आसानी से मापदंडों, संकेतों को सीमित करने के लिए वक्र फ़ंक्शन आउटपुट, न केवल वोल्फ्राम मैथमेटिका में

ऐसे कई कार्य हैं जिनमें आउटपुट मानों की सीमा सीमित होनी चाहिए, जबकि इनपुट डेटा इसकी गारंटी नहीं दे सकते। मजबूर स्थितियों के अलावा, संकेत सीमा एक लक्ष्य-उन्मुख कार्य हो सकता है, उदाहरण के लिए, जब सिग्नल को संपीड़ित करना या "प्रभाव" को लागू करना।

यदि किसी निश्चित स्तर को पार कर लिया जाता है, तो एक बाधा का सरलतम कार्यान्वयन इसे एक निश्चित मूल्य के लिए बाध्य करना है। उदाहरण के लिए, बढ़ते आयाम के साथ एक साइनसॉइड के लिए, यह इस तरह दिखेगा:



यहां, क्लिप फ़ंक्शन एक सीमक के रूप में कार्य करता है, एक तर्क के रूप में जिसमें इनपुट सिग्नल और प्रतिबंध पैरामीटर प्रसारित होते हैं, और फ़ंक्शन का परिणाम आउटपुट सिग्नल होता है।

आइए क्लिप फंक्शन ग्राफ को अलग से देखें:



इससे यह देखा जा सकता है कि जब हम सीमा की सीमा से अधिक नहीं होते हैं, आउटपुट मान इनपुट के बराबर होता है और संकेत नहीं बदलता है; जब पार हो जाता है, तो आउटपुट मान किसी भी तरह से इनपुट पर निर्भर नहीं होता है और उसी स्तर पर रहता है। वास्तव में, हमारे पास तीन अन्य से बना एक टुकड़ा-टुकड़ा निरंतर कार्य है: y = -1, y = x और y = 1, तर्क के आधार पर चयनित, और निम्नलिखित संकेतन के समतुल्य:



कार्यों के बीच संक्रमण अचानक होता है; और इसे चिकना बनाने के लिए लुभावना लगता है। गणितीय रूप से, यह तीक्ष्णता इस तथ्य के कारण है कि डॉकिंग बिंदुओं पर कार्यों का डेरिवेटिव संयोग नहीं करता है। यह क्लिप फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को प्लॉट करके देखना आसान है:



इस प्रकार, बाधा समारोह की चिकनाई सुनिश्चित करने के लिए, जुड़ने वाले बिंदुओं पर डेरिवेटिव की समानता सुनिश्चित करना आवश्यक है। और चूंकि हमारे पास चरम कार्य हैं जो निरंतर हैं, जिनमें से व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं, फिर डॉकिंग बिंदुओं पर व्युत्पन्न प्रतिबंध भी शून्य के बराबर होना चाहिए। अगला, हम इनमें से कई कार्यों पर विचार करेंगे जो सुचारू डॉकिंग सुनिश्चित करते हैं।

ज्या

सबसे सरल बात यह है कि -I / 2 से pi / 2 के अंतराल पर पाप फ़ंक्शन का उपयोग करें, जिसकी सीमाओं पर व्युत्पन्न के मान परिभाषा के अनुसार शून्य के बराबर हैं:



आपको केवल तर्कों को स्केल करने की आवश्यकता है ताकि यूनिट पाई / 2 पर अनुमानित हो। अब हम बाउंडिंग फ़ंक्शन को स्वयं परिभाषित कर सकते हैं:



और उसका शेड्यूल बनाएं:



चूंकि हमारे प्रतिबंध की सीमाएं कड़ाई से परिभाषित की गई हैं, इसलिए प्रतिबंध को बाद में (यदि आवश्यक हो) बैकस्कूलिंग के साथ इनपुट सिग्नल को स्केल करके सेट किया गया है।
अब ऐसी स्थिति भी नहीं है जहां इनपुट सिग्नल को विरूपण के बिना आउटपुट में प्रेषित किया जाता है - लाभ का स्तर कम, सीमा के कारण विरूपण का स्तर कम - लेकिन संकेत किसी भी मामले में विकृत है।
सिग्नल विकृति पर लाभ पैरामीटर का प्रभाव गतिकी में भी देखा जा सकता है:

अधिक चिकनाई

आइए हमारे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को देखें:



यह अब मूल्यों में अंतराल नहीं है, लेकिन व्युत्पन्न में अंतराल हैं (दूसरा, यदि हम मूल फ़ंक्शन से गणना करते हैं)। इसे खत्म करने के लिए, आप विपरीत तरीके से जा सकते हैं - पहले एक चिकनी व्युत्पन्न बनाते हैं, और फिर वांछित फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए इसे एकीकृत करते हैं।
अंक -1 और 1 पर व्युत्पन्न को हल करने का सबसे आसान तरीका केवल फ़ंक्शन को स्क्वायर करना है - फ़ंक्शन के सभी नकारात्मक मान सकारात्मक हो जाएंगे और, तदनुसार, फ़ंक्शन के चौराहे के बिंदुओं पर विभेदन शून्य के साथ होंगे।



विरोधी खोजें:



अब इसे ऑर्डिनेट अक्ष के साथ स्केल करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, बिंदु 1 पर उसका मान ज्ञात कीजिए:



और इसे विभाजित करें (हां, विशेष रूप से यहां यह 2 से प्राथमिक गुणन है, लेकिन ऐसा हमेशा नहीं होता है):



इस प्रकार, अंतिम प्रतिबंध समारोह रूप लेगा:

हम बहुपद पास करते हैं

कुछ मामलों में त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करना कुछ हद तक बेकार हो सकता है। इसलिए, हम प्राथमिक गणितीय कार्यों के ढांचे के भीतर शेष रहने वाले फ़ंक्शन को बनाने की कोशिश करेंगे।
परबोला पर विचार करें:



चूंकि यह पहले से ही बिंदु शून्य पर एक विभक्ति है, हम स्थिरांक के साथ डॉकिंग के लिए अंतराल {0,1} पर उसी हिस्से का उपयोग कर सकते हैं। नकारात्मक मूल्यों के लिए, इसे नीचे और बाईं ओर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है:



और सकारात्मक के लिए - लंबवत और क्षैतिज रूप से प्रतिबिंबित करें:



और एक परबोला के साथ हमारा कार्य रूप लेगा:

थोड़ा जटिल करते हैं

आइए अपने परबोला पर वापस जाएं, इसे चालू करें और इसे एक इकाई में स्थानांतरित करें:



यह हमारे कार्य का व्युत्पन्न होगा। जुड़ने के बिंदुओं पर इसे चिकना बनाने के लिए, हम इस तरह से दूसरी व्युत्पन्न को शून्य करेंगे,



एकीकृत और पैमाने:



हम भी एक चिकनी समारोह:

सहजता के देवता के लिए और अधिक सहजता

यहां हम उच्चतर डेरिवेटिव पर डॉकिंग बिंदुओं पर चिकनाई हासिल करने का प्रयास करते हैं। ऐसा करने के लिए, एक शुरुआत के लिए, हम फ़ंक्शन को अज्ञात गुणांक वाले एक बहुपद के रूप में परिभाषित करते हैं, और समीकरणों की प्रणाली के समाधान के माध्यम से गुणांक खोजने की कोशिश करते हैं।

1 व्युत्पन्न के साथ शुरू करते हैं:



2:



3:



ये सभी गुणांक ऐसे दिखते हैं जैसे उनके पास किसी प्रकार का तर्क हो। हम कारकों को लिखते हैं, उन्हें x पर डिग्री के मूल्य से गुणा करते हैं; और हर बार एक ही बात नहीं लिखने के लिए, हम गुणांक खोजने की प्रक्रिया को स्वचालित करते हैं:



यह द्विपद गुणांक जैसा दिखता है । हम एक साहसिक धारणा बनाते हैं कि वे हैं, और इसके आधार पर, हम सामान्यीकृत सूत्र लिखते हैं:



की जाँच करें:



यह सत्य प्रतीत होता है ^[१] । यह किनारों को एकता में लाने के लिए केवल कारक की गणना करने के लिए बनी हुई है:



और स्केलिंग और सरलीकरण के बाद, हम पाते हैं कि गणित का हमारा ज्ञान कुछ पुराना है ^[2] :



इस प्रकार, हमने ऑर्डर n का एक जनरेटिंग फंक्शन प्राप्त किया है जिसमें पहले डेरिवेटिव का n-1 शून्य के बराबर है:



आइए देखें क्या हुआ:



और जब से हमारा सामान्यीकृत सूत्र निरंतर निकला, आप चाहें तो गैर-पूर्णांक पैरामीटर मानों का उपयोग कर सकते हैं:



आप एक पैमाने पर घटाए गए डेरिवेटिव के ग्राफ भी बना सकते हैं:

कठोरता जोड़ें

यह प्रतिबंध की "कठोरता" की डिग्री को समायोजित करने में सक्षम होने के लिए आकर्षक होगा।
आइए अपने उलटे परबोले पर वापस जाएं और डिग्री x पर एक गुणांक जोड़ें:



बड़ा n, हमारा व्युत्पन्न "वर्ग" जितना बड़ा है, और इसकी मारक क्षमता क्रमशः तेज है:



हम प्रतिपक्षी की गणना करते हैं और पैमाने को समायोजित करते हैं:



अब पैरामीटर के लिए आंशिक चरण निर्धारित करने का प्रयास करते हैं:



जैसा कि आप देख सकते हैं, नकारात्मक भाग में सभी n का सही समाधान नहीं है, लेकिन हमारे लिए आवश्यक शर्तें अभी भी सही (सकारात्मक) भाग में मिलती हैं - इसलिए, नकारात्मक मूल्यों के लिए हम बस उल्टे तर्क के साथ इसका उल्टा उपयोग कर सकते हैं। और चूंकि पैरामीटर की परिभाषा का डोमेन अब केवल सकारात्मक पूर्णांकों तक सीमित नहीं है, इसलिए हम 2% द्वारा प्रतिस्थापित करके सूत्र को सरल बना सकते हैं:



और n-1 के साथ n की जगह, आप सूत्र को थोड़ा और सुंदर बना सकते हैं:



चूंकि n के बराबर एक के लिए हम शून्य से विभाजन प्राप्त करते हैं, तो सीमा खोजने की कोशिश करें:



सीमा पाई गई है, जिसका अर्थ है कि अब हम n के लिए फ़ंक्शन को ^[3] जोड़ सकते हैं और इसे सभी बड़े बड़े शून्य के लिए विचार कर सकते हैं:



अगर हम शुरू में अपने उलटे परबोला को चौकोर करते हैं, तो हमें एक और भी स्मूथ फंक्शन मिलता है:



और हम उनकी तुलना एक चार्ट पर कर सकते हैं:

इसे स्ट्रीमलाइन करें

आइए निम्नलिखित फ़ंक्शन को देखें:



वह संयोग से नहीं दिखाई दिया।
यदि आप इसमें से एक इकाई को हटाते हैं, तो x ² अनुबंध करेगा और बस x शेष रहेगा, अर्थात एक झुकाव रेखा। इस प्रकार, x का मान जितना छोटा होता है, हर में इकाई का प्रभाव उतना ही अधिक होता है, जिससे हमें आवश्यक वक्रता पैदा होती है। और इस कार्य को विभिन्न पैमानों पर देखते हुए, आप इस वक्रता की डिग्री को नियंत्रित कर सकते हैं:



इस प्रकार, हम केवल एक तर्कसंगत 3-क्रम बहुपद का उपयोग करके कठोरता के नियंत्रण के साथ पिछले फ़ंक्शन को फिर से लिख सकते हैं:

इसे स्वचालित करें

प्रत्येक बार टुकड़ा-निरंतर कार्यों को निर्दिष्ट नहीं करने के लिए, हम एक सहायक फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं जो एक इनपुट के रूप में एक तर्क के रूप में एक दाता फ़ंक्शन ले रहा है।

यदि हमारे कार्य में पहले से ही विकर्ण समरूपता है और निर्देशांक के केंद्र (एक साइन वेव की तरह) में संरेखित है, तो आप ऐसा कर सकते हैं



उपयोग उदाहरण:



यदि आपको टुकड़ों से इकट्ठा करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि एक पेराबोला के मामले में, और निर्देशांक का केंद्र डॉकिंग अंक निर्धारित करता है, तो सूत्र थोड़ा और अधिक जटिल होगा:



उपयोग उदाहरण:

चलिए प्रदर्शक की ओर बढ़ते हैं

इस समस्या को हल करने के लिए कोई भी फ़ंक्शन एक दाता हो सकता है, आपको बस इसे विभक्ति अंक प्रदान करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, घातांक को एक से नीचे ले जाना:



पहले, बिंदु शून्य पर आवश्यक विभेदन सुनिश्चित करने के लिए, हमने फ़ंक्शन को चुकता किया। लेकिन आप दूसरे तरीके से जा सकते हैं - उदाहरण के लिए, एक अन्य फ़ंक्शन के साथ संक्षेप करें जिसका बिंदु शून्य पर व्युत्पन्न घातांक के व्युत्पन्न से संकेत के विपरीत है। उदाहरण के लिए, -x:



किस तरफ हम वक्र लेंगे, इस पर निर्भर करता है कि फ़ंक्शन का अंतिम रूप इस पर निर्भर करेगा। अब, पहले से परिभाषित सहायक फ़ंक्शन का उपयोग करना और पक्षों में से एक को चुनना, हमें मिलता है:



या



और अब हम उनकी तुलना एक चार्ट पर कर सकते हैं:



यह देखा जाता है कि k → 0 के रूप में वे संयोग करते हैं; और चूंकि हम सीधे उनके मूल्यों की गणना नहीं कर सकते हैं, चूंकि हमें शून्य से विभाजन मिलता है, हम सीमा का उपयोग करेंगे:



और उन्हें पहले से ही ज्ञात परबोला से टुकड़ा करने का कार्य मिला।

समरूपता को तोड़ना

अब तक, हम विशेष रूप से सममित कार्यों पर विचार कर रहे हैं। हालांकि, ऐसे समय होते हैं जब हमें समरूपता की आवश्यकता नहीं होती है - उदाहरण के लिए, ट्यूब एम्पलीफायरों की आवाज़ में विकृतियों को अनुकरण करने के लिए।

प्रतिपादक को ले लो और इसे उल्टे परबोला वर्ग द्वारा गुणा करें - अंक -1 और 1 पर एब्सिस्सा अक्ष के साथ चौराहा प्राप्त करने के लिए, और एक ही समय में दूसरे व्युत्पन्न की चिकनाई सुनिश्चित करें; पैरामीटर तर्क के स्केलिंग के माध्यम से पैरामीटरकरण संभव है:



अंतरविरोधी का पता लगाएं और इसे स्केल करें:



चूँकि k = 0 के लिए हमें विभाजन शून्य से मिलता है:



तब हम अतिरिक्त रूप से सीमा पाते हैं,



जो तीसरे क्रम का एक सहज बहुपद है जो हमें पहले से ज्ञात है। एक फंक्शन में सब कुछ मिलाकर, हमें मिलता है



शुरू में एक असममित फ़ंक्शन को डिज़ाइन करने के बजाय, आप दूसरे तरीके से जा सकते हैं - तैयार-सममित का उपयोग करें, लेकिन अंतराल {-1,1} पर परिभाषित एक अतिरिक्त वक्र फ़ंक्शन का उपयोग करके इस फ़ंक्शन के मूल्य को "मोड़"।

उदाहरण के लिए, हाइपरबोला पर विचार करें:



अलग-अलग पैमाने पर इसके खंड को ध्यान में रखते हुए, आप दोनों दिशाओं में वक्रता की डिग्री को समायोजित कर सकते हैं। इस खंड को कैसे खोजें? ग्राफ के आधार पर, कोई भी लाइन के साथ हाइपरबोला के चौराहे की तलाश कर सकता है। हालांकि, चूंकि इस तरह के चौराहे हमेशा मौजूद नहीं होते हैं, इससे कुछ कठिनाइयां पैदा होती हैं। इसलिए, हम दूसरे रास्ते पर जाएंगे।

सबसे पहले, हाइपरबोला में स्केलिंग कारक जोड़ें:



तब हम दिए गए बिंदुओं से गुजरने के लिए एक हाइपरबोला के लिए परिस्थितियों को परिभाषित करने वाले समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करेंगे - और इसका समाधान हमें ब्याज के गुणांक देगा:



अब मूल सूत्र में समाधान को प्रतिस्थापित करें और सरल करें:



आइए देखें कि पैरामीटर के आधार पर हमें क्या मिलता है:



यह उल्लेखनीय है कि k = 0 के लिए सूत्र स्वाभाविक रूप से x पर ढह जाता है और कोई विशेष स्थिति उत्पन्न नहीं होती है - यद्यपि प्रारंभिक हाइपरबोले के संदर्भ में यह शून्य लंबाई के एक खंड के बराबर है, और दो एक बार में। यह कम उल्लेखनीय नहीं है कि इसमें उलटा कार्य समान है, लेकिन एक नकारात्मक पैरामीटर k के साथ:



अब हम इसका उपयोग एक मनमाना बाधा फ़ंक्शन को संशोधित करने के लिए कर सकते हैं, और पैरामीटर k इस प्रकार समन्वय अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करता है:



इसी तरह, आप अन्य कार्यों से घटता बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, एक चर के साथ एक शक्ति कानून:



या इसका व्युत्क्रम लघुगणक है:

अधिक सटीकता की आवश्यकता है

हम एक निश्चित अंतराल पर एक फ़ंक्शन के लिए एक गारंटीकृत रैखिक रिक्ति होना चाहते हैं। यह एक स्ट्रेटवाइज निरंतर फ़ंक्शन में एक सीधी रेखा को शुरू करने के लिए व्यवस्थित करने के लिए तर्कसंगत है,



रिक्त स्थान जिसमें आपको कुछ फ़ंक्शन भरने की आवश्यकता होती है। जाहिर है, एक रैखिक खंड के साथ एक चिकनी डॉकिंग के लिए, इसकी पहली व्युत्पत्ति एकता के बराबर होनी चाहिए; और सभी बाद में (यदि संभव हो) शून्य। इस तरह के एक समारोह में नए सिरे से कटौती नहीं करने के लिए, हम एक तैयार एक ले सकते हैं और इस कार्य के लिए इसे अनुकूलित कर सकते हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि चरम बिंदु एकता से थोड़ा आगे स्थित हैं - रैखिक खंड की ढलान को बनाए रखने के लिए यह आवश्यक है।

पहले से व्युत्पन्न PolySoft फ़ंक्शन को लें और इसे शिफ्ट करें ताकि हम निर्देशांक के केंद्र में एक हो जाएं:



इसके गुणों से यह निम्न है कि अंक 0 और 2 के बाद के डेरिवेटिव का n-1 शून्य के बराबर होगा:



अब इसे एकीकृत करें:



समारोह को एब्सिस्सा अक्ष के सापेक्ष नीचे स्थानांतरित कर दिया गया था। इसलिए, समन्वय केंद्रों को संयोजित करने के लिए एक स्थिरांक (बिंदु 0 पर फ़ंक्शन के मूल्य के बराबर) को जोड़ना आवश्यक है:



यहां हमारे पास डिग्री n में शून्य है। इसमें गिरावट नहीं आई है, क्योंकि शून्य की डिग्री में शून्य का मान परिभाषित नहीं किया गया है; हम इसे मैन्युअल रूप से हटा सकते हैं, या सरलीकरण में, हम स्पष्ट रूप से संकेत कर सकते हैं कि n शून्य से अधिक है:



हम केवल मामले में जाँच करेंगे। सभी एन के लिए अंक 0 और 2 पर मूल्य:



अंतराल के किनारों पर (क्रम 5 के बहुपद के लिए):



जैसा कि आप देख सकते हैं, समारोह बल्कि बोझिल हो गया। इसे खींचने के लिए और गणनाओं को जटिल नहीं करने के लिए, हम एक विशिष्ट बहुपद के साथ हेरफेर करना जारी रखेंगे, उदाहरण के लिए, 4 वां क्रम:



और अब इसके साथ आप खाली जगह भर सकते हैं:



की जाँच करें:

हम अनंत तक जाते हैं

कभी-कभी ऐसे कार्यों की आवश्यकता हो सकती है जो एक इकाई तक पहुंचते हैं, लेकिन उस तक नहीं पहुंचते हैं। विकिपीडिया कई प्रसिद्ध समाधान सुझाता है :



चूंकि ये फ़ंक्शन एकता तक नहीं पहुंचते हैं, इसलिए यह निर्देशांक के केंद्र में व्युत्पन्न के संबंध में उन्हें सामान्य करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।
हम उदाहरण के लिए, कुछ विकर्ण-सममितीय फ़ंक्शन का उपयोग करके अपने तर्क के माध्यम से ऐसे कार्यों के रूप को संशोधित कर सकते हैं:



यह फ़ंक्शन, वैसे, स्वयं के विपरीत भी है, अर्थात।


और, जैसा कि आर्कटिक के लिए लागू किया जाता है, उदाहरण के रूप में, हम प्राप्त करते हैं



जो, विशेष रूप से, पैरामीटर k = 1 के साथ हमें Guderman फ़ंक्शन देगा ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस दृष्टिकोण के साथ, अवांछनीय किंक प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए यह फ़ंक्शन की संपत्ति के माध्यम से सीधे बाधा की कठोरता को नियंत्रित करने के लिए अधिक बेहतर है। एक पैरामीटर के साथ कई ऐसे कार्यों पर विचार करें, जिनमें से आउटपुट संक्षिप्तता के लिए छोड़ा गया है।

बिजली समारोह से:



एक ऑफसेट के साथ दो v- आकार के कार्यों के योग से:



सामान्यीकृत त्रुटि फ़ंक्शन से:



एक तर्कसंगत बहुपद का एकीकरण:



दिलचस्प बात यह है कि इसका विशेष मामला आर्कटिक है:

निष्कर्ष

ऐसे कार्यों का निर्माण एक आकर्षक कार्य हो सकता है, जिसके दौरान सरल और जटिल, दोनों सुंदर और बहुत नहीं, सूत्र प्राप्त किए जाएंगे। ऐसा लग सकता है कि वे सभी एक-दूसरे से बहुत मिलते-जुलते हैं और इस तरह की विविधता की कोई आवश्यकता नहीं है। जरूरी नहीं कि ऐसा ही हो।

अंतर अन्य तराजू पर अधिक दिखाई दे सकता है - उदाहरण के लिए, लॉगरिदमिक। हेडर में इंगित किए गए कार्यों के अलावा, इसी तरह के कार्यों का उपयोग अन्य कार्यों में भी किया जा सकता है - सिग्नल को मिलाते हुए, जब एक सिग्नल के सुगम क्षीणन को दूसरे की चिकनी वृद्धि के साथ जोड़ा जाता है, या ध्वनिक फिल्टर का निर्माण - और फिर अंतर कान से माना जाएगा, या ढाल बनाने के लिए। - और फिर अंतर आँख से माना जाएगा। इसके अलावा, उन्हें अन्य, अधिक जटिल कार्यों के लिए दाताओं के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है - उदाहरण के लिए, खिड़की ।

निष्कर्ष में, यह कुछ और बिंदुओं को स्पष्ट करने के लायक है।
यहां सभी फ़ंक्शन -1 से 1. तक की सीमा में परिभाषित किए गए थे। यदि आपको एक अलग रेंज (उदाहरण के लिए, 0 से 1 तक) की आवश्यकता है, तो इसे आसानी से या तो मैन्युअल रूप से रिकॉल किया जा सकता है:



या अंतर्निहित ज़ूम फ़ंक्शन का उपयोग कर:



और प्रोग्राम कोड को प्राप्त फ़ार्मुलों के निर्यात को सुविधाजनक बनाने के लिए, CForm फ़ंक्शन उपयोगी हो सकता है:



Mathematica स्रोत दस्तावेज़ यहाँ डाउनलोड किया जा सकता है ।

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टिप्पणी:

^{[१] एक} सच्चा गणितज्ञ निश्चित रूप से इस कथन को कठोरता से सिद्ध (या अस्वीकृत) कर सकेगा।
^[२] गणितीय विश्लेषण के मानक पाठ्यक्रम में हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन पर विचार नहीं किया जाता है।
^[३] यह अधिभार केवल एक चरित्र इकाई के लिए परिभाषित किया गया है; एक अस्थायी बिंदु प्रारूप में एक इकाई (उदाहरण के लिए, जब एक ग्राफ की साजिश रचते हुए) को मान्यता नहीं दी जाएगी।