संकुचन कैसे होता है $$$r_i$ । $$$r_i$ अंश में घन में गोले के आयतन के समानुपाती होता है। हर में $$$r_i$ एक घन में भी खड़ा है। एक $$$r_i$ चर के प्रतिस्थापन के कारण दिखाई दिया, फिर भी $$$r ^ 2_i$ उलटा वर्ग के कानून के कारण दिखाई दिया।

इस प्रकार कम करना $$$r_i$ प्रकट होता है जैसे कि शक्ति कम हो जाती है $$$1 / r ^ 2$ । यदि बल दूसरे कानून के अनुसार कम हो जाता है, यदि यह केवल थोड़ा अलग था $$$1 / r ^ 2$ तो $$$r_i$ सूत्र में संक्षिप्त नहीं किया जाएगा। यह कमी है $$$r_i$ प्रणाली के विकास में एकरूपता सुनिश्चित करने के लिए महत्वपूर्ण है। यदि, न्यूटन के अनुसार, बल घटता है, जैसा कि $$$1 / r ^ 2$ चुकता, प्रणाली सजातीय बनी हुई है। नहीं तो नहीं। यह एक बहुत ही रोचक तथ्य है।

इस प्रकार, $$$r_i$ हमने मना कर दिया है। अब हम एक साधारण समीकरण प्राप्त करते हैं $$$\ ddot यू$ बिना ज्यादा $$$r_i$ समीकरण में। इसका मतलब है कि $$$यू$ किसी भी के लिए एक समाधान देता है $$$r_i$ । अब हमारे पास विभिन्न मूल्यों के लिए अलग-अलग समाधान नहीं हैं $$$r_i$ । $$$r_i$ कार्य से गायब हो जाता है। हमारे पास एकमात्र समाधान स्वतंत्र है $$$r_i$ । यह सभी के लिए उचित है। $$$r_i$ ।

मैं क्या उल्लेख करना भूल गया? प्रारंभिक शर्तें। एक एकल समाधान प्राप्त करने के लिए, हमारे पास न केवल एक अंतर समीकरण होना चाहिए जो स्वतंत्र हो $$$r_i$ । यदि हमारे पास प्रारंभिक शर्तों की जांच नहीं है, तो हमारे पास एक भी समाधान नहीं होगा, जिस पर निर्भर नहीं होना चाहिए $$$r_i$ । और वे निर्भर नहीं हैं।

प्रारंभिक मूल्य $$$u (r_i, t_i)$ प्रारंभिक मूल्य के बराबर $$$आर$ द्वारा विभाजित किया गया $$$r_i$ । लेकिन प्रारंभिक अर्थ $$$आर$ है $$$r_i$ । किसी के लिए $$$r_i$ हमें मिलता है:

$$

$$u (r_i, t_i) = \ frac {r_i} {r_i} = 1$$

अब प्रारंभिक मूल्य पर विचार करें $$$\ डॉट यू$ । यह बराबर है

$$

$$\ dot u (r_i, t_i) = \ frac {\ _ r} {r_i} = \ frac {H_ir_i} {r_i} = H_i$$

चर की व्याख्या

यदि आप बारीकी से देखते हैं, तो आप मात्रा की भौतिक व्याख्या को समझ सकते हैं $$$यू$ । $$$यू$ बड़े पैमाने पर कारक से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसके बारे में हमने पहले बात की थी।

हमने साबित कर दिया कि हमारे पास समान रूप से विस्तारित प्रणाली थी। प्रारंभ में, हमारे पास एक समान विस्तार था, लेकिन हम तब तक नहीं जानते थे जब तक हम गति के समीकरण पर विचार नहीं करते हैं कि क्या ब्रह्मांड समान रूप से विस्तार करना जारी रखेगा। हालाँकि, ऐसा है। इसका मतलब है कि विस्तार को एक स्केल फैक्टर का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है।

हमें इसका पता चला $$$यू$ पूरी तरह से समीकरणों से निर्धारित होता है जिसमें कोई नहीं है $$$r_i$ । इस तरह से $$$यू$ से स्वतंत्र $$$r_i$ और समय के एक समारोह के रूप में माना जा सकता है $$$टी$ । हम इसका नाम भी बदल सकते हैं $$$(t)$ स्केल फैक्टर के साथ पहचान स्थापित करने के लिए:

$$

$$u (r_i, t) = u (t) \ equiv a (t)$$

यह भी देखा जाता है कि

$$

$$r (r_i, t) = u (t) r_i = a (t) r_i$$

इसका क्या मतलब है? $$$r_i$ साथी समन्वय है। हमने प्रत्येक शेल को उसकी शुरुआती स्थिति के अनुसार चिह्नित किया, $$$r_i$ । जैसा कि आप विस्तार करते हैं, प्रत्येक शेल लेबल के लिए $$$r_i$ बचा लिया। यह उन कणों को चिन्हित करता है, जहाँ वे चलते हैं। एक $$$आर$ भौतिक दूरी है, इस मामले में मूल से, संबंधित दूरी के गुणा कारक के बराबर है।

इन समीकरणों को एक अलग रूप में लिखना उपयोगी है। पिछले विभेदक समीकरण का उपयोग किया $$$ρ_i$ । यह बहुत सुविधाजनक है क्योंकि $$$ρ_i$ एक स्थिर है। यह समय के साथ नहीं बदलता है। हालांकि, मूल्य का उपयोग करके एक अंतर समीकरण लिखना भी उपयोगी है $$$ρ$ , जो समय के साथ भौतिक मात्रा के बीच के संबंध को देखने के लिए समय के साथ बदलता है। यह करना मुश्किल नहीं है, क्योंकि हम किसी भी समय घनत्व जानते हैं।

किसी भी शेल के लिए, हम घनत्व की गणना वॉल्यूम द्वारा विभाजित शेल के अंदर कुल द्रव्यमान के रूप में कर सकते हैं। हम जानते हैं कि घनत्व एक समान रहता है, क्योंकि हमारे मामले में सभी दूरी सामान्य पैमाने के कारक के समानुपाती होती हैं। इसलिए, घनत्व एक समान होगा।

हम खोल के अंदर घनत्व की गणना करके ले जा सकते हैं $$$M (r_i)$ , जिसके लिए हमारे पास पहले से ही एक सूत्र है, और जो समय पर निर्भर नहीं करता है, और इसे शेल के अंदर वॉल्यूम द्वारा विभाजित किया जाता है।

$$$$ डिस्प्ले $$ ρ (t) = \ frac {M (r_I)} {\ frac {4 ^} 3r ^ 3} = \ frac {\ frac {4π} 3r ^ 3_iρ_i {{frac {4π} 3a ^ 3r ^ 3_i} = \ frac {ρ_i} {a ^ 3} $ $ $ $ प्रदर्शित

यह अपेक्षित परिणाम है। घनत्व, स्केल फैक्टर के क्यूब द्वारा विभाजित प्रारंभिक घनत्व के बराबर है। पैमाने कारक 1 हमारी परिभाषा के अनुसार, प्रारंभिक समय में है। इस प्रकार, समीकरण घन में स्केल कारकों का अनुपात देता है। जैसे ही ब्रह्मांड का विस्तार होता है, घन में स्केल फैक्टर के साथ घनत्व कम हो जाता है।

अब हम इसके लिए समीकरण को फिर से लिख सकते हैं $$$\ _ एक $ ddo$ वर्तमान द्रव्यमान घनत्व का उपयोग करना।

$$$ $ $ $ $ $ \ _ \ _ \ _ फ्रेड {4 3} 3 \ फ़्रेक {गेलोइ} {ए 2} = \ फ़्रेक {4π} 3 \ फ़्रेक {गेलोइ} {ए 2} \ _क्रैक आ = \ फ़्रेक {4π} } 3Gρ (t) $$ डिस्प्ले $$

यह समीकरण वर्तमान जन घनत्व के आधार पर हमारे मॉडल ब्रह्मांड की मंदी देता है। ध्यान दें कि यह वास्तव में केवल जन घनत्व पर निर्भर करता है। यह रिश्ते को निर्धारित करता है $$$\ ddot a /$ । ऐसा होना चाहिए, क्योंकि हम इसे याद करते हैं $$$एक$ प्रति मीटर विभाजनों में मापा जाता है। उसी समय विभाजन कम हो जाते हैं। इसका जवाब हमें भौतिक इकाइयों में मिलता है।

मैंने शुरुआत में कहा था कि जब हम खत्म कर लेंगे, तो हम प्रारंभिक अधिकतम त्रिज्या सीमा को पार कर लेंगे $$$R_ {अधिकतम, i}$ अनंत को जाता है। $$$R_ {अधिकतम, i}$ इनमें से किसी भी समीकरण में प्रकट नहीं होता है। इसलिए, प्रयास करते समय $$$R_ {अधिकतम, i}$ अनंत करने के लिए, वास्तव में कुछ भी नहीं होता है। इसका मतलब यह है कि हमें जो उत्तर मिला है, वह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि अगर गेंद हमारे अंदर है तो गेंद कितनी बड़ी है। बाहर से अतिरिक्त सामग्री जोड़ने से कुछ भी नहीं बदलता है। इस प्रकार, सीमा में, हम बाहर की अनंत मात्रा को जोड़ते हैं। सीमा पर जाने के लिए $$$R_ {अधिकतम, i}$ अनंत तक प्रवृत्त, कुछ भी करने की जरूरत नहीं है।

अंततः, हम इस समीकरण के विभिन्न समाधान प्राप्त करना चाहते हैं और समझते हैं कि वे कैसे दिखते हैं। आज मैं इस दिशा में एक और कदम उठाना चाहता हूं, समीकरण को थोड़ा अलग तरीके से फिर से लिखना, जो हमें यह पता लगाने में मदद करेगा कि समाधान क्या दिखते हैं। मैं इस समीकरण का पहला अभिन्न हिस्सा खोजना चाहता हूं।

पहला अभिन्न और ऊर्जा के संरक्षण का नियम

पहले अभिन्न को खोजने के लिए, मैं उस समीकरण पर वापस जाना चाहता हूं जहां इसका उपयोग किया जाता है $$$ρ_i$ लेकिन नहीं $$$ρ (t)$ । इसका फायदा यह है कि $$$ρ_i$ समय पर निर्भर नहीं करता है। में $$$ρ$ एक समय निर्भरता है कि मैं अब इस पर ध्यान नहीं देना चाहता। इसलिए, अगर मैं एक सूत्र का उपयोग करता हूं जो उपयोग करता है $$$ρ_i$ , केवल स्केल फैक्टर के लिए समय निर्भरता होगी।

मैं पिछले समीकरण का उपयोग कर रहा हूं, लेकिन मैं प्रतिस्थापित करूंगा $$$यू$ पर $$$एक$ क्योंकि हमने नाम बदल दिया है $$$यू$ में $$$एक$ । मैं सभी सदस्यों को एक दिशा में स्थानांतरित करूंगा। यह पता चला है

$$

$$\ ddot a + \ frac {4 d} 3 \ frac {Gρ_i} {a ^ 2} = 0$$

यह एक दूसरे क्रम का अंतर समीकरण है जो न्यूटनियन यांत्रिकी में बहुत आम है, यह समीकरण परिभाषित करता है $$$\ _ एक $ ddo$ त्वरण $$$एक$ मूल्यों के माध्यम से $$$एक$ ।

न्यूटोनियन यांत्रिकी में, व्यक्ति अक्सर ऊर्जा के संरक्षण के कानून का उपयोग कर सकता है। इस मामले में, मुझे नहीं पता कि इसे ऊर्जा संरक्षण कहा जाना चाहिए या नहीं। बाद में हम इस बारे में बात करेंगे कि हमारे पास क्या भौतिक अर्थ है। लेकिन, निश्चित रूप से, एक गणितीय तकनीक के रूप में, हम उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उपयोग न्यूटनियन यांत्रिकी में ऊर्जा के संरक्षण के कानून को प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

इस समीकरण के अनुरूप ऊर्जा संरक्षण कानून प्राप्त करने के लिए, हम समीकरण को एक एकीकृत कारक से गुणा करते हैं, $$$\ _$ । उसके बाद, पूरी अभिव्यक्ति पूर्ण व्युत्पन्न हो जाएगी। यह समीकरण समतुल्य है

$$

$$\ frac {dE} {dt} = 0, \: \: \ _ जहाँ? \; E = \ frac 12 \ dot a ^ 2 - \ frac {4π} 3 \ frac {G ρ_i} एक$$

इसे आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। अगर मैं अंतर करता हूं $$$ई$ , मैं बिल्कुल इस समीकरण मिलता है। इसलिए वे समकक्ष हैं। इस तरह से $$$ई$ एक संरक्षित मात्रा है।

अब अगर हम टाई करना चाहते हैं $$$ई$ किसी भी ऊर्जा के साथ, ऐसा करने के विभिन्न तरीके हैं। एक तरीका है गुणा करना $$$ई$ पर $$$mr ^ 2_i$ और इसे एक गोले की सतह पर एक परीक्षण कण की ऊर्जा के रूप में मानते हैं। $$$एम$ परीक्षण कण का द्रव्यमान है। $$$r_i$ - परीक्षण कण का प्रारंभिक त्रिज्या।

इस तरह से $$$E_ {phis}$ , या काल्पनिक परीक्षण कण की भौतिक ऊर्जा के बराबर होगा

$$

$$E_ {भौतिक} = mr ^ 2_iE = \ frac 12 m (\ dot a r_i) ^ 2- \ frac {GmM (r_i)} {ar_i} = \ frac 12 mv ^ \ frac {GmM (r_i)} आर$$

यदि हम एक परीक्षण कण के लिए विचार करते हैं $$$r_i$ क्या वह $$$R_ {अधिकतम, i}$ , अर्थात्, हम अपने क्षेत्र की सीमा के बारे में बात कर रहे हैं, फिर यह स्पष्ट है कि यहां क्या संरक्षित किया जा रहा है। यह गतिज ऊर्जा के साथ-साथ संभावित ऊर्जा को भी बाहर निकालता है - जहां संभावित ऊर्जा ऋणात्मक होती है - क्षेत्र की सीमा पर एक बिंदु कण की।

अगर हम एक गोले के अंदर इस समीकरण को लागू करना चाहते हैं, तो सही व्याख्या खोजना थोड़ा मुश्किल होगा। यदि कण क्षेत्र के अंदर है, यदि $$$r_i$ क्षेत्र के अधिकतम त्रिज्या के बराबर नहीं है, तो $$$E_ {phis}$ वास्तव में, एक कण की संभावित ऊर्जा नहीं है।

एक कण की संभावित ऊर्जा की गणना करने के लिए, यह गणना करना आवश्यक है कि कण को ​​अनन्तता पर लेने और उसके स्थान पर रखने के लिए क्या काम करना होगा। इस मामले में, उस क्षेत्र के अंदर स्थित द्रव्यमान का योगदान जिस पर कण स्थित है, जो इस बिंदु पर बल निर्धारित करता है, को ध्यान में रखा जाता है। लेकिन कण के साथ क्षेत्र के बाहर के पदार्थ से भी हमारा योगदान है।

संभावित ऊर्जा की गणना करते समय, मैं बस नहीं मिलता $$$जीएम$ केंद्र से दूरी द्वारा विभाजित क्षेत्र के अंदर द्रव्यमान। मुझे और अधिक जटिल अभिव्यक्ति मिलेगी। वास्तव में, मुझे जो ऊर्जा मिलती है, वह संरक्षित नहीं है। इसे क्यों नहीं बचाया गया?

यह संरक्षित नहीं है, इसलिए, चलती जनता की उपस्थिति में इसके संरक्षण का कोई कारण नहीं है। स्थैतिक द्रव्यमान के क्षेत्र में बढ़ने वाले एक बिंदु कण की ऊर्जा संरक्षित होती है। यह वह है जो आप संबंधित पाठ्यक्रमों से जानते हैं। यदि अन्य कण चलते हैं, तो पूरे सिस्टम की कुल ऊर्जा संरक्षित होती है। लेकिन अन्य कणों के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में गति करने वाले किसी विशेष कण की संभावित ऊर्जा को संरक्षित नहीं किया जा सकता है।

कण ऊर्जा के अलावा, सिस्टम की कुल ऊर्जा भी सीमा पर संग्रहीत होती है। वह साथ जुड़ेगी$$$E$आनुपातिकता का एक और निरंतरता और एक स्पष्ट कारण के लिए संरक्षित किया जाएगा। यहां आपको यह समझने की सावधानी बरतने की जरूरत है कि क्या बचा है, क्यों और कैसे इसका उपयोग करना है।