मेरे शिक्षक की स्मृति में, नोवोकैरेस्क पॉलिटेक्निक संस्थान के भौतिकी और गणित संकाय के प्रमुख डीन, सैद्धांतिक यांत्रिकी विभाग के प्रमुख, अलेक्जेंडर निकोलेविच काबेलकोव

परिचय

अगस्त, गर्मियों के करीब है। लोगों ने जमकर हंगामा किया, और हाँ यह आश्चर्यजनक नहीं है - मौसम ही। और इस बीच, हेबर पर, छद्म विज्ञान खिलता है और हिंसक रंग की गंध आती है । यदि हम "मॉडलिंग ..." के इस मुद्दे के विषय में बात करते हैं, तो इसमें हम व्यापार को खुशी के साथ जोड़ देंगे - हम वादा किया हुआ चक्र जारी रखेंगे और आधुनिक युवाओं के जिज्ञासु दिमागों के लिए इस बहुत ही छद्म विज्ञान के साथ थोड़ा संघर्ष करेंगे।


लेकिन यह सवाल वैध नहीं है - स्कूल के वर्षों से, हम मानते थे कि हमारा सबसे नजदीकी उपग्रह बाह्य अंतरिक्ष में है - चंद्रमा 29.5 दिनों की अवधि के साथ पृथ्वी के चारों ओर घूमता है, विशेषकर संबंधित विवरणों के बिना। वास्तव में, हमारा पड़ोसी एक प्रकार का और कुछ हद तक अद्वितीय खगोलीय वस्तु है, जिसके आंदोलन के साथ पृथ्वी के चारों ओर यह इतना सरल नहीं है जितना कि विदेश में मेरे कुछ सहयोगियों को पसंद आएगा।

अतः, एक तरफ के ध्रुवीय को छोड़कर, हम विभिन्न पक्षों से, अपनी क्षमता की सीमा तक, बिना शर्त सुंदर, दिलचस्प और बहुत ही खुलासा कार्य पर विचार करने का प्रयास करेंगे।

1. गुरुत्वाकर्षण का नियम और इससे हम क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं

सर आइजक न्यूटन द्वारा 17 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में खोजे गए गुरुत्वाकर्षण के नियम से पता चलता है कि चंद्रमा पृथ्वी (और पृथ्वी से चंद्रमा पर आकर्षित होता है!) एक बल के साथ निर्देशित होता है जो विचार के तहत आकाशीय केंद्र के केंद्रों को जोड़ने और परिमाण में बराबर होता है!

$$

$$F_ {1,2} = G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} 2}$$

जहाँ m ₁ , m ₂ चंद्रमा और पृथ्वी के क्रमशः द्रव्यमान हैं; G = 6.67e-11 m ³ / (kg * s ² ) - गुरुत्वाकर्षण स्थिर; r _1,2 चंद्रमा और पृथ्वी के केंद्रों के बीच की दूरी है। यदि हम केवल इस बल को ध्यान में रखते हैं, तो, पृथ्वी के उपग्रह के रूप में चंद्रमा की गति की समस्या को हल किया है और सितारों की पृष्ठभूमि के खिलाफ आकाश में चंद्रमा की स्थिति की गणना करना सीखा है, हम जल्द ही चंद्रमा के भूमध्यरेखीय निर्देशांक के प्रत्यक्ष माप से आश्वस्त हो जाएंगे, कि हमारे कंजर्वेटरी में सब कुछ उतना आसान नहीं है। मैं करना चाहूंगा। और यहाँ बिंदु सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम नहीं है (और खगोलीय यांत्रिकी के विकास के शुरुआती चरणों में इस तरह के विचार अक्सर व्यक्त किए गए थे), लेकिन अन्य निकायों से चंद्रमा की गति का बेहिसाब आक्रोश। कौन-कौन से? हम आकाश को देखते हैं और हमारी टकटकी तुरंत एक भारी पर टिकी हुई है, हमारी नाक के नीचे 1.99e30 किलोग्राम प्लाज्मा बॉल का द्रव्यमान - सूर्य। क्या चंद्रमा सूर्य की ओर आकर्षित होता है? ठीक उसी तरह, जैसे कोई बल पूर्ण मूल्य में हो

$$

$$F_ {1,3} = G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} = 2}$$

जहाँ m ₃ सूर्य का द्रव्यमान है; r _1.3 चंद्रमा से सूर्य की दूरी है। पिछले एक के साथ इस शक्ति की तुलना करें।

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {G \ _, \ frac {m_1 \ _, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}} {G \ _, frac {m_1 \ _, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {r_ {1,2}} {r_ {1,3}}} \ right) ^ 2$$

आइए हम उन पिंडों की स्थिति लें जिनमें चंद्रमा का सूर्य के प्रति आकर्षण न्यूनतम होगा: तीनों पिंड एक सीधी रेखा में हैं और पृथ्वी चंद्रमा और सूर्य के बीच स्थित है। इस स्थिति में, हमारा सूत्र फॉर्म लेगा:

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {\ _ rho} {a + \ rho} \ right) - 2$$

जहाँ $$$\ rho = 3,844 \ cdot 10 ^ {8}$ , मी - पृथ्वी से चंद्रमा तक की औसत दूरी; $$$a = 1,496 \ cdot10 ^ {11}$ , मी - पृथ्वी से सूर्य की औसत दूरी। हम इस सूत्र में वास्तविक मापदंडों को प्रतिस्थापित करते हैं

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {1.99 \ cdot 10 ^ {30}} {5.98 \ cdot10 ^ {24}}, \ left (\ frac (3.844) \ cdot10 ^ {8}} {1.496 \ cdot10 ^ {11} + 3.844 \ cdot10 ^ {8}} \ right) ^ 2 = $ 2.1$$

यह संख्या है! यह पता चलता है कि चंद्रमा सूर्य से पृथ्वी पर अपने आकर्षण बल के दोगुने से अधिक बल से आकर्षित होता है।

इस तरह की गड़बड़ी को अब नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है और यह निश्चित रूप से चंद्रमा के अंतिम प्रक्षेप को प्रभावित करेगा। आइए, इस धारणा को ध्यान में रखते हुए कि पृथ्वी की कक्षा त्रिज्या के साथ गोलाकार है, हम पृथ्वी के चारों ओर के बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान पाते हैं, जहाँ पृथ्वी पर किसी भी वस्तु के आकर्षण बल सूर्य के आकर्षण बल के बराबर है। यह एक दायरे वाली जगह होगी

$$

$$R = \ frac {a, \ sqrt {\ gamma}} {1 - \ gamma}$$

दूरी से सूर्य की दिशा के विपरीत पृथ्वी और सूर्य को जोड़ने वाली रेखा के साथ विस्थापित

$$

$$l = R \, \ sqrt {\ gamma}$$

जहाँ $$$\ Gamma = m_2 / m_3$ - सूर्य के द्रव्यमान से पृथ्वी के द्रव्यमान का अनुपात। मापदंडों के संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम इस क्षेत्र के वास्तविक आयामों को प्राप्त करते हैं: आर = 259300 किलोमीटर, और एल - 450 किलोमीटर। इस गोले को सूर्य के सापेक्ष पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण का क्षेत्र कहा जाता है।

चंद्रमा की ज्ञात कक्षा इस क्षेत्र के बाहर स्थित है। यही है, प्रक्षेपवक्र पर किसी भी बिंदु पर, चंद्रमा पृथ्वी की तरफ से सूर्य की तरफ से काफी अधिक आकर्षण का अनुभव करता है।

2. उपग्रह या ग्रह? गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र

यह जानकारी अक्सर बहस को जन्म देती है कि चंद्रमा पृथ्वी का उपग्रह नहीं है, बल्कि सौर मंडल का एक स्वतंत्र ग्रह है, जिसकी कक्षा पास के पृथ्वी के आकर्षण से परेशान है।

आइए हम पृथ्वी के सापेक्ष चंद्रमा के प्रक्षेपवक्र में सूर्य द्वारा पेश किए गए गड़बड़ी का मूल्यांकन करते हैं, साथ ही पृथ्वी द्वारा सूर्य के सापेक्ष चंद्रमा के प्रक्षेपवक्र में पेश किए गए मानदंड के लिए, पी। लाप्लास द्वारा प्रस्तावित मानदंड का उपयोग करते हैं। तीन निकायों पर विचार करें: सूर्य (S), पृथ्वी (E) और चंद्रमा (M)।
हम मानते हैं कि पृथ्वी के सूर्य और चंद्रमा के सापेक्ष पृथ्वी की परिक्रमाएं गोलाकार हैं।


एक भूस्थैतिक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में चंद्रमा की गति पर विचार करें। हेलियोसेंट्रिक संदर्भ प्रणाली में चंद्रमा का पूर्ण त्वरण उस पर अभिनय करने वाली गुरुत्वाकर्षण बलों द्वारा निर्धारित किया जाता है और इसके बराबर होता है:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac + 1} { m_1} \, \ vec F_ {1,2}$$

दूसरी ओर, कोरिओलिस प्रमेय के अनुसार, चंद्रमा का पूर्ण त्वरण

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1,2}$$

जहाँ $$$\ vec a_2$ - सूर्य के सापेक्ष पृथ्वी के त्वरण के बराबर पोर्टेबल त्वरण; $$$\ vec a_ {1,2}$ - चंद्रमा पृथ्वी के सापेक्ष त्वरण। यहां कोई कोरिओलिस त्वरण नहीं होगा - हमारे द्वारा चुनी गई समन्वय प्रणाली उत्तरोत्तर चलती है। यहाँ से हमें पृथ्वी के सापेक्ष चंद्रमा का त्वरण प्राप्त होता है

$$

$$\ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2} - vec a_2$$

इस त्वरण के बराबर का हिस्सा $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ पृथ्वी के लिए चंद्रमा के आकर्षण के कारण और इसके unperturbed geocentric आंदोलन की विशेषता है। बाकी का

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1,3} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} - \ vec a_2$$

सूर्य से अशांति के कारण चंद्रमा का त्वरण।

यदि हम एक हेलियोसेंट्रिक इनर्टियल रेफरेंस सिस्टम में चंद्रमा की गति पर विचार करते हैं, तो सब कुछ बहुत सरल, त्वरण है $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3}$ चंद्रमा के अविभाजित हेलियोसेंट्रिक आंदोलन और त्वरण की विशेषता है $$$\ Delta \ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ - पृथ्वी की ओर से इस आंदोलन की गड़बड़ी।

वर्तमान काल में पृथ्वी और चंद्रमा की कक्षाओं के मापदंडों को देखते हुए, असमानता

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2}} | {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

जिसे प्रत्यक्ष गणना द्वारा चेक किया जा सकता है, लेकिन मैं स्रोत का उल्लेख करूंगा, ताकि अनावश्यक रूप से लेख को अव्यवस्थित न किया जाए।

असमानता (1) का क्या अर्थ है? हां, यह तथ्य कि वास्तव में सूर्य द्वारा चंद्रमा के गड़बड़ी का प्रभाव (और बहुत महत्वपूर्ण) पृथ्वी पर चंद्रमा के आकर्षण के प्रभाव से कम है। इसके विपरीत, चंद्रमा के भूगर्भीय प्रक्षेपवक्र के पृथ्वी के आक्रोश का उसकी गति की प्रकृति पर एक निर्णायक प्रभाव पड़ता है। इस मामले में पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव अधिक महत्वपूर्ण है, जिसका अर्थ है कि चंद्रमा "अधिकार" पृथ्वी के पास है और इसका उपग्रह है।

एक और बात दिलचस्प है - असमानता (1) को एक समीकरण में बदलना, आप उन बिंदुओं की ज्यामितीय जगह पा सकते हैं जहां चंद्रमा और किसी भी अन्य पिंड के गड़बड़ी के प्रभाव पृथ्वी और सूर्य के लिए समान हैं। दुर्भाग्य से, यह इतना सरल नहीं है जितना कि गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र में। गणना से पता चलता है कि यह सतह पागल क्रम के समीकरण द्वारा वर्णित है, लेकिन क्रांति के एक दीर्घवृत्त के करीब है। हम सभी अनावश्यक परेशानियों के बिना पृथ्वी के केंद्र के सापेक्ष इस सतह के समग्र आयामों का मूल्यांकन कर सकते हैं। समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करना

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2}} | {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

पृथ्वी के केंद्र से पर्याप्त संख्या में वांछित सतह पर दूरी के सापेक्ष, हम ग्रहण सतह द्वारा वांछित सतह के क्रॉस सेक्शन को प्राप्त करते हैं


स्पष्टता के लिए, चंद्रमा की भूगर्भीय कक्षा और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण का क्षेत्र जो हमने सूर्य के सापेक्ष पाया है, यहाँ दिखाया गया है। यह इस आंकड़े से देखा जा सकता है कि सूर्य के सापेक्ष पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्रिया के प्रभाव का क्षेत्र या क्षेत्र, एक्स अक्ष के सापेक्ष क्रांति की सतह है, जो पृथ्वी और सूर्य को जोड़ने वाली सीधी रेखा के साथ-साथ चपटा हुआ है (ग्रहण अक्ष के साथ)। इस काल्पनिक सतह के अंदर चंद्रमा की कक्षा गहरी है।

व्यावहारिक गणना के लिए, इस सतह को आसानी से पृथ्वी के केंद्र में एक केंद्र और एक त्रिज्या के बराबर क्षेत्र द्वारा अनुमानित किया गया है

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m} {M} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

जहाँ m एक छोटे खगोलीय पिंड का द्रव्यमान है; M एक बड़े पिंड का द्रव्यमान है जिसके गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक छोटा पिंड चलता है; a निकायों के केंद्रों के बीच की दूरी है। हमारे मामले में

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m_2} {m_3} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \, \ left (\ frac / 5.98 \ cdot10) ^ {24}} {1.99 \ cdot10 ^ {30}} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000, \, किमी$$

यह अधूरा मिलियन किलोमीटर वह सैद्धांतिक सीमा है जिसके आगे पृथ्वी की बूढ़ी औरत की शक्ति का विस्तार नहीं होता है - खगोलीय पिंडों के प्रक्षेपवक्र पर उसका प्रभाव इतना छोटा है कि इसे उपेक्षित किया जा सकता है। इसका मतलब है कि चंद्रमा को पृथ्वी से 38.4 मिलियन किलोमीटर की दूरी पर एक गोलाकार कक्षा में लॉन्च करना (जैसा कि कुछ भाषाविद करते हैं) विफल हो जाएगा, यह शारीरिक रूप से असंभव है।

यह क्षेत्र, तुलना के लिए, नीले रंग की धराशायी रेखा द्वारा दिखाया गया है। मूल्यांकन की गणना में, यह माना जाता है कि इस क्षेत्र के अंदर एक शरीर पृथ्वी के किनारे से विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण का अनुभव करेगा। यदि शरीर इस क्षेत्र से बाहर है, तो हम मानते हैं कि शरीर सूर्य के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में चलता है। व्यावहारिक अंतरिक्ष यात्रियों में, शंकु वर्गों को संयोजित करने की विधि ज्ञात है, जो दो-शरीर की समस्या के समाधान का उपयोग करके अंतरिक्ष यान के प्रक्षेपवक्र की गणना करने की अनुमति देता है। इसके अलावा, सभी स्थान जो तंत्र पर काबू पाते हैं, समान प्रभाव क्षेत्र में विभाजित होते हैं।

उदाहरण के लिए, अब यह स्पष्ट है कि निकट-चंद्रमा की कक्षा में प्रवेश करने के लिए युद्धाभ्यास करने की सैद्धांतिक क्षमता होने के लिए, अंतरिक्ष यान को पृथ्वी के सापेक्ष चंद्रमा की कार्रवाई के क्षेत्र के अंदर गिरना होगा। इसकी त्रिज्या आसानी से सूत्र (3) द्वारा गणना की जाती है और यह 66 हजार किलोमीटर है।

इस प्रकार, चंद्रमा को पृथ्वी का एक उपग्रह माना जा सकता है। हालांकि, सूर्य के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के महत्वपूर्ण प्रभाव के कारण, यह केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में नहीं चलता है, जिसका अर्थ है कि इसका प्रक्षेपवक्र एक शंक्वाकार खंड नहीं है।

3. शास्त्रीय सूत्रीकरण में तीन-शरीर की समस्या

इसलिए, हम एक सामान्य सेटिंग में एक मॉडल समस्या पर विचार करेंगे, जिसे आकाशीय यांत्रिकी में तीन-शरीर समस्या के रूप में जाना जाता है। आइए हम अंतरिक्ष में मनमाने ढंग से स्थित मनमाने द्रव्यमान के तीन पिंडों पर विचार करें और विशेष रूप से आपसी गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बलों के प्रभाव में चलें


हम निकायों को भौतिक बिंदु मानते हैं। निकायों की स्थिति को एक मनमाने ढंग से आधार पर गिना जाएगा, जिसके साथ जड़त्वीय संदर्भ प्रणाली ऑक्सीज़ जुड़ी हुई है। प्रत्येक निकायों की स्थिति क्रमशः त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्धारित की जाती है $$$\ vec r_1$ । $$$\ vec r_2$ और $$$\ vec r_3$ । दो अन्य पिंडों की तरफ से गुरुत्वाकर्षण आकर्षण का बल, प्रत्येक पिंड पर कार्य करता है, इसके अलावा, बिंदु गतिकी के तीसरे स्वयंसिद्ध के अनुसार (न्यूटन का तीसरा नियम)

$$

$$\ vec F_ {i, j} = - \ vec F_ {j, i} \ quad \ quad (4)$$

हम वेक्टर बिंदु में प्रत्येक बिंदु की गति के अंतर समीकरण लिखते हैं

$$

$$\ start {align} & m_1 \ _, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ _ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ vec F_ {2,1} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3,1} + \ vec F_ {3,2} \ end {संरेखित}$$

या, खाते में लेने (4)

$$

$$\ start {align} & m_1 \ _, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ _ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,3} - \ vec F_ {2,3} \ end {संरेखित}$$

सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के कानून के अनुसार, बातचीत की ताकतों को वैक्टर के साथ निर्देशित किया जाता है

$$

$$\ start {align} & vec r_ {1,2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1,3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & vec r_ {2 , 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {संरेखित}$$

इनमें से प्रत्येक वैक्टर के साथ, हम एक संबंधित इकाई वेक्टर जारी करते हैं

$$

$$\ vec e_ {i, j} = \ frac {1} {r_ {i, j}} \, \ vec r_ {i, j}$$

फिर प्रत्येक गुरुत्वाकर्षण बल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

$$

$$\ vec F_ {i, j} = G \, \ frac {m_i \, m_j} {r_ {i, j} ^ 2} \, \ vec e_ {i, j}$$

यह सब देखते हुए, गति के समीकरणों की प्रणाली रूप लेती है

$$

$$\ start {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \ _ m_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2 } + \ _ frac {G \ _ m_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = = \ frac {G_, m_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {G \ _ m_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ _ vec r_ {2,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \ _, m_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {G \ _ m_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ अंत {संरेखित}$$

हम आकाशीय यांत्रिकी में स्वीकार किए गए संकेतन का परिचय देते हैं

$$

$$\ mu_i = G \, m_i$$

आकर्षित करने वाले केंद्र का गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है। फिर गति के समीकरण अंतिम वेक्टर रूप लेंगे

$$

$$\ start {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ _ mu_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ _rac {\ _ mu_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ _ mu_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ _ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ _rac {\ _ mu_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ अंत {align}$$

4. आयाम रहित चर के समीकरणों का राशन

गणितीय मॉडलिंग में एक काफी लोकप्रिय तकनीक अंतर समीकरणों और अन्य संबंधों की कमी है जो प्रक्रिया को आयाम रहित चरण निर्देशांक और आयाम रहित समय का वर्णन करती है। अन्य मापदंडों को भी सामान्यीकृत किया जाता है। यह हमें संख्यात्मक मॉडलिंग के उपयोग के साथ विचार करने की अनुमति देता है, लेकिन एक सामान्य रूप में विशिष्ट समस्याओं का एक पूरा वर्ग है। मैं इस सवाल को छोड़ देता हूं कि इसे हल करने के लिए प्रत्येक समस्या में कितना उचित है, लेकिन मैं सहमत हूं कि इस मामले में यह दृष्टिकोण काफी उचित है।

तो, हम एक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर के साथ कुछ अमूर्त खगोलीय पिंड का परिचय देते हैं $$$\ _मु$ , जैसे कि प्रमुख अर्ध-अक्ष के साथ अण्डाकार कक्षा में उपग्रह के घूमने की अवधि $$$एक$ चारों ओर यह बराबर है $$$T$ । ये सभी मात्राएं, यांत्रिकी के नियमों के आधार पर, संबंध से संबंधित हैं

$$

$$T = 2 \, \ pi \, \ बाएँ (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$$

हम मापदंडों के प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं। हमारे सिस्टम के बिंदुओं की स्थिति के लिए

$$

$$\ vec r_i = a a, \ vec \ xi_i$$

जहाँ $$$\ vec \ xi_i$ - आई-वें बिंदु के आयाम रहित त्रिज्या वेक्टर;
निकायों के गुरुत्वाकर्षण मापदंडों के लिए

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \, \ m $$$

जहाँ $$$\ _ varkappa_i$ - आई-वें बिंदु के आयाम रहित गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर;
समय के लिए

$$

$$t = T \, \ tau$$

जहाँ $$$\ _ ताऊ$ - आयाम रहित समय।

अब, हम इन आयाम रहित मापदंडों के माध्यम से सिस्टम के त्वरण बिंदुओं को पुनर्गणना करते हैं। हम प्रत्यक्ष दुगना समय भेदभाव लागू करते हैं। गति के लिए

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a a, \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T}, \ frac {d \ vec \ _ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \ _, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ _ mu} {a}}, \ frac {d \ vec \ xc_i} {d \ tau }$$

त्वरण के लिए

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \ _, \ pi} \, \ sqrt {\ _ frac {\ _ mu} {a}, \ frac {1 } {dt} \ left (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ right) = \ frac {1} {4 \ _, \ pi ^ 2} \ _, \ frac {\ _ m}} {a ^ 2} \, \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

जब प्राप्त संबंधों को गति के समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हर चीज सुंदर समीकरणों में ढल जाती है:

$$

$$\ start {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi -3_ \ vec \ xi_1} {\ _ vec \ xi_3 | -> vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \ _, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \ _, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \ _, \ _ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} | {। \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} -4 \ _, \ pi ^ 2 \ _, \ varkappa_1 \ _, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {= \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \ _ | \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| | \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {संरेखित}$$

समीकरणों की इस प्रणाली को अभी भी विश्लेषणात्मक कार्यों में नहीं देखा जा सकता है। क्यों माना जाता है और क्या नहीं है? क्योंकि एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत की सफलताओं ने इस तथ्य को जन्म दिया कि 1912 में तीन-शरीर की समस्या का एक सामान्य समाधान दिखाई दिया - कार्ल ज़ुंडमैन ने एक जटिल पैरामीटर के संबंध में अनंत श्रृंखला के लिए गुणांक खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म पाया, जो सैद्धांतिक रूप से तीन-शरीर की समस्या का एक सामान्य समाधान है। लेकिन ... उनके लिए आवश्यक सटीकता के साथ व्यावहारिक गणना में सुंदरमन श्रृंखला के आवेदन के लिए, इन श्रृंखलाओं के ऐसे कई सदस्यों को प्राप्त करने की आवश्यकता है कि यह कार्य आज भी कंप्यूटर की क्षमताओं से अधिक है।

इसलिए, संख्यात्मक एकीकरण समीकरण के समाधान का विश्लेषण करने का एकमात्र तरीका है (5)

5. प्रारंभिक स्थितियों की गणना: हम प्रारंभिक डेटा प्राप्त करते हैं

जैसा कि मैंने पहले लिखा था , संख्यात्मक एकीकरण शुरू करने से पहले, आपको समस्या के हल के लिए प्रारंभिक स्थितियों की गणना करने का ध्यान रखना चाहिए। विचाराधीन समस्या में, प्रारंभिक परिस्थितियों की खोज एक स्वतंत्र उपप्रकार में बदल जाती है, क्योंकि सिस्टम (5) हमें नौ सेकंड-ऑर्डर स्केलर समीकरण देता है, जो सामान्य कैची फॉर्म से गुजरते समय सिस्टम के क्रम को 2 के कारक से बढ़ाता है। यही है, हमें सिस्टम में सभी बिंदुओं के प्रारंभिक वेग के प्रारंभिक पदों और घटकों - 18 मापदंडों के रूप में गणना करने की आवश्यकता है। हम उन खगोलीय पिंडों की स्थिति पर डेटा कहां से लाते हैं जो हमारी रुचि रखते हैं? हम एक ऐसी दुनिया में रहते हैं जहां एक व्यक्ति चाँद पर चला गया - स्वाभाविक रूप से, मानवता को इस बात की जानकारी होनी चाहिए कि यह बहुत चाँद कैसे चलता है और यह कहाँ स्थित है।

यही है, आप कहते हैं, आप, यार, हमें अलमारियों से मोटी खगोलीय किताबें लेने की पेशकश कर रहे हैं, उन्हें धूल उड़ा दें ... अनुमान मत करो! मैं उन लोगों के लिए नासा में जाने का सुझाव देता हूं जो वास्तव में चंद्रमा पर चले गए, अर्थात् जेट प्रोपल्शन प्रयोगशाला, पासाडेना, कैलिफोर्निया। यहाँ - JPL Horizonts वेब इंटरफ़ेस ।

यहां, इंटरफ़ेस का अध्ययन करने में कुछ समय बिताया है, हमें वह सभी डेटा मिलेगा जो हमें चाहिए। उदाहरण के लिए, तिथि चुनें, हां, हम परवाह नहीं करते हैं, लेकिन 27 जुलाई, 2018 UT 20:21 है। बस इसी क्षण, चंद्र ग्रहण का पूर्ण चरण देखा गया। कार्यक्रम हमें एक विशाल फुटक्लॉथ देगा


Brrr, यह क्या है? घबराहट के बिना, किसी के लिए डरने की कोई बात नहीं है जिसने स्कूल में खगोल विज्ञान, यांत्रिकी और गणित का अच्छी तरह से अध्ययन किया है। तो, सबसे महत्वपूर्ण चीज चंद्रमा के अंतिम मांग वाले निर्देशांक और वेग घटक हैं।

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

हाँ, हाँ, हाँ, वे कार्टेशियन हैं! यदि आप ध्यान से पूरे फुटक्लॉथ को पढ़ते हैं, तो हम यह पता लगाएंगे कि इस समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति पृथ्वी के केंद्र के साथ मेल खाती है। XY प्लेन J2000 के युग के लिए पृथ्वी की कक्षा (एक्लिप्टिक प्लेन) के विमान में स्थित है। एक्स अक्ष को पृथ्वी के भूमध्य रेखा के चौराहे की रेखा और मौखिक विषुव के प्रति ग्रहण के साथ निर्देशित किया जाता है। Z अक्ष, पृथ्वी के उत्तरी ध्रुव की दिशा में अण्डाकार तल पर दिखता है। खैर, वाई अक्ष सही तीन वैक्टर के लिए इस सभी खुशी का पूरक है। डिफ़ॉल्ट रूप से, समन्वयकारी इकाइयाँ: खगोलीय इकाइयाँ (नासा से स्मार्टीज़ किलोमीटर में स्वायत्त इकाई की परिमाण भी देती हैं)। गति की इकाइयाँ: खगोलीय इकाइयाँ प्रति दिन, दिन को 86400 सेकंड माना जाता है। पूरी स्टफिंग!

हम पृथ्वी के लिए इसी तरह की जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।


यहां, सौर मंडल के बायर्सेंट (द्रव्यमान का केंद्र) को मूल के रूप में चुना गया है। हमारे लिए ब्याज का डेटा

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

चंद्रमा के लिए, हमें सौर मंडल के बायर्सेंट के सापेक्ष निर्देशांक और गति की आवश्यकता है, हम उनकी गणना कर सकते हैं, या हम नासा से हमें ऐसा डेटा देने के लिए कह सकते हैं

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

अद्भुत! अब आपको फ़ाइल के साथ प्राप्त डेटा को थोड़ा संसाधित करने की आवश्यकता है।

6.38 तोते और एक तोता पंख

शुरू करने के लिए, हम पैमाने का निर्धारण करेंगे, क्योंकि गति के हमारे समीकरण (5) आयाम रहित रूप में लिखे गए हैं। नासा द्वारा प्रदान किया गया डेटा खुद हमें बताता है कि यह निर्देशांक के पैमाने के लिए एक खगोलीय इकाई लेने के लायक है। तदनुसार, हम सूर्य को मानक शरीर के रूप में लेंगे, जिससे हम अन्य निकायों के द्रव्यमान को सामान्य करेंगे, और सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की क्रांति की अवधि को समय के पैमाने के रूप में।

यह सब, ज़ाहिर है, बहुत अच्छा है, लेकिन हमने सूर्य के लिए प्रारंभिक शर्तें निर्धारित नहीं की हैं। "क्यों?" एक भाषाविद् मुझसे पूछेंगे। और मैं उत्तर दूंगा कि सूर्य गतिहीन है, लेकिन सौर मंडल के द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर अपनी कक्षा में घूमता है। यह सूर्य के लिए नासा के आंकड़ों को देखकर देखा जा सकता है।

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

आरजी पैरामीटर को देखते हुए, हम देखते हैं कि सूर्य सौर मंडल के बायिकेंटर के चारों ओर घूमता है, और 27 जुलाई, 2018 को, तारे का केंद्र उससे एक मिलियन किलोमीटर दूर है। संदर्भ के लिए सूर्य की त्रिज्या - 696 हजार किलोमीटर। यही है, सौर मंडल का बायर्सेंटर तारे की सतह से आधा मिलियन किलोमीटर की दूरी पर स्थित है। क्यों? हां, क्योंकि सूर्य के साथ बातचीत करने वाले अन्य सभी शरीर इसे त्वरण भी देते हैं, मुख्य रूप से, भारी बृहस्पति। तदनुसार, सूर्य की भी अपनी कक्षा है।

बेशक, हम इस डेटा को प्रारंभिक स्थितियों के रूप में चुन सकते हैं, लेकिन नहीं - हम मॉडल तीन-शरीर की समस्या को हल कर रहे हैं, और बृहस्पति और अन्य वर्ण इसमें शामिल नहीं हैं। तो यथार्थवाद की गिरावट, पृथ्वी और चंद्रमा की स्थिति और गति को जानने के बाद, हम सूर्य के लिए प्रारंभिक स्थितियों का पुनरावर्तन करते हैं, ताकि सूर्य-पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली के द्रव्यमान का केंद्र मूल में हो। हमारे यांत्रिक प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के लिए, समीकरण

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \, \ vec r_C = m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3$$

हम द्रव्यमान के केंद्र को मूल में रखते हैं, अर्थात हम पूछते हैं $$$\ vec r_C = 0$ तो

$$

$$m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3 = 0$$

कहाँ से

$$

$$\ _ {संरेखित करें & m_3 \ _, \ vec r_3 = -m_1 \ _, \ vec r_1 - m_2 \, \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \, \ vec r_2 \ end {संरेखित}$$

आइए चुनकर आयाम रहित निर्देशांक और मापदंडों पर चलते हैं $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad (6)$$

भिन्नता (6) समय के संबंध में और आयाम रहित समय के साथ, हम वेगों के लिए संबंध भी प्राप्त करते हैं

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \, \ vec u_1 - \ varkappa_2 \, \ vec u_2$$

जहाँ $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3}$

अब हम एक कार्यक्रम लिखेंगे जो हमारे चुने हुए "तोते" में प्रारंभिक शर्तें बनाएगा। हम किस पर लिखेंगे? बेशक पायथन में! आखिरकार, जैसा कि आप जानते हैं, यह गणितीय मॉडलिंग के लिए सबसे अच्छी भाषा है।

हालांकि, अगर हम कटाक्ष से दूर हो जाते हैं, तो हम वास्तव में इस उद्देश्य के लिए अजगर की कोशिश करेंगे, और क्यों नहीं? मैं निश्चित रूप से अपने जीथूब प्रोफाइल में सभी कोड का लिंक प्रदान करूंगा ।


कार्यक्रम समाप्त

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. गति और परिणामों के विश्लेषण के समीकरणों का एकीकरण

दरअसल, SciPy के लिए समीकरणों की एक प्रणाली तैयार करने के लिए एकीकरण को कम या ज्यादा मानक प्रक्रिया के लिए कम कर दिया गया है: ODE प्रणाली को कॉची के रूप में बदलना और संबंधित सॉल्वर फ़ंक्शन को कॉल करना। सिस्टम को कौची फॉर्म में बदलने के लिए, हम उसे याद करते हैं

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3} \ quad \ quad (7)$$

फिर सिस्टम के राज्य वेक्टर को पेश करना

$$

$$\ vec y = \ left [\ vec \ xi_1, \ vec \ xi_2, \ vec \ xi_1, \ vec u_1, \ vec u_2, \ vec u_3 \ right] ^ T$$

हम एक वेक्टर समीकरण में (7) और (5) घटाते हैं

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau, \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

मौजूदा प्रारंभिक स्थितियों के साथ (8) एकीकृत करने के लिए, हम थोड़ा, बहुत कम कोड लिखते हैं


आइए देखें कि हमें क्या मिला। हमारे चुने हुए शुरुआती बिंदु से पहले 29 दिनों के लिए चंद्रमा का स्थानिक प्रक्षेपवक्र


साथ ही साथ इसका प्रक्षेपण, अण्डाकार के तल में होता है।


"अरे चाचा, आप हमें क्या दे रहे हैं?" यह चक्र है! ”

सबसे पहले, यह एक सर्कल नहीं है - मूल से दाएं और नीचे प्रक्षेपवक्र के प्रक्षेपण में एक ध्यान देने योग्य है। दूसरी बात - कुछ नज़र नहीं आता? नहीं, सच में?


मैं इस तथ्य के लिए एक औचित्य तैयार करने का वादा करता हूं (खाता त्रुटियों और नासा डेटा के विश्लेषण के आधार पर) कि प्राप्त पथ ऑफसेट एकीकरण त्रुटियों का परिणाम नहीं है। अब तक मैं पाठक को इसके लिए अपना शब्द लेने का सुझाव देता हूं - यह विस्थापन चंद्र प्रक्षेपवक्र की सौर गड़बड़ी का परिणाम है। एक और मोड़



किस समय! इसके अलावा, इस तथ्य पर ध्यान दें कि, समस्या के प्रारंभिक आंकड़ों के आधार पर, सूर्य ठीक उसी तरफ स्थित है जहां चंद्रमा का प्रक्षेपवक्र प्रत्येक क्रांति पर स्थानांतरित होता है। जी हाँ, यह अभेद्य सूर्य हमसे हमारा प्रिय साथी चुराता है! ओह, यह सूरज है!

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सौर गुरुत्वाकर्षण चंद्रमा की कक्षा को काफी प्रभावित करता है - बूढ़ी औरत एक ही तरह से दो बार आकाश नहीं चलती है। आंदोलन के आधे साल के लिए एक तस्वीर (कम से कम गुणात्मक रूप से) इस बात के प्रति आश्वस्त होने की अनुमति देती है (चित्र क्लिक करने योग्य है)



रुचि रखते हैं? बेशक आप करेंगे। खगोल विज्ञान आम तौर पर एक मनोरंजक विज्ञान है।

उपसंहार

जिस विश्वविद्यालय में मैंने लगभग सात वर्षों तक अध्ययन किया और काम किया - नोवोकैरेस्क पॉलिटेक्निक - उत्तरी काकेशस के विश्वविद्यालयों के सैद्धांतिक यांत्रिकी में छात्रों का आंचलिक ओलंपियाड प्रतिवर्ष आयोजित किया जाता था। तीन बार हमने अखिल रूसी ओलंपियाड लिया। उद्घाटन के समय, हमारे मुख्य "ओलंपियन," प्रोफेसर ए। कोंद्रतेंको ने हमेशा कहा: "शिक्षाविद क्रायलोव ने यांत्रिकी को सटीक विज्ञानों की कविता कहा।"

मुझे मैकेनिक्स से प्यार है। मैंने अपने जीवन और करियर में जो कुछ भी हासिल किया है, वह इस विज्ञान और मेरे अद्भुत शिक्षकों की बदौलत हुआ है। मैं यांत्रिकी का सम्मान करता हूं।

इसलिए, मैं कभी भी किसी को भी इस विज्ञान की खिल्ली उड़ाने की इजाजत नहीं दूंगा और अपने उद्देश्यों के लिए इसका बेशर्मी से शोषण करूंगा, भले ही वह कम से कम तीन बार वैज्ञानिक और चार बार भाषाविद् रहा हो और कम से कम एक लाख अध्ययन कार्यक्रम विकसित कर चुका हो। मुझे पूरा विश्वास है कि एक लोकप्रिय सार्वजनिक संसाधन पर लेख लिखना उनके सावधान प्रूफरीडिंग के लिए प्रदान करना चाहिए, सामान्य डिजाइन (LaTeX सूत्र संसाधन के डेवलपर्स का एक हिस्सा नहीं हैं!) और प्रकृति के नियमों का उल्लंघन करने वाले परिणामों के लिए त्रुटियों की अनुपस्थिति। उत्तरार्द्ध आम तौर पर एक होना चाहिए।

मैं अक्सर अपने छात्रों को बताता हूं: "कंप्यूटर आपके हाथों को मुक्त करता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि आपको मस्तिष्क को भी बंद करने की आवश्यकता है।"

यांत्रिकी की सराहना और सम्मान करने के लिए, मैं आपको, मेरे प्रिय पाठकों से आग्रह करता हूं। मैं ख़ुशी से किसी भी प्रश्न का उत्तर दूंगा, और जैसा कि वादा किया गया है, मैं पायथन में तीन-शरीर की समस्या को हल करने के एक उदाहरण के स्रोत कोड को पोस्ट करता हूं, मैं अपने प्रोफाइल में जीथब पोस्ट करता हूं ।

आपका ध्यान के लिए धन्यवाद!