खुशी का सिद्धांत। वर्ग असमानता के ऊष्मप्रवैगिकी

मैं हेब के पाठकों को उनकी पुस्तक "खुशी के सिद्धांत" के अध्याय के साथ उपशीर्षक के साथ परिचित करना चाहता हूं "विधि के कानूनों के गणितीय नींव।" यह अभी तक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक प्रकाशित नहीं हुई है, बहुत ही अनौपचारिक रूप से बता रही है कि कैसे गणित आपको दुनिया और लोगों के जीवन को जागरूकता की एक नई डिग्री के साथ देखने की अनुमति देता है। यह उन लोगों के लिए है जो विज्ञान में रुचि रखते हैं और उनके लिए जो जीवन में रुचि रखते हैं। और चूँकि हमारा जीवन जटिल और, बड़ा और अप्रत्याशित है, पुस्तक में मुख्य रूप से संभावना सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों पर जोर दिया गया है। यहाँ प्रमेय सिद्ध नहीं हुए हैं और विज्ञान के मूल तत्व नहीं दिए गए हैं, यह किसी भी तरह से पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन इसे मनोरंजक विज्ञान कहा जाता है। लेकिन यह वास्तव में ऐसा लगभग चंचल दृष्टिकोण है जो हमें अंतर्ज्ञान विकसित करने की अनुमति देता है, ज्वलंत उदाहरणों वाले छात्रों के लिए व्याख्यान को उज्ज्वल करता है और अंत में, गैर-गणितज्ञों और हमारे बच्चों को समझाता है कि हमें अपने शुष्क विज्ञान में ऐसी दिलचस्प चीजें मिलीं।



इस अध्याय में, हम पैसे, बाज़ारों और एन्ट्रॉपी पर चर्चा करेंगे, साथ ही साथ एनिमेटेड जिफ़ों को देखेंगे, जो कि एक पुस्तक में नहीं छप सकते हैं।

Hongren अवलोकन:
अर्थशास्त्रियों के बीच, वास्तविक दुनिया को अक्सर एक विशेष मामला माना जाता है।

अर्थशास्त्र एक बड़ा, गंभीर, लेकिन अजीब विज्ञान है। निस्संदेह, यह एक अनुशासन के रूप में जरूरी है जो हमारी दुनिया की वास्तविक और महत्वपूर्ण घटना का अध्ययन करता है: आर्थिक वास्तविकता। आर्थिक विज्ञान अस्थिरता और औपचारिकता के लिए प्रयास करता है, इसमें बहुत अधिक गणित है, कभी-कभी जटिल और दिलचस्प। हालाँकि, एक गंभीर आर्थिक पाठ्यपुस्तक खोलते हुए, आप सबसे अधिक संभव कुछ सरल गणना, तैयार व्यंजनों और इस भावना में अनौपचारिक तर्क का एक गुच्छा पाएंगे: "लेकिन वास्तव में, सब कुछ गलत हो सकता है और, सामान्य रूप से, जैसा आप चाहते हैं, यदि ऐसा होता है प्रमुख खिलाड़ियों या सरकार की इच्छा अंत में, आप यह महसूस कर सकते हैं कि अंतर्ज्ञान, मनोविज्ञान का ज्ञान और सामान्य संदर्भ को समझने की क्षमता इस विषय में सटीक गणना और विवरण के सावधानीपूर्वक विचार से अधिक महत्वपूर्ण है (यह अर्थशास्त्र के बारे में है, लेखांकन नहीं)। अंत में, लगभग आधे नकली शोध प्रबंध विशेष रूप से अर्थशास्त्र पर लिखे गए हैं, इसलिए, आर्थिक विषयों पर तर्क करना बहुत मुश्किल नहीं है। हम इस क्षेत्र में भी अपनी ताकत का प्रयास करेंगे, अच्छा है, कहीं भी इस दुनिया का अन्याय धन के वितरण के सवाल से ज्यादा तीव्र है। इसके अलावा, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई व्यक्ति क्या करता है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि वह किस पेशे का मालिक है, वह अर्थव्यवस्था और उसके खेल में शामिल है, अर्थशास्त्र के नियमों के साथ-साथ भौतिकी के नियमों से, छिपाने के लिए नहीं।

गणितीय अर्थशास्त्र द्वारा हल की गई समस्याओं के पूरे द्रव्यमान में से, हम केवल एक पर विचार करेंगे - यह कैसे पता चलता है कि सभी बाजार सहभागियों के लिए समान परिस्थितियों में और निधियों के उचित आदान-प्रदान के बावजूद, गरीब अमीर से अधिक अमीर बन जाते हैं और क्यों एक आदर्श गणितीय समाज भी वित्तीय असमानता से ग्रस्त है। खैर, जिस तरह से हम गणितीय आंकड़ों और यादृच्छिक चर के वितरण के बारे में कुछ दिलचस्प सीखते हैं।

मैं शिक्षा और पेशे से एक भौतिक विज्ञानी हूं, और मेरे पेशेवर विकृति दुनिया के अजीब दृश्य में व्यक्त की जाती है, विभिन्न भौतिक प्रणालियों और प्रक्रियाओं की एक किस्म के रूप में। एक भौतिक विज्ञानी के दृष्टिकोण से, वास्तविक बाजार एक बहुत ही गैर-स्थिर ओपन सिस्टम है, जिसमें स्वतंत्रता के कई डिग्री हैं, जिसमें स्टोचस्टिक (यादृच्छिक) प्रक्रियाएं एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। इस अर्थ में, बाजार भौतिकी की ऐसी शाखाओं का अध्ययन करने के विषय के समान है, जैसे कि थर्मोडायनामिक्स और सांख्यिकीय भौतिकी, जिसमें सभी असंख्य विवरणों और सिस्टम के सभी घटकों के व्यवहार पर विचार करने की असंभवता को देखते हुए, वे ऊर्जा और तापमान या दबाव जैसे सामान्यीकरण और औसत दर्जे के गुणों पर स्विच करते हैं। । यह आश्चर्य की बात नहीं है कि थर्मोडायनामिक रूप से आर्थिक प्रणालियों का वर्णन करने और एक सौ से अधिक वर्षों तक इकोनोफिजिक्स बनाने का प्रयास किया गया है। लेकिन परेशानी यह है: जबकि वैज्ञानिक विवरणों पर विचार करते हैं, प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में बताते हैं और मौलिक कानूनों के बारे में तर्क देते हैं, अध्ययन का मुख्य उद्देश्य आर्थिक वास्तविकता है, और मान्यता से परे बदलने का समय है। उसके व्यवहार को संरक्षित करने या उसकी अनिश्चितता और अप्रत्याशितता को बढ़ाने की कोशिश करने लगता है।

स्टॉक एक्सचेंज में खेलते समय तकनीकी विश्लेषण का उपयोग करने का एक अच्छा उदाहरण दो शताब्दी का इतिहास है। जब एक नया शक्तिशाली उपकरण प्रकट होता है जो आपको छिपे हुए पैटर्न के लिए टटोलने की अनुमति देता है और सुरक्षा या स्टॉक की कीमत का अनुमान लगाता है, तो यह उन लोगों के लिए लाभ कमाने लगता है जो इसका उपयोग करते हैं। लेकिन जल्द ही बाजार नए खिलाड़ियों को "महसूस" करना शुरू कर देता है और उनकी रणनीति के अनुकूल होता है, एक अद्भुत पद्धति की भविष्यवाणियों की सटीकता गिरना शुरू हो जाती है और कुछ समय बाद, यह पुरानी और बहुत विश्वसनीय उपकरणों की एक बड़ी सूची में आ जाती है। न तो आधुनिक लचीले स्व-शिक्षण तंत्रिका नेटवर्क एल्गोरिदम, और न ही सुपर-फास्ट रोबोट व्यापारी जो प्रति मिनट लाखों ऑपरेशन कर रहे हैं, ने पिछले दो दशकों में स्टॉक एक्सचेंज गेम की मुख्य संपत्ति को बदल दिया है - इसकी अप्रत्याशितता। और अब तक, इस उद्योग में एक पेशेवर के मुख्य लाभ हैं, चरित्र की धीरज, जुनून के लिए घृणा ... अच्छी तरह से, या विनिमय के स्वामित्व। सब कुछ एक कैसिनो की तरह है जहाँ खेल शुद्ध मौके पर आधारित होते हैं! एक तरफ, यह, निश्चित रूप से, अपमानजनक है, और दूसरी ओर, यह लगातार तरीकों और तरीकों में सुधार करने का अवसर देता है। एक बार, जुआ और आर्थिक खेलों के विश्लेषण के प्रयासों से संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय सांख्यिकी दोनों का जन्म हुआ, और उसके बाद ही उन्हें लगभग सभी प्राकृतिक विज्ञानों में आवेदन मिला।

आगे की चर्चा में, हम पैसे के बारे में बात करेंगे, लेकिन रोजमर्रा की परिचित यह श्रेणी आश्चर्यजनक रूप से जटिल और अस्पष्ट है। धन का अर्थ और मूल्य कई कारकों पर निर्भर करता है, और एक निश्चित राशि को बुलाकर संदर्भ से बाहर, हम इसके वास्तविक मूल्य के बारे में कुछ नहीं कहते हैं। यह सबसे भौतिक मात्राओं से मौद्रिक मूल्यों को अलग करता है जो हमारी दुनिया का वर्णन करता है और अर्थव्यवस्था में कठोर चर्चा करना मुश्किल बनाता है। लेकिन हमारी बातचीत का उद्देश्य: हर रोज, समझने योग्य और सरल अर्थ के कानूनों की गणितीय नींव। इसलिए, भविष्य में हम कुछ "रूबल" के बारे में बात करेंगे, एक औपचारिक टिकट या सिक्के का जिक्र करते हुए, और यह आरोप लगाते हुए कि इन लोगों के पास "रूबल" है, वे जितने अमीर हैं। क्रय शक्ति, अमूर्त या अशुभ मूल्यों, और "खुशी पैसे में नहीं है" के बारे में अन्य चर्चाएं, आखिरकार, हम बातचीत से बाहर निकल जाएंगे।

चलो, इसे बंद करो!

हम लोगों के एक सीमित समूह को कुछ निश्चित धनराशि वितरित करने के लिए कुछ सरल रणनीतियों के न्याय का विश्लेषण करके शुरू करते हैं।

पहली, सबसे स्पष्ट रणनीति: "सब कुछ ले लो, और इसे विभाजित करो", अर्थात, समूह के प्रत्येक सदस्य को कुल राशि का बराबर हिस्सा देना। इस तरह के वितरण को पतित कहा जाता है, इसमें जीनी सूचकांक शून्य के बराबर होता है और लोरेंट डायग्राम में एक समानता वक्र से मेल खाता है।


धन का पूर्ण रूप से पतित वितरण: सभी को समान रूप से विभाजित किया गया है।

बढ़िया विकल्प! हम इसे मिखाइल बुल्गाकोव "डॉग हार्ट" द्वारा उपन्यास के नायक के सम्मान में "शारिकोव की रणनीति" कहेंगे, जिसने सभी आर्थिक मुद्दों को हल करने के लिए इस तरह से प्रस्तावित किया था।

दूसरा, अधिक यथार्थवादी रणनीति यादृच्छिक पर हर एक रूबल को वितरित करना है। कौन भाग्यशाली है हम इस रणनीति को "पॉइसन" कह सकते हैं, क्योंकि इसी तरह से पॉइसन प्रक्रिया में स्वतंत्र यादृच्छिक घटनाओं को समय के पैमाने पर वितरित किया जाता है। के एक समूह के लिए $$$एन$ प्रत्येक व्यक्ति को रूबल प्राप्त करने की संभावना है $$$1 / n$ । इस तरह से वितरण के बाद $$$एम$ रूबल, सभी को ऐसे "सकारात्मक" परिणामों की संख्या के बराबर राशि प्राप्त होनी चाहिए। इस तरह की राशि के लिए प्रायिकता फ़ंक्शन अच्छी तरह से जाना जाता है - यह एक द्विपद वितरण है , घंटी के समान, औसत मूल्य के आसपास सममित रूप से बिखरने वाला। $$$एम / एन$ । आमतौर पर वे उसे पासा फेंककर संकेतित राशि प्राप्त करने की संभावना की गणना करके उसका परिचय देते हैं। बड़े मूल्यों के लिए $$$एम$ द्विपद वितरण सामान्य से लगभग अप्रभेद्य हो जाता है। आइए देखें कि यह कैसे बदलेगा, जैसे ही धन वितरित किया जाता है, समूह में धन का वितरण और इसकी निष्पक्षता।


"जिसे भगवान भेजेंगे" के सिद्धांत पर धन के वितरण का परिणाम एक द्विपद वितरण है। हम जितना अधिक पैसा देते हैं, औसत और प्रसार का मूल्य उतना अधिक होता है, लेकिन कुछ भी नहीं मिलने की संभावना लगभग गायब हो जाती है।


यह वितरण, न्याय के दृष्टिकोण से, बहुत अच्छा लग रहा है, इसके अलावा, यह जनता के लिए जितना अधिक पैसा है, उतना ही उचित है! बस महान! यह अफ़सोस की बात है कि समाज एक ही तरह से संगठित नहीं है और यह बारिश हम सभी पर समान रूप से पैसा नहीं डालती है।

तस्वीर को पूरा करने के लिए, आइए पैसे के एक और सरल कृत्रिम वितरण को देखें - वर्दी । इससे गरीबों का वितरण उतना ही होगा, जितना अमीरों का।


यहां तक ​​कि वितरण का मतलब यह नहीं है कि धन सभी में समान रूप से वितरित किया जाता है। इस वितरण के साथ, अमीर, गरीब और मध्यम किसानों की संख्या समान है, लेकिन पैसा मुख्य रूप से अमीरों का है।


एक समान वितरण के लिए, लोरेंत्ज़ वक्र एक द्विघात परवलय है, और यदि वितरण की बाईं सीमा शून्य है, तो यह परबाओला सही सीमा की स्थिति से स्वतंत्र है, और ऐसे सभी वितरणों के लिए गिन्नी सूचकांक बिल्कुल है $$$1/3$ । इस तरह के सूचकांक मूल्य (लेकिन ऐसा वितरण नहीं!), उदाहरण के लिए, 2000 के दशक में ऑस्ट्रेलियाई अर्थव्यवस्था में - यह काफी अच्छा संकेतक है।

हालाँकि, बाज़ार ही बाज़ार है! ऊपर दिए गए वितरण अच्छे हैं, लेकिन उनकी घटना के लिए विशेष परिस्थितियों की आवश्यकता होती है। यदि आप लोगों को पैसे का आदान-प्रदान करने, सेवाओं के लिए पैसे बदलने, इसे बचाने और एक रात में इसे खर्च करने की स्वतंत्रता देते हैं, तो आदर्श वितरण स्थिरता खो देगा और कुछ अन्य लोगों में बदल जाएगा।

नई आर्थिक नीति!

के एक समूह पर विचार करें $$$एन$ व्यक्ति। क्रांति के परिणामस्वरूप, हम प्रयोग में सभी प्रतिभागियों को समान धनराशि वितरित करेंगे - के लिए $$$एम$ हर किसी को रूबल, समाज में धन का सबसे अच्छा वितरण करने के लिए प्राप्त किया गया। अब हम उन्हें अपने भाग्य की इच्छा से अमीर और गरीब बनने और एक आदिम बाजार मॉडल बनाने की स्वतंत्रता देंगे। हम किसी व्यक्ति को समूह में किसी भी व्यक्ति को एक रूबल देने के लिए बेतरतीब ढंग से चयनित होने के लिए कहते हैं, जो यादृच्छिक रूप से भी चुना गया था। मान लें कि यह एक निश्चित मूल्य पर एक निश्चित सेवा की खरीद है। धन के वितरण में परिवर्तन की उम्मीद है: किसी के पास कम पैसा होगा, किसी के पास अधिक होगा। आइए हम बार-बार विनिमय प्रक्रिया को दोहराते हैं और देखते हैं कि समूह में धन का वितरण कैसे बदल जाएगा।

यह प्रयोग करने से पहले हम जो देखने की उम्मीद करते हैं, उस पर विचार करना समझदारी है। प्रतिभागियों के बीच पैसे का आदान-प्रदान समान रूप से होने की संभावना है, जैसा कि पैसा वितरित करने की पॉइसन रणनीति के मामले में है, लेकिन एक ही समय में, खिलाड़ी एक ही पॉइसन सिद्धांत के अनुसार और एक ही तीव्रता के साथ, पैसे खो देते हैं। इस प्रकार, यह माना जा सकता है कि सकारात्मक और नकारात्मक दोनों वेतन वृद्धि सामान्य रूप से वितरित की जाएगी और शून्य के संबंध में सममित रूप से स्थित होगी। प्रत्येक खिलाड़ी, अंत में, इन वेतन वृद्धि का अंतर प्राप्त करेगा, जो दो सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए भी सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा, इस मामले में, शून्य के आसपास, चूंकि नुकसान और जीत सममित हैं।


कई एक्सचेंजों के बाद, प्रत्येक खिलाड़ी एक ऐसी राशि प्राप्त करेगा और खो देगा जो सामान्य के करीब वितरण का पालन करता है। कुल राजस्व भी आम तौर पर शून्य के आसपास वितरित किया जाएगा।

इस प्रकार, हम सामान्य रूप से वितरित वेतन वृद्धि के साथ एक क्लासिक यादृच्छिक चलना प्राप्त करते हैं और इस दौरान धन के कुछ प्रसार की उम्मीद कर सकते हैं $$$एम$ । एक औसत औसत मान पर विचरण को बढ़ाते हुए संभाव्यता फ़ंक्शन को धुंधला किया जाना चाहिए। सब कुछ सरल लगने लगा है।

लेकिन एक अति सूक्ष्म अंतर है। यदि, किसी कारण से, समूह के किसी व्यक्ति के पास कोई धन नहीं बचा है, तो वह पैसे देकर सेवाएं नहीं खरीद पाएगा, लेकिन, उसी समय, वह इसे प्राप्त कर सकता है। धन का संभावित मूल्य बाईं ओर शून्य तक सीमित है, जिसका अर्थ है कि धन का प्रसार अनिश्चित काल तक नहीं फैल सकता है और संभावित रूप से, बाद में या बाद में मनाया गया संभावना सममित होने के लिए बंद हो जाएगा।

एक और बारीकियां है। हमारे बंद सिस्टम में धन की मात्रा सीमित और अपरिवर्तनीय है, जिसका अर्थ है कि यादृच्छिक चलता स्वतंत्र नहीं है। कुछ भाग्यशाली खिलाड़ी बहुत बड़ी मात्रा में प्राप्त करने और पहनावा से बहुत दूर होने में सक्षम होंगे, लेकिन केवल अगर कुल द्रव्यमान गरीब हो जाए। प्रयोग के प्रतिभागियों को सिस्टम में पैसे बचाने के कानून द्वारा एक अदृश्य नेटवर्क द्वारा एक साथ खींचा जाता है। इस तरह की शर्तों के तहत पैसे का वितरण क्या प्रयास करेगा? ऐसा लगता है कि इसका उत्तर स्पष्ट नहीं है क्योंकि यह पहली नज़र में लग सकता है, आइए अनुकरण करें और देखें कि क्या होता है।


के लिए समान राशि साझा करने के लिए सिमुलेशन परिणाम $$$n = 1000$ और $$$m = 100$ । सबसे पहले, वास्तव में, प्रसार के समान एक घटना देखी जाती है, लेकिन जैसा कि संभाव्यता फ़ंक्शन बाईं सीमा तक पहुंचता है, वितरण एक विशिष्ट असममितता के साथ जाता है और एक गिन्नी गुणांक के साथ बहुत उचित रूप में नहीं होता है। $$$0.5$ ।


यदि कोई भौतिक विज्ञानी इस पुस्तक को पढ़ता है, तो वह आत्मविश्वास से यह मान लेगा कि यह एक वितरण हो सकता है; वह इसे गिब्स वितरण कहेगा। एक चौकस पाठक को याद हो सकता है कि हम पहले से ही एक समान तस्वीर के साथ और ऐसे गिनी सूचकांक के साथ मिल चुके हैं जब हमने बस की प्रतीक्षा करते समय निराशा की जांच की थी। फिर हमने पॉइसन घटनाओं के बीच अंतराल के वितरण की जांच की, जिसका वर्णन एक घातीय वितरण द्वारा किया गया था। ये दोनों चतुर सज्जन सही होंगे, अलग-अलग नामों को समान अद्भुत वितरण कहते हैं।

लोग अणु हैं

गिब्स वितरण सांख्यिकीय भौतिकी के क्षेत्र से है। यह सिस्टम के गुणों का वर्णन करता है जिसे सुंदर शब्द "एनसेंबल" कहा जाता है, जिसमें बहुत से अंतःक्रियात्मक तत्व शामिल होते हैं, सबसे अधिक बार कण। कलाकारों की टुकड़ी में, आप मनमाने ढंग से सबसिस्टम (उदाहरण के लिए, व्यक्तिगत कण या उनके समूह) का चयन कर सकते हैं और उन्हें कुछ राज्य कार्य सौंप सकते हैं (ये सामान्यीकृत निर्देशांक, वेग, सांद्रता, रासायनिक क्षमता और बहुत कुछ हो सकते हैं)। सांख्यिकीय भौतिकी के तरीकों का उपयोग करते हुए, कई प्रकार की घटनाओं के मापदंडों की व्याख्या करना और उनकी गणना करना संभव है: रासायनिक और उत्प्रेरक प्रक्रियाएं, अशांति, फेरोमैग्नेटिज्म, तरल क्रिस्टल का व्यवहार, सुपरफ्लुएंटी और सुपरकंडक्टिविटी, और कई अन्य।

गिब्स वितरण इस सवाल का जवाब देता है: अगर उप-प्रणाली की एक निश्चित स्थिति को पूरा करने की संभावना क्या है अगर a) राज्य ऊर्जा दी जाती है, b) सिस्टम की मैक्रोस्कोपिक (अपेक्षाकृत बोलने, वैश्विक) गुण, जैसे तापमान, और c) क्या यह ज्ञात है कि सिस्टम थर्मोडायनामिक संतुलन में है? इसे योजनाबद्ध रूप से निम्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है:

$$

$$p _ {\ mathrm {गिब्स} (T)} (x) = C e ^ {- \ frac {E (x)} {kT}},$$

जहाँ $$$x$ - उप-व्यवस्था की एक निश्चित स्थिति, $$$E (x)$ क्या इस राज्य की ऊर्जा है, $$$T$ प्रणाली (या इसके अनुरूप) का पूर्ण तापमान है, और $$$सी$ और $$$k$ - आयामों के सामान्यीकरण और अनुरूपता के लिए आवश्यक मूल्य। संतुलन की स्थिति बहुत महत्वपूर्ण है, इसका मतलब है कि समय विचार से गायब हो जाता है और पूरी प्रणाली दी गई शर्तों के लिए सबसे अधिक संभावित स्थिति में होगी।

हमें यहां गिब्स वितरण के लिए अभिव्यक्ति की कठोर व्युत्पत्ति की आवश्यकता नहीं है, इसके बजाय, मैं एक सुंदर विशुद्ध गणितीय तर्क दिखाना चाहता हूं जो इसके घातीय रूप की ओर ले जाता है। चूंकि हम सिस्टम के उन हिस्सों पर विचार करते हैं जो पूरे सिस्टम को जोड़ते हैं, यह एक योगात्मक मात्रा को उनकी विशेषता के रूप में चुनने के लायक है, अर्थात् , जैसे कि पहनावा के लिए इसका मूल्य इसके भागों के मूल्यों का अंकगणितीय योग है। यांत्रिकी में इतनी मात्रा में ऊर्जा का उपयोग किया जा सकता है। दूसरी ओर, हम सिस्टम की एक निश्चित स्थिति का अवलोकन करने की संभावना की गणना करते हैं, और संभावना गुणक है , अर्थात, यदि सिस्टम को भागों में विभाजित किया जा सकता है, तो इन सभी भागों को एक साथ देखने की संभावना प्रत्येक भागों की स्थिति के लिए संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होगी। इस प्रकार, हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता है जो एक additive मात्रा को एक गुणक में बदल देता है। केवल घातीय फ़ंक्शन के पास यह गुण है। $$$^ एक्स$ , तर्कों का योग मूल्यों के उत्पाद में बदल जाता है: $$$a ^ {x + y} = a ^ x a y$ खैर, सभी घातीय कार्यों में, सबसे सुविधाजनक घातांक है, क्योंकि यह एकीकृत और विभेदित होने पर बहुत अच्छा व्यवहार करता है।

हमारे बाजार मॉडल में, हमारे पास एक additive मात्रा है - प्रत्येक खिलाड़ी के पास जितना पैसा है, यह ऊर्जा का एक एनालॉग है। हमारे द्वारा वर्णित विनिमय में, भौतिक प्रणाली में ऊर्जा की तरह, यह मात्रा संरक्षित है। और तापमान का क्या मतलब है? घातांक वितरण की प्रायिकता घनत्व के लिए अभिव्यक्ति को देखकर यह पता लगाना आसान है:

$$

$$p _ {\ _ mathrm {Exp} (\ lambda)} (x) = \ lambda e ^ {- \ lambda x},$$

और यह याद रखना कि उसके लिए औसत है $$$1 / \ lambda$ । चूंकि बोली प्रक्रिया के दौरान खिलाड़ियों की संख्या अपरिवर्तित होती है, इसलिए खिलाड़ियों से मिलने वाली धनराशि का अंकगणित आरंभिक रूप से वितरित राशि के बराबर होता है $$$एम$ । यह स्वाभाविक रूप से इस प्रकार है $$$\ lambda = 1 / m$ , तब खिलाड़ियों से मिलने वाली औसत राशि हमारे आर्थिक मॉडल में तापमान के रूप में कार्य करती है। महान तरलता के साथ "वार्म अप" बाजार में, हम एक "ठंड" एक की तुलना में भलाई के स्तर में अधिक से अधिक प्रसार का निरीक्षण करने में सक्षम होंगे, क्योंकि घातीय वितरण में फैलाव है $$$1 / \ lambda ^ 2$ । जैसा कि आईएल्फ और ई। पेट्रोव द्वारा ओस्टैप बेंडर ने "गोल्डन बछड़ा" में कहा है: "एक बार कुछ बैंकनोट देश में घूमते हैं, तो ऐसे लोगों को भी होना चाहिए जिनके पास बहुत कुछ है।"

बिल्कुल सटीक होने के लिए, और याद रखें कि हमारे प्रयोग में पैसा एक असतत मात्रा है, फिर हम एक ज्यामितीय वितरण का निरीक्षण करते हैं - घातांक का असतत एनालॉग। यह पहली जीत से पहले विफलताओं की संख्या की गिनती की समस्या में होता है जब ईमानदारी के अलग-अलग डिग्री के सिक्के उछालते हैं। ये दो वितरण समान हैं और जीतने की संभावना में कमी के साथ अप्रभेद्य बन जाते हैं। हमारे प्रयोग में, रूबल मिलने की संभावना बराबर है $$$1/1000$ , यह वितरण घातीय को कॉल करने के लिए काफी छोटा है।

यह बाजार की अंतिम स्थिति के संतुलन से निपटने के लिए बनी हुई है। थर्मोडायनामिक संतुलन को विभिन्न तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। सबसे पहले, स्थिर राज्य संतुलन में होना चाहिए, जिसमें प्रणाली अनिश्चित रूप से बनी रह सकती है, अपने स्थूल मापदंडों को बदले बिना, और बिना स्वयं के पदार्थ और ऊर्जा के आदेशित प्रवाह के गठन के बिना। दूसरे, यह स्थिर होना चाहिए, अर्थात्, यदि सिस्टम असंतुलित है, तो यह उस पर वापस लौट आएगा। तीसरा, यह प्रणाली की सबसे संभावित स्थिति है, जो अक्सर देखी जाती है, जिसमें समय के साथ सिस्टम किसी भी अन्य, किसी भी तरह के राज्य से प्राप्त नहीं करेगा। हमारा प्रयोग संतुलन के लिए इन मानदंडों को प्रदर्शित करता है: एक घातांक वितरण के लिए आने के बाद, सिस्टम इसमें बना रहता है, और इसके अलावा, प्रयोग में यह सुनिश्चित करना आसान है कि किसी भी मनमाने वितरण से, कुछ समय बाद, हम फिर से घातांक हो। लेकिन यह सबूत नहीं है, लेकिन केवल एक संकेत है कि हम सबसे अधिक संतुलन के साथ काम कर रहे हैं। हमें किसी प्रकार के औपचारिक औसत दर्जे की कसौटी की आवश्यकता होती है जो हमें स्पष्ट रूप से इंगित करती है कि सिस्टम अनिश्चित काल तक प्रतीक्षा करने या सभी संभावित प्रारंभिक वितरणों के माध्यम से छंटनी करने की आवश्यकता के बिना संतुलन है। यह एक उपयोगी मानदंड होगा जो वास्तविक बाजार पर लागू किया जा सकता है, बिना जीवित लोगों पर जोखिमपूर्ण प्रयोगों का संचालन करने की आवश्यकता के बिना।

ताओ ने शब्दों में व्यक्त किया - सच्चा ताओ नहीं

संतुलन पर विचारों ने भौतिकविदों को एन्ट्रॉपी की अवधारणा की ओर अग्रसर किया, जो धीरे-धीरे ऊष्मप्रवैगिकी से परे हो गया और सभी दिशाओं, दार्शनिकों और आम जनता के वैज्ञानिकों द्वारा इतना पसंद किया गया, कि अब एन्ट्रापी को रहस्य, अतृप्ति और भगवान का आभास मिल गया है और कुछ और जानते हैं। एक सरल और विशेष अवधारणा, संक्षेप में, दुनिया के एक अकथनीय रूप से शासी अवधारणा के रूप में जनता के मन में एक प्रतिष्ठा प्राप्त की। यह इस तथ्य के कारण है कि ऊष्मप्रवैगिकी एक सार्वभौमिक विज्ञान है जो बहुत ही उच्च स्तर की अमूर्तता का वर्णन करता है एक बहुत ही विविध प्रकृति की एक प्रणाली: शारीरिक, रासायनिक और जैविक से सामाजिक, आर्थिक और यहां तक ​​कि विशुद्ध रूप से मानवीय। स्कूल के पाठ्यक्रम के बाद, हालांकि, एक भावना है कि ऊष्मप्रवैगिकी एक उबाऊ आदर्श गैस, कुछ पिस्टन और एक असंभव गाँठ चक्र के बारे में है। ऐसा बहुत ही एकतरफा दृष्टिकोण उल्लेखनीय तथ्य से जुड़ा है कि ऊष्मागतिकी, प्राकृतिक विज्ञान की सबसे अमूर्त और सार्वभौमिक शाखाओं में से एक होने के नाते, स्कूली बच्चों के लिए समझ में आने वाली समस्याओं को हल करती है और उद्योग में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, श्रेणी सिद्धांत या टोपोलॉजी के बारे में यह नहीं कहा जा सकता है, जो बहुत सार, सार्वभौमिक और निस्संदेह उपयोगी विषय भी हैं, लेकिन वे रोजमर्रा के कार्यों में लगभग कभी भी सामना नहीं करते हैं।

इसलिए एन्ट्रापी। थर्मोडायनामिक्स के निर्माता, क्लॉज़ियस, और बाद में गिब्स और बोल्ट्ज़मैन को संतुलन की एक मात्रात्मक विशेषता की आवश्यकता थी, जो सिस्टम या इसके भागों की संकेतित अवस्था का अवलोकन करने की संभावना को दर्शाता है। इसके अलावा, यह मूल्य, जो प्रकृति में गुणात्मक है एक संभावना को दर्शाता है, एक additive राज्य कार्य होना चाहिए ताकि इसे अपने भागों के लिए गणना किए गए मूल्यों को जोड़कर सिस्टम के लिए गणना की जा सके। जब हमने गिब्स वितरण के लिए एक उपयुक्त कार्य की तलाश की, तो हम इस तथ्य से आगे बढ़े कि यह एक योजक तर्क को कई गुणा मूल्य में बदल दे। एंट्रोपी के लिए एक अभिव्यक्ति की खोज करते समय, हमें एक फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है जो तर्क में गुणात्मक और मूल्य में additive है - यह एक लघुगणक फ़ंक्शन है, घातीय का व्युत्क्रम। एक जटिल प्रणाली के राज्य की एन्ट्रापी को उसके सभी भागों की स्थिति की देखरेख के लिए, या, बोल्ट्जमैन के अनुसार, सिस्टम के इस अवस्था के तरीकों की संख्या के लघुगणक के रूप में देखा जा सकता है। इस मामले में, अधिक संभावित स्थिति एन्ट्रापी के एक बड़े मूल्य से मेल खाती है, और संतुलन राज्य के लिए अधिकतम संभव है।

इस या उस स्थिति को महसूस करने के तरीकों की संख्या उन प्रतिबंधों या शर्तों की संख्या पर निर्भर करती है जिनके तहत इस राज्य को महसूस किया जा सकता है। इस तरह के प्रतिबंध जितने कम होते हैं, राज्य की संभावना उतनी ही अधिक होती है और इसकी एन्ट्रापी का मूल्य भी उतना ही अधिक होता है। इन प्रतिबंधों और शर्तों से स्थिति की जानकारी मिलती है । इसलिए यह विचार कि एन्ट्रापी प्रणाली की हमारी अज्ञानता की डिग्री को दर्शाता है: हम राज्य के बारे में जितना कम जानते हैं, उतना ही बड़ा उसकी एंट्री है। शैनन ने बाद में किसी भी सिस्टम की जानकारी के लिए इस अवधारणा को सामान्य किया, जिसमें यादृच्छिक चर के वितरण शामिल थे। यहाँ उसने क्या किया: एक यादृच्छिक चर के लिए $$$X$ एक प्रायिकता फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित $$$p (x)$ एन्ट्रापी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$

$$H (X) \ equiv - \ mathrm {M} (\ ln (p (x))) = = - \ sum {p (x) \ ln (p (x))},$$

जहाँ सभी मूल्यों पर योग किया जाता है $$$x$ जिसमें $$$p (x)> 0$ । इस प्रकार, हम किसी भी जटिल प्रणाली के राज्य की एन्ट्रापी की गणना करने में सक्षम हैं, जिसका सांख्यिकीय विवरण है।

यह हमारे बाजार मॉडल के संतुलन में आने के रूप में एंट्रॉपी परिवर्तन है।


बाजार में प्रवेश के रूप में एन्ट्रापी की वृद्धि संतुलन अवस्था में आती है। सही ग्राफ़ पर क्षैतिज रेखा, घातीय वितरण के लिए एन्ट्रॉपी के सैद्धांतिक मूल्य को दर्शाता है, जिसके बराबर $$$1- \ ln (\ lambda)$ । मध्यवर्ती "शेल्फ" उस अवधि से मेल खाती है जिसके दौरान वितरण प्रसार चरण के माध्यम से चला गया और सामान्य जैसा दिखाई दिया।

इस प्रकार, प्रत्येक वितरण: विश्लेषणात्मक रूप से परिभाषित या प्रयोगात्मक रूप से हिस्टोग्राम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, इसे एक सकारात्मक संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है - इसका प्रवेश। इसका मतलब है कि वितरण को एक दूसरे के साथ तुलना किया जा सकता है, कम या ज्यादा संतुलन का निर्धारण और दी गई स्थितियों के लिए संभावित है। इसके अलावा, वितरण के एक निश्चित वर्ग के लिए, अधिकतम एन्ट्रापी, इसके अलावा, केवल एक के साथ एक वितरण को भेद करना संभव है। कक्षाएं एक प्रणाली के सांख्यिकीय गुणों के हमारे ज्ञान की कमी, या बाधाओं द्वारा परिभाषित की जाती हैं। यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

हम यादृच्छिक चर के बारे में क्या जानते हैं $$$X$	अधिकतम एन्ट्रापी के साथ वितरण
$$$X \ _ [a, b] $ मे$	कटौती पर वर्दी $$$[ए, बी]$
$$$X \ in \ {0,1 \}$	बर्नौली वितरण
$$$X \ में [0, \ infty)$ + औसत	घातांक मात्रा के लिए घातीय - ज्यामितीय
$$$X \ में [x_m, \ infty)$ + ज्यामितीय माध्य	पारेतो वितरण (शक्ति)
$$$X \ में [0, \ infty)$ + औसत + ज्यामितीय माध्य	गामा वितरण
$$$X \ में [0, \ infty)$ + ज्यामितीय माध्य + ज्यामितीय माध्य के लिए विचरण	सामान्य लॉग करें
$$$X \ _ (- \ infty, \ infty)$ + औसत + विचरण	साधारण

सभी चेहरों को परिचित! ये बहुत बार उपयोग किए जाने वाले वितरण होते हैं जो सांख्यिकीविद् कार्यों के व्यापक वर्ग पर लागू होते हैं। उनकी सार्वभौमिकता इस तथ्य के ठीक कारण है कि, अधिकतम एन्ट्रापी होने के कारण, वे सबसे अधिक संभावित और अवलोकनीय हैं। उनके लिए, संतुलन के रूप में, असली यादृच्छिक चर के कई वितरण होते हैं। अन्य सभी के बीच प्रतिबंधों से सबसे मुक्त सामान्य वितरण है: इसके लिए एक यादृच्छिक चर के बारे में न्यूनतम जानकारी की आवश्यकता होती है। कम विफल हो जाएगा: यदि हम केवल औसत मूल्य का संकेत देते हैं, तो एन्ट्रापी बढ़ाने के प्रयास में, वितरण पूरे संख्यात्मक अक्ष के साथ "स्मीयर" करेगा।लेकिन, अगर हम केवल औसत मूल्य जानते हैं, लेकिन एक ही समय में यादृच्छिक चर को सकारात्मक मानों तक सीमित करते हैं, तो संतुलन वितरण असंदिग्ध - घातीय होगा। यह ऐसा मामला है जिसे हमने बाजार के साथ अपने प्रयोग में देखा है। हम केवल पहले से जानते थे कि हमने प्रत्येक खिलाड़ी को कितना पैसा दिया था और यह तथ्य कि प्रणाली में धन की मात्रा निरंतर थी, इसने औसत मूल्य तय किया। और चूँकि हमारा धन सकारात्मक है, सबसे अधिक संभावना है, संतुलन में, हमें धन का घातांक वितरण सूचकांक सूचकांक के साथ मिलता है$$$1/2$ ।

हमारे द्वारा वर्णित मॉडल के कई संशोधन हैं: विनिमय एक रूबल में नहीं, बल्कि दाता के राज्य द्वारा सीमित यादृच्छिक मूल्य में हो सकता है, जबकि किसी एक खिलाड़ी को पैसा देना संभव नहीं है, लेकिन इसे यादृच्छिक रूप से वितरित करना संभव है। जब तक हम खेल में नए मापदंडों को पेश नहीं करते हैं, तब तक ये सभी संशोधन धन के संतुलन के रूप में परिवर्तन नहीं करते हैं - यह समीचीन बना हुआ है। आप इसे सिमुलेशन की मदद से सत्यापित कर सकते हैं, लेकिन विभिन्न विनिमय विधियों के लिए चित्र देना दिलचस्प नहीं है - वे सभी समान हैं। कई शोधकर्ताओं ने बाजार के मॉडल की इस विशेषता को नोट किया है। एक दिलचस्प मॉडल मैरीलैंड विश्वविद्यालय से ड्रैगुल्स्क्यू और याकोवेन्को द्वारा बनाया गया है, जिसमें खिलाड़ियों को कुछ कंपनियों में जोड़ा जाता है और फिर खिलाड़ियों-श्रमिकों और खिलाड़ियों-खरीदारों के साथ कंपनियों की बातचीत का अनुकरण किया जाता है।लेकिन इस जटिल मामले में भी, संतुलन घातीय वितरण है, जो मॉडल के चुने हुए मापदंडों के प्रति उदासीन है।

अधिकतम एन्ट्रॉपी के सिद्धांत की सार्वभौमिकता को प्रदर्शित करने के लिए, हमें कृत्रिम रूप से ऊपर से एक व्यक्तिगत खिलाड़ी के धन के स्तर को सीमित करना चाहिए, अगर वह पहले से ही एक निश्चित राशि है, तो उसे धन प्राप्त करने से मना करें। संतुलन वितरण, निश्चित रूप से, बदल जाएगा। और अगर सही सीमा औसत मूल्य के दोगुने के बराबर है, तो हम तालिका की पहली पंक्ति में वर्णित मामले पर आते हैं। दरअसल, रैंडम वैरिएबल को एक सीमित सेगमेंट तक सीमित करना और किसी अन्य चीज का संकेत नहीं देना, हम इस सेगमेंट के बीच को छोड़कर औसत के किसी अन्य अपेक्षित मूल्य को नहीं मान सकते हैं। इसलिए, इस विकल्प के साथ संतुलन वितरण समान होना चाहिए। आइए देखें कि क्या ऐसा है?


यह तब होता है जब खिलाड़ियों के धन का ऊपरी स्तर सीमित होता है, और इसलिए, ऊपरी सीमा औसत से दोगुनी है। अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत के अनुसार, संतुलन वितरण समान होना चाहिए। सही ग्राफ पर क्षैतिज रेखा एक समान वितरण के लिए एन्ट्रॉपी के सैद्धांतिक मूल्य को दर्शाती है।


और अगर समरूपता टूट गई है, यानी अगर हम सही सीमा को दाएं या बाएं घुमाते हैं तो क्या होगा?

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औसत मूल्य की शिफ्ट के अनुरूप बर्नौली के वितरण की तुलना में असममित रूप से बांटे गए वितरण के वेरिएंट। एन्ट्रापी ग्राफ पर क्षैतिज रेखाएं बर्नौली वितरण के एन्ट्रापी के लिए सैद्धांतिक मूल्यों को दर्शाती हैं।

सीमित घातांक का रूप लेते हुए धन का वितरण एक समान होना बंद हो गया। अमीर खिलाड़ियों के संतुलन में दाएं बॉर्डर को बाईं ओर शिफ्ट करने के साथ गरीबों की तुलना में अधिक हो गया। यदि हम केवल दो कॉलम बचे हुए हिस्टोग्राम को "रफ अप" करते हैं, तो हमें बर्नोली वितरण मिलता है जिसमें दिखाया गया है कि यह सशर्त रूप से "गरीब" या "अमीर" होने की संभावना है। जब एक यादृच्छिक चर का मान केवल दो मूल्यों तक सीमित होता है, तो बर्नोली वितरण एकमात्र विकल्प है; यह, ज़ाहिर है, अधिकतम एन्ट्रापी बचाता है। लेकिन इस तथ्य पर ध्यान दें कि हमारे मॉडल वितरण की एन्ट्रापी बर्नौली वितरण द्वारा अनुमानित मूल्यों के ठीक विपरीत है। इन दो मामलों के लिए गिन्नी गुणांक बराबर हैं$$$0.43$ और $$$0.2$ , क्रमशः।

रहस्यमय और शक्तिशाली एन्ट्रॉपी, निश्चित रूप से, शांत और, शायद, यहां तक ​​कि आश्वस्त भी है। लेकिन क्यों, एक सममित विनिमय के साथ, गरीब अमीर से अधिक अमीर हो जाते हैं? संतुलन वितरण मोड शून्य के बराबर क्यों है? यह आवश्यक है, जैसा कि भौतिकविदों का कहना है, प्रक्रिया के कैनेटीक्स को समझने के लिए, अर्थात् व्यक्तिगत कणों का भाग्य। हम यह मानने में गलत नहीं थे कि रैंडम वॉक मॉडल एक व्यक्तिगत बोली लगाने वाले की स्थिति में बदलाव का वर्णन करता है: वह समान रूप से ऊपर और नीचे दोनों कदम उठाने की संभावना है। और यादृच्छिक चलने के लिए अर्थ का एक प्रसिद्ध कानून पूरा हो गया है: खिलाड़ी का अभिशाप। मैं आपको याद दिला दूं कि यह इस तथ्य में निहित है कि पर्याप्त रूप से लंबे अवलोकन के साथ, एक बेतरतीब ढंग से भटकने वाला कण आवश्यक रूप से अग्रिम में संकेतित किसी भी स्थान पर होगा।इसके अलावा, जिस दूरी पर कण किसी भी प्रारंभिक बिंदु से दूर जाता है, वह चरणों की संख्या के वर्गमूल के समानुपाती होता है। यह सब इस तथ्य की ओर जाता है कि यदि कोई कण शून्य के पास अपना रास्ता शुरू करता है, तो यह सबसे अधिक संभावना तक पहुंच जाएगा, और चूंकि हमारी समस्या में शून्य एक अभेद्य सीमा है, यह शून्य बिंदु के पास बार-बार अपना मार्ग शुरू करने के लिए मजबूर होगा, अनुभव कुख्यात अभिशाप। जैसे-जैसे कण शून्य से दूर जाता है, वैसे-वैसे उसके वापस लौटने की संभावना कम होती जाती है और अमीर अपनी स्थिति को बचाने की अधिक संभावना बन जाते हैं। लेकिन तब क्या कण मनमाने ढंग से दूर जाने से रोकता है, और एक विशेष खिलाड़ी को मनमाने ढंग से अमीर बनने से रोकता है? वास्तव में, सिस्टम में पैसे की बारीकियों के अलावा और कुछ नहीं - घातीय वितरण शून्य से पूरे सकारात्मक अक्ष पर अलग है।लेकिन हमारे खेल के नियमों के अनुसार अविश्वसनीय धन प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि सभी खिलाड़ी बार-बार एक ही खिलाड़ी का चयन करें। और पहली बार, इस तरह की पसंद की संभावना है$$$(1/n)^{n-1}$- दस लोगों के समूह के लिए एक अरबवां, और कई बार इसे दोहराने का मौका पूरी तरह से अविश्वसनीय है। हमारे मॉडल में पैसे देने का विकल्प सभी पर समान रूप से पड़ता है, जिसका अर्थ है कि वह न केवल अमीर होगा, बल्कि गरीब भी होगा। इस दुनिया में न्याय है! हालांकि विजयी लंबे समय तक नहीं हैं, अगर आप अमीर नहीं हैं।

अर्थव्यवस्था को किफायती होना चाहिए

जब तक हमारा एक्सचेंज मॉडल खिलाड़ियों की समृद्धि को ध्यान में नहीं रखता है, तब तक यह अवास्तविक है। वास्तव में, अमीर अधिक खर्च करते हैं, और गरीब कम खर्च करते हैं, इसके अलावा, उचित लोग अपने भाग्य का कुछ हिस्सा बनाए रखने की कोशिश करते हैं। मॉडल की अगली जटिलता के रूप में, चलिए यह चाहते हैं कि खिलाड़ी एक्सचेंज करते समय एक निश्चित ज्ञात हिस्सा दें$$$\alpha$उसकी हालत। एक नया पैरामीटर और एक नया प्रतिबंध प्रणाली में पेश किया जाता है, इसलिए, संतुलन राज्य घातीय से विचलन कर सकता है। कल्याण स्तर के अंशों का उपयोग करते हुए, हम गुणात्मक विशेषताओं पर चलते हैं, जैसे, उदाहरण के लिए, निवेश पर वापसी, निवेश पर वापसी आदि। सभी अर्थशास्त्र की पाठ्यपुस्तकों से संकेत मिलता है कि यदि आप निवेश पर औसत रिटर्न की गणना करना चाहते हैं, तो कहें, कई वर्षों में, आपको प्रत्येक वर्ष के रिटर्न के लिए ज्यामितीय माध्य की गणना करनी चाहिए। हमारे मामले में, ज्यामितीय माध्य विशिष्ट है, यद्यपि गैर-तुच्छ रूप से, मूल्य द्वारा निर्धारित किया जाता है$$$\alpha$ ।इस प्रकार, एक नया पैरामीटर जोड़ते हुए, हम खिलाड़ियों की आय के ज्यामितीय औसत वितरण, या बाजार मॉडल की औसत उपज को ठीक करते हैं। इसलिए, हम उम्मीद कर सकते हैं कि गामा वितरण द्वारा धन के संतुलन का अच्छी तरह से वर्णन किया जाना चाहिए। हम अनुकरण मॉडलिंग कर रहे हैं, हम इसके बारे में आश्वस्त हो सकते हैं।


यदि विनिमय की लागत बहुतायत से आनुपातिक होती है, तो संतुलन वितरण एक विशिष्ट असममित घंटी के आकार के गामा वितरण में बदल जाता है। इस मॉडल में $$$\alpha = 1/3$ । औसत विनिमय रिटर्न था $$$75\%$ ।


गरीबों के हिस्से में कमी इस तथ्य के कारण है कि वे अमीरों से प्राप्त औसत से कम खर्च करते हैं, क्योंकि वे दोनों अपनी पूंजी के शेयरों का आदान-प्रदान करते हैं। लेकिन यह सोशल एलिवेटर तभी काम करता है जब$$$\alpha< 1/2$ ।यदि आपके पास जितना है, उसका आधा से अधिक हिस्सा आप खर्च करते हैं, तो गरीबों में होने की संभावना बहुत कम हो जाती है। विभिन्न मूल्यों के लिए$$$\alpha$ आप अन्याय की एक विस्तृत श्रृंखला के साथ वितरण में बहुत भिन्न हो सकते हैं:


धन के लिए आनुपातिक वितरण पर संतुलन के विभिन्न विकल्प। ग्राफ़ मानों के साथ चिह्नित हैं $$$\alpha$ , और कोष्ठक में सही ग्राफ पर भी गिन्नी इंडेक्स के मान हैं।



यह देखा जा सकता है कि पूंजी खिलाड़ियों का अधिक हिस्सा खर्च करने के लिए मजबूर किया जाता है (उदाहरण के लिए, दैनिक जरूरतों या भोजन के लिए), गरीबों का अनुपात जितना अधिक होता है और समाज उतना ही कम निष्पक्ष हो जाता है। जिज्ञासु कि साथ$$$\alpha=1/2$समान वितरण के साथ मॉडल में संतुलन वितरण घातीय हो जाता है। घातीय वितरण गामा वितरण का एक विशेष मामला है, इसलिए यह परिवर्तन, अपने आप में आश्चर्यजनक नहीं है। लेकिन एक जिज्ञासु सूक्ष्मता है: इस विशेष मामले की एन्ट्रोपी किसी भी अन्य मूल्यों के साथ वितरण की एन्ट्रापी से अधिक है$$$\alpha$ । जैसे ही स्थिति विकसित होती है, एंट्रोपी कैसे बदलती है $$$\alpha=0.75$ :

संतुलन के लिए संक्रमण की प्रक्रिया में, सिस्टम अधिकतम एंट्रोपी के साथ राज्य को "स्किप" करता है।

सबसे पहले, एन्ट्रॉपी मोनोटोनॉली का मान बढ़ता है, फिर, एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन के अनुरूप सैद्धांतिक अधिकतम तक पहुंचने के बिना, यह रुक जाता है और घटने लगता है। क्या अधिकतम एंट्रॉपी वाले राज्य के रूप में एक संतुलन राज्य की परिभाषा के साथ विरोधाभास है? कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि संतुलन राज्य स्थिर होना चाहिए, अर्थात, यह निर्देशित ऊर्जा प्रवाह नहीं बनाता है और स्थिर है, या, गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत की भाषा बोलते हुए, एक प्रणाली को अपनी ओर आकर्षित करता है। और सभी स्थिर संतुलन में अधिकतम एन्ट्रापी वाला राज्य होगा। और हमारे मामले में$$$\alpha = 0.75$, घातांक वितरण एक अस्थिर अवस्था से मेल खाता है।

बोस्टन विश्वविद्यालय आइसपोलैटोव और क्रापिव्स्की के शोधकर्ताओं ने आनुपातिक विनिमय मॉडल को जटिल कर दिया है ताकि विनिमय न केवल खर्च के कल्याण को ध्यान में रखे, बल्कि प्राप्त भी हो। एक करोड़पति शायद ही कभी एक greengrocer से कुछ खरीदता है, और एक greengrocer के पास शायद ही कभी बहुत अधिक आय होती है, दूसरी ओर, एक अतिरिक्त श्रेणी की कार निर्माता केवल अमीर ग्राहकों के साथ बातचीत करेगा, लेकिन वह खुद भी लाभहीन नहीं होगा। और इसलिए, जिन मॉडलों में अमीरों को मुख्य रूप से अमीरों और गरीबों को भुगतान करना शुरू होता है - गरीबों के लिए, समाज पूरी तरह से अलग हो रहा है।


यदि नकदी प्रवाह पूंजी पर निर्भर हो जाता है, तो सिस्टम स्थिरता खो देता है और समूह की निरंतर हानि और वर्ग असमानता में वृद्धि की ओर जाता है। इस उदाहरण में $$$\alpha = 0.3, \beta = 0.1$ (. ).

इस प्रणाली में, केवल एक स्थिर स्थिति होती है: जब सभी खिलाड़ियों के पास (और इसलिए प्राप्त नहीं) बिल्कुल कुछ भी नहीं है, और सभी धन अकेले किसी के पास जाते हैं। इस राज्य में गिन्नी गुणांक लगभग एकता के बराबर है, और यह सामान्य संतुलन से बहुत दूर है - इसकी एंट्रोपी लगभग शून्य है। स्थिति को नीचे से प्रतिबंध से बचाया जा सकता है, जो खिलाड़ियों को अपनी पूरी बचत खोने से रोकता है, इस स्थिति में संतुलन वितरण फिर से घातीय या गामा-आकार का हो जाता है। हम ऊपर से एक प्रतिबंध भी लगा सकते हैं - तब हमें बर्नौली वितरण के अनुरूप एक निश्चित असममित वितरण मिलता है। इस तरह के एक जंगली बाजार का मॉडल बिना किसी प्रतिबंध के प्रतिभूति बाजार के लिए काफी लागू होता है, लेकिन वे वास्तविक एक्सचेंजों पर इसके साथ संघर्ष कर रहे हैं, लेनदेन की मात्रा पर प्रतिबंधों का परिचय देते हुए,प्रति दिन और विकास के अधिकतम स्तर पर या किसी परिसंपत्ति की कीमत में गिरावट।

ये सभी दुखद निष्कर्ष हैं, मुक्त बाजार के पक्ष में नहीं बोल रहे हैं, या क्या यह मामला है, शारिकोव द्वारा प्रस्तावित मॉडल! लेकिन एक पतित वितरण का एन्ट्रापी क्या है? मानक सूत्र के अनुसार, यह बिल्कुल शून्य है। यह सबसे निर्विवाद है, सबसे अधिक संभावना नहीं है वितरण, और किसी भी विनिमय मॉडल में यह अस्थिर है, इसलिए इस तरह के समाज को केवल कृत्रिम रूप से प्राप्त किया जा सकता है। जंगली बाजार, निश्चित रूप से, एक उपहार नहीं है - यह अस्थिर है और चमकती असमानता को दर्शाता है। यह एक स्थायी बाजार और अधिक या कम निष्पक्ष समाज के निर्माण के लिए पारस्परिक रूप से सहमत प्रतिबंधों और बारीक से बंधे रिश्तों का एक बहुत लेता है। मानव जाति इस मुद्दे को बहुत लंबे समय से और मूल रूप से, स्पर्श से, परीक्षण और त्रुटि से खोज रही है, लेकिन एक बात स्पष्ट है: आर्थिक अंतरिक्ष में अन्याय गंदी मानव प्रकृति का परिणाम नहीं है, बल्कि सिस्टम का एक उद्देश्य संपत्ति है।हम सभी का हिस्सा हैं। इसके अलावा, एक शारिकोव शैली में पूर्ण न्याय बनाने के प्रयास हमेशा लड़ाई और खून के साथ होते थे, और इसके असमानता के कारण परिणाम लंबे समय तक मौजूद नहीं थे।

यह संभावना नहीं है कि अणु और परमाणु अपनी दुनिया के अन्याय के बारे में बात कर रहे हैं, और दो सौ वर्षों के लिए भौतिकविदों और इंजीनियरों को इस तथ्य के बारे में पता चला है कि चाहे जो भी आदर्श गर्मी इंजन बनाया गया हो, अराजकता गर्मी को आवश्यक हिस्से से अधिक काम करने की अनुमति नहीं देगा। जब यह स्पष्ट है, तो यह बहुत आक्रामक नहीं है। मुझे आशा है कि यह अध्याय एक जिज्ञासु पाठक को हमारी जटिल, अन्यायपूर्ण दुनिया को समझने और स्वीकार करने में मदद करता है।