नेटवर्क मैथ आपको दोस्त बनाने में कैसे मदद कर सकता है

अपने वातावरण में मौजूदा दोस्ती की संरचना की जांच करने से आपको दोस्तों के एक नए सर्कल को बनाते हुए नए रिश्ते बनाने में बेहतर मदद मिल सकती है।

नए स्कूल में जाना, नई नौकरी करना, नए शहर में जाना - आप नए दोस्त कैसे बनाते हैं? आप इस मुद्दे पर सक्रिय रूप से संपर्क कर सकते हैं, लोकप्रिय लोगों के साथ रणनीतिक रूप से उपयोगी संबंध बना सकते हैं। या आप यादृच्छिक समूहों और कनेक्शनों पर भरोसा करते हुए, मौका देने के लिए सब कुछ छोड़ सकते हैं। किसी भी दृष्टिकोण में, एक नए वातावरण में मौजूदा दोस्ती की संरचना को समझने से आपको सबसे अच्छे नए रिश्ते बनाने में मदद मिल सकती है, जो अंततः आपके परिचितों के चक्र को निर्धारित करेगा।

एक नए असामान्य शहर, रेगुलरस्क के लिए आगे बढ़ने की कल्पना करें, जिसमें एक अजीब नियम है: प्रत्येक व्यक्ति के चार से अधिक दोस्त नहीं हो सकते हैं, लेकिन हर कोई अपने कनेक्शन की संख्या को अधिकतम करना चाहता है। रेग्युलर बॉन्ड की संरचना कैसी दिखेगी? इस प्रश्न का अध्ययन करने के लिए, हम एक गणितीय ऑब्जेक्ट का उपयोग करते हैं जिसे नेटवर्क कहा जाता है।

सीधे शब्दों में कहें, एक नेटवर्क "नोड्स" और उनके बीच के कनेक्शन नामक वस्तुओं का एक संग्रह है। नेटवर्क गणितीय रूप से लचीली अवधारणा है। वे कंप्यूटर और केबलों को उन्हें जोड़ने, लेखकों और उनके सहायकों, रूबिक के घन राज्यों और परिवर्तनों को निरूपित कर सकते हैं जो उनके बीच संक्रमण की अनुमति देते हैं - वास्तव में, किसी भी प्रकार के कनेक्शन, वास्तविक या सार। रेग्युलरस्क में दोस्ती का अध्ययन करने के लिए, हम एक नेटवर्क बनाएंगे जिसमें लोग नोड होंगे और उनके बीच दोस्ती होगी।

नेटवर्क को अस्वीकार करते हुए, बिंदुओं के रूप में नोड्स और लाइनों के रूप में कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करना उपयोगी होगा, जिसे हम किनारों भी कह सकते हैं। ऐसा नेटवर्क आरेख हमें इसकी संरचना को समझने में मदद कर सकता है। तो रेगुलर फ्रेंडशिप नेटवर्क कैसा दिखेगा? किसी समय में, ऐसा लग सकता है:



प्रत्येक व्यक्ति चार दोस्तों को खोजने की कोशिश करेगा, और शहर में आने वाले नए लोग उन लोगों की तलाश करेंगे जिनके पास अभी भी चार से कम दोस्त हैं। यह नेटवर्क समय के साथ बढ़ेगा, और नए नोड्स के साथ लगातार विस्तार करेगा। (स्वतंत्र समूहों का निर्माण संभव है, लेकिन इस उदाहरण में हम उनकी उपेक्षा करते हैं)।

नेटवर्क आरेख उन्हें समझने में मदद कर सकते हैं, एक स्पष्ट संरचना दिखा रहे हैं। लेकिन जब नेटवर्क बढ़ता है, या नियमित नेटवर्क के रूप में ऐसी नियमित संरचना नहीं दिखाते हैं, तो आरेख कम उपयोगी हो सकते हैं। इस मामले में, नेटवर्क संरचना का विश्लेषण करने के लिए विभिन्न तरीकों को विकसित करना उपयोगी है। उनमें से एक कोने की डिग्री के वितरण का मूल्यांकन करना है।

एक नेटवर्क में, किसी विशेष नोड के लिंक की संख्या को इसकी डिग्री कहा जाता है। एक नोड कई अन्य लोगों के साथ अत्यधिक जुड़ा हुआ है; कम डिग्री वाला एक नोड कम अन्य नोड्स के साथ जुड़ा हुआ है।


बाईं ओर - 8 के साथ एक नोड, दाईं ओर - 3 की डिग्री के साथ

नोड्स की डिग्री नेटवर्क की एक महत्वपूर्ण विशेषता है, लेकिन स्थानीय: यह केवल एक नोड के भीतर नेटवर्क की संरचना का वर्णन करता है। लेकिन अगर आप एक साथ सभी नोड्स की डिग्री को कवर करते हैं, तो आप वैश्विक नेटवर्क संरचना का अध्ययन करने के लिए एक उपयोगी उपकरण बना सकते हैं।

हमारे दोस्तों के नेटवर्क में, प्रत्येक नोड का अंश एक व्यक्ति के दोस्तों की संख्या है। रेग्युलरस्क में, अधिकांश लोगों के चार दोस्त होते हैं, इसलिए अधिकांश नोड्स की डिग्री 4 होती है। किसी के पास अधिक दोस्त नहीं होंगे, लेकिन किसी के पास कम होंगे, इसलिए डिग्री 3, 2 या 1 के साथ नोड्स होंगे। आप डिग्रियों के वितरण को संक्षेप में बता सकते हैं। निम्नानुसार है:



यह हिस्टोग्राम हमारे नेटवर्क की संरचना के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी देता है। इस सरल उदाहरण में, यह हमारे लिए पूर्ण नेटवर्क आरेख के रूप में ज्यादा नहीं बता सकता है, लेकिन हम देखेंगे कि विभिन्न नेटवर्क का अध्ययन करने के लिए डिग्री वितरण कैसे उपयोगी हो सकता है।

चलो दूसरे शहर में चलते हैं। एक गड़बड़ में, डेटिंग यादृच्छिक पर शुरू होता है। चूँकि मौका मुश्किल चीज़ है, चलो स्पष्ट रूप से इस दायरे को रेखांकित करते हैं: शहर के प्रत्येक निवासी को नेटवर्क नोड द्वारा नामित किया जाता है, और प्रत्येक संभावित किनारे एक दोस्ताना कनेक्शन है। एक यादृच्छिक कनेक्शन बनाने के लिए, हम इन संभावित किनारों में से एक को यादृच्छिक तरीके से चुनेंगे, और इसे आकर्षित करेंगे, इस प्रकार दो नोड्स के बीच एक कनेक्शन का निर्माण होगा, और इसलिए, दो लोगों के बीच दोस्ती।

मेस नेटवर्क कैसा दिखेगा? यदि हम मानते हैं कि हमने कई नोड्स के साथ शुरुआत की और बेतरतीब ढंग से कई किनारों को जोड़ा, तो चित्र इस प्रकार हो सकता है:



ऐसे आरेख में, संरचना को देखना मुश्किल है। हालांकि, बहुत कुछ हमें इस नेटवर्क में डिग्री का वितरण बताएगा। सीधे गणना करना मुश्किल है, लेकिन कई महत्वपूर्ण गुणों और एक सरल उदाहरण का उपयोग करके प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

मान लीजिए आप मेस के दस निवासियों में से एक हैं। इसमें कितनी संभावित दोस्ती हो सकती है? प्रत्येक दस निवासियों को नौ अन्य लोगों के साथ जोड़ा जा सकता है, इसलिए, सिद्धांत रूप में, 10 × 9 = 90 किनारों को खींचना संभव है। लेकिन इस तरह की गणना प्रत्येक कनेक्शन को दो दोस्तों के लिए एक बार - प्रत्येक कनेक्शन को ध्यान में रखती है। इसलिए, वास्तव में, बांड की कुल संख्या 90/2 = 45 होनी चाहिए।

अब, मान लें कि हम यादृच्छिक रूप से एक मैत्रीपूर्ण संबंध चुनते हैं - अर्थात, 45 संभावित किनारों में से एक। रिब आपके साथ जुड़ने की कितनी संभावना है? शेष नौ नोड्स में से एक तक, नौ किनारे आपको छोड़ सकते हैं। चूंकि 45 संभावित किनारों में से नौ आपके लिए नेतृत्व करते हैं, इसलिए संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चयनित किनारा आपको 9/45 = 1/5, या 20% से जोड़ता है।

लेकिन एक ही तर्क अव्यवस्था पर लागू होता है, इसलिए प्रत्येक नोड में यादृच्छिक रूप से चयनित किनारे से जुड़ने की 20% संभावना होगी। किनारों और नोड्स की संख्या में वृद्धि के साथ, ये संभावनाएं थोड़ी बदल जाएंगी, लेकिन लंबे समय में वे लगभग समान स्तर पर बने रहेंगे। यही है, दोस्ती को लगभग पूरे मेस में समान रूप से वितरित किया जाएगा। कुछ स्थानों पर छोटे विचलन देखे जाएंगे, लेकिन एक व्यक्ति के पास बहुत अधिक या बहुत कम मित्रता होने की संभावना कम होगी। विकार में, अधिकांश निवासियों के पास औसत दोस्तों के साथ करीबी दोस्त होने की संभावना होगी।

ये विशेषताएं एक विशिष्ट यादृच्छिक नेटवर्क की डिग्री के " द्विपद वितरण " से संबंधित हैं।



नेटवर्क में केवल डिग्रियों के वितरण तक पहुँच होने के बाद, हम पहले से ही इसमें एक निश्चित एकरूपता पा सकते हैं: कनेक्टिविटी के संदर्भ में अधिकांश नोड्स औसत हैं, और बहुत कम संख्या में नोड्स चरम स्थिति में हैं। यह जानकारी नेटवर्क संरचना को समझने के लिए उपयोगी है। नोड्स के जोड़ के साथ, अर्थात्, शहर में नए लोगों के आगमन के साथ, मुख्य विशेषताओं को बनाए रखते हुए वितरण में थोड़ा बदलाव होगा।

लेकिन इन उदाहरणों में से एक नहीं - रेग्युलरस्क में चार से अधिक दोस्त या अव्यवस्थित रूप से मैत्रीपूर्ण रूप से दिखाई देने वाली मित्रता नहीं - दोस्ती संबंधों का एक यथार्थवादी मॉडल है। लोगों के चार से अधिक दोस्त हो सकते हैं, और बड़ी संख्या में परिचितों की उपस्थिति द्विपद वितरण की तरह दुर्लभ नहीं है। दोस्ती का इससे अधिक यथार्थवादी मॉडल क्या होगा?

दोस्तों और दोस्तों के दोस्तों के साथ संबंध बनाते समय, आपकी दोस्ती की संरचना अन्य वास्तविक दुनिया के नेटवर्क - खाद्य नेटवर्क , प्रोटीन-प्रोटीन इंटरैक्शन, या इंटरनेट से मेल खाती है। उनके गुण तथाकथित स्केललेस नेटवर्क की विशेषता रखते हैं - कनेक्टिविटी के इस तरह के मॉडल ने 20 से अधिक वर्षों के लिए नेटवर्क के विज्ञान पर हावी कर दिया है। गणित, भौतिकी, अर्थशास्त्र, जीव विज्ञान और सामाजिक विज्ञान के शोधकर्ताओं ने अपने अनुसंधान क्षेत्रों में स्केलेबल नेटवर्क की उपस्थिति के विशिष्ट लक्षण देखे हैं।


परिष्कृत स्केल-फ्री सोशल नेटवर्किंग नेटवर्क

स्केललेस नेटवर्क की संरचना "पसंदीदा कनेक्शन" के सरल सिद्धांत पर निर्भर करती है। पसंदीदा कनेक्शन "अमीर हो अमीर" नियम है, जो नेटवर्क विकास को संदर्भित करता है। बड़ी संख्या में मौजूदा कनेक्शन वाले नोड में बहुत कम संख्या वाले नोड की तुलना में नए कनेक्शन प्राप्त करने की अधिक संभावना है। नए कनेक्शन बड़ी संख्या में कनेक्शन के साथ नोड्स की ओर एक प्रवृत्ति दिखाते हैं।

क्या यह दोस्ती बनाने के संदर्भ में समझ में आता है? सिद्धांत रूप में, यह मान लेना उचित है कि अधिक दोस्त वाले व्यक्ति नए बनाने की अधिक संभावना रखते हैं। चूंकि वह पहले से ही बड़ी संख्या में लोगों के साथ जुड़ा हुआ है, मौजूदा कनेक्शन के कारण नए लोगों से मिलने की संभावना अधिक है। जितने ज्यादा दोस्त, उतने ज्यादा नए दोस्त बनाने के मौके। और तथ्य यह है कि उनके पास पहले से ही कई दोस्त हैं, कहते हैं कि उनके पास दोस्ती के लिए किसी तरह का अवसर या पेन्चेंट है। यह दूसरों को उनकी ओर आकर्षित करने की अधिक संभावना है, जैसे लोकप्रिय साइटें अन्य साइटों और ब्लॉगों के लिंक को आकर्षित करती हैं, और विकसित शहर नए रेलवे और हवाई मार्ग बना रहे हैं।

हालांकि कई कारक स्केलेलेस नेटवर्क के विकास को प्रभावित करते हैं, लेकिन कई पसंदीदा कनेक्शनों को सबसे महत्वपूर्ण मानते हैं। नेटवर्क में डिग्रियों के वितरण पर भी उनका अद्भुत प्रभाव है।



यह "मोटी-पूंछ" वितरण की उपस्थिति की भविष्यवाणी करता है। नेटवर्क में अधिकांश नोड्स में एक छोटी डिग्री होगी, लेकिन बढ़ती डिग्री के साथ नोड्स भी होंगे। यह रेग्युलरस्क एंड डिसऑर्डर फ्रेंडली नेटवर्क से बहुत अलग है, जिसमें बड़ी डिग्री के साथ बहुत कम या कोई नोड नहीं हैं।

ये नोड्स, बड़ी डिग्री के साथ, नेटवर्क के हब के रूप में काम करते हैं और स्केललेस नेटवर्क की एक महत्वपूर्ण विशेषता हैं। वे दोस्त नेटवर्क में सामाजिक तितलियों, अर्थव्यवस्थाओं के केंद्र में बैंक, केंद्रीकृत राउटर हैं जो अभिनय की दुनिया में केविनोव बेकोनोव के माध्यम से क्षेत्रीय इंटरनेट कनेक्शन देते हैं । हब एक विशाल नेटवर्क में एक तंग दुनिया की भावना प्रदान कर सकते हैं - उदाहरण के लिए, 2 बिलियन फेसबुक उपयोगकर्ताओं में से किसी भी दो बेतरतीब ढंग से चुने गए लोग औसतन चार मैत्रीपूर्ण संबंधों की तुलना में एक दूसरे से आगे नहीं हैं । हब्स की संख्या और विविधता बड़े पैमाने पर नेटवर्क को एक निश्चित प्रकार के असंतोष का प्रतिरोध देती है। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि कई इंटरनेट कनेक्शन की विफलता के साथ, संदेश अभी भी विशेष रूप से पहुंचने में सक्षम होंगे, क्योंकि कई हब से कई अन्य हब तक पहुंचने के लिए अभी भी कई तरीके होंगे।

और यद्यपि बहुत से सहमत हैं कि स्केल-फ्री नेटवर्क और उनके गुण उपयोगी हैं, अनुसंधान के इस क्षेत्र में विरोधाभास हैं। ऐसी डिग्री वितरण की सटीक गणितीय विशेषताओं को कभी-कभी व्याख्या करना मुश्किल होता है। लिंक्ड में: नेटवर्क अनुसंधान और भौतिक विज्ञानी अल्बर्ट लाजो बाराबासी के अग्रणी विज्ञान के न्यू साइंस ऑफ नेटवर्क लिखते हैं कि पसंदीदा कनेक्शन प्रदर्शित करने वाले नेटवर्क में, डिग्रियों का वितरण एक शक्ति कानून का पालन करेगा। विद्युत वितरण अक्सर कई भौतिक स्थितियों में पाए जाते हैं - उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण या विद्युत क्षेत्रों के लिए व्युत्क्रम वर्गों के कानून में। फार्म के रूप में उन्हें कार्य के रूप में दर्शाया जा सकता है

$$

$$f (x) = {{a} \ over {x ^ k}}$$

उनके रेखांकन आमतौर पर इस तरह दिखते हैं:



बिजली वितरण में "मोटी पूंछ" होती है। लेकिन कितना मोटा? ऐसे नेटवर्क में एक निश्चित डिग्री के कितने हब्स पाए जाने चाहिए? इस साल प्रकाशित एक अध्ययन में , 1000 से अधिक वास्तविक नेटवर्क का अध्ययन किया गया था, और यह पाया गया कि उनमें से केवल एक तिहाई में एक बिजली कानून द्वारा वर्णित डिग्री वितरण हो सकता है। कई नेटवर्क के लिए, डिग्री वितरण को अधिक सटीक रूप से घातीय या लॉगऑन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उनके पास स्केलेलेस नेटवर्क के उच्च-स्तरीय गुण हो सकते हैं, लेकिन क्या उन्हें इस तरह से माना जा सकता है जैसे कि उन में डिग्री को उम्मीद के अनुसार वितरित नहीं किया गया है? और इससे भी फर्क पड़ता है?

यह मायने रखता है कि क्या हम अपने सिद्धांतों को अपने डेटा से संबंधित करना चाहते हैं। स्केल-फ्री नेटवर्क बनाने में पसंदीदा संचार एक प्रमुख कारक है? क्या अन्य कारक हैं जो एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं और डिग्री वितरण को दूसरी तरफ ले जा सकते हैं? इन सवालों के जवाब देने और समझने के बाद कि आगे क्या प्रश्न पूछे जाने चाहिए, हम वास्तव में नेटवर्क की प्रकृति और संरचना को बेहतर ढंग से समझेंगे, वे कैसे विकसित और विकसित होते हैं।

ये विरोधाभास हमें यह भी याद दिलाते हैं कि नेटवर्क की तरह गणित भी विकसित होने वाले कनेक्शनों का एक संग्रह है। वर्तमान शोध नेटवर्क अनुसंधान के एक अपेक्षाकृत नए क्षेत्र में 20 वर्षीय परिकल्पना को चुनौती देता है। नए विचार, नेटवर्क से जुड़कर हम सभी को अतीत और भविष्य दोनों के गणित से जोड़ते हैं। इसलिए गणितीय मामलों में, दोस्ती के क्षेत्र में, हब्स को खोजने और अपनी डिग्री को अधिकतम करने के लिए उपयोगी होगा।

अभ्यास

• दोस्तों का एक नेटवर्क कैसा दिखेगा यदि प्रत्येक व्यक्ति के पास दो दोस्त हैं?
• रेग्युलरस्क में, प्रत्येक व्यक्ति चार मित्र बना सकता है। अलग-अलग समूह मौजूद हो सकते हैं, जिसमें प्रत्येक व्यक्ति के चार दोस्त होते हैं। ऐसे समूह में कितने लोगों को शामिल किया जा सकता है? (संकेत: उत्तर नियमित पॉलीहेड्रोन से संबंधित है)।
• हमारे नेटवर्क इस तथ्य पर आधारित हैं कि दोस्ती एक सममित अवधारणा है। यदि A, B के साथ दोस्त है, तो B, A के साथ दोस्त है, तो हम अपने नेटवर्क मॉडल को कैसे सही कर सकते हैं, ताकि इसमें असममित कनेक्शन शामिल हो सकें, जिसमें A, B के साथ मित्र हो सकता है, और B A के साथ मित्र नहीं हो सकता है?
• दोस्तों में, प्रत्येक निवासी हर किसी के साथ दोस्त है। यदि फ्रेंड्स में n लोग रहते हैं, तो वहां कितने मैत्री संबंध बनते हैं?