रिचर्ड हैमिंग: अध्याय 20. मॉडलिंग - III

"इस पाठ्यक्रम का लक्ष्य आपको अपने तकनीकी भविष्य के लिए तैयार करना है।"

यह 2 अध्याय प्रकाशित करने के लिए बनी हुई है ...

मॉडलिंग - III

मैं पिछले अध्याय में दी गई सामान्य दिशा को जारी रखूंगा, लेकिन इस बार मैं पुरानी अभिव्यक्ति "कचरा-इन-कचरा बाहर" पर ध्यान केंद्रित करूंगा, जिसे अक्सर जीजीओ (कचरा में कचरा, कचरा बाहर) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। विचार यह है कि यदि आप गलत तरीके से एकत्र किए गए डेटा और गलत तरीके से परिभाषित अभिव्यक्तियों को इनपुट पर डालते हैं, तो आउटपुट आपको गलत परिणाम दे सकता है। विपरीत भी निहित है: सटीक इनपुट डेटा की उपलब्धता से, सही परिणाम प्राप्त होता है। मैं दिखाऊंगा कि ये दोनों धारणाएँ झूठी हो सकती हैं।

अक्सर, मॉडलिंग अंतर समीकरणों को हल करने पर आधारित होता है, इसलिए शुरुआत के लिए हम फॉर्म के पहले क्रम के सबसे सरल अंतर समीकरण पर विचार करेंगे।



जैसा कि आपको याद है, दिशा क्षेत्र xy समतल के प्रत्येक बिंदु पर निर्मित रेखाएँ हैं, जिसमें अंतर समीकरण (चित्र 20.I) द्वारा दिए गए कोणीय गुणांक होते हैं। उदाहरण के लिए, एक विभेदक समीकरण में चित्र 20.II में एक दिशा क्षेत्र दिखाया गया है।





चित्र 20.I

प्रत्येक संकेंद्रित चक्र के लिए,



ऐसा है कि रेखा का ढलान हमेशा समान होता है और k के मान पर निर्भर करता है। इस तरह के वक्रों को आइसोसलाइन कहा जाता है।

अब एक और अंतर समीकरण (चित्रा 20.III) के दिशा क्षेत्र को देखें। बाईं ओर हम दिशाओं का एक विचलन क्षेत्र देखते हैं, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक मूल्यों में छोटे परिवर्तन या छोटी गणना त्रुटियां मार्ग के बीच के मूल्यों में बड़े अंतर को जन्म देंगी। दाईं ओर हम देखते हैं कि दिशा क्षेत्र परिवर्तित हो रहा है। इसका मतलब है कि मार्ग के बीच में एक बड़ा अंतर होने के साथ, दाहिने छोर पर मूल्यों में अंतर छोटा होगा। यह सरल उदाहरण दिखाता है कि कैसे छोटी त्रुटियां बड़ी हो सकती हैं, बड़ी त्रुटियां छोटी और अधिक हो सकती हैं, कैसे छोटी त्रुटियां बड़ी और फिर छोटी हो सकती हैं। इसलिए, समाधान की सटीकता उस विशिष्ट अंतराल पर निर्भर करती है जिस पर समाधान की गणना की जाती है। कोई पूर्ण सामान्य सटीकता नहीं है।



चित्र 20.II



चित्र 20.III

ये विचार समारोह के लिए बनाए गए हैं


जो विभेदक समीकरण का हल है



आपने शायद एक "पाइप" की कल्पना की है जो पहले फैलता है और फिर समीकरण के "सही, सटीक समाधान" के चारों ओर घूमता है। यह प्रतिनिधित्व दो मापों के मामले के लिए एकदम सही है, लेकिन जब मेरे पास ऐसे अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है - 28 जो कि पहले उल्लेखित नौसेना के लिए इंटरसेप्टर मिसाइल समस्या के मामले में है - तो समीकरण के सही समाधान के आसपास ये "पाइप" वही बनते हैं जो वे नहीं लगते हैं। पहली नज़र में। दो आयामों में चार हलकों से मिलकर एक आंकड़ा अध्याय 9 में वर्णित दस-आयामी स्थान के लिए n- आयामों के विरोधाभास की ओर जाता है। यह पिछले अध्याय में वर्णित स्थिर और अस्थिर मॉडलिंग की समस्या का एक और दृश्य है। इस बार मैं अंतर समीकरणों से संबंधित विशिष्ट उदाहरण दूंगा।

हम अंकीय समीकरणों को संख्यात्मक रूप से कैसे हल करते हैं? सामान्य प्रथम-क्रम अंतर समीकरण के साथ शुरू करते हुए, हम दिशाओं का एक क्षेत्र बनाते हैं। हमारा कार्य किसी दिए गए प्रारंभिक मूल्य का है जो हमारे लिए अगले निकटतम बिंदु पर मूल्य की गणना करता है। यदि हम अंतर समीकरण द्वारा दी गई रेखा का स्थानीय ढलान गुणांक लेते हैं और स्पर्शरेखा के साथ एक छोटा कदम आगे बढ़ाते हैं, तो हम केवल एक छोटी सी त्रुटि (चित्र 20.IV) पेश करेंगे।

इस नए बिंदु का उपयोग करते हुए, हम अगले बिंदु पर चले जाएंगे, लेकिन जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, हम धीरे-धीरे सच्चे वक्र से विचलित हो जाते हैं, क्योंकि हम पिछले चरण के ढलान गुणांक का उपयोग करते हैं, और वर्तमान अंतराल के लिए सही ढलान गुणांक नहीं। इस प्रभाव से बचने के लिए, हम एक निश्चित मूल्य की "भविष्यवाणी" करते हैं, फिर इस बिंदु पर कोणीय गुणांक का अनुमान लगाने के लिए इसका उपयोग करते हैं (अंतर समीकरण का उपयोग करके), और फिर इस अंतराल के लिए कोणीय गुणांक के रूप में अंतराल की दो सीमाओं पर कोणीय गुणांक के औसत मूल्य का उपयोग करें।

फिर, इस औसत ढलान का उपयोग करते हुए, हम इसे "सुधार" सूत्र का उपयोग करते हुए एक बार और आगे ले जाते हैं। यदि "पूर्वानुमान" और "सुधार" फ़ार्मुलों का उपयोग करके प्राप्त मान पर्याप्त हैं, तो हम मानते हैं कि हमारी गणना पर्याप्त रूप से सटीक है, अन्यथा हमें चरण आकार को कम करना चाहिए। यदि मूल्यों के बीच का अंतर बहुत छोटा है, तो हमें कदम का आकार बढ़ाना होगा। इस प्रकार, पारंपरिक भविष्यवक्ता-सुधारक योजना में प्रत्येक चरण में त्रुटियों की जाँच के लिए एक अंतर्निहित तंत्र है, लेकिन किसी विशेष चरण में यह त्रुटि किसी भी तरह से नहीं है और किसी भी तरह से आम संचित त्रुटि नहीं है! यह बिल्कुल स्पष्ट है कि संचित त्रुटि इस बात पर निर्भर करती है कि दिशा क्षेत्र परिवर्तित होता है या डायवर्ज करता है।



चित्र 20.IV



चित्र 20.V

हमने पूर्वानुमान चरण और सुधार चरण दोनों के लिए सरल सीधी रेखाओं का उपयोग किया है। उच्च डिग्री के बहुपदों का उपयोग करना अधिक सटीक परिणाम देता है; तिमाही-डिग्री बहुपद आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं (एडम्स-बाशफोर्ट विधि, मिल्ने विधि, हैमिंग विधि, आदि द्वारा अंतर समीकरणों का समाधान)। इस प्रकार, हमें अगले बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए कई पिछले बिंदुओं पर फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव के मूल्यों का उपयोग करना चाहिए, जिसके बाद हम अंतर समीकरण में इस मूल्य के प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं और कोणीय गुणांक के नए मूल्य को अनुमानित करते हैं। कोणीय गुणांक के नए और पिछले मूल्यों के साथ-साथ वांछित फ़ंक्शन के मूल्यों का उपयोग करके, हम प्राप्त मूल्य को सही करते हैं। यह ध्यान देने का समय है कि सुधारक एक डिजिटल पुनरावर्ती फ़िल्टर से अधिक कुछ नहीं है जिसमें इनपुट मान डेरिवेटिव हैं और आउटपुट मान वांछित फ़ंक्शन के मान हैं।

पहले चर्चा की गई स्थिरता और अन्य अवधारणाएं प्रासंगिक बनी हुई हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, अंतर समीकरण के अनुमानित समाधान के लिए एक अतिरिक्त प्रतिक्रिया पाश है, जो बदले में समायोजित कोणीय गुणांक की गणना में उपयोग किया जाता है। इन दोनों मानों का उपयोग विभेदक समीकरण को हल करने में किया जाता है, पुनरावर्ती डिजिटल फ़िल्टर केवल सूत्र हैं, और इससे अधिक कुछ नहीं। हालांकि, वे स्थानांतरण विशेषताओं नहीं हैं, क्योंकि वे आमतौर पर डिजिटल फिल्टर के सिद्धांत में माना जाता है। इस मामले में, अंतर समीकरण के मूल्यों की गणना बस होती है। इस मामले में, दृष्टिकोणों के बीच का अंतर महत्वपूर्ण है: डिजिटल फिल्टर में, संकेत को रैखिक रूप से संसाधित किया जाता है, जबकि अंतर समीकरणों को हल करने में अशुद्धता होती है, जो फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के मूल्यों की गणना करके पेश की जाती है। यह डिजिटल फ़िल्टर के समान नहीं है।

यदि आप n अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते हैं, तो आप n घटकों के वेक्टर के साथ काम कर रहे हैं। आप प्रत्येक घटक के अगले मूल्य की भविष्यवाणी करते हैं, प्रत्येक n डेरिवेटिव का मूल्यांकन करते हैं, प्रत्येक अनुमानित मानों को समायोजित करते हैं, और फिर इस कदम पर गणना परिणाम को स्वीकार करते हैं या स्थानीय त्रुटि बहुत बड़ी होने पर इसे अस्वीकार कर देते हैं। आप छोटी गणनाओं को "गणना" के रूप में एक सच्चे गणना किए गए मार्ग के बारे में सोचते हैं। और फिर, मैं आपसे उच्च-आयामी स्थानों में चार हलकों के विरोधाभास को याद करने का आग्रह करता हूं। ऐसे "पाइप" वे नहीं हो सकते हैं जो उन्हें पहली नज़र में लगते हैं।

अब मैं दो दृष्टिकोणों के बीच महत्वपूर्ण अंतर को इंगित करता हूं: कम्प्यूटेशनल तरीके और डिजिटल फिल्टर का सिद्धांत। आम पाठ्यपुस्तकों में, कम्प्यूटेशनल गणित के केवल तरीकों का वर्णन किया जाता है जो बहुपद द्वारा अनुमानित कार्य होते हैं। पुनरावर्ती फिल्टर मूल्यांकन सूत्रों में आवृत्तियों का उपयोग करते हैं! यह महत्वपूर्ण अंतर की ओर जाता है!

अंतर देखने के लिए, आइए कल्पना करें कि हम मंगल ग्रह पर मानव लैंडिंग का एक सिम्युलेटर विकसित कर रहे हैं। शास्त्रीय दृष्टिकोण लैंडिंग प्रक्षेपवक्र के आकार पर केंद्रित है और स्थानीय क्षेत्रों के लिए बहुपद सन्निकटन का उपयोग करता है। परिणामस्वरूप पथ में त्वरण में ब्रेक पॉइंट होंगे, क्योंकि हम अंतराल से अंतराल तक कदम से कदम रखते हैं। फ्रिक्वेंसी एप्रोच के मामले में, हम सही फ्रिक्वेंसी पाने पर ध्यान केंद्रित करेंगे और लोकेशन को वही होने देंगे जो वह निकला हो। आदर्श मामले में, दोनों प्रक्षेपवक्र समान होंगे, लेकिन व्यवहार में वे काफी भिन्न हो सकते हैं।

मुझे किस हाइक का उपयोग करना चाहिए? जितना अधिक आप इसके बारे में सोचते हैं, उतना अधिक आप यह मानने के लिए इच्छुक होंगे कि सिम्युलेटर में पायलट लैंडिंग मॉड्यूल के व्यवहार का "अर्थ" प्राप्त करना चाहता है, और ऐसा लगता है कि पायलट द्वारा सिम्युलेटर की आवृत्ति प्रतिक्रिया अच्छी तरह से "महसूस" होनी चाहिए। यदि स्थान थोड़ा अलग है, तो प्रतिक्रिया पाश लैंडिंग प्रक्रिया के दौरान इस विचलन के लिए क्षतिपूर्ति करेगा, लेकिन अगर नियंत्रण की "भावना" वास्तविक उड़ान के दौरान अलग होगी, तो पायलट नई "संवेदनाओं" के बारे में चिंतित होगा जो सिम्युलेटर में नहीं थे। यह हमेशा मुझे लगता था कि सिमुलेटर को वास्तविक संवेदनाओं के लिए पायलट तैयार करना चाहिए जितना संभव हो (निश्चित रूप से, हम लंबे समय तक मंगल पर कम गुरुत्वाकर्षण का अनुकरण नहीं कर सकते हैं), ताकि वे सहज महसूस करें जब वास्तव में वे एक ऐसी स्थिति का सामना करते हैं जिसके साथ वे सिम्युलेटर में बार-बार सामना करना पड़ा। काश, हम इस बारे में बहुत कम जानते हैं कि पायलट "क्या महसूस करता है।" क्या पायलट केवल फूरियर विस्तार से वास्तविक आवृत्तियों को महसूस करता है, या क्या वे जटिल लुप्त होती लाप्लास आवृत्तियों (या शायद हमें तरंगों का उपयोग करना चाहिए?) को भी महसूस करते हैं। क्या अलग-अलग पायलटों को एक जैसी चीजें महसूस होती हैं? हमें इन आवश्यक डिज़ाइन स्थितियों के बारे में जानने की तुलना में अधिक जानने की आवश्यकता है।

ऊपर वर्णित स्थिति समस्या को हल करने के लिए गणितीय और इंजीनियरिंग दृष्टिकोण के बीच एक मानक विरोधाभास है। इन दृष्टिकोणों में अंतर समीकरणों को हल करने में अलग-अलग लक्ष्य होते हैं (जैसा कि कई अन्य समस्याओं के मामले में), इसलिए वे अलग-अलग परिणाम देते हैं। यदि आप मॉडलिंग के साथ आते हैं, तो आप देखेंगे कि छिपी हुई बारीकियां हैं जो अभ्यास में बहुत महत्वपूर्ण हैं, लेकिन जिनके बारे में गणितज्ञ कुछ भी नहीं जानते हैं और हर तरह से उनकी उपेक्षा करने के परिणामों से इनकार करते हैं। आइए दो रास्तों पर एक नज़र डालें (चित्र 20.IV), जिसका मैंने मोटे तौर पर अनुमान लगाया था। ऊपरी वक्र अधिक सटीक रूप से स्थान का वर्णन करता है, लेकिन झुकता वास्तविक दुनिया की तुलना में पूरी तरह से अलग "सनसनी" देता है, दूसरा वक्र स्थान में अधिक गलत है, लेकिन "सनसनी" के संदर्भ में अधिक सटीकता है। मैंने फिर से स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया कि मैं क्यों मानता हूं कि समस्या के विषय क्षेत्र की गहरी समझ रखने वाले व्यक्ति को इसे हल करने के गणितीय तरीकों को भी समझना चाहिए, न कि समाधान के पारंपरिक तरीकों पर भरोसा करना चाहिए।

अब मैं नाइकी मिसाइल रक्षा प्रणाली के परीक्षण के शुरुआती दिनों के बारे में एक और कहानी बताना चाहता हूं। उस समय, व्हाइट सैंड्स में फील्ड ट्रायल हो रहे थे, जिसे "फील्ड फोन टेस्ट" भी कहा जाता था। ये परीक्षण लॉन्च थे जिसमें रॉकेट को एक पूर्व निर्धारित प्रक्षेपवक्र का पालन करना था और अंतिम क्षण में विस्फोट हुआ था, ताकि विस्फोट की सभी ऊर्जा एक निश्चित क्षेत्र से आगे न बढ़े और अधिक नुकसान पहुंचाए, जो कि जमीन पर रॉकेट के व्यक्तिगत भागों की एक मामूली गिरावट के लिए बेहतर था, जो माना जाता है कि कम नुकसान हुआ है। परीक्षणों का उद्देश्य डिबग करने और डिजाइन में सुधार करने के लिए उड़ान ऊंचाई और गति के एक समारोह के रूप में लिफ्ट और ड्रैग के वास्तविक माप प्राप्त करना था।

जब मैं अपने मित्र से मिला जो परीक्षण से लौटा था, तो वह बेल प्रयोगशालाओं के गलियारों से भटक गया और दुखी दिख रहा था। क्यों? क्योंकि छह में से दो अनुसूचित प्रक्षेपण उड़ान के बीच में विफल हो गए और किसी को पता नहीं था कि क्यों। आगे के डिजाइन चरणों के लिए आवश्यक डेटा उपलब्ध नहीं थे, जिसका मतलब पूरे प्रोजेक्ट के लिए गंभीर समस्याएं थीं। मैंने कहा कि अगर वह मुझे उड़ान का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों के साथ प्रदान कर सकता है, तो मैं उन्हें हल करने के लिए लड़की को डाल सकता हूं (1940 के दशक के उत्तरार्ध में बड़े कंप्यूटर तक पहुंच आसान नहीं था)। लगभग एक सप्ताह के बाद, उन्होंने सात प्रथम-क्रम के अंतर समीकरण प्रदान किए और लड़की शुरू करने के लिए तैयार थी। लेकिन उड़ान में समस्याओं की शुरुआत से एक पल पहले क्या शुरुआती हालात थे? (उन दिनों में, हमारे पास पूरी उड़ान पथ की गणना करने के लिए पर्याप्त कंप्यूटिंग शक्ति नहीं थी।) वे नहीं जानते थे! विफलता के एक क्षण पहले टेलीमेट्री डेटा समझ से बाहर था। मैं हैरान नहीं था और इसने मुझे परेशान नहीं किया। इसलिए, हमने ऊंचाई, उड़ान की गति, हमले के कोण आदि के अनुमानित मूल्यों का उपयोग किया। - उड़ान पथ का वर्णन करने वाले प्रत्येक चर के लिए एक प्रारंभिक स्थिति। दूसरे शब्दों में, मैं प्रवेश द्वार पर बकवास था। लेकिन इससे पहले मैंने महसूस किया कि हमने जिस क्षेत्र परीक्षण का अनुकरण किया था उसका स्वरूप ऐसा था कि प्रस्तावित प्रक्षेप पथ से छोटे विचलन स्वचालित रूप से मार्गदर्शन प्रणाली द्वारा ठीक किए गए थे! मैं दिशाओं के एक बहुत अभिसरण क्षेत्र के साथ काम कर रहा था।

हमने पाया कि रॉकेट अनुप्रस्थ और ऊर्ध्वाधर कुल्हाड़ियों के साथ स्थिर था, लेकिन जब उनमें से एक को स्थिर किया गया, तो ऊर्जा की एक अतिरिक्त धुरी के साथ दूसरे अक्ष पर दोलन पैदा हुए। इस प्रकार, अनुप्रस्थ और ऊर्ध्वाधर अक्षों के साथ न केवल दोलनों थे, बल्कि उनके बीच बढ़ती ऊर्जा का आवधिक संचरण भी था, जो इसके अनुदैर्ध्य अक्ष के चारों ओर रॉकेट के रोटेशन के कारण था। जैसे ही प्रक्षेपवक्र के एक छोटे हिस्से के लिए गणना की गई वक्रों का प्रदर्शन किया गया, सभी ने तुरंत महसूस किया कि क्रॉस स्थिरीकरण को ध्यान में नहीं रखा गया था, और हर कोई जानता था कि इसे कैसे ठीक किया जाए। तो, हमें एक समाधान मिला जिसने हमें परीक्षणों के दौरान प्राप्त खराब टेलीमेट्री डेटा को पढ़ने और ऊर्जा हस्तांतरण की अवधि को स्पष्ट करने की अनुमति दी - वास्तव में, गणना के लिए सही अंतर समीकरण प्रदान करें। मेरे पास एक छोटा सा काम था, सिवाय इसके कि यह सुनिश्चित करने के लिए कि डेस्कटॉप कैलकुलेटर के साथ लड़की ने ईमानदारी से सब कुछ गणना की। इसलिए, मई में, मेरिट यह समझने में थी कि (1) हम अनुकरण कर सकते हैं कि क्या हुआ (अब यह दुर्घटनाओं की जांच करने में एक दिनचर्या है, लेकिन तब यह एक नवाचार था) और (2) दिशा क्षेत्र परिवर्तित हो जाता है, इसलिए प्रारंभिक स्थितियों को वास्तव में निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है।

मैंने आपको यह कहानी दिखाने के लिए कहा था कि GIGO सिद्धांत हमेशा काम नहीं करता है। लॉस एलामोस में एक शुरुआती बम सिमुलेशन के दौरान मेरे साथ भी ऐसी ही कहानी हुई थी। धीरे-धीरे, मुझे समझ में आया कि राज्य के समीकरण के लिए बनाई गई हमारी गणना गलत आंकड़ों पर आधारित थी। राज्य का समीकरण किसी पदार्थ के दबाव और घनत्व से संबंधित होता है (तापमान भी, लेकिन मैं इसे इस उदाहरण में छोड़ दूंगा)। उच्च दबाव वाली प्रयोगशालाओं के डेटा, भूकंपों के अध्ययन से प्राप्त सन्निकटन, तारकीय कोर घनत्व और अनंत दबावों के स्पर्शोन्मुख सिद्धांत को एक बहुत बड़े ग्राफ पेपर (चित्र 20.VII) पर अंक के रूप में दर्शाया गया था। फिर, पैटर्न का उपयोग करके, हमने कर्व्स को आकर्षित किया जो बिखरे हुए बिंदुओं से जुड़ा था। फिर, इन घटों के आधार पर, हमने 3 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ फ़ंक्शन मानों की तालिकाओं का निर्माण किया। इसका मतलब यह है कि हमने केवल 4 या दशमलव स्थान पर 0 या 5 मान लिया है। हमने 5 वीं और 6 वीं दशमलव स्थानों तक तालिकाओं के निर्माण के लिए इस डेटा का उपयोग किया। इन तालिकाओं के आधार पर, हमारी आगे की गणनाओं का निर्माण किया गया। उस समय, जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया था, मैं एक प्रकार का कैलकुलेटर था, और मेरा काम गिनती करना था और इस तरह से भौतिकविदों को मुक्त करना था, ताकि उन्हें अपना काम करने की अनुमति मिल सके।



चित्र 20.VII

युद्ध समाप्त होने के बाद, मैं लॉस एलामोस में एक और आधे साल तक रहा, और मैंने ऐसा करने के कारणों में से एक था क्योंकि मैं यह समझना चाहता था कि इस तरह के गलत डेटा कैसे अंतिम डिजाइन के ऐसे सटीक सिमुलेशन का कारण बन सकते हैं। मैंने लंबे समय तक इस बारे में सोचा, और मुझे इसका जवाब मिला। गणनाओं के बीच में, हमने दूसरे क्रम के अंतर का उपयोग किया। पहले-क्रम के अंतर ने प्रत्येक शेल के एक तरफ बल के मूल्य को दिखाया, और दोनों तरफ के गोले के अंतर ने परिणामस्वरूप बल दिया, जो शेल को स्थानांतरित करता है। हमें पतले गोले का उपयोग करने के लिए मजबूर किया गया था, इसलिए हमने संख्याओं को एक-दूसरे के बहुत करीब से घटाया, और हमें दशमलव बिंदु के बाद कई अंकों का उपयोग करने की आवश्यकता थी। आगे के अध्ययनों से पता चला कि जब "चीज़" फट गई, तो शेल वक्र के साथ ऊपर की ओर बढ़ गया, और शायद कभी-कभी आंशिक रूप से वापस स्थानांतरित हो गया, इसलिए राज्य के समीकरण में कोई भी स्थानीय त्रुटि औसत मूल्य के करीब थी। राज्य के समीकरण की वक्रता प्राप्त करना वास्तव में महत्वपूर्ण था और, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यह औसत पर सटीक होना चाहिए था। इस प्रकार, इनपुट में कचरा, लेकिन पहले से कहीं अधिक सटीक परिणाम!

इन तीन उदाहरणों से पता चलता है कि पहले क्या उल्लेख किया गया था - यदि समस्या में उपयोग किए गए चर के लिए एक प्रतिक्रिया लूप है, तो उनके मूल्यों को वास्तव में जानना आवश्यक नहीं है। इसके आधार पर, जी.एस. ब्लैक का एम्पलीफायरों में एक फीडबैक लूप बनाने का उल्लेखनीय विचार (चित्र 20.VIII): जब तक लाभ बहुत अधिक होता है, केवल एक प्रतिरोधक का प्रतिरोध ठीक से मिलान होना चाहिए, अन्य सभी भाग हो सकते हैं कम सटीकता के साथ लागू किया जाए। चित्र 20.VIII में दिखाए गए सर्किट के लिए हमें निम्नलिखित भाव मिलते हैं:



चित्र 20.VIII

जैसा कि आप देख सकते हैं, लगभग सभी माप अनिश्चितता 1/10 के नाममात्र मूल्य के साथ एक रोकनेवाला में केंद्रित है, जबकि संचरण गुणांक गलत हो सकता है। इसलिए ब्लैक का फीडबैक लूप हमें गलत हिस्सों से सटीक चीजें बनाने की अनुमति देता है।



अब आप देखिए कि मैं आपको सभी अवसरों के लिए उपयुक्त सुरुचिपूर्ण सूत्र क्यों नहीं दे सकता। यह इस बात पर निर्भर करना चाहिए कि विशिष्ट मात्रा पर क्या गणना की जाती है। क्या त्रुटिपूर्ण मान एक प्रतिक्रिया लूप के माध्यम से जाएंगे जो त्रुटि के लिए क्षतिपूर्ति करता है, या क्या प्रतिक्रिया सुरक्षा के बिना सिस्टम के बाहर त्रुटियां आएंगी? यदि चर के लिए कोई प्रतिक्रिया नहीं दी जाती है, तो उनके सटीक मूल्यों को प्राप्त करना महत्वपूर्ण है।
तो, इस तथ्य के बारे में जागरूकता प्रणाली के डिजाइन को प्रभावित कर सकती है! एक अच्छी तरह से डिज़ाइन की गई प्रणाली आपको बड़ी संख्या में सटीक घटकों का उपयोग करने से बचाती है। लेकिन इस तरह के डिजाइन सिद्धांतों को अभी भी गलत समझा गया है और सावधानीपूर्वक अध्ययन की आवश्यकता है। और बात यह नहीं है कि अच्छे डिज़ाइनर इसे अंतर्ज्ञान के स्तर पर नहीं समझते हैं, इन सिद्धांतों को उन डिज़ाइन विधियों में लागू करना इतना आसान नहीं है, जिनका आपने अध्ययन किया था। अच्छे दिमाग को अभी भी हमारे द्वारा विकसित सभी स्वचालित डिजाइन टूल की आवश्यकता है। सबसे अच्छा दिमाग इन सिद्धांतों को सभी के लिए "बॉक्स से बाहर" सुलभ बनाने के लिए अध्ययन किए गए डिजाइन विधियों में एकीकृत करने में सक्षम होगा।

आइए अब एक और उदाहरण और सिद्धांत की ओर मुड़ते हैं, जिसने मुझे एक महत्वपूर्ण समस्या का समाधान प्राप्त करने की अनुमति दी। मुझे एक अंतर समीकरण दिया गया था



यह तुरंत ध्यान देने योग्य है कि अनन्तता पर स्थिति का मूल्य वास्तव में शून्य के बराबर अंतर समीकरण के दाईं ओर है, चित्र 20.IX

लेकिन चलो स्थिरता के मुद्दे को देखें। यदि कुछ पर्याप्त रूप से दूरस्थ बिंदु x पर y का मान काफी बड़ा हो जाता है, तो sinh ( y ) का मान बहुत बड़ा हो जाता है, दूसरा व्युत्पन्न एक बड़ा सकारात्मक मान लेता है, और वक्र प्लस इनफिनिटी की ओर गोली मारता है। इसी तरह, यदि yबहुत छोटा है, फिर वक्र शून्य से अनंत की ओर गोली मारता है। और यह बिल्कुल भी मायने नहीं रखता कि हम बाएं से दाएं जा रहे हैं या दाएं से बाएं। पहले, जब मैं दिशाओं के एक मोड़ क्षेत्र में आया था, तो मैंने स्पष्ट चाल का उपयोग किया: मैंने विपरीत दिशा में एकीकृत किया और सटीक समाधान प्राप्त किया। लेकिन इस मामले में, यह ऐसा है जैसे हम एक रेत के टीले के शिखर पर हैं और जैसे ही दोनों पैर एक ही ढलान पर हैं, हम टूट जाते हैं।



चित्र 20.IX

मैंने बिजली श्रृंखला में विस्तार का उपयोग करने की कोशिश की, गैर-बिजली श्रृंखला में विस्तार मूल वक्र को अनुमानित करता है, लेकिन समस्या दूर नहीं हुई, विशेष रूप से कश्मीर के बड़े मूल्यों के लिए। न तो मैं और न ही मेरे दोस्त कोई पर्याप्त समाधान देने में सक्षम थे। फिर मैं समस्या निर्देशकों के पास गया और सबसे पहले अनंत पर सीमा की स्थिति का विवाद करना शुरू किया, हालांकि, यह पता चला कि यह स्थिति अणुओं की परतों में मापी गई दूरी से संबंधित थी, और उस समय, किसी भी व्यावहारिक रूप से व्यवहार्य पिस्तौल की परतों की लगभग अनंत संख्या थी। तब मैंने समीकरण को विवाद करना शुरू कर दिया, और उन्होंने फिर से तर्क जीत लिया, और मुझे अपने कार्यालय में वापस जाना पड़ा और सोचना जारी रखा।

यह ट्रांजिस्टर के डिजाइन और समझ से संबंधित एक महत्वपूर्ण कार्य था जो उस समय विकसित किया जा रहा था। मैंने हमेशा यह तर्क दिया है कि यदि कार्य महत्वपूर्ण है और सही ढंग से पेश किया गया है, तो मैं कुछ समाधान पा सकता हूं। इसलिए, मेरे पास कोई विकल्प नहीं था, यह सम्मान की बात थी।

यह महसूस करने में मुझे कुछ दिनों का समय लगा कि अस्थिरता एक उपयुक्त विधि की कुंजी थी। मैंने एक छोटे से अंतराल पर डिफरेंशियल इक्वेशन का हल बनाया, जो उस समय मेरे पास मौजूद डिफरेंशियल एनालाइजर का उपयोग कर रहा था, और अगर सॉल्यूशन शॉट अप हो जाता है, तो इसका मतलब है कि मैंने बहुत ज्यादा कोणीय गुणांक चुना है, अगर यह नीचे गोली मारता है, तो मैंने भी चुना छोटा मूल्य। इस प्रकार, छोटे कदमों के साथ, मैं टिब्बा के शिखर पर चला गया, और जैसे ही निर्णय एक तरफ आया, मुझे पता था कि शिखा पर वापस जाने के लिए क्या किया जाना चाहिए। जैसा कि आप देख सकते हैं, पेशेवर गर्व एक अच्छा सहायक है जब आपको कठिन परिस्थितियों में एक महत्वपूर्ण कार्य का समाधान खोजने की आवश्यकता होती है। इस समस्या को हल करने के लिए मना करना कितना आसान था, इस तथ्य का संदर्भ देने के लिए कि यह अस्वीकार्य था,गलत तरीके से पेश किया गया या किसी अन्य बहाने को खोजने के लिए, लेकिन मुझे अभी भी विश्वास है कि महत्वपूर्ण और सही ढंग से किए गए कार्य आपको नई उपयोगी जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देते हैं। स्पेस चार्ज से संबंधित कई समस्याएं, जिन्हें मैंने कम्प्यूटेशनल विधियों का उपयोग करके हल किया, दोनों दिशाओं में अस्थिरता के साथ एक समान जटिलता जुड़ी थी।

आपको निम्नलिखित कहानी बताने से पहले, मैं आपको रोर्स्च परीक्षण की याद दिलाना चाहता हूं, जो मेरी युवावस्था के दौरान लोकप्रिय था। स्याही की एक बूंद को कागज की एक शीट पर लागू किया जाता है, जिसके बाद इसे आधे में मुड़ा हुआ होता है, और जब इसे फिर से खोल दिया जाता है, तो एक यादृच्छिक आकार का एक सममित धब्बा प्राप्त होता है। इन धमाकों का क्रम उन विषयों को दिखाया जाता है, जिन्हें यह बताने के लिए कहा जाता है कि वे क्या देखते हैं। उनके जवाबों का उपयोग उनके व्यक्तित्व की "विशेषताओं" का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। जाहिर है, जवाब उनकी कल्पना का एक अनुमान है, क्योंकि अनिवार्य रूप से इस स्थान का एक यादृच्छिक आकार है। यह आकाश में बादलों को देखने और जैसा वे दिखते हैं, उस पर चर्चा करने जैसा है। आप केवल अपनी कल्पना के फल पर चर्चा कर रहे हैं, वास्तविकता नहीं और यह कुछ हद तक, बादलों के बारे में नहीं, अपने बारे में नई बातें खोलता है। मेरा सुझाव है कि स्याही के दाग की विधि का अब उपयोग नहीं किया जाता है।

और अब कहानी पर चलते हैं। एक बार, बेला प्रयोगशालाओं के मेरे मनोवैज्ञानिक मित्र ने एक कार का निर्माण किया जिसमें 12 स्विच और दो प्रकाश बल्ब थे - लाल और हरे। आप स्विच सेट करते हैं, बटन दबाते हैं, और फिर एक लाल या हरी रोशनी आती है। पहले विषय के 20 प्रयासों के बाद, उन्होंने एक सिद्धांत का प्रस्ताव किया कि हरे रंग के प्रकाश बल्ब को कैसे प्रकाश में लाया जाए। यह सिद्धांत अगले शिकार पर पारित किया गया था, जिसके बाद उसने हरे रंग के प्रकाश बल्ब को कैसे प्रकाश में लाया जाए, इस सिद्धांत को प्रस्तावित करने के लिए 20 प्रयास किए थे। और इसलिए विज्ञापन infinitum पर। प्रयोग का उद्देश्य यह अध्ययन करना था कि सिद्धांत कैसे विकसित होते हैं।

लेकिन मेरे दोस्त, अपने ही अंदाज में अभिनय करते हुए, बल्बों को संकेतों के एक यादृच्छिक स्रोत से जोड़ा! एक बार उन्होंने मुझसे शिकायत की कि प्रयोग में एक भी प्रतिभागी नहीं था (और बेल प्रयोगशालाओं में सभी उच्च श्रेणी के शोधकर्ता थे) ने कहा कि कोई पैटर्न नहीं था। मैंने तुरंत सुझाव दिया कि उनमें से कोई भी सांख्यिकी या सूचना सिद्धांत के क्षेत्र में विशेषज्ञ नहीं था - यह इन दो प्रकार के विशेषज्ञ हैं जो यादृच्छिक घटनाओं से परिचित हैं। एक परीक्षण से पता चला कि मैं सही था!

यह आपकी शिक्षा का एक दुखद परिणाम है। आपने प्यार के साथ अध्ययन किया कि कैसे एक सिद्धांत को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, लेकिन आपने अध्ययन नहीं किया है कि एक सुंदर सिद्धांत को कैसे छोड़ दें और मौका स्वीकार करें। यह वही था जो आवश्यक था: यह मानने के लिए तैयार रहना कि अभी पढ़ा गया सिद्धांत उपयुक्त नहीं है, और डेटा में कोई नियमितता नहीं है, शुद्ध मौका!

मुझे इस पर और विस्तार से ध्यान देना होगा। सांख्यिकीविद लगातार खुद से पूछते हैं: "यह क्या है कि मेरा मतलब वास्तव में होता है, या यह सिर्फ यादृच्छिक शोर है?" उन्होंने इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए विशेष परीक्षण विधियों का विकास किया। उनके उत्तर निश्चित स्तर पर हां या ना में नहीं हैं, लेकिन एक निश्चित स्तर के विश्वास के साथ हां या नहीं में हैं। 90% की आत्मविश्वास की सीमा का मतलब है कि आमतौर पर 10 प्रयासों में से, आपको केवल एक बार गलत किया जाएगा, बशर्ते कि अन्य सभी परिकल्पनाएं सही हों।इस मामले में, दो चीजों में से एक: या तो आपने पाया कि क्या नहीं है (पहली तरह की एक त्रुटि) या आपने जो खोजा था वह चूक गया (दूसरी तरह की त्रुटि)। 95% का आत्मविश्वास स्तर प्राप्त करने के लिए बहुत अधिक डेटा की आवश्यकता होती है, और वर्तमान में डेटा संग्रह बहुत महंगा हो सकता है। अतिरिक्त डेटा के संग्रह के लिए भी अतिरिक्त समय की आवश्यकता होती है और निर्णय लेने को स्थगित कर दिया जाता है - यह उन लोगों की पसंदीदा चाल है जो अपने निर्णयों के लिए जिम्मेदार नहीं होना चाहते हैं। "अधिक जानकारी की आवश्यकता है," वे आपको बताएंगे।

मैं पूरी तरह से गंभीरता से पुष्टि करता हूं कि अधिकांश सिमुलेशन प्रदर्शन एक रोरशच परीक्षण से ज्यादा कुछ नहीं हैं। मैं जे फॉरेस्टर से नियंत्रण सिद्धांत के एक उत्कृष्ट अभ्यासी को उद्धृत करूंगा: “प्रणाली के व्यवहार से, संदेह उठता है कि प्रारंभिक मान्यताओं की समीक्षा की आवश्यकता होती है। भागों के बारे में प्रारंभिक मान्यताओं और पूरे के मनाया व्यवहार के प्रसंस्करण की प्रक्रिया से, हम सिस्टम की संरचना और गतिशीलता के बारे में हमारी समझ में सुधार करते हैं। यह पुस्तक लेखक द्वारा पूरे किए गए कई अध्ययन चक्रों का परिणाम है। ”

एक आम आदमी इसे रोर्स्च परीक्षण से कैसे अलग कर सकता है? क्या उसने कुछ बस देखा क्योंकि वह उसे देखना चाहता था या वास्तविकता का एक नया पहलू खोजा था? दुर्भाग्य से, बहुत बार मॉडलिंग में कुछ समायोजन होते हैं जो आपको "केवल वही देखना है जो आप चाहते हैं।" यह कम से कम प्रतिरोध का मार्ग है, यही कारण है कि शास्त्रीय विज्ञान में बड़ी संख्या में सावधानियां शामिल हैं, जिन्हें हमारे समय में अक्सर केवल अनदेखा किया जाता है।

क्या आपको लगता है कि आप पर्याप्त रूप से सावधान हैं इच्छाधारी सोच नहीं है? आइए प्रसिद्ध डबल-ब्लाइंड अध्ययन पर ध्यान दें, जो चिकित्सा में एक आम बात है। सबसे पहले, डॉक्टरों ने पाया कि मरीजों ने एक सुधार पर ध्यान दिया जब उन्हें लगा कि वे एक नई दवा प्राप्त कर रहे हैं, जबकि नियंत्रण समूह के रोगियों को पता था कि उन्हें एक नई दवा नहीं मिल रही है। इसके बाद, डॉक्टरों ने समूहों को बेतरतीब कर दिया और कुछ रोगियों को प्लेसबो देना शुरू कर दिया ताकि वे डॉक्टरों को गुमराह न कर सकें। लेकिन उनके आतंक से, डॉक्टरों ने पता लगाया कि जो डॉक्टर जानते थे कि कौन दवा ले रहा था और कौन नहीं, उन लोगों में भी सुधार पाया गया जिन्होंने इसकी उम्मीद की थी और उन लोगों में सुधार नहीं हुआ जिन्होंने इसकी उम्मीद नहीं की थी।अंतिम उपाय के रूप में, डॉक्टरों ने डबल-ब्लाइंड अध्ययन पद्धति को सार्वभौमिक रूप से अपनाना शुरू किया - जब तक कि सभी डेटा एकत्र नहीं किए जाते हैं, न तो डॉक्टर और न ही मरीज़ों को पता होता है कि कौन नई दवा ले रहा है और कौन नहीं। प्रयोग के अंत में, सांख्यिकीविद् सील लिफाफा खोलते हैं और विश्लेषण करते हैं। ईमानदारी की मांग करने वाले डॉक्टरों ने पाया कि वे खुद नहीं थे। क्या आप अनुकरण इतना बेहतर कर रहे हैं कि आप पर भरोसा किया जा सकता है? क्या आप वाकई सुनिश्चित हैं कि आपको वह नहीं मिला जो आप खोजने के लिए इतने उत्सुक थे? आत्म-धोखा बहुत आम है।क्या आप अनुकरण इतना बेहतर कर रहे हैं कि आप पर भरोसा किया जा सकता है? क्या आप वाकई सुनिश्चित हैं कि आपको वह नहीं मिला जो आप खोजने के लिए इतने उत्सुक थे? आत्म-धोखा बहुत आम है।क्या आप अनुकरण इतना बेहतर कर रहे हैं कि आप पर भरोसा किया जा सकता है? क्या आप वाकई सुनिश्चित हैं कि आपको वह नहीं मिला जो आप खोजने के लिए इतने उत्सुक थे? आत्म-धोखा बहुत आम है।

मैंने प्रश्न पूछकर अध्याय 19 को शुरू किया, हर किसी को अनुकरण पर विश्वास क्यों करना चाहिए? अब यह समस्या आपके लिए और अधिक स्पष्ट हो गई है। इस सवाल का जवाब देना इतना आसान नहीं है जब तक कि आप आमतौर पर बहुत अधिक एहतियाती उपाय नहीं करते हैं। यह भी याद रखें कि आपके उच्च तकनीक वाले भविष्य में, सबसे अधिक संभावना है, आप सिमुलेशन के ग्राहक पक्ष का प्रतिनिधित्व करेंगे, और इसके परिणामों के आधार पर आपको निर्णय लेने होंगे। प्रश्न "क्या होगा ...?" का उत्तर पाने के लिए मॉडलिंग के अलावा कोई अन्य तरीका नहीं है। अध्याय 18 में, मैंने उन फैसलों पर विचार किया जो किए जाने चाहिए, और हर समय बंद नहीं करना चाहिए, अगर संगठन अंतहीन रूप से अफवाह और बहाव के लिए नहीं जा रहा है - मेरा मानना ​​है कि आप उन लोगों में से होंगे जिन्हें निर्णय लेना होगा।

सवाल का जवाब देने के लिए मॉडलिंग करना आवश्यक है "यदि ...?", लेकिन एक ही समय में यह नुकसान से भरा है, और आपको इसके परिणामों पर भरोसा नहीं करना चाहिए, क्योंकि बड़े मानव और हार्डवेयर संसाधनों का उपयोग एक ऑसिलोस्कोप पर सुंदर रंग प्रिंट या घटता प्राप्त करने के लिए किया गया था। यदि आप अंतिम निर्णय लेने वाले व्यक्ति हैं, तो सारी जिम्मेदारी आपके साथ है। कॉलेजियम के फैसले जो ज़िम्मेदारी का कारण बनते हैं, शायद ही कभी अच्छी प्रैक्टिस होती है - वे आमतौर पर एक औसत समझौता होता है जिसमें किसी भी संभावित रास्ते की खूबियों का अभाव होता है। अनुभव ने मुझे सिखाया है कि एक निर्णायक बॉस एक जॉबरिंग बॉस की तुलना में बहुत बेहतर है। इस मामले में, आप वास्तव में जानते हैं कि आप कहां हैं और उस काम को जारी रख सकते हैं जिसे करने की आवश्यकता है।

सवाल "क्या हुआ अगर ...?" अक्सर आप भविष्य में सामना करेंगे, इसलिए आपको परिणामों को चुनौती देने और जहां आवश्यक हो, विवरण को समझने के लिए तैयार रहने के लिए मूल बातें और मॉडलिंग क्षमताओं से निपटने की आवश्यकता है।

जारी रखने के लिए ...

जो पुस्तक के अनुवाद, लेआउट और प्रकाशन में मदद करना चाहता है - एक व्यक्तिगत ईमेल या ई-मेल magisterludi2016@yandex.ru में लिखें

, वैसे, हमने एक और शांत पुस्तक का अनुवाद भी शुरू किया - "द ड्रीम मशीन: कंप्यूटर क्रांति का इतिहास" )