गेम थ्योरी: कोटलिन में उदाहरणों के साथ निर्णय लेना

गेम थ्योरी एक गणितीय अनुशासन है जो एक लक्ष्य रखने वाले खिलाड़ियों के कार्यों को मॉडलिंग करने पर विचार करता है, जो एक संघर्ष में व्यवहार के लिए इष्टतम रणनीतियों को चुनना है। Habré पर यह विषय पहले ही कवर किया जा चुका है, लेकिन आज हम इसके कुछ पहलुओं के बारे में अधिक विस्तार से बात करेंगे और Kotlin के उदाहरणों पर विचार करेंगे।

इसलिए, एक रणनीति नियमों का एक समूह है जो स्थिति के आधार पर प्रत्येक व्यक्तिगत कदम के लिए कार्रवाई के विकल्प का निर्धारण करती है। इष्टतम खिलाड़ी रणनीति वह रणनीति है जो किसी दिए गए खेल में सर्वश्रेष्ठ स्थान सुनिश्चित करती है, अर्थात अधिकतम लाभ। यदि खेल को बार-बार दोहराया जाता है और व्यक्तिगत, यादृच्छिक चाल के अलावा, इसमें शामिल होता है, तो इष्टतम रणनीति अधिकतम औसत जीत प्रदान करती है।

गेम थ्योरी का काम खिलाड़ियों के लिए अनुकूलतम रणनीतियों की पहचान करना है। मुख्य धारणा, जिसके आधार पर इष्टतम रणनीतियों को पाया जाता है, यह है कि प्रतिद्वंद्वी (या विरोधी) खुद खिलाड़ी की तुलना में कम बुद्धिमान नहीं है, और अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए सब कुछ करता है। एक उचित प्रतिद्वंद्वी की गणना संघर्ष में संभावित पदों में से एक है, लेकिन खेलों के सिद्धांत में यह वह है जो नींव में रखी गई है।

प्रकृति के साथ खेल हैं जिसमें केवल एक प्रतिभागी अपने लाभ को अधिकतम करता है। प्रकृति के साथ खेल गणितीय मॉडल हैं जिसमें समाधान की पसंद उद्देश्य वास्तविकता पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, उपभोक्ता मांग, प्रकृति की स्थिति आदि। "प्रकृति" एक प्रतिकूल की एक सामान्यीकृत अवधारणा है जो अपने स्वयं के लक्ष्यों का पीछा नहीं करती है। इस मामले में, इष्टतम रणनीति का चयन करने के लिए कई मानदंडों का उपयोग किया जाता है।
प्रकृति के साथ खेल में दो प्रकार के कार्य हैं:

1. जोखिम की स्थिति में निर्णय लेने का कार्य जब सम्भावित स्थिति में से प्रत्येक को स्वीकार करने वाली सम्भावनाओं को ज्ञात किया जाता है;
2. अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने वाले कार्य, जब प्रकृति की स्थिति की घटनाओं की संभावनाओं के बारे में जानकारी प्राप्त करना संभव नहीं है।

इन मानदंडों के बारे में संक्षेप में यहाँ वर्णित किया गया है ।

अब हम शुद्ध रणनीतियों में निर्णय लेने के मानदंडों पर विचार करेंगे, और लेख के अंत में हम विश्लेषणात्मक पद्धति से मिश्रित रणनीतियों में खेल को हल करेंगे।

समस्या का बयान

हम उदाहरण के माध्यम से सभी निर्णय लेने वाले मानदंडों का विश्लेषण करेंगे। कार्य यह है: किसान को यह निर्धारित करने की आवश्यकता होती है कि इन फसलों की पैदावार के साथ, तीन फसलों के साथ अपने खेत को किस अनुपात में लगाया जाए, और इसलिए, लाभ, इस बात पर निर्भर करता है कि गर्मी कैसी होगी: शांत और बरसात, सामान्य, या गर्म और शुष्क। किसान ने मौसम के आधार पर विभिन्न फसलों से 1 हेक्टेयर तक शुद्ध लाभ की गणना की। खेल निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया जाता है:



आगे हम इस मैट्रिक्स को रणनीतियों के रूप में प्रस्तुत करेंगे:

$$

$$U_ {1} = (0,2,5), U_ {2} = (2,3,1), U_ {3} = (4,3, -1)$$

वांछित इष्टतम रणनीति द्वारा चिह्नित है $$$u_ {ऑप्ट}$ । हम अनिश्चितता और जोखिम में बेय और लाप्लास मानदंड के सामने वाल्ड मानदंड, आशावाद, निराशावाद, सैवेज और हर्विट्ज का उपयोग करके खेल को हल करेंगे।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, उदाहरण कोटलिन पर होंगे। मैं ध्यान देता हूं कि सामान्य तौर पर ऐसे समाधान हैं जैसे गम्बित (सी में लिखे गए), एक्सेलरोड और पायनफेज (पायथन में लिखे गए), लेकिन हम अपनी बाइक की सवारी करेंगे, घुटने पर इकट्ठे होंगे, बस थोड़ा स्टाइलिश, फैशनेबल और पोक करने के लिए युवा प्रोग्रामिंग भाषा।

खेल के समाधान को प्रोग्रामेटिक रूप से लागू करने के लिए, हम कई वर्गों का परिचय देंगे। सबसे पहले, हमें एक वर्ग की आवश्यकता है जो हमें किसी खेल मैट्रिक्स की एक पंक्ति या स्तंभ का वर्णन करने की अनुमति देता है। कक्षा बेहद सरल है और इसमें संभावित मूल्यों (विकल्प या प्रकृति की स्थिति) और उनके संबंधित नाम की सूची शामिल है। key क्षेत्र का उपयोग पहचान के लिए और साथ ही तुलना के लिए किया जाएगा, और प्रभुत्व के कार्यान्वयन में तुलना की आवश्यकता होगी।


गेम मैट्रिक्स में विकल्प और प्रकृति की स्थिति के बारे में जानकारी होती है। इसके अलावा, यह कुछ तरीकों को लागू करता है, उदाहरण के लिए, प्रमुख सेट और गेम की शुद्ध कीमत का पता लगाना।


हम उन इंटरफेस का वर्णन करते हैं जो मानदंडों को पूरा करते हैं

अनिश्चितता के तहत निर्णय लेना

अनिश्चितता के चेहरे पर निर्णय लेने से पता चलता है कि खिलाड़ी एक उचित प्रतिद्वंद्वी द्वारा विरोध नहीं करता है।

वाल्ड की कसौटी

वाल्ड मानदंड अधिकतम संभव परिणाम को अधिकतम करता है:

$$

$$u_ {opt} = max_ {i} min_ {j} [U]$$

सबसे खराब परिणाम के खिलाफ कसौटी का उपयोग करना, लेकिन इस तरह की रणनीति की कीमत सर्वोत्तम संभव परिणाम प्राप्त करने के अवसर का नुकसान है।

एक उदाहरण पर विचार करें। रणनीतियों के लिए $$$U_ {1} = (0,2,5), U_ {2} = (2,3,1), U_ {3} = (4,3, -1)$ चढ़ाव को खोजें और अगले तीन प्राप्त करें $$$S = (0, 1, -1)$ । संकेतित ट्रिपल के लिए अधिकतम मूल्य 1 होगा, इसलिए, वाल्ड मानदंड के अनुसार, जीतने की रणनीति रणनीति है $$$U_ {2} = (2,3,1)$ रोपण संस्कृति के अनुरूप २।

वाल्ड मानदंड का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन सरल है:

 class WaldCriteria(gameMatrix : GameMatrix) : ICriteria { val gameMatrix: GameMatrix init{ this.gameMatrix = gameMatrix } override fun optimum(): List<GameVector> { val mins = gameMatrix.alternatives.map { a -> Pair(a, a.min()) } val max = mins.maxWith( Comparator { o1, o2 -> o1.second!!.compareTo(o2.second!!)}) return mins .filter { m -> m.second == max!!.second } .map { m -> m.first } } } 

स्पष्टता के लिए, पहली बार मैं दिखाऊंगा कि समाधान परीक्षण की तरह कैसे दिखेगा:


यह अनुमान लगाना आसान है कि अन्य मानदंडों के लिए, अंतर केवल criteria वस्तु के निर्माण में होगा।

आशावाद की कसौटी

एक आशावादी की कसौटी का उपयोग करते समय, खिलाड़ी एक ऐसा समाधान चुनता है जो सबसे अच्छा परिणाम देता है, जबकि आशावादी मानता है कि खेल की परिस्थितियाँ उसके लिए सबसे अनुकूल होंगी:

$$

$$u_ {ऑप्ट} = मैक्स_ {i} मैक्स_ {जे} [यू]$$

एक आशावादी की रणनीति नकारात्मक परिणाम पैदा कर सकती है जब अधिकतम आपूर्ति न्यूनतम मांग के साथ मेल खाती है - कंपनी को कई गुना उत्पादों को लिखते समय नुकसान हो सकता है। इसी समय, आशावादी की रणनीति का एक निश्चित अर्थ है, उदाहरण के लिए, आपको असंतुष्ट ग्राहकों की देखभाल करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि कोई भी संभावित मांग हमेशा संतुष्ट होती है, इसलिए ग्राहकों के स्थान को बनाए रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। यदि अधिकतम मांग का एहसास होता है, तो आशावादी की रणनीति आपको अधिकतम उपयोगिता प्राप्त करने की अनुमति देती है, जबकि अन्य रणनीतियों को खोए हुए मुनाफे की ओर ले जाएगा। इससे कुछ प्रतिस्पर्धी फायदे मिलते हैं।

एक उदाहरण पर विचार करें। रणनीतियों के लिए $$$U_ {1} = (0,2,5), U_ {2} = (2,3,1), U_ {3} = (4,3, -1)$ खोजें, अधिकतम खोजें और अगले तीन प्राप्त करें $$$S = (5, 3, 4)$ । संकेतित ट्रिपल के लिए अधिकतम मूल्य 5 होगा, इसलिए, आशावाद की कसौटी के अनुसार, रणनीति में जीत की रणनीति है $$$U_ {1} = (0.2.5)$ रोपण संस्कृति के अनुरूप 1।

आशावाद की कसौटी पर अमल करना वाल्ड की कसौटी से लगभग अलग नहीं है:

 class WaldCriteria(gameMatrix : GameMatrix) : ICriteria { val gameMatrix: GameMatrix init{ this.gameMatrix = gameMatrix } override fun optimum(): List<GameVector> { val mins = gameMatrix.alternatives.map { a -> Pair(a, a.min()) } val max = mins.maxWith( Comparator { o1, o2 -> o1.second!!.compareTo(o2.second!!)}) return mins .filter { m -> m.second == max!!.second } .map { m -> m.first } } } 

निराशावाद का मानदंड

यह मानदंड अपने न्यूनतम संभव तत्वों से खेल मैट्रिक्स के सबसे छोटे तत्व का चयन करने के लिए है:

$$

$$u_ {opt} = min_ {i} min_ {j} [U]$$

निराशावाद की कसौटी बताती है कि घटनाओं का विकास निर्णय निर्माता के लिए प्रतिकूल होगा। इस मानदंड का उपयोग करते समय, निर्णय निर्माता को स्थिति पर नियंत्रण के संभावित नुकसान द्वारा निर्देशित किया जाता है, इसलिए, वह न्यूनतम लाभप्रदता के साथ विकल्प चुनकर संभावित जोखिमों को बाहर करने की कोशिश करता है।

एक उदाहरण पर विचार करें। रणनीतियों के लिए $$$U_ {1} = (0,2,5), U_ {2} = (2,3,1), U_ {3} = (4,3, -1)$ खोजें, न्यूनतम खोजें और अगले तीन प्राप्त करें $$$S = (0, 1, -1)$ । संकेतित ट्रिपल के लिए न्यूनतम मूल्य -1 होगा, इसलिए, निराशावाद की कसौटी के अनुसार, जीतने की रणनीति रणनीति है $$$U_ {3} = (4.3, -1)$ रोपण संस्कृति 3 के अनुरूप।

वाल्ड के मानदंड और आशावाद को जानने के बाद, यह अनुमान लगाना आसान है कि निराशावाद मानदंड का वर्ग कैसा दिखेगा:

 class PessimismCriteria(gameMatrix : GameMatrix) : ICriteria { val gameMatrix: GameMatrix init{ this.gameMatrix = gameMatrix } override fun optimum(): List<GameVector> { val mins = gameMatrix.alternatives.map { a -> Pair(a, a.min()) } val min = mins.minWith( Comparator { o1, o2 -> o1.second!!.compareTo(o2.second!!)}) return mins .filter { m -> m.second == min!!.second } .map { m -> m.first } } } 

सैवेज मानदंड

सैवेज की कसौटी (एक निराशावादी निराशावादी की कसौटी) में सबसे बड़ा खोया हुआ मुनाफा कम करना शामिल है, दूसरे शब्दों में, खोए हुए मुनाफे के लिए सबसे बड़ा अफसोस न्यूनतम है:

$$

$$u_ {opt} = min_ {i} max_ {j} [S] \\ s_ {i, j} = (max \ start {bmatrix} u_ {1, j} \\ u_ {2, j} \\)। .. \\ u_ {n, j} \ अंत {bmatrix} - u_ {i, j})$$

इस मामले में, एस पछतावा का मैट्रिक्स है।

सैवेज मानदंड के अनुसार इष्टतम समाधान पिछले चरण में पाए गए पछतावा से कम से कम खेद व्यक्त करना चाहिए। उपयोगिता के अनुरूप समाधान इष्टतम होगा।

प्राप्त समाधान की विशेषताओं में सबसे बड़ी निराशा की गारंटीकृत अनुपस्थिति और अन्य खिलाड़ियों की अधिकतम संभावित जीत में गारंटीकृत कमी शामिल है।

एक उदाहरण पर विचार करें। रणनीतियों के लिए $$$U_ {1} = (0,2,5), U_ {2} = (2,3,1), U_ {3} = (4,3, -1)$ पछतावा का एक मैट्रिक्स बनाओ:



तीन अधिकतम पछतावा $$$S = (4,4,6)$ । इन जोखिमों का न्यूनतम मूल्य 4 का मूल्य होगा, जो रणनीतियों से मेल खाता है $$$U_ {1}$ और $$$U_ {2}$ ।

सैवेज परीक्षण की प्रोग्रामिंग थोड़ा अधिक कठिन है:

 class SavageCriteria(gameMatrix: GameMatrix) : ICriteria { val gameMatrix: GameMatrix init { this.gameMatrix = gameMatrix } fun GameMatrix.risk(): List<Pair<GameVector, Double?>> { val maxStates = this.natureStates.map { n -> Pair(n, n.values.max()) } .map { n -> n.first.key to n.second }.toMap() var am: MutableList<Pair<GameVector, List<Double>>> = mutableListOf() for (a in this.alternatives) { var v: MutableList<Double> = mutableListOf() for (i in 0..a.values.lastIndex) { val mn = maxStates.get(i) v.add(mn!! - a.values[i]) } am.add(Pair(a, v.toList())) } return am.map { m -> Pair(m.first, m.second.max()) } } override fun optimum(): List<GameVector> { val risk = gameMatrix.risk() val minRisk = risk.minWith(Comparator { o1, o2 -> o1.second!!.compareTo(o2.second!!) }) return risk .filter { r -> r.second == minRisk!!.second } .map { m -> m.first } } } 

हुरविट्ज़ कसौटी

हर्वित्ज मानदंड चरम निराशावाद और पूर्ण आशावाद के बीच एक विनियमित समझौता है:

$$

$$u_ {ऑप्ट} = अधिकतम (\ gamma × A (k) + A (0) × (1 - \ Gamma))$$

A (0) चरम निराशावादी की रणनीति है, A (k) पूर्ण आशावादी की रणनीति है, $$$\ गामा = 1$ - वजन गुणांक का सेट मान: $$$0 \ leq \ gamma \ leq1$ ; $$$\ Gamma = 0$ - अत्यधिक निराशावाद, $$$\ गामा = 1$ - पूर्ण आशावाद।

असतत रणनीतियों की एक छोटी संख्या के साथ, वजन गुणांक का वांछित मूल्य निर्धारित करना $$$गामा$ , और फिर परिणाम को निकटतम संभावित मूल्य के लिए गोल करें, प्रदर्शन किए गए विवेक को ध्यान में रखते हुए।

एक उदाहरण पर विचार करें। रणनीतियों के लिए $$$U_ {1} = (0,2,5), U_ {2} = (2,3,1), U_ {3} = (4,3, -1)$ । हम मानते हैं कि आशावाद गुणांक $$$\ Gamma = $ 0.$ । अब एक टेबल बनाएं:



गणना की गई एच से अधिकतम मूल्य 3 होगा, जो रणनीति से मेल खाती है $$$U_ {1}$ ।

हर्वित्ज की कसौटी पहले से ही अधिक चमकदार है:

 class HurwitzCriteria(gameMatrix: GameMatrix, optimisticKoef: Double) : ICriteria { val gameMatrix: GameMatrix val optimisticKoef: Double init { this.gameMatrix = gameMatrix this.optimisticKoef = optimisticKoef } inner class HurwitzParam(xmax: Double, xmin: Double, optXmax: Double){ val xmax: Double val xmin: Double val optXmax: Double val value: Double init{ this.xmax = xmax this.xmin = xmin this.optXmax = optXmax value = xmax * optXmax + xmin * (1 - optXmax) } } fun GameMatrix.getHurwitzParams(): List<Pair<GameVector, HurwitzParam>> { return this.alternatives.map { a -> Pair(a, HurwitzParam(a.max()!!, a.min()!!, optimisticKoef)) } } override fun optimum(): List<GameVector> { val hpar = gameMatrix.getHurwitzParams() val maxHurw = hpar.maxWith(Comparator { o1, o2 -> o1.second.value.compareTo(o2.second.value) }) return hpar .filter { r -> r.second == maxHurw!!.second } .map { m -> m.first } } } 

जोखिम लेने का निर्णय

निर्णय लेने की विधियाँ जोखिम की स्थितियों में निर्णय लेने के मानदंडों पर भरोसा कर सकती हैं, निम्नलिखित शर्तों के अधीन:

• संभावित परिणामों के बारे में विश्वसनीय जानकारी की कमी;
• संभाव्यता वितरण की उपस्थिति;
• प्रत्येक निर्णय के परिणामों या परिणामों की संभावना का ज्ञान।

यदि कोई निर्णय जोखिम की स्थिति में किया जाता है, तो वैकल्पिक निर्णयों की लागत संभावना वितरण द्वारा वर्णित है। इस संबंध में, निर्णय अपेक्षित मूल्य मानदंड के उपयोग पर आधारित है, जिसके अनुसार वैकल्पिक समाधानों की तुलना अपेक्षित लाभ को अधिकतम करने या अपेक्षित लागतों को कम करने के संदर्भ में की जाती है।

अपेक्षित मूल्य का मानदंड या तो अपेक्षित (औसत) लाभ को अधिकतम करने के लिए, या अपेक्षित लागत को कम करने के लिए कम किया जा सकता है। इस मामले में, यह माना जाता है कि प्रत्येक वैकल्पिक समाधान से जुड़ा लाभ (लागत) एक यादृच्छिक चर है।

ऐसे कार्यों का सूत्रीकरण आमतौर पर इस प्रकार है: एक व्यक्ति ऐसी स्थिति में किसी भी कार्रवाई को चुनता है जहां यादृच्छिक घटनाएं कार्रवाई के परिणाम को प्रभावित करती हैं। लेकिन खिलाड़ी को इन घटनाओं की संभावनाओं के बारे में कुछ ज्ञान है और वह अपने कार्यों के सबसे लाभदायक संयोजन और अनुक्रम की गणना कर सकता है।

उदाहरण देना जारी रखने के लिए, हम गेम मैट्रिक्स को संभावनाओं के साथ पूरक करते हैं:



संभावनाओं को ध्यान में रखने के लिए, गेम मैट्रिक्स का वर्णन करने वाले एक वर्ग को थोड़ा फिर से बनाना होगा। यह सच है, बहुत सुंदर नहीं है, लेकिन ओह ठीक है।

मानदंड

बेयस मानदंड (अपेक्षा मानदंड) का उपयोग रणनीति के मूल्यांकन के रूप में जोखिम की स्थिति में निर्णय लेने की समस्याओं में किया जाता है $$$u_ {i}$ इसी यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा प्रकट होती है। इस नियम के अनुसार, इष्टतम खिलाड़ी रणनीति $$$u_ {ऑप्ट}$ स्थिति से पाया जाता है:

$$

$$u_ {opt} = max_ {1 \ leq i \ leq n} M (u_ {i}) \\ M (u_ {i}) = max_ {1 \ leq i \ leq n} \ sum_ / j = 1} ^ m u_ {i, j} \ cdot y_ {j} ^ 0$$

दूसरे शब्दों में, रणनीति अक्षमता का एक संकेतक है $$$u_ {i}$ जोखिमों के बारे में बेयस की कसौटी आई-वें पंक्ति के जोखिमों का औसत मूल्य (उम्मीद) है $$$यू$ जिनकी संभावनाएँ प्रकृति की संभावनाओं से मेल खाती हैं। फिर जोखिमों के बारे में बेयस मानदंड द्वारा शुद्ध रणनीतियों के बीच इष्टतम रणनीति है $$$u_ {ऑप्ट}$ न्यूनतम अक्षमता, यानी न्यूनतम औसत जोखिम। बायेसियन मानदंड जोखिम के सापेक्ष और जोखिम के सापेक्ष समान है, अर्थात। अगर रणनीति $$$u_ {ऑप्ट}$ जीत के संबंध में बेयस कसौटी द्वारा इष्टतम है, तो जोखिमों के संबंध में बेयस कसौटी द्वारा इष्टतम है, और इसके विपरीत।

आइए उदाहरण पर आगे बढ़ें और गणितीय अपेक्षाओं की गणना करें:

$$

$$M_1 = 0 \ cdot0.2 +2 \ cdot0.5 +5 \ cdot0.3 = 2.5; \\ M_2 = 2 \ cdot0.2 +3 \ cdot0.5 +1 \ cdot0.3 = 2.2 ; \\ M_4 = 0 \ cdot0.2 +3 \ cdot0.5 + (- 1) \ cdot0.3.3 - 2.0;$$

अधिकतम गणितीय अपेक्षा है $$$M_1$ इसलिए, एक जीत की रणनीति एक रणनीति है $$$U_1$ ।

बेयस मानदंड का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन:

 class BayesCriteria(gameMatrix: ProbabilityGameMatrix) : ICriteria { val gameMatrix: ProbabilityGameMatrix init { this.gameMatrix = gameMatrix } fun ProbabilityGameMatrix.bayesProbability(): List<Pair<GameVector, Double?>> { var am: MutableList<Pair<GameVector, Double>> = mutableListOf() for (a in this.alternatives) { var alprob: Double = 0.0 for (i in 0..a.values.lastIndex) { alprob += a.values[i] * this.probabilities[i] } am.add(Pair(a, alprob)) } return am.toList(); } override fun optimum(): List<GameVector> { val risk = gameMatrix.bayesProbability() val maxBayes = risk.maxWith(Comparator { o1, o2 -> o1.second!!.compareTo(o2.second!!) }) return risk .filter { r -> r.second == maxBayes!!.second } .map { m -> m.first } } } 

लाप्लास मानदंड

लाप्लास मानदंड उपयोगिता की गणितीय अपेक्षा का एक सरलीकृत अधिकतमकरण प्रस्तुत करता है जब मांग के स्तर की समान संभावना की धारणा मान्य होती है, जो वास्तविक आंकड़ों को इकट्ठा करने की आवश्यकता को समाप्त करती है।

सामान्य स्थिति में, लाप्लास मानदंड का उपयोग करते समय, अपेक्षित उपयोगिताओं का मैट्रिक्स और इष्टतम मानदंड निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

$$

$$u_ {opt} = max [\ overline {U}] \\ \ overline {U} = \ start {bmatrix} \ overline {u} _ {1} \\ \ overline {u} _ {2} \\। .. \\ \ overline {u} _ {n} \ end {bmatrix}, \ overline {u} _ {i} = \ frac {1} {n} \ sum_ {j = 1} ^ nu_ {i, j }$$

लाप्लास मानदंड द्वारा निर्णय लेने के एक उदाहरण पर विचार करें। हम प्रत्येक रणनीति के लिए अंकगणितीय माध्य की गणना करते हैं:

$$

$$\ overline {u} _ {1} = \ frac {1} {3} \ cdot (0 + 2 + 5) = 2.3 \\ \ overline {u} _ {2} = \ frac {1} { 3} \ cdot (2 + 3 + 1) = 2.0 \\ \ ओवरलाइन {u} _ {3} = \ frac {1} {3} \ cdot (4 + 3-1) = $ 2.$$

तो जीतने की रणनीति रणनीति है $$$U_1$ ।

लाप्लास मानदंड का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन:

 class LaplaceCriteria(gameMatrix: GameMatrix) : ICriteria { val gameMatrix: GameMatrix init { this.gameMatrix = gameMatrix } fun GameMatrix.arithemicMean(): List<Pair<GameVector, Double>> { return this.alternatives.map { m -> Pair(m, m.values.average()) } } override fun optimum(): List<GameVector> { val risk = gameMatrix.arithemicMean() val maxBayes = risk.maxWith(Comparator { o1, o2 -> o1.second.compareTo(o2.second) }) return risk .filter { r -> r.second == maxBayes!!.second } .map { m -> m.first } } } 

मिश्रित रणनीति। विश्लेषणात्मक विधि

विश्लेषणात्मक विधि आपको मिश्रित रणनीतियों में गेम को हल करने की अनुमति देती है।एक विश्लेषणात्मक विधि द्वारा एक खेल का समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने के लिए, हम कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं पर विचार करते हैं।

रणनीति$$$U_{i}$ रणनीति पर हावी है $$$U_{i-1}$ अगर सब $$$u_{1..n} \in U_{i} \geq u_{1..n} \in U_{i-1}$ ।दूसरे शब्दों में, यदि किसी भुगतान मैट्रिक्स की एक पंक्ति में सभी तत्व दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों से अधिक या बराबर होते हैं, तो पहली पंक्ति दूसरी पर हावी होती है और इसे प्रमुख पंक्ति कहा जाता है। और यह भी कि यदि भुगतान मैट्रिक्स के कुछ कॉलम में सभी तत्व दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों की तुलना में कम या बराबर हैं, तो पहला कॉलम दूसरे पर हावी है और इसे प्रमुख कॉलम कहा जाता है।

खेल का सबसे कम मूल्य कहा जाता है$$$\alpha = max_i min_j u_{ij}$ ।
खेल के शीर्ष मूल्य को कहा जाता है $$$\beta = min_j max_i u_{ij}$ ।

अब आप विश्लेषणात्मक विधि द्वारा खेल को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार कर सकते हैं:

1. नीचे की गणना करें $$$\alpha$ और शीर्ष $$$\beta$खेल की कीमतें। अगर$$$\alpha = \beta$ , फिर शुद्ध रणनीतियों में उत्तर लिखें, यदि नहीं, तो आगे निर्णय जारी रखें
2. प्रमुख पंक्तियों को प्रमुख कॉलम हटाएं। कई हो सकते हैं। इष्टतम रणनीति में उनके स्थान पर, संबंधित घटक 0 होंगे
3. रैखिक प्रोग्रामिंग द्वारा मैट्रिक्स गेम को हल करें ।

एक उदाहरण देने के लिए, आपको एक वर्ग देने की आवश्यकता है जो समाधान का वर्णन करता है


और वह वर्ग जो सरल विधि द्वारा समाधान करता है। चूंकि मुझे गणित की समझ नहीं है, इसलिए मैंने अपाचे कॉमन्स मठ से तैयार कार्यान्वयन का उपयोग किया


अब हम विश्लेषणात्मक विधि द्वारा समाधान को निष्पादित करते हैं। स्पष्टता के लिए, हम एक और गेम मैट्रिक्स लेते हैं:

$$

$$\begin{pmatrix} 2& 4& 8& 5 \\ 6& 2& 4& 6\\ 3& 2& 5& 4 \end{pmatrix}$$

इस मैट्रिक्स में एक प्रमुख सेट है:
$$\begin{pmatrix} 2& 4\\ 6& 2\end{pmatrix}$$

खेल समाधान $$$(0,33; 0,67; 0)$ 3.33 के खेल मूल्य के साथ

एक निष्कर्ष के बजाय

मुझे उम्मीद है कि यह लेख उन लोगों के लिए उपयोगी होगा जिन्हें प्रकृति के साथ खेल के समाधान के साथ पहले सन्निकटन की आवश्यकता है। निष्कर्ष के बजाय, GitHub का लिंक ।

मैं रचनात्मक प्रतिक्रिया के लिए आभारी रहूंगा!