प्रागितिहास

इस प्रकाशन का कारण कुछ दिनों पहले संसाधन पर प्रकाशित कम से कम कार्रवाई (आईपीए) के सिद्धांत पर एक अस्पष्ट लेख है । यह अस्पष्ट है क्योंकि एक लोकप्रिय रूप में इसका लेखक पाठक को प्रकृति के गणितीय विवरण के मूल सिद्धांतों में से एक को व्यक्त करने की कोशिश करता है, और वह आंशिक रूप से सफल होता है। यदि एक के लिए नहीं, लेकिन प्रकाशन के अंत में गुप्त। बिगाड़ने के तहत इस मार्ग का एक पूरा उद्धरण है

बॉल मोशन की समस्या

इतना सरल नहीं है

वास्तव में, मैंने यह कहकर थोड़ा धोखा दिया कि शरीर हमेशा इस तरह से आगे बढ़ता है जैसे कि कार्रवाई को कम करना। हालांकि इतने सारे मामलों में यह सच है, आप उन स्थितियों के साथ आ सकते हैं जिनमें कार्रवाई स्पष्ट रूप से न्यूनतम नहीं है।

उदाहरण के लिए, एक गेंद लें और इसे खाली जगह पर रखें। इससे कुछ दूरी पर, हमने एक लोचदार दीवार लगाई। मान लीजिए हम चाहते हैं कि गेंद कुछ समय बाद उसी जगह पर हो। ऐसी दी गई शर्तों के तहत, गेंद दो अलग-अलग तरीकों से आगे बढ़ सकती है। सबसे पहले, यह सिर्फ जगह में रह सकता है। दूसरे, इसे दीवार की ओर धकेला जा सकता है। गेंद दीवार पर उड़ जाएगी, उसमें से उछाल आएगी और वापस आ जाएगी। यह स्पष्ट है कि आप उसे इतनी तेजी से धक्का दे सकते हैं कि वह बिल्कुल सही समय पर वापस आ जाए।

गेंद की गति के दोनों प्रकार संभव हैं, लेकिन दूसरे मामले में कार्रवाई अधिक हो जाएगी, क्योंकि इस समय गेंद गैर-शून्य गतिज ऊर्जा के साथ घूमेगी।

कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को कैसे बचाया जाए ताकि यह ऐसी स्थितियों में उचित हो? हम अगली बार इस बारे में बात करेंगे।

तो क्या, मेरी राय में, समस्या है?

समस्या यह है कि लेखक ने इस उदाहरण का हवाला देते हुए, कई मूलभूत त्रुटियां कीं। यह इस तथ्य से जटिल है कि लेखक के अनुसार योजनाबद्ध दूसरा भाग, इन त्रुटियों पर आधारित होगा। विश्वसनीय जानकारी के साथ संसाधन भरने के सिद्धांत द्वारा निर्देशित, मुझे इस मुद्दे पर अपनी स्थिति की व्याख्या के साथ बाहर आने के लिए मजबूर किया गया है, और इसके लिए टिप्पणियों का प्रारूप पर्याप्त नहीं है।

यह लेख पीएनडी के आधार पर यांत्रिकी कैसे बनाया जाता है, इस बारे में बात करेगा, और पाठक को यह समझाने की कोशिश करेगा कि उद्धृत प्रकाशन के लेखक द्वारा प्रस्तुत समस्या गायब है।

1. हैमिल्टन एक्शन की परिभाषा। कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत

हैमिल्टन क्रिया को क्रियात्मक कहा जाता है

$S = \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt$

जहाँ

$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) = T \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) दायाँ दाईं ओर - + पाई (\ mathbf q)$

कुछ तंत्र प्रणाली के लिए लैगरेंज फ़ंक्शन है जिसमें (नीचे दिए गए तर्कों को छोड़ते हुए) टी सिस्टम की गतिज ऊर्जा है; पी - इसकी संभावित ऊर्जा; q (t) इस प्रणाली के सामान्यीकृत निर्देशांक का वेक्टर है, जो समय का एक कार्य है। यह माना जाता है कि समय ₁ और टी _{2 के} लिए समय निर्धारित है।

कार्यक्षमता क्यों है, कार्य नहीं? क्योंकि एक फ़ंक्शन, परिभाषा के अनुसार, एक नियम है जिसके अनुसार परिभाषा डोमेन (फ़ंक्शन तर्क) से एक नंबर मूल्यों के डोमेन से दूसरे नंबर से जुड़ा हुआ है। एक कार्य इस मायने में अलग है कि तर्क एक संख्या नहीं है, बल्कि एक संपूर्ण कार्य है। इस मामले में, यह यांत्रिक प्रणाली q (t) की गति का नियम है, जो टी ₁ और टी _{2 के} बीच कम से कम समय अंतराल पर परिभाषित किया गया है।

लंबे समय तक (और यह इसे हल्के ढंग से रखा गया है!) यांत्रिक वैज्ञानिकों (लुभावनी लियोनार्ड यूलर सहित) ने काम करने की अनुमति दी

कम से कम कार्रवाई सिद्धांत:

एक यांत्रिक प्रणाली जिसके लिए लैगरेंज फ़ंक्शन निर्दिष्ट है $L \ बाएँ (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right$ , इस तरह से चलता है कि इसकी गति q (t) का नियम न्यूनतम को कार्यात्मक बनाता है
$S = \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt \ to \ min$

जिसे हैमिल्टन एक्शन कहा जाता है।

पहले से ही पीएनडी की परिभाषा से यह इस तथ्य का अनुसरण करता है कि यह सिद्धांत केवल यांत्रिक प्रणालियों के एक सीमित वर्ग के लिए गति के समीकरणों की ओर जाता है। किस लिए? और इसका पता लगाते हैं।

2. कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत की प्रयोज्यता की सीमा। सबसे छोटी के लिए कुछ परिभाषाएँ

परिभाषा के अनुसार, फिर से, लैगरेंज फ़ंक्शन की, पीएनडी एक को मैकेनिकल सिस्टम के लिए गति के समीकरणों को प्राप्त करने की अनुमति देता है, जिस पर बल कार्रवाई विशेष रूप से संभावित ऊर्जा द्वारा निर्धारित की जाती है। यह पता लगाने के लिए कि हम किन प्रणालियों के बारे में बात कर रहे हैं, हम कई परिभाषाएं देंगे, जो कि लेख को बचाने के लिए, मैं बिगाड़ने के नीचे रख देता हूं

बिजली का काम चल रहा है

एक बिंदु पर विचार करें जो प्रक्षेपवक्र एबी के साथ आगे बढ़ता है, जिसमें एक बल लगाया जाता है

$\ vec F$ । प्रक्षेपवक्र के साथ एक बिंदु का असीम रूप से छोटा विस्थापन वेक्टर द्वारा निर्धारित किया जाता है

$d \ vec s$ पथ के लिए निर्देशित स्पर्श।

बल का प्राथमिक कार्य

$\ vec F$ आगे बढ़ने पर

$d \ vec s$ जिसे स्केलर मान कहा जाता है

$dA = \ vec F \ cdot d \ vec s$

फिर, प्रक्षेपवक्र एबी के साथ बिंदु को आगे बढ़ाने पर बल का पूरा काम एक वक्रता अभिन्न अंग है

$A = \ int \ limit_ {AB} \, \ vec F \ cdot d \ vec s$

गतिज ऊर्जा बिंदु

एक बिंदु T की गतिज ऊर्जा वह कार्य है जिसे द्रव्यमान m के एक बिंदु पर लागू बलों को गति से आराम करने के लिए बिंदु को गति से परिवर्तित करने के लिए पूरा करना होगा $\ vec v$

हम इस परिभाषा के अनुसार गतिज ऊर्जा की गणना करते हैं। बता दें कि यह बिंदु उस पर लागू बलों की कार्रवाई के तहत आराम की स्थिति से आगे बढ़ना शुरू करता है। प्रक्षेपवक्र एबी के खंड पर, यह गति प्राप्त करता है

$\ vec v$ । हम उस बिंदु पर लागू बलों द्वारा किए गए कार्यों की गणना करते हैं, जो बलों की स्वतंत्रता के सिद्धांत के अनुसार, हम परिणामी की जगह लेते हैं

$\ vec F$

$T = A = \ int \ limit_ {AB} \, \ vec F \ cdot d \ vec s$

न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार

$\ vec F = m \, \ vec a = m \, \ frac {d \ vec v} {dt}$

तो

$T = \ int \ limit_ {AB} \, \ vec F \ cdot d \ vec s = m \, \ int \ limit_ {AB} \ frac {d \ vec v} {dt} \, \ cdot \ \ vec s = m \ int \ limit_ {AB} \, \ vec v \ cdot d \ vec v$

हम अदिश चिह्न के तहत खड़े स्केलर उत्पाद की कड़ाई से गणना करते हैं, जिसके लिए हम समय के अंतर को मापते हैं जो कि वेक्टर वेक्टर के अदिश उत्पाद से होता है।

$\ frac {d} {dt} (\ vec v \ cdot \ vec v) = \ frac {d \ vec v} {dt} \ cdot \ vec v + \ vec v \ cdot \ fc {d \ vec v} {dt} = 2 \ _, \ vec v \ cdot \ frac {d \ vec v} {dt} \ quad (१)$

दूसरी ओर

$\ vec v \ cdot \ vec v = v ^ 2$

इस समानता को समय के साथ अलग करते हुए, हमारे पास है

$\ frac {d} {dt} (\ vec v \ cdot \ vec v) = \ frac {d} {dt} (v ^ 2) = 2 \ _, v \, \ frac {DV} {dt = quad (२)$

तुलना (1) और (2), हम यह निष्कर्ष निकालते हैं

$\ vec v \ cdot d \ vec v = v \, DV$

फिर, हम शांति से काम की गणना करते हैं, एक निश्चित एक के माध्यम से वक्रता अभिन्न का खुलासा करते हुए, बिंदु के वेग मापांक को शुरुआत में और सीमा के अंत में सीमा के रूप में लेते हैं

$T = m \ int \ limit_ {AB} \ vec v \ cdot d \ vec v = m \ int \ limit_0 ^ v v \, DV = \ frac {m \, v ^ 2} {2}$

रूढ़िवादी ताकतें और संभावित ऊर्जा बिंदु

किसी बिंदु पर काम करने वाले बल पर विचार करें, और इस तरह कि इस बल का परिमाण और दिशा पूरी तरह से अंतरिक्ष में बिंदु की स्थिति पर निर्भर करती है

$\ vec F = \ vec F (x, y, z) \ quad (3)$

बिंदु को एक मनमाना प्रक्षेपवक्र एबी के साथ अंतरिक्ष में ले जाने दें। हम गणना करते हैं कि बल क्या काम करेगा (3)

$A = \ int \ limit_ {AB} \ vec F \ cdot d \ vec s = \ int \ limit_ {AB} \ left (F_x \, dx + F_y \, dy + F_z \, dz \ right)$

चूंकि समन्वय अक्ष पर बल का प्रक्षेपण विशेष रूप से इन्हीं निर्देशांक पर निर्भर करता है, आप हमेशा फ़ंक्शन पा सकते हैं

$यू = यू (एक्स, वाई, जेड)$

ऐसा है

$F_x = \ frac {\ आंशिक U} {\ आंशिक x}, \ quad F_y = \ frac {\ आंशिक U} {\ आंशिक y}, \ quad F_z = \ frac {\ आंशिक U} {\ आंशिक आंशिक}}$

फिर, कार्य के लिए अभिव्यक्ति को रूपांतरित किया जाता है

$A = \ int \ limit_ {AB} \ बाएँ (\ frac {\ आंशिक U} {\ आंशिक x} \, dx + \ frac {\ आंशिक U} {\ आंशिक y} \, dy + \ frac {\ आंशिक U} {\ आंशिक z} \, dz \ right) = \ int \ limit_ {U_A} ^ {U_B} \, dU = U_B - U_A$

जहाँ

$U_A, \, U_B$ क्रमशः A और B के बिंदुओं पर फ़ंक्शन U (x, y, z) के मान हैं। इस प्रकार, हम जिस बल पर विचार कर रहे हैं, वह बिंदु के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन केवल शुरुआत में और प्रक्षेपवक्र के अंत में फ़ंक्शन यू के मूल्यों से निर्धारित होता है। इस तरह के बल को एक रूढ़िवादी बल कहा जाता है, और इसी फ़ंक्शन यू (x, y, z) को एक बल फ़ंक्शन कहा जाता है। ऐसा नहीं है कि स्पष्ट है

$\ vec F = \ nabla \, U$ , साथ ही साथ एक बंद रास्ते के साथ चलते समय रूढ़िवादी बल के काम के शून्य की समानता। यह भी कहा जाता है कि फ़ंक्शन U (x, y, z) अंतरिक्ष में एक बल क्षेत्र को परिभाषित करता है।

संभावित ऊर्जा $\ Pi = \ Pi (x, y, z)$ किसी दिए गए बल क्षेत्र के साथ अंतरिक्ष में स्थित बिंदुओं को उस पर लागू बाहरी बलों का काम कहा जाता है, जो वे उस बिंदु पर चलते हैं, जब निर्देशांक (x, y, z) द्वारा निर्दिष्ट स्थान में किसी मनमाने स्थान से स्थानांतरित करके संभावित स्थिति के संदर्भ बिंदु के रूप में चुने गए कुछ मनमाने स्थान से ।

आइए हम पहले से विचार किए गए बिंदु के प्रक्षेपवक्र पर बिंदु A और B के बीच स्थित एक मनमाना बिंदु O चुनें। हम मानते हैं कि संभावित ऊर्जा बिंदु O पर शून्य के बराबर है। फिर, परिभाषा से

$\ Pi_A = - (U_A - U_O)$

स्थिति A में बिंदु की संभावित ऊर्जा है, और

$\ Pi_B = - (U_B - U_O)$

- स्थिति बी में बिंदु की संभावित ऊर्जा। उपरोक्त सभी को देखते हुए, हम फिर से बिंदु A से बिंदु B पर जाने पर संभावित बलों के कार्य की गणना करते हैं।

$A_ {AB} = A_ {AO} + A_ {OB} = U_O - U_A + U_B - U_O = (U_O - U_A) - (U_O - U_B) = \ ___ $$

इस प्रकार, रूढ़िवादी ताकतों का काम विपरीत संकेत के साथ उठाए गए बिंदु की संभावित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है

$A_ {AB} = \ Pi_A - \ Pi_B = - (\ Pi_B - \ Pi_A) = - \ Delta_ Pi$

इसके अलावा, उस स्तर का चुनाव जिस पर हम संभावित ऊर्जा को शून्य के बराबर मानते हैं, परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संभावित ऊर्जा के संदर्भ स्तर को पूरी तरह से मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

3. सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताओं की अवधारणा। परिवर्तनशील समस्या का विवरण

इसलिए, अब हम संभावित बलों की कार्रवाई के तहत एक यांत्रिक प्रणाली पर विचार करते हैं, जिसकी स्थिति सामान्यीकृत दिशा-निर्देशों के वेक्टर द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है

$\ mathbf q = \ left [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ right] ^ T \ quad (4)$

जहां s किसी दी गई प्रणाली की स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या है।

वास्तविक, लेकिन हमारे लिए अभी भी अज्ञात है , इस प्रणाली की गति का कानून समय पर सामान्यीकृत निर्देशांक (4) की निर्भरता से निर्धारित होता है। सामान्यीकृत निर्देशांक में से एक पर विचार करें

$q_i = q_i (t)$ अन्य सभी निर्देशांक के लिए समान तर्क मानते हुए।

चित्र 1. एक यांत्रिक प्रणाली का वास्तविक और गोल चक्कर आंदोलन

आंकड़ा निर्भरता को दर्शाता है

$q_i (t)$ एक लाल वक्र द्वारा दर्शाया गया है। हम टी ₂ > टी _{1 की} स्थापना करते हुए, दो मनमाने ढंग से नियत समय इंस्टेंट टी ₁ और टी ₂ चुनते हैं। सिस्टम की स्थिति

$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ हम सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति को कॉल करने के लिए सहमत हैं, और

$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - सिस्टम की अंतिम स्थिति।

हालाँकि, मैं एक बार फिर आग्रह करता हूं कि निम्नलिखित पाठ को ध्यान से पढ़ें! इस तथ्य के बावजूद कि हम सिस्टम की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति निर्धारित करते हैं, न तो पहली स्थिति और न ही दूसरा हमारे लिए पहले से अज्ञात है! साथ ही सिस्टम की गति का अज्ञात कानून! इन प्रावधानों को विशिष्ट अर्थों की परवाह किए बिना, प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के रूप में ठीक माना जाता है।

इसके अलावा, हम मानते हैं कि प्रारंभिक स्थिति से अंतिम प्रणाली तक अलग-अलग तरीके से, यानी निर्भरता आ सकती है

$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ किसी भी kinematically संभव हो सकता है। सिस्टम का वास्तविक संचलन एक एकल प्रकार (लाल वक्र) में मौजूद होगा, शेष किनेमेटिक रूप से संभव वेरिएंट को गोल चक्कर आंदोलनों कहा जाएगा

$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (आकृति में नीला वक्र)। वास्तविक और गोल चक्कर के बीच अंतर

$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5)$

को सामान्यीकृत निर्देशांकों का समकालिक रूपांतर कहा जाएगा

इस संदर्भ में, विभिन्नताओं (5) को असीम कार्यों के रूप में समझा जाना चाहिए जो वास्तविक से गोल चक्कर के विचलन को व्यक्त करते हैं। पदनाम के लिए छोटा "डेल्टा" संयोग से नहीं चुना गया था और भिन्नता और फ़ंक्शन अंतर के बीच मूलभूत अंतर पर जोर देता है। विभेदक तर्क वृद्धि के कारण होने वाली फ़ंक्शन वृद्धि का मुख्य रैखिक हिस्सा है। भिन्नता के मामले में, फ़ंक्शन के मूल्य में एक निरंतर मान के साथ एक परिवर्तन फ़ंक्शन के रूप में परिवर्तन के कारण होता है! हम समय की भूमिका में तर्क को अलग नहीं करते हैं, इसलिए, भिन्नता को समकालिक कहा जाता है। हम उस नियम को बदलते हैं जिसके द्वारा समय के प्रत्येक मूल्य को सामान्यीकृत निर्देशांक के एक निश्चित मूल्य के साथ पत्राचार में लाया जाता है!

वास्तव में, हम गति के नियम को बदलते हैं, जिसके अनुसार प्रारंभिक अवस्था से प्रणाली अंतिम स्थिति में जाती है। प्रारंभिक और अंतिम स्थिति गति के वास्तविक कानून द्वारा निर्धारित की जाती है, लेकिन मैं एक बार फिर जोर देता हूं कि हम उनके विशिष्ट मूल्यों को नहीं जानते हैं और किसी भी तरह से संभव हो सकते हैं, हम केवल यह मानते हैं कि वे मौजूद हैं और सिस्टम को एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने की गारंटी है! प्रणाली की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में, हम गति के नियम को अलग नहीं करते हैं, इसलिए, प्रारंभिक और अंतिम स्थिति में सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताएं शून्य के बराबर हैं

$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0, \ Quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6)$

कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के आधार पर, सिस्टम की वास्तविक आवाजाही इस तरह होनी चाहिए कि न्यूनतम कार्यक्षमता प्रदान की जा सके। निर्देशांक भिन्न करने से क्रिया के कार्य में परिवर्तन होता है। कार्यात्मक के लिए एक चरम मूल्य तक पहुंचने के लिए एक आवश्यक शर्त इसकी भिन्नता के शून्य की समानता है

$\ delta S = \ delta \ int \ limit_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ dots, q_s, \, \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ quad ( 7)$

4. परिवर्तनशील समस्या का समाधान। 2 के प्रकार के अजीब समीकरण

आइए हम अपनी परिवर्तनशील समस्या को हल करें, जिसके लिए हम क्रियात्मक की पूरी भिन्नता की गणना करते हैं और इसे शून्य के बराबर करते हैं

$\ start {align} \ delta S = & \ int \ limit_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ dots, q_s + \ delta q_s, \, \ dot q_1 + \ delta \ dot q_1, \ dots, \ dot q_s + \ delta \ dot q_s) \, dt - \\ & - \ int \ limit_ {t_1} ^ {t2} \ _, L (q_1, \ dots, q_s, \,) q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ end {संरेखित}$

चलो एक अभिन्न के तहत सब कुछ धक्का देते हैं, और चूंकि असीम मात्रा पर सभी ऑपरेशन विविधताओं के लिए मान्य हैं, हम इस मगरमच्छ को रूप में बदलते हैं

$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} \ delta q_i + \ sum \ limit \ _ \ _ = 1 } ^ s \ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (8)$

सामान्यीकृत गति की परिभाषा के आधार पर

$\ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$

तब अभिव्यक्ति (8) रूप में बदल जाती है

$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} \ delta q_i \, dt + sum \ limit_ { i = 1} ^ s \ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक \ डॉट q_i} d ((डेल्टा q_i) \ right] = 0$

दूसरा शब्द भागों में एकीकृत है

$\ _ \ _ सीमाएं {{1 = 1} ^ s \ frac {\ आंशिक एल} {\ आंशिक \ डॉट q_i} \ डेल्टा q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} \ delta q_i - \ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {d} {t} \ _ बाएँ (\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक \ dot q_i} \ right) \ delta q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (10)$

शर्त (7) के आधार पर, हमारे पास है

$\ _ \ _ सीमाएं {{1 = 1} ^ s \ frac {\ आंशिक एल} {\ आंशिक \ डॉट q_i} \ डेल्टा q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$

तब हमें समीकरण मिलता है

$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ left (\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} - \ frac {d} {tt} \ बाईं (\ frac {\ आंशिक एल) {\ आंशिक \ डॉट q_i} (दाएं) \ दा) \, \ डेल्टा q_i \ right] \, dt = 0$

मनमाना एकीकरण सीमा के लिए, एक निश्चित अभिन्न का लुप्त होना अभिन्न के लुप्त होने से सुनिश्चित होता है

$\ _ \ _ सीमाएं {{1 = 1} ^ s \ left [\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक \ _ dot q_i} \ right) \ right] \, \ delta q_i = 0 \ quad (11)$

यह देखते हुए कि सामान्यीकृत निर्देशांक की विविधताएं स्वतंत्र हैं, (11) केवल तभी मान्य है जब विभिन्नताओं के सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, अर्थात।

$\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक \ dot q_i} \ right) = 0, \ quad \ inall i = \ overline {1, s}$

कोई भी हमें (-1) समीकरणों में से प्रत्येक को गुणा करने और अधिक परिचित अंकन के लिए परेशान नहीं करता है

$\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक \ dot q_i} \ right) - \ frac {\ आंशिक L} {\ आंशिक q_i} = 0, \ quad \ inall iall = \ overline {1, s} \ quad (12)$

समीकरण (12) समस्या का समाधान हैं । और इस बिंदु पर, ध्यान एक बार फिर से है - कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत द्वारा परिवर्तनशील समस्या को हल करना, यह एक ऐसा फ़ंक्शन नहीं है जो हैमिल्टन के अनुसार न्यूनतम कार्रवाई प्रदान करता है, लेकिन अंतर समीकरणों की एक प्रणाली है, जिसे हल करके ऐसा फ़ंक्शन पाया जा सकता है । इस मामले में, यह एक दूसरे क्रम वाला लैग्रेंज डिफरेंशियल समीकरण है, जो लैगरेंज फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा गया है, जो कि रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणालियों के निर्माण में है।

और यह वही है, कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत समाप्त होता है , और साधारण अंतर समीकरणों का सिद्धांत शुरू होता है, जो विशेष रूप से, बताता है कि समीकरण का समाधान (12) फॉर्म का एक वेक्टर फ़ंक्शन है

$\ mathbf q = \ mathbf q (t, C_1, C_2, \ dots, C_ {2b}}$

जहाँ C ₁ , ..., C _2s मनमाना एकीकरण स्थिरांक हैं।

इस तरह से

पीएनडी एक मूलभूत सिद्धांत है जो किसी को एक प्रणाली की गति के समीकरण प्राप्त करने की अनुमति देता है जिसके लिए लैगरेंज फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है

एक बिंदु! विश्लेषणात्मक यांत्रिकी की समस्याओं में, उपरोक्त गणनाओं को अब करने की आवश्यकता नहीं है, यह उनके परिणाम (12) का उपयोग करने के लिए पर्याप्त है। एक फ़ंक्शन जो समीकरण को संतुष्ट करता है (12) एक प्रणाली की गति का नियम है जो पीएनडी को संतुष्ट करता है।

5. गेंद और दीवार के साथ समस्या

अब उस कार्य पर वापस जाएं जिसके साथ यह सब शुरू हुआ - एक बिल्कुल लोचदार दीवार के पास एक गेंद के एक आयामी गति के बारे में। बेशक, इस समस्या के लिए, व्यक्ति गति के अंतर समीकरण प्राप्त कर सकता है। चूंकि ये गति के अंतर समीकरण हैं, कोई भी, मैं इस पर जोर देता हूं, उनके किसी भी समाधान में न्यूनतम कार्यात्मक कार्रवाई होती है, जिसका मतलब है कि पीएनडी निष्पादित होता है! गेंद की गति के समीकरणों के सामान्य समाधान को विचार के तहत यांत्रिक प्रणाली के तथाकथित चरण चित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह चरण चित्र

चित्रा 2. गेंद की समस्या में प्रणाली का चरण चित्र

गेंद के समन्वय को क्षैतिज अक्ष पर प्लॉट किया जाता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर एक्स अक्ष पर गति का प्रक्षेपण होता है। यह अजीब लग सकता है, लेकिन यह ड्राइंग गेंद के सभी संभावित चरण प्रक्षेपवक्र को किसी भी प्रारंभिक के तहत, या यदि आप चाहें, तो सीमा की स्थिति को दर्शाता है। वास्तव में, ग्राफ पर असीम रूप से कई समानांतर रेखाएं होती हैं, ड्राइंग उनमें से कुछ और चरण प्रक्षेपवक्र के साथ आंदोलन की दिशा को दर्शाता है।

यह गेंद की गति के समीकरण का एक सामान्य समाधान है। इनमें से प्रत्येक चरण प्रक्षेपवक्र क्रियात्मक क्रिया का एक न्यूनतम प्रदान करता है, जो सीधे ऊपर की गई गणनाओं से होता है।

कार्य लेखक क्या करता है? वह कहता है: यहां गेंद आराम से है, और टी _ए से टी _बी तक की अवधि के _लिए कार्रवाई शून्य है। यदि गेंद दीवार के खिलाफ धकेल दी जाती है, तो उसी अवधि में कार्रवाई अधिक होगी, क्योंकि गेंद में एक गैर-शून्य और अपरिवर्तित गतिज ऊर्जा होती है। लेकिन गेंद दीवार की ओर क्यों चलती है, क्योंकि बाकी की कार्रवाई कम होगी? तो पीएनडी समस्याओं का सामना कर रहा है और काम नहीं करता है! लेकिन हम इसे अगले लेख में निश्चित रूप से हल करेंगे।

लेखक जो कहता है वह बकवास है। क्यों? हां, क्योंकि वह एक ही वास्तविक चरण प्रक्षेपवक्र की विभिन्न शाखाओं पर कार्रवाई की तुलना करता है! इस बीच, PND को लागू करते समय, वास्तविक प्रक्षेपवक्र और कई गोल चक्कर प्रक्षेपवक्र पर कार्रवाई की तुलना की जाती है।यही है, वास्तविक प्रक्षेपवक्र पर कार्रवाई की तुलना उन प्रक्षेपवक्रों पर कार्रवाई के साथ की जाती है जो प्रकृति में नहीं हैं, और कभी नहीं होंगे!

नहीं समझे? मैं इसे और भी समझदारी से समझाऊंगा। आराम की स्थिति पर विचार करें। यह एक चरण चित्र की एक शाखा द्वारा वर्णित है जो एब्सिस्सा अक्ष के साथ मेल खाता है। समन्वय समय के साथ नहीं बदलता है। यह एक वास्तविक आंदोलन है। और किस तरह का आंदोलन चौपट होगा। किसी भी अन्य kinematically संभव है। उदाहरण के लिए, हम जिस आराम की स्थिति पर विचार कर रहे हैं, उसके पास की छोटी बॉल कंपन। क्या समस्या एक्स अक्ष के साथ गेंद को दोलन करने देती है? की अनुमति देता है, तो इस तरह के एक कदम cinematically संभव और उनके कुटिल में से एक के रूप में माना जा सकता है

क्यों गेंद आराम कर रहा हो? हां, क्योंकि आराम से कार्रवाई, समय की निश्चित अवधि में टी _ए से टी तक की गणना की जाती है_बी , समय की समान अवधि में छोटे उतार-चढ़ाव के साथ कम कार्रवाई होगी। इसका मतलब है कि प्रकृति शांति को कंपन और किसी भी अन्य "हलचल" गेंद के लिए पसंद करती है। आईपीए के साथ पूर्ण अनुसार।

मान लीजिए कि हमने गेंद को दीवार की ओर धकेला। हम इसे लेखक की इच्छा के अनुसार आगे बढ़ाते हैं, सीमा स्थितियों से चुनी गई गति पर, ताकि समय _बी गेंद उसी स्थिति में हो जिससे यह शुरू हुआ था। एक निरंतर गति के साथ गेंद दीवार तक पहुंचती है, तेजी से उछलती है और समय _बी , फिर से एक निरंतर गति से अपनी प्रारंभिक स्थिति में लौट आती है । ठीक है, यह एक वास्तविक आंदोलन है। कौन सा आंदोलन गोल चक्करों में से एक होगा? उदाहरण के लिए, यदि गेंद गति से दीवार से दूर और दूर जाती है जो समय के साथ बदलती है। क्या इस तरह की हरकत मुमकिन है? हो सकता है कि।बॉल वेलोसिटी मॉड्यूल क्यों नहीं बदलता है? हां, क्योंकि किसी अन्य विकल्प की तुलना में ऐसे चरण प्रक्षेपवक्र पर कार्रवाई का न्यूनतम मूल्य होगा, जहां गति समय पर निर्भर करती है।

वह सब है।इतना जादुई कुछ भी नहीं होता है यहां। IPA बिना किसी समस्या के काम करता है।

निष्कर्ष और इच्छाएँ

पीएनडी प्रकृति का एक मूलभूत नियम है। इसमें से, विशेष रूप से, यांत्रिकी के नियम अनुसरण करते हैं, उदाहरण के लिए, गति के अंतर समीकरण (12)। पीएनडी हमें बताता है कि प्रकृति संरचित है ताकि एक रूढ़िवादी यांत्रिक प्रणाली की गति का समीकरण बिल्कुल अभिव्यक्ति (12) जैसा दिखता है और कुछ नहीं। अधिक उसकी आवश्यकता नहीं है।

समस्याओं का आविष्कार करने की आवश्यकता नहीं है जहां वे नहीं हैं।

विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत