कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत। भाग 1

जब मैंने पहली बार इस सिद्धांत के बारे में सीखा, तो मुझे कुछ प्रकार के रहस्यवाद का अहसास हुआ। ऐसा लगता है कि प्रकृति रहस्यमय तरीके से सिस्टम के सभी संभावित रास्तों पर जाती है और उनमें से सर्वश्रेष्ठ का चयन करती है।

आज मैं सबसे उल्लेखनीय भौतिक सिद्धांतों में से एक के बारे में थोड़ी बात करना चाहता हूं - कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत।

प्रागितिहास

गैलीलियो के दिनों के बाद से, यह ज्ञात था कि जो शक्तियां किसी भी बल से प्रभावित नहीं होती हैं, वे सीधी रेखाओं में, यानी छोटे रास्ते से चलती हैं। प्रकाश किरणें सीधी रेखाओं में फैलती हैं।

जब परिलक्षित होता है, तो प्रकाश भी इस तरह से आगे बढ़ता है जैसे कि एक बिंदु से दूसरे तक सबसे कम रास्ते में पहुंचता है। तस्वीर में, सबसे छोटा पथ हरा पथ होगा जिस पर घटना का कोण प्रतिबिंब के कोण के बराबर है। कोई भी दूसरा रास्ता, जैसे कि लाल, लंबा होगा।


दर्पण के विपरीत दिशा में बस किरणों के पथ को दर्शाते हुए यह साबित करना आसान है। चित्र में उन्हें एक बिंदीदार रेखा के साथ दिखाया गया है।


यह देखा जा सकता है कि ACB का हरा पथ एक प्रत्यक्ष ACB में बदल जाता है '। और लाल पथ एक टूटी हुई रेखा एडीबी में बदल जाता है ', जो निश्चित रूप से हरे रंग की तुलना में लंबा है।

1662 में, पियरे फर्मेट ने सुझाव दिया कि घने पदार्थ में प्रकाश की गति, उदाहरण के लिए, कांच में, हवा की तुलना में कम है। इससे पहले, डेसकार्टेस का एक आम तौर पर स्वीकृत संस्करण था, जिसके अनुसार अपवर्तन का सही कानून प्राप्त करने के लिए मामले में प्रकाश की गति हवा से अधिक होनी चाहिए। फ़र्मट के लिए, यह धारणा कि प्रकाश एक सघन माध्यम में तेजी से आगे बढ़ सकता है, एक दुर्लभ से अधिक अप्राकृतिक लग रहा था। इसलिए, उन्होंने सुझाव दिया कि सब कुछ बिल्कुल विपरीत था और एक आश्चर्यजनक बात साबित हुई - इस धारणा के तहत, प्रकाश को अपवर्तित किया जाता है ताकि कम से कम समय में अपने गंतव्य तक पहुंच सके।


आकृति में फिर से, हरा रंग उस पथ को दिखाता है जिसके साथ प्रकाश किरण वास्तव में चलती है। लाल रंग में चिह्नित पथ सबसे छोटा है, लेकिन सबसे तेज़ नहीं है, क्योंकि प्रकाश में कांच के माध्यम से जाने का एक बड़ा मार्ग है, और इसकी गति इसमें धीमी है। सबसे तेज प्रकाश किरण का वास्तविक मार्ग है।

इन सभी तथ्यों ने सुझाव दिया कि प्रकृति तर्कसंगत तरीके से काम करती है, प्रकाश और शरीर सबसे अधिक आशा के साथ चलते हैं, जितना संभव हो उतना कम प्रयास। लेकिन यह किस तरह का प्रयास था, और इसे कैसे गिनना है, यह एक रहस्य बना रहा।

1744 में, Maupertuis ने "एक्शन" की अवधारणा को पेश किया और उस सिद्धांत को तैयार किया जिसके अनुसार एक कण का वास्तविक प्रक्षेपवक्र किसी अन्य से भिन्न होता है कि इसके लिए कार्रवाई न्यूनतम है। हालाँकि, Maupertuis खुद इस बात की स्पष्ट परिभाषा नहीं दे सका कि यह क्रिया किसके बराबर है। कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत का सख्त गणितीय सूत्रीकरण पहले से ही अन्य गणितज्ञों द्वारा विकसित किया गया था - यूलर, लाग्रेंज और अंत में विलियम हैमिल्टन द्वारा दिया गया था:


गणितीय भाषा में, कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत काफी संक्षेप में तैयार किया गया है, लेकिन सभी पाठक उपयोग किए गए अंकन के अर्थ को नहीं समझ सकते हैं। मैं इस सिद्धांत को अधिक स्पष्ट रूप से और सरल शब्दों में समझाने का प्रयास करना चाहता हूं।

मुक्त शरीर

तो कल्पना कीजिए कि आप एक बिंदु पर एक कार में बैठे हैं $$ और समय पर $$ आपको एक सरल कार्य दिया गया है: समय के अनुसार $$ आप कार से बात करने के लिए की जरूरत है $$ ।


कार के लिए ईंधन महंगा है और निश्चित रूप से, आप इसे जितना संभव हो उतना कम खर्च करना चाहते हैं। आपकी कार नवीनतम सुपर प्रौद्योगिकियों का उपयोग करके बनाई गई है और आप जितनी जल्दी चाहें उतनी तेज़ी से ब्रेक या ब्रेक लगा सकते हैं। हालाँकि, इसे इसलिए डिज़ाइन किया गया है कि यह जितनी तेज़ी से आगे बढ़ता है, उतना ही अधिक ईंधन खपत करता है। इसके अलावा, ईंधन की खपत गति के वर्ग के लिए आनुपातिक है। यदि आप दो बार तेज ड्राइव करते हैं, तो उसी अवधि के लिए आप 4 गुना अधिक ईंधन का उपभोग करते हैं। गति के अलावा, कार का द्रव्यमान ईंधन की खपत को भी प्रभावित करता है। हमारी कार जितनी भारी होगी, उतनी ही अधिक ईंधन की खपत होगी। किसी भी समय हमारी कार की ईंधन की खपत है $$ , यानी। बिल्कुल कार की गतिज ऊर्जा।

तो आपको इस बिंदु पर जाने के लिए कैसे जाने की आवश्यकता है $$ सटीक नियत समय पर और जितना संभव हो उतना ईंधन का उपयोग करने के लिए? यह स्पष्ट है कि आपको एक सीधी रेखा में जाने की आवश्यकता है। ड्राइविंग दूरी में वृद्धि के साथ, ईंधन की खपत बिल्कुल कम नहीं होगी। और फिर आप अलग-अलग रणनीति चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप जल्दी से इस बिंदु पर आ सकते हैं $$ अग्रिम में और बस बैठो, रुको, जब समय आता है $$ । ड्राइविंग गति, और इसलिए किसी भी समय ईंधन की खपत बड़ी हो जाएगी, लेकिन ड्राइविंग समय भी कम हो जाएगा। शायद इस मामले में कुल ईंधन की खपत इतनी महान नहीं होगी। या आप समान रूप से, समान गति से सवारी कर सकते हैं, जैसे कि, बिना भीड़ के, बस एक समय पर पहुंचें $$ । या तेजी से ड्राइव करने का तरीका, और भाग धीमा। जाने के लिए बेहतर तरीका क्या है?

यह पता चला है कि ड्राइव करने के लिए सबसे इष्टतम, सबसे किफायती तरीका एक स्थिर गति से ड्राइव करना है, जैसे कि एक बिंदु पर होना $$ निश्चित समय पर $$ । किसी अन्य विकल्प के साथ, ईंधन की अधिक खपत होगी। आप इसे कुछ उदाहरणों के साथ स्वयं देख सकते हैं। कारण यह है कि ईंधन की खपत गति के वर्ग के अनुपात में बढ़ जाती है। इसलिए, जैसे-जैसे गति बढ़ती है, ड्राइविंग समय कम होने की तुलना में ईंधन की खपत तेजी से बढ़ती है, और समग्र ईंधन की खपत भी बढ़ जाती है।

इसलिए, हमें पता चला कि यदि किसी समय पर एक कार अपनी गतिज ऊर्जा के अनुपात में ईंधन की खपत करती है, तो एक बिंदु से प्राप्त करने का सबसे किफायती तरीका है $$ इस बिंदु पर $$ ठीक-ठीक नियत समय पर समान रूप से और सही ढंग से सवारी करना है, जिस तरह एक शरीर उस पर कार्य करने वाले बलों की अनुपस्थिति में चलता है। ड्राइविंग के किसी भी अन्य तरीके से समग्र ईंधन खपत अधिक होगी।

गुरुत्वाकर्षण में

अब हम अपनी कार को थोड़ा सुधारें। आइए इसे जेट इंजन संलग्न करें ताकि यह किसी भी दिशा में स्वतंत्र रूप से उड़ सके। सामान्य तौर पर, डिजाइन समान था, इसलिए ईंधन की खपत फिर से कार की गतिज ऊर्जा के लिए आनुपातिक रूप से बनी रही। यदि अब बिंदु से बाहर उड़ान भरने के लिए कार्य दिया जाता है $$ समय पर $$ और बिंदु के लिए उड़ान भरने के लिए $$ समय से $$ , फिर सबसे किफायती तरीका, जैसा कि पहले था, ज़ाहिर है, एक बिंदु पर होने के लिए समान रूप से और ठीक से उड़ जाएगा $$ निश्चित समय पर $$ । यह फिर से त्रि-आयामी अंतरिक्ष में शरीर के मुक्त आंदोलन से मेल खाती है।


हालांकि, नवीनतम कार मॉडल में एक असामान्य उपकरण स्थापित किया गया था। यह इकाई कुछ भी नहीं से सचमुच ईंधन का उत्पादन कर सकती है। लेकिन डिजाइन ऐसा है कि कार जितनी ऊंची है, उतने ही अधिक ईंधन हर पल समय पर पैदा होते हैं। ईंधन उत्पादन सीधे ऊंचाई के लिए आनुपातिक है $$ जिस पर वर्तमान में कार स्थित है। इसके अलावा, कार जितनी भारी होती है, उतनी ही शक्तिशाली डिवाइस उस पर स्थापित होती है और उतना ही अधिक ईंधन पैदा होता है, और आउटपुट सीधे कार के द्रव्यमान के समानुपाती होता है $$ । उपकरण निकला ताकि ईंधन का उत्पादन बिल्कुल बराबर हो $$ (जहां $$ - गुरुत्वाकर्षण का त्वरण), अर्थात। कार की संभावित ऊर्जा।

समय के प्रत्येक क्षण में ईंधन की खपत गतिज ऊर्जा के बराबर होती है जो कार की संभावित ऊर्जा को घटाती है (संभावित ऊर्जा को घटाती है, क्योंकि स्थापित उपकरण ईंधन उत्पन्न करता है, और खर्च नहीं करता है)। अब हमारा कार्य बिंदुओं के बीच सबसे किफायती कार आंदोलन है $$ और $$ कठिन हो रहा है। आयताकार वर्दी आंदोलन इस मामले में सबसे प्रभावी नहीं है। यह पता चला है कि थोड़ी अधिक ऊंचाई हासिल करने के लिए यह अधिक इष्टतम है, थोड़ी देर के लिए वहाँ, अधिक ईंधन विकसित होने, और फिर बिंदु तक नीचे जाना $$ । सही उड़ान पथ के साथ, चढ़ाई के कारण कुल ईंधन उत्पादन पथ की लंबाई और गति को बढ़ाकर अतिरिक्त ईंधन की खपत को रोक देगा। यदि आप ध्यान से गणना करते हैं, तो एक कार के लिए सबसे किफायती तरीका एक पैराबोला के साथ उड़ जाएगा, बिल्कुल इस तरह के प्रक्षेपवक्र के साथ और ठीक उसी गति से जब पत्थर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उड़ जाएगा।


एक स्पष्टीकरण यहाँ बनाने लायक है। बेशक आप बिंदु से कर सकते हैं $$ एक पत्थर को कई अलग-अलग तरीकों से फेंकें ताकि वह एक बिंदु पर टकराए $$ । लेकिन आपको इसे फेंकने की आवश्यकता है ताकि यह, बिंदु से बाहर उड़ जाए $$ समय पर $$ बात मारा $$ ठीक समय पर $$ । यह आंदोलन हमारी कार के लिए सबसे किफायती होगा।

कम से कम कार्रवाई के Lagrange फ़ंक्शन और सिद्धांत

अब हम इस सादृश्य को वास्तविक भौतिक निकायों में स्थानांतरित कर सकते हैं। निकायों के लिए ईंधन की खपत की तीव्रता के एक एनालॉग को लैगरेंज फ़ंक्शन या लैग्रैन्जियम (लैगरेंज के सम्मान में) कहा जाता है और इसे पत्र में दर्शाया जाता है $$ । Lagrangian दिखाता है कि शरीर एक निश्चित समय में कितना "ईंधन" खाता है। एक संभावित क्षेत्र में घूमने वाले शरीर के लिए, लैग्रैनिजेन अपनी गतिज ऊर्जा शून्य संभावित ऊर्जा के बराबर है।

आंदोलन के पूरे समय के लिए खपत ईंधन की कुल मात्रा का एक एनालॉग, अर्थात। आंदोलन के पूरे समय में संचित Lagrangian का मूल्य "क्रिया" कहलाता है।

कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत यह है कि शरीर इस तरह से आगे बढ़ता है कि कार्रवाई (जो आंदोलन के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर करती है) न्यूनतम है। उसी समय, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि प्रारंभिक और अंतिम शर्तें निर्दिष्ट हैं, अर्थात्। जहां शरीर समय पर एक बिंदु पर है $$ और समय पर $$ ।

इसके अलावा, शरीर को एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में नहीं जाना है, जिसे हमने अपनी कार के लिए माना है। आप पूरी तरह से अलग स्थितियों पर विचार कर सकते हैं। शरीर एक लोचदार बैंड पर दोलन कर सकता है, एक पेंडुलम पर झूल सकता है या सूर्य के चारों ओर उड़ सकता है, इन सभी मामलों में यह इस तरह से चलता है जैसे कि "कुल ईंधन खपत" को कम करना। कार्रवाई।

यदि प्रणाली में कई निकाय शामिल हैं, तो ऐसी प्रणाली का लैग्रैजियन सभी निकायों की कुल गतिज ऊर्जा के बराबर होगा, जो सभी निकायों की कुल संभावित ऊर्जा को घटाती है। और फिर, सभी निकाय एक समन्वित तरीके से आगे बढ़ेंगे ताकि इस तरह के आंदोलन के साथ पूरे सिस्टम की कार्रवाई न्यूनतम हो।

इतना सरल नहीं है

वास्तव में, मैंने यह कहकर थोड़ा धोखा दिया कि शरीर हमेशा इस तरह से आगे बढ़ता है जैसे कि कार्रवाई को कम करना। हालांकि इतने सारे मामलों में यह सच है, आप उन स्थितियों के साथ आ सकते हैं जिनमें कार्रवाई स्पष्ट रूप से न्यूनतम नहीं है।

उदाहरण के लिए, एक गेंद लें और इसे खाली जगह पर रखें। इससे कुछ दूरी पर, हमने एक लोचदार दीवार लगाई। मान लीजिए हम चाहते हैं कि गेंद कुछ समय बाद उसी जगह पर हो। ऐसी दी गई शर्तों के तहत, गेंद दो अलग-अलग तरीकों से आगे बढ़ सकती है। सबसे पहले, यह सिर्फ जगह में रह सकता है। दूसरे, इसे दीवार की ओर धकेला जा सकता है। गेंद दीवार पर उड़ जाएगी, उसमें से उछाल आएगी और वापस आ जाएगी। यह स्पष्ट है कि आप उसे इतनी तेजी से धक्का दे सकते हैं कि वह बिल्कुल सही समय पर वापस आ जाए।


गेंद की गति के दोनों प्रकार संभव हैं, लेकिन दूसरे मामले में कार्रवाई अधिक हो जाएगी, क्योंकि इस समय गेंद गैर-शून्य गतिज ऊर्जा के साथ घूमेगी।

कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को कैसे बचाया जाए ताकि यह ऐसी स्थितियों में उचित हो? हम अगली बार इस बारे में बात करेंगे।