कोलमोगोरोव जटिलता और अर्थ के लिए हमारी खोज

गणित हमें जीवन की अव्यवस्था में क्रम खोजने के बारे में क्या बता सकता है

क्या आपके सबसे प्रिय व्यक्ति के साथ मुलाकात आकस्मिक थी, या इसके लिए किसी तरह का छिपा कारण था? और कल के अजीब सपने के बारे में क्या - क्या यह केवल मस्तिष्क के सिंकैप्स का यादृच्छिक फेंकना था, या क्या उसने आपके अवचेतन के बारे में कुछ गहरा खुलासा किया था? शायद सपना आपको अपने भविष्य के बारे में कुछ बताने की कोशिश कर रही थी। शायद नहीं। क्या यह तथ्य कि आपके करीबी रिश्तेदार खतरनाक प्रकार के कैंसर से बीमार हैं, इसका कुछ गहरा अर्थ है, या यह सिर्फ यादृच्छिक डीएनए म्यूटेशन का परिणाम है?

हमारे जीवन में, हम अक्सर हमारे आस-पास होने वाली घटनाओं के पैटर्न के बारे में सोचते हैं। हमें आश्चर्य होता है कि क्या हमारा जीवन यादृच्छिक है, या उनके पास किसी प्रकार का अर्थ है, विशिष्ट रूप से सच और गहरा। एक गणितज्ञ के रूप में, मैं अक्सर ऐसे मुद्दों पर विचारों के लिए संख्याओं और प्रमेयों की ओर मुड़ता हूं। और ऐसा हुआ कि मैंने गणितीय तर्क के सबसे गहन प्रमेयों में से एक के लिए धन्यवाद जीवन के नियमों में खोज के बारे में कुछ सीखा। यह प्रमेय, सीधे शब्दों में, यह दर्शाता है कि सिद्धांत में यह पता लगाना असंभव है कि क्या कानून का स्पष्टीकरण सभी स्पष्टीकरणों का सबसे गहरा या दिलचस्प है। जीवन की तरह ही, गणित में अर्थ की खोज असीमित है।



एक छोटा सा प्रस्तावना। वर्णों की निम्नलिखित तीन पंक्तियों पर विचार करें।

1. 100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100100

2.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

3. 38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418।

हम उनका वर्णन कैसे कर सकते हैं? उदाहरण के लिए, हम इसे आसानी से केवल नीचे लिखकर कर सकते हैं - जैसे हमने अभी किया था। हालाँकि, यह तुरंत स्पष्ट है कि पहली दो पंक्तियों का संक्षेप में वर्णन किया जा सकता है। पहला केवल "100" को दोहराने का एक क्रम है। दूसरा पहले कुछ अपराधों की सूची है। तीसरे के बारे में क्या? यह पूरी लाइन को प्रदर्शित करके बस वर्णित किया जा सकता है। लेकिन क्या उसके लिए बेहतर, छोटा विवरण है?

1960 के दशक की शुरुआत में, अमेरिकी किशोरी ग्रेगरी हेतिन , विश्व-प्रसिद्ध रूसी [और सोवियत] गणितज्ञ आंद्रेई निकोलेविच कोलमोगोरोव , और कंप्यूटर विज्ञान के अग्रणी रे सोलोमोनोव ने स्वतंत्र रूप से पात्रों के अनुक्रम की जटिलता को मापने का एक तरीका तैयार किया। उनके विचारों को कोलमोगोरोव की जटिलता या एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत का सिद्धांत कहा जाने लगा। वे कहते हैं कि एक स्ट्रिंग की जटिलता सबसे कम कंप्यूटर प्रोग्राम की लंबाई से निर्धारित होती है जो इसे उत्पन्न कर सकती है। यही है, एक लाइन लें और इसे बनाने वाले सबसे कम कंप्यूटर प्रोग्राम की तलाश करें। एक प्रोग्राम एक प्रकार का लाइन विवरण है। यदि इस तरह के कार्यक्रमों में से सबसे छोटा कम हो जाता है, तो लाइन में एक सरल पैटर्न है, और यह बहुत जटिल नहीं है। हम कहते हैं कि इस तरह की लाइन में थोड़ा एल्गोरिदम कंटेंट होता है। इसके विपरीत, यदि स्ट्रिंग का उत्पादन करने के लिए एक लंबे कार्यक्रम की आवश्यकता होती है, तो स्ट्रिंग जटिल है, और इसकी एल्गोरिदमिक सामग्री अधिक है। किसी भी लाइन के लिए, आपको सबसे छोटा प्रोग्राम देखना होगा जो इस तरह की लाइन का निर्माण करता है। ऐसे कार्यक्रम की लंबाई को कोलमोगोरोव स्ट्रिंग जटिलता कहा जाता है।

आइए पहले तीन पंक्तियों पर वापस आते हैं। पहले दो लाइनों को अपेक्षाकृत कम कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

1. प्रिंट "100" 30 बार।

2. पहले 25 प्रिंट्स प्रिंट करें।

पहली पंक्ति का कोलमोगोरोव जटिलता दूसरी पंक्ति की कोलमोगोरोव जटिलता से कम है, क्योंकि पहला कार्यक्रम दूसरे से छोटा है। तीसरे के बारे में क्या? इस रेखा का कोई स्पष्ट पैटर्न नहीं है। हालाँकि, आप एक बेवकूफ प्रोग्राम लिख सकते हैं जो इस क्रम को प्रदर्शित करता है:

3. आउटपुट "38386274868783254735796801834682918987459817087106701409581980418"

इस तरह के एक कार्यक्रम कार्य के साथ मुकाबला करता है, लेकिन असंतोषजनक रूप से। शायद एक छोटा कार्यक्रम है जो इस पंक्ति में पैटर्न की उपस्थिति को दर्शाता है। जब एक स्ट्रिंग का निर्माण करने वाला सबसे छोटा प्रोग्राम "प्रिंट ए स्ट्रिंग" प्रोग्राम है, तो हम कहते हैं कि यह स्ट्रिंग बहुत जटिल है और इसमें अन्य ज्ञात पैटर्न नहीं हैं। पैटर्न के बिना एक स्ट्रिंग को यादृच्छिक कहा जाता है। लेकिन यद्यपि हमने पैटर्न नहीं देखा है, यह मौजूद हो सकता है। गणित में, जीवन में, हमें कई पैटर्न मिलते हैं जो यादृच्छिक लगते हैं।

हम पैटर्न और सबसे छोटे कार्यक्रम को खोजने के लिए आधुनिक कंप्यूटर की अद्भुत क्षमताओं का उपयोग करने की कोशिश कर सकते हैं। क्या यह बहुत अच्छा नहीं होगा अगर वहाँ कोई कंप्यूटर किसी भी स्ट्रिंग की कोलमोगोरोव जटिलता की गणना करने में सक्षम हो? ऐसा कंप्यूटर इनपुट के रूप में एक स्ट्रिंग को स्वीकार करेगा, और इस स्ट्रिंग को आउटपुट करने में सक्षम सबसे कम प्रोग्राम की लंबाई को आउटपुट करेगा। बेशक, इन सभी नई चीजों जैसे एआई, डीप लर्निंग, बिग डेटा, क्वांटम कंप्यूटिंग आदि के साथ, इस तरह का कंप्यूटर बनाना आसान होना चाहिए।

काश, ऐसा कंप्यूटर बनाना असंभव है! यद्यपि आधुनिक कंप्यूटर बहुत शक्तिशाली हैं, यह कार्य असंभव है। यह गणितीय तर्क के सबसे गहरे प्रमेयों में से एक की सामग्री है। प्रमेय, वास्तव में, कहता है कि एक स्ट्रिंग के कोलमोगोरोव जटिलता की गणना नहीं की जा सकती है। कोई भी यांत्रिक उपकरण नहीं है जो सबसे छोटे प्रोग्राम का आकार निर्धारित करता है जो किसी दिए गए स्ट्रिंग का उत्पादन करता है। मुद्दा यह नहीं है कि कंप्यूटर प्रौद्योगिकी का हमारा मौजूदा स्तर कार्य तक नहीं है, या हम ऐसा एल्गोरिथ्म लिखने के लिए पर्याप्त स्मार्ट नहीं हैं। यह साबित हो गया कि वर्णन और अभिकलन का बहुत विचार दर्शाता है कि कंप्यूटर, सिद्धांत रूप में, किसी भी लाइन के लिए ऐसा कार्य करने में सक्षम नहीं है। और अगर कंप्यूटर संभवतः स्ट्रिंग में कुछ पैटर्न खोजने में सक्षम है, तो यह सबसे अच्छा पैटर्न खोजने में सक्षम नहीं है। हमें एक छोटा प्रोग्राम मिल सकता है जो एक निश्चित अनुक्रम प्रदर्शित करता है, लेकिन हमेशा एक छोटा भी मौजूद हो सकता है। हम इसके बारे में कभी नहीं जान पाएंगे।

एक क्रम के लिए कोलमोगोरोव जटिलता की गैर-कम्प्यूटेबिलिटी का बहुत प्रमाण काफी औपचारिक है। लेकिन यह विरोधाभास का सबूत है, और हम मोटे तौर पर कल्पना कर सकते हैं कि यह कैसे छोटे और मीठे विरोधाभासों के जोड़े को देखकर काम करता है।

दिलचस्प संख्याओं का विरोधाभास इस कथन से जुड़ा है कि सभी प्राकृतिक संख्याएँ दिलचस्प हैं। 1 पहला नंबर है, और यह दिलचस्प है। 2 पहली सम संख्या है। 3 पहला विषम प्रधान है। 4 एक दिलचस्प संख्या है क्योंकि 4 = 2 × 2 और 4 = 2 + 2। इस तरह, आप आगे जारी रख सकते हैं, और कई नंबरों के दिलचस्प गुण पा सकते हैं। कुछ बिंदु पर, हम दिलचस्प गुणों के बिना एक संख्या को पूरा कर सकते हैं। और हम इस संख्या को पहली निर्बाध संख्या कह सकते हैं - लेकिन यह अपने आप में पहले से ही एक दिलचस्प संपत्ति है। नतीजतन, निर्बाध संख्या भी दिलचस्प है!

कोलमोगोरोव सबूत में निहित विचार बड़ी संख्या के वर्णन के विषय में बेरी के विरोधाभास के विचारों के समान हैं। ध्यान दें कि हम जितने अधिक शब्दों का उपयोग करते हैं, उतनी अधिक संख्या का वर्णन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, तीन शब्दों में आप "ट्रिलियन ट्रिलियन" और पांच का वर्णन कर सकते हैं - "ट्रिलियन ट्रिलियन ट्रिलियन ट्रिलियन ट्रिलियन", जो एक बहुत बड़ी संख्या है। अब निम्नलिखित वाक्यांश द्वारा वर्णित संख्या पर विचार करें:

सबसे छोटी संख्या जिसे 15 शब्दों से कम में वर्णित नहीं किया जा सकता]

संख्या का वर्णन करने के लिए 15, 16 या इससे भी अधिक शब्द लगते हैं। इसे 12, 13 या 14 शब्दों में वर्णित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, यह समस्या है: उपरोक्त वाक्यांश इस संख्या का वर्णन 10 शब्दों के साथ करता है [ 12 शब्द / लगभग। ट्रांस। ]। संख्या का हमारा विवरण संख्या के विवरण का विरोध करता है - यहाँ विरोधाभास है।

दिलचस्प संख्याओं के विरोधाभास और बेरी विरोधाभास में, हम विरोधाभासों पर आते हैं, कुछ का वर्णन करने के सटीक तरीके के अस्तित्व का सुझाव देते हैं। इसी तरह, कोलमोगोरोव जटिलता की गैर-कम्प्यूटेबिलिटी का प्रमाण इस तथ्य से है कि यदि यह गणना योग्य था, तो हम एक विरोधाभास में आ जाएंगे।

तथ्य यह है कि कोलमोगोरोव की जटिलता कम्प्यूटेशनल नहीं है, शुद्ध गणित का परिणाम है, और हमें इस आदर्श दुनिया को अधिक जटिल और अव्यवस्थित वास्तविकता के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए। हालांकि, कोलमोगोरोव जटिलता से संबंधित कुछ सामान्य बिंदु हैं जो हम वास्तविक दुनिया में ला सकते हैं।

कई बार हम उस पार आ गए जो हमें पूरी तरह से अराजक लग रहा था। यादृच्छिकता हमें परेशान करती है, और हम उन पैटर्नों की तलाश कर रहे हैं जो आंशिक रूप से अराजकता को खत्म करते हैं। यदि हम एक पैटर्न पाते हैं, तो यह स्पष्ट नहीं है कि क्या यह सबसे अच्छा पैटर्न है जो हमारी टिप्पणियों को समझाता है। हम आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि क्या एक गहरा पैटर्न है जो एक बेहतर व्याख्या देता है। कोलमोगोरोव जटिलता का सिद्धांत हमें सिखाता है कि बुनियादी स्तर पर सर्वोत्तम पैटर्न को निर्धारित करने का कोई गारंटी तरीका नहीं है। हम बस कभी नहीं जान पाएंगे कि हमने जो पैटर्न पाया है वह सबसे अच्छा है।

लेकिन यह वही है जो खोज को असीम रूप से दिलचस्प बनाता है। परिभाषा के अनुसार, कुछ दिलचस्प है अगर उसे अतिरिक्त विचार की आवश्यकता है। एक स्पष्ट और पूरी तरह से समझा गया तथ्य आगे के विचार की आवश्यकता नहीं है। तथ्य यह है कि छः होंगे सैंतालीस पूरी तरह से समझ में आता है और निर्बाध। केवल जब हम विचारों के बारे में सुनिश्चित नहीं होते हैं, तो हमें उनकी पुष्टि करने और उन पर प्रतिबिंबित करने की आवश्यकता होती है। बेहतर पैटर्न की तलाश हमेशा दिलचस्प रहेगी।

वास्तविक दुनिया जटिलता जोड़ती है। यदि स्ट्रिंग और कंप्यूटर प्रोग्राम की दुनिया में कोई त्रुटि नहीं है, तो आप वास्तविक दुनिया में गलती कर सकते हैं। हम आसानी से पता लगा सकते हैं कि क्या कोई विशेष कार्यक्रम एक स्ट्रिंग प्रदर्शित करता है या नहीं। और यद्यपि हम शायद एक विशिष्ट लाइन को आउटपुट करने के लिए इष्टतम कार्यक्रम का निर्धारण करने में सक्षम नहीं होंगे, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि यह वांछित लाइन प्रदर्शित करता है या नहीं। और वास्तविक दुनिया, इसके विपरीत, बहुत अधिक जटिल है। यह हमें लग सकता है कि हम एक अनुक्रम देखते हैं, जब वास्तव में, यह वहां नहीं है।

अर्थ के लिए हमारी खोज की हमारी समझ आकार लेने लगती है। हम मौके और पैटर्न को निहारते हैं। हम जैविक रूप से क्रमबद्ध हैं ऐसे पैटर्न खोजने के लिए जो बताते हैं कि हम क्या देखते हैं। लेकिन हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते कि जो पैटर्न हमें मिला है वह सही होगा। भले ही हम किसी तरह एक त्रुटि की अनुपस्थिति की गारंटी दे सकते हैं और कंप्यूटर के समान पूर्णता प्राप्त कर सकते हैं, कहीं न कहीं हमेशा एक गहरा सच भी हो सकता है। यह तनाव हमारे साहित्य, रंगमंच और सिनेमा के प्रति प्यार को बढ़ाता है। जब हम एक उपन्यास पढ़ते हैं या एक नाटक देखते हैं, तो लेखक या निर्देशक हमें एक सामान्य विषय, पैटर्न या नैतिकता के साथ घटनाओं के अनुक्रम के साथ प्रस्तुत करते हैं। साहित्य, नाटक और सिनेमा हमें आम तौर पर समझ से बाहर होने वाली अव्यवस्थितियों और अराजकता से बचने का एक शानदार तरीका प्रदान करते हैं, जिसका सामना हम अपने आसपास की दुनिया में करते हैं। बहुत अच्छा साहित्य आगे बढ़ता है और हमें कई व्याख्याओं के साथ छोड़ देता है। हम कोलमोगोरोव जटिलता की अयोग्यता के साथ सामना कर रहे हैं।

यह तनाव भी निर्धारित करता है कि हम अपना जीवन कैसे जीते हैं। माना जाता है कि यादृच्छिक घटनाओं के माध्यम से यात्रा करते हुए, हम पैटर्न और संरचना की तलाश करते हैं। जीवन उतार-चढ़ाव से भरा है। प्यार में गिरने, बच्चों के साथ मस्ती करने, कठिन काम के अंत में महान उपलब्धियों की भावना का आनंद है। एक टूटे हुए रिश्ते की पीड़ा है, एक कार्य को पूरा करने के सक्रिय प्रयासों के बाद विफलता की पीड़ा, किसी प्रियजन की मृत्यु की त्रासदी। हम अर्थ के लिए यह सब देखने की कोशिश कर रहे हैं। हम पूरी संभावना और इस विचार को महसूस करते हैं कि हम केवल भौतिक विज्ञान के अराजक, सरल कानूनों का पालन करते हैं। हम जानना चाहते हैं कि आसपास के दुनिया में कोई अर्थ, उद्देश्य, महत्व है या नहीं। हमें जीवन की एक जादुई कहानी की आवश्यकता है, और हम खुद को कहानियां सुनाते हैं।

कभी-कभी ये कहानियाँ बस झूठी होती हैं। कभी-कभी हम खुद को और दूसरों को मूर्ख बनाते हैं। और कभी-कभी हम पैटर्न की सही पहचान करते हैं। लेकिन जब कहानी सच होती है, तब भी जरूरी नहीं कि यह सबसे अच्छी हो। हम कभी यह सुनिश्चित नहीं करेंगे कि गहराई में एक और अधिक बुनियादी और सटीक कहानी नहीं है। बुढ़ापा और पीड़ा में गिरना, हम ब्रह्माण्ड के बारे में कुछ विचारों को प्राप्त करते हैं, जो हमारे लिए दुर्गम हैं। हम बेहतर पैटर्न पाते हैं। शायद हम चीजों को स्पष्ट देखना शुरू कर रहे हैं। या नहीं। हमें कभी पता नहीं चलेगा। लेकिन हम जानते हैं कि खोज समाप्त नहीं होने की गारंटी है।

Nozon Janowski - गणित में विज्ञान के डॉक्टर, न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के शैक्षिक केंद्र में काम करते हैं, उसी विश्वविद्यालय के ब्रुकलिन कॉलेज में कंप्यूटर विज्ञान के प्रोफेसर हैं।