196 884 = 196 883 + 1 का महत्व क्या है? इसे उंगलियों पर कैसे समझाएं?

माइकल ग्रिफिन, गणित पोस्टडॉक द्वारा Quora प्रतिक्रिया

सेनिया शेहिडवेसर ने इस सवाल का बहुत अच्छा, सरल उत्तर दिया, मैं इस छोटे संस्करण को पढ़ने की सलाह देता हूं। लेकिन मैके मॉनशीन की परिकल्पना से बहुत अधिक आश्चर्यजनक कहानी है, जो मैके समीकरण के साथ मिश्रित है: जैक डैनियल की व्हिस्की से लेकर ब्लैक होल और क्वांटम गुरुत्व तक।

इस कहानी में, समरूपता और गणितीय "समूहों" का उल्लेख अक्सर किया जाता है, तो आइए गणित में एक समूह द्वारा दिए गए अर्थ के साथ शुरू करें। एक समूह को एक निश्चित संरचना को बनाए रखते हुए वस्तुओं के एक सेट को फिर से व्यवस्थित करने के तरीके के रूप में दर्शाया जा सकता है। समूह में संचालन कुछ नियमों का पालन करना चाहिए, उदाहरण के लिए, ऑपरेशन को रद्द करने की क्षमता हमेशा होनी चाहिए, और यदि आप एक ऑपरेशन करते हैं और फिर दूसरा, आपको समूह में तीसरा ऑपरेशन मिलता है।


चार रोटेशन विकल्प और वर्ग के समरूपता के चार अक्ष। छवि स्रोत

यदि आप आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करना पसंद करते हैं, तो एक समूह का एक सरल उदाहरण एक वर्ग की समरूपता है। इसे तीन तरीकों से घुमाया जा सकता है: 90 ° दाईं ओर (दक्षिणावर्त), 180 ° और 90 ° बाईं ओर (वामावर्त); चार समरूपताएं हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और दो विकर्ण कुल्हाड़ियों); और पहचान की एक समरूपता है जब कुछ भी नहीं बदलता है। यदि आप 90 ° वर्ग को दाईं ओर घुमाते हैं, और फिर इसे ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ फ्लिप करते हैं, तो आपको एक अलग समरूपता मिलती है। विशेष रूप से, परिणाम समान होगा जैसे कि इसे तुरंत ऊपरी बाएं से निचले दाएं तिरछे अक्ष पर परिलक्षित किया गया था। यह समूह तत्वों के लिए एक प्रकार का गुणन सारणी है। वास्तव में, हम समूह की संरचना को बेहतर ढंग से समझने के लिए गुणा तालिका लिख ​​सकते हैं। मैंने यहीं किया। तालिका में प्रतीक "i" कुछ भी नहीं बदलने पर पहचान की समरूपता है। "आर" और "एल" - क्रमशः दाएं और बाएं 90 ° रोटेशन। "एफ" एक 180 ° रोटेशन है, और प्रत्येक लाइन इस रेखा की दिशा में अक्ष के साथ एक प्रतिबिंब है।



कुछ समूहों को छोटे भागों में विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास दो वर्ग हैं, तो समान समरूपता संचालन की दो प्रतियां हो सकती हैं, जिनमें से प्रत्येक एक वर्ग पर दूसरे के स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। सरल समूहों को छोटे स्वतंत्र समूहों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, इसलिए वे समूह सिद्धांत में प्रमुख हैं। लेकिन परिमित प्रमुख समूह, अभाज्य संख्याओं की तुलना में वर्गीकृत करने के लिए थोड़ा कठिन हैं। पिछली शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, सभी परिमित सरल समूहों को पूरी तरह से वर्गीकृत करने के प्रयासों में महत्वपूर्ण प्रगति हुई है। अधिकांश साधारण समूह बड़े करीने से संगठित परिवारों में फिट होते हैं। उदाहरण के लिए, एक परिवार में नियमित एन-गोंन्स (जैसे एक समभुज त्रिकोण, वर्ग, नियमित पेंटागन, आदि) के सभी समरूपताएं शामिल हैं। लेकिन सभी समूह किसी प्रकार के सामान्य परिवार में फिट नहीं होते हैं। ठीक 26 "छिटपुट" समूह हैं जो अनाथ हैं। वे आम तौर पर परिभाषित करने के लिए थोड़ा अधिक कठिन होते हैं, लेकिन उनमें से कई का निर्माण कई आयामों में जाली समरूपता से किया जा सकता है। सरल छिटपुट समूहों का सबसे बड़ा राक्षस है ।

1973 में, फिशर और ग्रिस ने पहली बार (स्वतंत्र रूप से) सबूत पाया कि एक बहुत बड़ा सरल समूह मौजूद हो सकता है अगर यह कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। लेकिन केवल एक दशक बाद, यह साबित करना संभव था कि ये गुण स्थिर हैं, और समूह वास्तव में मौजूद है। ग्रिस ने इस मायावी काल्पनिक समूह को फ्रेंडली जाइंट (फ्रेंडली जाइंट, F. G. के इनिशियल्स फॉर फिशर-ग्रिस) कहा है। लेकिन कॉनवे, अधिक प्रसिद्ध गणितज्ञ, उसे राक्षस कहा जाता है - और ऐसा नाम तय किया गया था। वैसे, यह कॉनवे हमारे इतिहास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आपने इसके बारे में पहले सुना था। यह बहुत ही कॉनवे है जिसने खेल "जीवन" का आविष्कार किया और नि: शुल्क प्रमेय साबित किया। अगर आपको याद नहीं है, तो इसे पढ़ें!

1975 में, पेरिस में एक सम्मेलन में दो गणितज्ञ, ऑग और स्तन मिले। बीट्स ने गणना की कि यदि मॉन्स्टर मौजूद है, तो उसका आकार इस तरह होगा:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
^ 8 × 10 ^ 53

यह एक बहुत बड़ी संख्या है। बहुत, बहुत, बहुत बड़ा। यह संयुक्त शनि और बृहस्पति में परमाणुओं की अनुमानित संख्या है। लेकिन ऑग्ग का ध्यान आकार से नहीं, बल्कि साधारण कारक द्वारा आकर्षित किया गया था।

ऑर्ग उस समय मॉड्यूलर वक्र्स नामक टुकड़ों का अध्ययन कर रहा था। यदि N एक धनात्मक पूर्णांक है, तो एक सतह है, इसे X (N) कहते हैं, जो संख्या N के बारे में कुछ महत्वपूर्ण अंकगणितीय जानकारी को कैप्चर करता है (यदि आपको विद्यालय से जटिल संख्याएँ याद हैं, तो ऐसी सतह को "रोलिंग" या "फोल्डिंग" द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। सम संख्याओं का उपयोग करके समतल, संख्या N पर निर्भर करता है)। ऑगग ने इस तरह से एक सवाल पूछा: यदि एन एक प्रमुख है, तो किस मामले में यह सतह (या मॉड्यूलर वक्र) एक गेंद की तरह दिखेगी, न कि एक या एक से अधिक हैंडल वाले डोनट (यानी डोनट में "छेद")? उन्होंने पाया कि केवल अगर N सेट के अंतर्गत आता है

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}

ये वही प्राइम नंबर हैं जिनका उपयोग मॉन्स्टर साइज के लिए कंप्यूटिंग ब्रेस्ट में किया जाता है! लेकिन इन दोनों गणनाओं के बीच कोई स्पष्ट संबंध नहीं है। ऑगग इस स्पष्ट संयोग से इतना अभिभूत था कि उसने जैक डैनियल को व्हिस्की की एक बोतल प्रदान की, जो कोई भी उसे समझा सकता था।

स्पष्ट कारणों के लिए, गुणन तालिका का संकलन मॉन्स्टर का अध्ययन करने में मदद नहीं करेगा। यदि हम हाइड्रोजन परमाणुओं द्वारा गुणन तालिका लिखते हैं, तो यह हमारी आकाशगंगा में फिट नहीं होगी। इसके बजाय, गणितज्ञ एक मॉन्स्टर कैरेक्टर टेबल को संकलित करने में कामयाब रहे। हाँ, यह एक Dungeons & Dragons गेम गाइड की तरह लगता है, और शायद यह टेबल पेश करने का बुरा तरीका नहीं है। यह द मॉन्स्टर के लिए एक तरह का नेक्रोनोमिकॉन है; 194 × 194 की अंक तालिका गणितज्ञों को खगोलीय रूप से विशाल मॉन्स्टर में कुछ जानकारी देती है। पहले कॉलम में मॉन्स्टर के "इरेड्यूसिबल अभ्यावेदन के आकार" को सूचीबद्ध किया गया है। ये विचित्र शब्द हैं, लेकिन हमारी कहानी का सार यह है कि पहले कॉलम में पहले दो अर्थ 1 और 196,883 हैं । यह वह जगह है जहाँ मैके समीकरण दिखाई देता है।

मैके ने प्रसिद्ध रूप से कॉनवे को इंगित किया

196884 = 1 + 196883

कॉनवे ने मैकके की परिकल्पना को इतना बेतुका पाया कि उन्होंने इसे फंतासी या बकवास (चांदनी) कहा। इस समीकरण में, 196884 जे-फ़ंक्शन नामक एक महत्वपूर्ण कार्य का पहला गुणांक है, जो गणितज्ञों ने बहुत लंबे समय तक अध्ययन किया है। यहां हम फिर से ऑग और उसके सवाल पर "जैक डेनियल" की बोतल पर लौटना शुरू करते हैं।

जे-फ़ंक्शन एक मॉड्यूलर फ़ंक्शन है, अर्थात, यह एक वक्र वक्र के साथ एक बिंदु लेता है, जैसा कि ऑग द्वारा अध्ययन किया गया है - और एक नंबर देता है (फिर से, यदि आप जटिल संख्याओं से परिचित हैं, तो आप साधारण जटिल संख्याओं के रूप में एक फ़ंक्शन के रूप में मॉड्यूलर फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, लेकिन सममिति की एक अश्लील राशि के साथ)। यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट करना मुश्किल है कि एक मॉड्यूलर फ़ंक्शन क्या है, लेकिन इस पर ध्यान न दें।


छवि स्रोत

इसके अलावा, जे-फ़ंक्शन सबसे सरल मॉड्यूलर वक्र एक्स (1) के लिए सबसे बुनियादी मॉड्यूलर फ़ंक्शन है। यह इस अर्थ में सबसे "बुनियादी" फ़ंक्शन है कि एक्स (1) के लिए किसी भी अन्य मॉड्यूलर फ़ंक्शन को एक जे-फ़ंक्शन में एक बहुपद या बहुपद के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। कुछ अन्य मॉड्यूलर घटता, जैसे कि एक्स (2), एक अलग मूल मॉड्यूलर फ़ंक्शन है। चलो इसे J_2 कहते हैं। वास्तव में, X (N) का एक मूल मॉड्यूलर फ़ंक्शन J_N होता है, यह ठीक उसी प्रकार से होता है जब फॉर्म X (N) एक गेंद ("हैंडल" या "छेद") के बिना होता है, बिल्कुल Ogg जैसा ही।

एक अन्य गणितज्ञ थॉम्पसन ने महसूस किया कि मैके का अवलोकन विकसित किया जा सकता है। उन्होंने कहा कि मूल जे-फंक्शन के अगले कुछ गुणांकों को मॉन्स्टर कैरेक्टर टेबल के पहले कॉलम के मानों के योग के रूप में भी लिखा जा सकता है। इसके अलावा, आप अन्य J_N फ़ंक्शंस के कई गुणांकों को तालिका से अन्य मानों के रूप में लिख सकते हैं। उस समय, थॉम्पसन अभी भी एक अधूरी चरित्र तालिका के साथ काम कर रहा था। यह 1979 तक नहीं था कि फिशर, लिविंगस्टन, और थॉर्न ने प्रतीक तालिका की गणना पूरी की, और बाद में उस वर्ष कॉनवे और नॉर्टन ने थॉम्पसन की टिप्पणियों को एक सटीक परिकल्पना में बदल दिया। उन्होंने तर्क दिया कि जे-फ़ंक्शन के किसी भी गुणांक को लिखने के लिए एक तरीका है, जैसा कि अप्रतिबंधित मॉन्स्टर अभ्यावेदन के आयाम (यानी, राक्षस प्रतीक तालिका के पहले स्तंभ से रिकॉर्ड) का योग है। इसके अलावा, यह इस तरह से किया जा सकता है कि यदि हम प्रतीक तालिका के किसी अन्य स्तंभ से प्रविष्टियों के साथ पहले कॉलम से प्रविष्टियां स्वैप करते हैं, तो हम एक अन्य फ़ंक्शन J_N के गुणांक प्राप्त करते हैं! उदाहरण के लिए, यहां मूल जे-फ़ंक्शन के पहले तीन गुणांक हैं (समीकरणों के बाईं ओर):

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876, और

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

जहाँ 1 , 196883 , 21296876 , और 842609326 मॉन्स्टर चरित्र तालिका के पहले कॉलम में पहले चार मान हैं। और यहां J_2 फ़ंक्शन के पहले तीन गुणांक हैं (फिर से, समीकरणों के बाईं ओर):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 और

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374,

जहाँ 1 , 4371 , 91884 और 1139374 मॉन्स्टर कैरेक्टर टेबल के दूसरे कॉलम में पहले चार मान हैं। और इसी तरह: प्रतीक तालिका का प्रत्येक स्तंभ कुछ मॉड्यूलर घटता के लिए बेस मॉड्यूलर फ़ंक्शन के गुणांक देता है। कॉनवे और नॉर्टन ने अपनी परिकल्पना राक्षसी बकवास (राक्षसी मूनशाइन) कहा।

लगभग एक साल पहले मुझे कॉनवे के साथ बात करने का मौका मिला था कि यह परिकल्पना कैसे दिखाई देती है। उन्होंने कहा कि उन्होंने मॉन्स्टर प्रतीक तालिका में नए मूल्यों को देखा, जिन्होंने गणना करने के लिए बहुत प्रयास किया, और फिर गणित पुस्तकालय में चले गए और मॉड्यूलर कार्यों के गुणांकों की तालिकाओं के साथ दशकों पहले लिखी गई एक पुस्तक खोली। और उन्होंने गहरी डरावनी इस भावना का वर्णन किया जब एक ही संख्या या उनके स्पष्ट संयोजन ने उन्हें एक पुरानी किताब के पन्नों से देखा।

1982 में, ग्रिस ने आखिरकार एक राक्षस का निर्माण करने का तरीका दिखाया। पहली बार, गणितज्ञ "यदि राक्षस मौजूद है," खंड से छुटकारा पाने में सक्षम थे। दस साल बाद, कॉनवे के एक पूर्व छात्र बोरोर्ड्स ने "वर्टेक्स ऑपरेटर अल्जेब्रा" के सिद्धांत का उपयोग करके परिकल्पना को साबित किया, जिसे उन्होंने विशेष रूप से इस उद्देश्य के लिए बनाया था। यह सिद्धांत 1960 के पुराने भौतिक सिद्धांत के आधार पर बनाया गया था। इस साक्ष्य के लिए बोरचर्ड्स ने 1998 के फील्ड्स मेडल को कई तरीकों से प्राप्त किया। यह गणित में एक प्रकार का नोबेल पुरस्कार है, इस अपवाद के साथ कि कुछ अकथनीय कारण के लिए, आपको इसे प्राप्त करने के लिए 40 वर्ष से कम होना चाहिए। जैसा कि मैंने सुना, ऑर्ग ने अपने प्रश्न के उत्तर में बोरचर्ड को संतुष्ट किया, लेकिन बोरचर्ड नहीं पीता है, इसलिए जैक डेनियल की बोतल लावारिस बनी हुई है। दूसरी ओर, हालांकि कॉनवे बोरचर्ड्स के काम से बहुत खुश है, फिर भी वह इसे केवल एक चेक में देखता है, लेकिन स्पष्टीकरण नहीं। हाँ, अब हम जानते हैं कि मॉड्यूलर फ़ंक्शंस के गुणांक मॉन्स्टर वर्णों के मानों का योग हैं, लेकिन, कॉनवे का मानना ​​है कि हमारे पास अभी भी एक स्पष्ट तस्वीर नहीं है, तो क्या आप इस का विस्तार कर सकते हैं?

कहानी यहीं खत्म नहीं होती। 2007 में, विटेन ने क्वांटम गुरुत्व में संघर्ष समाधान पर काम किया। क्वांटम यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता बहुत संगत नहीं हैं। Witten ने एक सरलीकृत प्रश्न पर काम किया, सापेक्षता के सिद्धांत से गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर सब कुछ छोड़ दिया। उन्होंने यह मानने का कारण पाया कि इस सरल निर्माण में परिकल्पना से VOA गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत की कुंजी है। इस सिद्धांत में, जे-फ़ंक्शन एक सेक्शनिंग फ़ंक्शन में बदल जाता है जो विभिन्न ऊर्जा राज्यों को गिनता है। यहां विभिन्न राक्षस प्रतीक दिखाई देते हैं जो ब्लैक होल के राज्यों के अनुरूप हैं। विटेन ने पूछा कि क्या इनमें से कुछ ब्लैक होल राज्य दूसरों की तुलना में अधिक सामान्य हैं। मॉन्स्टर पर वापस जाकर, यह मूल रूप से इस सवाल पर उतरता है कि जब हम किसी J- फंक्शन के दिए गए गुणांक को तोड़ते हैं, तो हमें कितनी यूनिट देखने की उम्मीद है? या कितनी बार 196,883? क्या इकाइयाँ दुर्लभ हैं? या वहाँ ज्यादातर इकाइयाँ हैं जिनके कुछ दिलचस्प अर्थ यहाँ और वहाँ बिखरे हुए हैं? मुझे लगता है कि कई लोगों के पास यह सवाल है जब वे पहली बार राक्षसी बकवास की परिकल्पना पर आते हैं। यदि सब कुछ मुख्य रूप से इकाइयों में आया, तो यह सिद्धांत को बहुत कम दिलचस्प बना देगा। लेकिन आप इसकी चिंता न करें। इस तथ्य के बावजूद कि हम शुरू से ही इकाइयों को देखते हैं, वे बहुत दुर्लभ हो जाते हैं जब हम बड़े गुणांक में चले जाते हैं, और बड़े प्रतीकों पर अधिकार करना शुरू हो जाता है। 200 वें गुणांक के बाद, प्रतीक मुख्य रूप से उनके माप के आकार के अनुपात में दिखाई देते हैं। अन्य सभी वर्णों में 1 का अनुपात 5.8 × 10 ^ 27 में लगभग 1 है। यह लगभग कागज़ क्लिप के द्रव्यमान और पृथ्वी के द्रव्यमान का अनुपात है। दूसरा सबसे बड़ा प्रतीक 196883 गुना अधिक बार होता है, तीसरा - 21296876 बार अधिक बार, आदि। विटेन कॉन्फ़िगरेशन में लौटने का मतलब है कि एक ब्लैक होल के लिए बड़ी ऊर्जा की स्थिति अधिक सामान्य है, जबकि तुच्छ वैक्यूम राज्य ( 1 ) व्यावहारिक रूप से मौजूद नहीं है।

इस विषय पर कई और अध्ययन हैं। हम (गणितज्ञों) ने देखा (और कुछ मामलों में साबित हुआ) मॉन्स्टर के बाहर अन्य समूहों के लिए एक घटना है। स्ट्रिंग सिद्धांत विशेषज्ञ हमारे काम में झांकना जारी रखते हैं, इन नए बदलावों को नए गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों में बदलने की उम्मीद करते हैं।

अधिक तकनीक प्रेमी पाठकों के लिए जो विवरणों में रुचि रखते हैं, मैं टेरी गैनन की पुस्तक "नॉनसेंस बियॉन्ड द मॉन्स्टर" या इस विज्ञान लेख (सार्वजनिक रूप से उपलब्ध) की सलाह देता हूं।