गणित के टाइटन्स एबीसी परिकल्पना के महाकाव्य प्रमाण पर टकराते हैं

दो गणितज्ञों का दावा है कि साक्ष्य के दिल में एक छेद मिला है जिसने गणितीय समुदाय को अब छह साल तक हिला दिया है।

इंटरनेट पर सितंबर 2018 में प्रकाशित एक रिपोर्ट में, बॉन विश्वविद्यालय के पीटर स्कोल्ज़ और फ्रैंकफर्ट में गोएथ विश्वविद्यालय के जैकब स्टाइक्स ने बताया कि क्योटो विश्वविद्यालय के प्रसिद्ध प्रतिभाशाली गणितज्ञ शिनिची मोतीज़ुकी द्वारा विशाल कार्यों की एक विशाल श्रृंखला में स्टाइक्स को "गंभीर और अपूरणीय अंतराल" कहा जाता है। । 2012 में इंटरनेट पर प्रकाशित मोतीज़ुकी के काम कथित तौर पर एबीसी परिकल्पना को साबित करते हैं , जो संख्या सिद्धांत में सबसे दूरगामी समस्याओं में से एक है ।

मोतीज़ुकी के प्रमाण को समझाने की कोशिश कर रहे कई सम्मेलनों के बावजूद, संख्या सिद्धांत विशेषज्ञों ने इसके पीछे के विचारों का सामना करने के लिए संघर्ष किया। 500 से अधिक पृष्ठों की कुल मात्रा के साथ काम करने की उनकी श्रृंखला एक अस्पष्ट शैली में लिखी गई है, और लगभग 500 पृष्ठों के अपने पिछले काम को संदर्भित करता है, जो "अंतहीन प्रतिगमन की भावना" के उद्भव की ओर जाता है, जैसा कि स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ ब्रायन कोनराड ने रखा था ।

प्रमाण का अध्ययन करने वाले गणितज्ञों में से, 12 से 18 लोग इसकी शुद्धता पर विश्वास करते हैं, जैसा कि नॉटिंघम विश्वविद्यालय के इवान फेसेंको ने मुझे ई-मेल द्वारा लिखा था। लेकिन, जैसा कि कोनराड ने पिछले दिसंबर में एक ब्लॉग पर सबूतों की चर्चा में स्थिति पर टिप्पणी की थी, केवल "मोतीझुकी के आंतरिक सर्कल" के गणितज्ञों ने सबूत के लिए वाउच किया था। "अब कोई भी ऐसा नहीं है जो अनौपचारिक रूप से बताना चाहता हो, कि वे सबूतों की पूर्णता में आश्वस्त हैं।"

हालांकि, शिकागो विश्वविद्यालय के फ्रैंक कलेगरी ने दिसंबर में अपने ब्लॉग में लिखा था, "गणितज्ञ मोतीझुकी के प्रमाण के साथ समस्याओं की रिपोर्ट करने के लिए अनिच्छुक हैं, क्योंकि वे एक विशिष्ट त्रुटि की ओर इशारा नहीं कर सकते हैं।"

अब सब कुछ बदल गया है। अपनी रिपोर्ट में, शॉल्ज़ और स्टाइलक्स का तर्क है कि मोतीझुकी के चार कार्यों में से तीसरे में "कोरोलरी 3.12" के प्रमाण के अंत तक तर्क की रेखा मौलिक रूप से गलत है। और एबीसी-परिकल्पना के उनके प्रमाण के लिए यह कोरोलरी आवश्यक है।

"मुझे लगता है कि एबीसी परिकल्पना के साथ मुद्दा खुला रहता है," शोलज़ ने कहा। "और किसी भी व्यक्ति के पास उसे साबित करने का मौका है।"


पीटर स्कोल्ज़

स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स के निष्कर्ष न केवल अपने स्वयं के अध्ययन पर आधारित हैं, बल्कि मार्च में क्योटो विश्वविद्यालय में मोतीझुकी और उनके सहयोगी, यूचिरो होशी द्वारा किए गए साप्ताहिक दौरे पर भी, इस साक्ष्य पर चर्चा करने के लिए आयोजित किए गए। स्कोल्ज़ का कहना है कि इस यात्रा ने उनकी और स्टाइक्स को उनकी हरकतों की तह तक जाने में बहुत मदद की। नतीजतन, वैज्ञानिकों की एक जोड़ी "इस निष्कर्ष पर पहुंची कि कोई सबूत नहीं है," वे रिपोर्ट में लिखते हैं।

हालाँकि, यह बैठक पार्टियों के असंतोष के कारण समाप्त हुई। मोतीज़ुकी स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स को आश्वस्त नहीं कर सका कि उसका प्रमाण सही था, और वे उसे समझा नहीं सकते थे कि यह गलत था। मोटिज़ुकी ने पहले ही अपनी वेबसाइट पर स्कोल्ज़ और स्टाइलएक्स की रिपोर्ट पोस्ट की है, और अपनी कुछ आपत्तियों को उनसे जोड़ा है।

उनमें, मोतीज़ुकी ने अपने काम के "निश्चित मौलिक गलत अर्थों" के लिए स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स की आलोचना का श्रेय दिया है। उनका "नकारात्मक रवैया," वह लिखते हैं, "इसका मतलब यह नहीं है कि उनके सिद्धांत में कोई दोष हैं"।

जिस तरह मोतीज़ुकी की गंभीर प्रतिष्ठा ने गणितज्ञों को एक परिकल्पना को साबित करने के गंभीर प्रयास के रूप में देखा, स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स की प्रतिष्ठा यह सुनिश्चित करती है कि गणितज्ञ इस बात पर ध्यान दें कि वे क्या कहना चाहते हैं। शोलेज़, हालांकि केवल 30 साल का था, जल्दी से अपने क्षेत्र में शीर्ष पर चढ़ गया। अगस्त में, उन्हें गणित में सर्वोच्च पुरस्कार , फील्ड्स पुरस्कार मिला। स्टाइलिक्स मोचीज़ुकी, एनाबेलियन ज्यामिति के अध्ययन में एक विशेषज्ञ है।

कॉनराड ने कहा, "पीटर और जैकब बेहद सावधान और विचारशील गणितज्ञ हैं।" "अगर उन्हें कोई चिंता है, तो उन्हें वास्तव में स्पष्ट किया जाना चाहिए।"

ठोकर खाने वाला

एबीसी परिकल्पना, जिसे कॉनराड ने "संख्या सिद्धांत में सबसे प्रमुख परिकल्पनाओं में से एक" कहा है, सबसे सरल समीकरणों में से एक के साथ शुरू होता है जिसे आम तौर पर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: a + b = c। तीन नंबर a, b, और c पॉजिटिव पूर्णांक हैं जिनमें सामान्य प्राइम डिविजर्स नहीं होते हैं। यही है, हम समीकरण 8 + 9 = 17 या 5 + 16 = 21 पर विचार कर सकते हैं, लेकिन 6 + 9 = 15 नहीं, क्योंकि संख्या 6, 9 और 15 को 3 से विभाजित किया गया है।

इस समीकरण को लेते हुए, हम उन सभी अपराधों पर विचार कर सकते हैं जिनमें समीकरण में शामिल तीन संख्याओं में से किसी को भी विभाजित किया गया है - उदाहरण के लिए, समीकरण 5 + 16 = 21 के मामले में, ये अपराध 2, 3, 5 और 7 होंगे। उनका उत्पाद 210 होगा। , और यह समीकरण में शामिल किसी भी संख्या से बहुत बड़ा है। और इसके विपरीत, समीकरण 5 + 27 = 32 में primes 2, 3 और 5 भाग लेते हैं, जिसका उत्पाद 30 है - और यह समीकरण में शामिल संख्या 32 से कम है। उत्पाद बहुत छोटा है, क्योंकि संख्या 27 और 32 में बहुत छोटे सरल विभाजक (3 और 2) हैं, जिन्हें इन संख्याओं को प्राप्त करने के लिए बस कई बार दोहराया जाता है।

यदि आप अन्य एबीसी ट्रिक के साथ खेलना शुरू करते हैं, तो आप पा सकते हैं कि यह दूसरा विकल्प बेहद दुर्लभ है। उदाहरण के लिए, 3044 विभिन्न त्रिभुजों में से जिनके लिए a और b शब्द 100 से कम हैं, केवल सात ऐसे हैं जहाँ प्राइम डिविज़र्स का उत्पाद c से कम है। 1980 के दशक में तैयार की गई एबीसी परिकल्पना, इस तरह के त्रिगुणों की दुर्लभता का एक सहज विचार प्रस्तुत करती है।

उदाहरण के लिए 5 + 27 = 32 पर लौटना। 32 30 से अधिक है, लेकिन बहुत से नहीं। यह 32.11 के बराबर 30 ² , या 30 ^1.5 या 30 ^1.02 से कम है। Abc परिकल्पना में कहा गया है कि यदि आप 1 से अधिक किसी भी डिग्री का चयन करते हैं, तो केवल tri Tric abc की एक परिमित संख्या होगी, जिसके लिए c चुने हुए डिग्री के लिए उठाए गए अभाज्य विभाजकों के उत्पाद से अधिक होगा।

ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के मिन्युन किम ने कहा, "एबीसी परिकल्पना गुणन और विभाजन के संबंध में एक बहुत ही सरल कथन है।" उन्होंने कहा कि इस कथन के साथ, "ऐसी भावना है कि आप संख्यात्मक प्रणालियों के कुछ बहुत ही मौलिक ढांचे का खुलासा कर रहे हैं जिन्हें आपने पहले नहीं देखा है।"

समीकरण की सादगी a + b = c का अर्थ है कि अन्य समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला इसके प्रभाव में आती है। उदाहरण के लिए, फ़र्मैट के महान प्रमेय को x ⁿ + y ⁿ = z ^{n के} समीकरणों के साथ जोड़ा जाता है, और कैटलन की परिकल्पना , जिसमें कहा गया है कि 8 और 9 केवल लगातार दो सही डिग्री हैं [संख्या एक पूर्णांक डिग्री / लगभग में पूर्णांक के रूप में व्यक्त की गई हैं। अनुवाद।] (8 = 2 ³ और 9 = 3 ^{2 के बाद से} ), फॉर्म x ^m + 1 = y ^{n के} समीकरण की बात करता है। Abc परिकल्पना (एक निश्चित रूप में) इन दो प्रमेयों को नए प्रमाण देगी और इससे जुड़ी खुली समस्याओं का एक पूरा पहाड़ हल कर देगी।


जेकब स्टाइल

यह परिकल्पना "हमेशा ज्ञात और अज्ञात के बीच की सीमा पर लगती है," कोलंबिया विश्वविद्यालय के डोरियन गोल्डफेल्ड ने लिखा है ।

परिकल्पना को साबित करने के परिणामों के पैमाने ने संख्या सिद्धांत विशेषज्ञों को आश्वस्त किया कि इसे साबित करना बहुत मुश्किल होगा। इसलिए, जब 2012 में यह बताया गया कि मोतीझुकी ने साक्ष्य प्रस्तुत किए, तो कई गणितज्ञों को अपने काम में डुबकी लगाने में खुशी हुई - लेकिन केवल एक अपरिचित भाषा और जानकारी की असामान्य प्रस्तुति के कारण एक ठहराव पर था। परिभाषाओं ने कई पन्नों को फैलाया, उसके बाद एक ही लंबे बयानों के साथ प्रमेय, और उनके प्रमाण जैसे वाक्यांशों में वर्णित किए गए जैसे "तुरंत परिभाषा से अनुसरण करता है"।

"हर बार जब मैं एक विशेषज्ञ (अनौपचारिक) द्वारा मोचीज़ुकी के काम के विश्लेषण के बारे में सुनता हूं, तो उनकी समीक्षा अपमानजनक रूप से परिचित है: तुच्छ चीजों के व्यापक क्षेत्र, उसके बाद अनजाने निष्कर्षों के विशाल पहाड़ों, " कंगारी ने दिसंबर में अपने ब्लॉग में लिखा था।

शोलेज़ काम के पहले पाठकों में से एक थे। वह गणित को जल्दी से अवशोषित करने में सक्षम होने के लिए जाना जाता है, इस पर गहराई से प्रकाश डालता है, इसलिए वह कई सिद्धांतकारों की तुलना में आगे बढ़ गया, और अपनी उपस्थिति के कुछ ही समय बाद उन्होंने चार मुख्य कार्यों का "मोटा पढ़ना" कहा। शॉर्ट प्रूफ के साथ शोले को लंबे प्रमेयों में उलझा दिया गया, जो उसे सही लगा, लेकिन निराधार था। बाद में उन्होंने लिखा कि दो मध्यवर्ती कार्यों में, "थोड़ा हो रहा है।"

फिर अपने तीसरे काम में शोले को कोरोलरी 3.12 मिला। गणितज्ञ आमतौर पर "परिणाम" शब्द का उपयोग एक प्रमेय को निरूपित करने के लिए करते हैं जो पिछले एक के लिए माध्यमिक है, अधिक महत्वपूर्ण है। लेकिन मोतीझुकी से 3.12 कोरोलरी के मामले में, गणितज्ञ सहमत हैं कि यह एबीसी-परिकल्पना साबित करने के लिए मुख्य प्रमेय है। इसके बिना, "कोई सबूत नहीं है, " कालेगारी ने लिखा । "यह एक महत्वपूर्ण कदम है।"

यह कोरोलरी दो मध्यवर्ती कार्यों में एकमात्र प्रमेय है, जिसका प्रमाण कुछ पंक्तियों से अधिक है - यह नौ पृष्ठों को फैलाता है। उनके पास से गुजरते हुए, शोलज़े उस बिंदु पर पहुँचे, जिस पर वह अब तर्क का पालन नहीं कर सकता था।

उस समय वह केवल 24 वर्ष के थे, और उन्होंने माना कि प्रमाण गलत था। लेकिन उन्होंने व्यावहारिक रूप से कामों की चर्चा में प्रवेश नहीं किया, जब तक कि उनसे सीधे उनके बारे में नहीं पूछा गया। आखिरकार, उन्होंने सोचा, अन्य गणितज्ञों को इन कार्यों में महत्वपूर्ण विचार मिलने की संभावना है जो उन्होंने याद किए। या शायद वे अंततः उसी नतीजे पर पहुंचेंगे। एक तरीका या दूसरा, उनका मानना ​​था, गणितीय समुदाय यह पता लगाने में सक्षम होगा।

एस्चर की सीढ़ी

इस बीच, अन्य गणितज्ञों ने अगम्य कार्य का सामना करने के लिए संघर्ष किया। ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में 2015 के अंत में निर्धारित मोतीझुकी के काम के लिए समर्पित बैठक के लिए कई लोगों को उच्च उम्मीदें थीं। लेकिन जब मोतीझुकी के कई सहयोगियों ने सबूत के प्रमुख विचारों को समझाने की कोशिश की, तो दर्शकों पर "कोहरे के बादल" छा गए, जैसा कि कोनराड ने बैठक के तुरंत बाद रिपोर्ट में लिखा था। "जो लोग इस काम को समझते थे उन्हें अंकगणित ज्यामिति के विशेषज्ञों को सफलतापूर्वक समझाने की आवश्यकता थी जो इसके मूल में थे, " उन्होंने लिखा ।

अपने पद के बाद कुछ दिनों के भीतर, कॉनराड को तीन गणितज्ञों (जिनमें से एक शोलज़े थे) से अप्रत्याशित पत्र प्राप्त हुए, एक ही बात का वर्णन करते हुए: वे एक निश्चित बिंदु तक पहुंचने तक काम पढ़ और समझ सकते थे। कॉनराड ने बाद में लिखा , "तीनों में से प्रत्येक को साक्ष्य 3.12 ने रोक दिया।

किम ने एक अन्य गणितज्ञ, तेरुहिसा कोशिकावा से कोरोलरी 3.12 के बारे में इसी तरह की टिप्पणी सुनी, जो क्योटो विश्वविद्यालय में काम करता है। इस जगह पर भी स्टाइलक्स लड़खड़ा गया। धीरे-धीरे, संख्या सिद्धांत के कई विशेषज्ञों ने सीखा कि यह परिणाम एक ठोकर बन गया, लेकिन यह स्पष्ट नहीं था कि उनके प्रमाण में कोई छेद था या मोतीझुकी को अपने तर्क को बेहतर ढंग से समझाने की जरूरत थी।

फिर 2017 में, कई सिद्धांतकारों के डर से, अफवाहें चलीं कि मोचीज़ुकी के कार्यों को प्रकाशन के लिए स्वीकार किया गया था। मोचीज़ुकी स्वयं इस पत्रिका के प्रधान संपादक थे, पब्लिकेशन्स फॉर द रिसर्च इंस्टीट्यूट फॉर मैथमेटिकल साइंसेज । कलीगारी ने इस स्थिति को " खराब दिखना" कहा (हालांकि ऐसी स्थितियों में संपादकों को आमतौर पर निर्णय लेने से बाहर रखा जाता है)। लेकिन सभी गणितज्ञ चिंतित थे कि काम अभी भी अपठनीय था।


अपने सबूत पर 2015 सम्मेलन में वीडियो कॉलिंग पर शिनिची मोतीज़ुकी

शिकागो विश्वविद्यालय के मैथ्यू एमर्टन ने लिखा , "सबूतों को समझने का दावा करने वाला एक भी विशेषज्ञ ऐसा नहीं कर सका है, जो भ्रमित हो रहे कई विशेषज्ञों में से किसी को भी समझा सके।"

कालेगारी ने इस स्थिति को " पूर्ण विफलता " के रूप में वर्णित करते हुए एक लेख लिखा , और प्रमुख सिद्धांतकारों ने उनकी बात को उठाया। "हमारे पास एक हास्यास्पद स्थिति है जिसमें एबीसी को क्योटो में एक प्रमेय और अन्य सभी स्थानों में एक परिकल्पना माना जाता है," कालेगारी ने लिखा।

PRIMS पत्रिका ने जल्द ही एक बयान के साथ प्रेस अनुरोधों का जवाब दिया, जिसमें यह बताया कि प्रकाशन के लिए काम स्वीकार नहीं किया गया था। हालांकि, इससे पहले भी, शोलज़ ने सार्वजनिक रूप से यह तय करने का फैसला किया था कि उन्होंने कई सिद्धांतकारों से निजी बातचीत में लंबे समय तक कहा था। उन्होंने तय किया कि सबूतों की यह सारी चर्चा "बहुत सामाजिक थी।" "सभी ने कहा कि यह सबूत ऐसा नहीं लगता है, लेकिन किसी ने भी नहीं कहा:" एक जगह है जहां कोई भी सबूत नहीं समझा। "

रिकॉर्ड पर टिप्पणियों में, कलगी शोलज़े ने लिखा है कि वह अंजीर के बाद तर्क का पालन नहीं कर सकता है। कोरोलरी 3.12 के प्रमाण में 3.8 ”। उन्होंने कहा कि गणितज्ञों, "सबूत को समझने का दावा करते हुए, यह स्वीकार नहीं करना चाहते हैं कि कुछ को वहां जोड़ा जाना चाहिए।"

फील्ड्स प्राइज़ के विजेता क्योटो विश्वविद्यालय के मोतीज़ुकी के एक सहयोगी शिगफुमी मोरी ने मोत्ज़ुकी के साथ बैठक की व्यवस्था करने के प्रस्ताव के साथ शॉल्ज़ को लिखा था। स्कोल्ज़ ने बदले में, स्टाइक्स से संपर्क किया, और मार्च में दंपति ने क्योटो की यात्रा की और मोचीज़ुकी और होशी के साथ ठोकर खाने के बारे में चर्चा की।

एचिसी परिकल्पना के लिए मोचीज़ुकी का दृष्टिकोण समस्या को अण्डाकार वक्रों के क्षेत्र में ले जाता है , एक विशेष प्रकार का घन समीकरण जिसमें दो चर, x और y होते हैं। मोचीज़ुकी से पहले भी ज्ञात यह संक्रमण सरल है - आपको प्रत्येक एबीसी-समीकरण को एक अण्डाकार वक्र के साथ जोड़ना होगा, जिसका ग्राफ बिंदु x, b और मूल पर x अक्ष को काटता है - हालाँकि, यह गणितज्ञों को दीर्घवृत्त वक्रों की समृद्ध संरचना का उपयोग करने की अनुमति देता है जो संख्या सिद्धांत को जोड़ती है। ज्यामिति, अभिन्न संकेतन और अन्य क्षेत्र। ( एंड्रयू विल्स द्वारा 1994 के फ़र्मेट के ग्रेट प्रमेय के प्रमाण के केंद्र में वही मार्ग है।)

परिणामस्वरूप, एबीसी-परिकल्पना अण्डाकार वक्रों से जुड़ी दो मात्राओं के बीच असमानता को कम करने के लिए साबित होती है। मोतिज़ुकी का काम इस असमानता को अभी तक एक और रूप में तब्दील करता है, जैसा कि स्टाइलएक्स ने कहा, दो सेटों के संस्करणों की तुलना के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। कोरोलरी 3.12 में, वह अपनी इस असमानता का प्रमाण प्रस्तुत करता है, जो यदि सही है, तो एबीसी-परिकल्पना साबित होगी।

प्रमाण में, जैसा कि स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स वर्णन करते हैं, दो सेटों के संस्करणों को माना जाता है जैसे कि वे वास्तविक संख्याओं की दो अलग-अलग प्रतियों के अंदर होते हैं, जिन्हें वास्तविक संख्याओं की छह अलग-अलग प्रतियों के एक चक्र के हिस्से के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, और प्रत्येक प्रतिलिपि से संबंधित है, यह बताने के लिए एक मार्कअप दिया जाता है। एक मंडली में उसका पड़ोसी। एक दूसरे के साथ सेट के संस्करणों के बीच संबंध को ट्रैक करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि एक कॉपी में माप कैसे अन्य प्रतियों में माप से संबंधित हैं, जैसा कि स्टाइलक्स ने कहा है।

"यदि आपके पास दो वस्तुओं की असमानता है, लेकिन एक ही समय में मापक शासक को कई बार संकुचित किया जाता है, जो आपके नियंत्रण से परे है, तो आप इस पर नियंत्रण खो देते हैं कि असमानता का क्या मतलब है।"

स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स का मानना ​​है कि यह सबूत के इस महत्वपूर्ण क्षण में है कि सब कुछ ढह जाता है। मोचीज़ुकी चिह्नों में, मापने वाली रेखाएं तार्किक रूप से एक दूसरे के साथ संगत होती हैं। लेकिन जब आप सर्कल के चारों ओर जाते हैं, तो स्टाइक्स ने कहा, आपके पास एक शासक है जो उस तरह नहीं है जैसे कि आप दूसरे रास्ते पर जाएंगे। इस स्थिति में, उन्होंने कहा, प्रसिद्ध एस्चर की बंद सीढ़ी जैसा दिखता है, जहां आप चढ़ सकते हैं और फिर अपने आप को उसी स्थान पर पा सकते हैं [अधिक सही ढंग से, यह पेनरोज सीढ़ी है , जिसके आधार पर एस्चर ने एक प्रसिद्ध ड्राइंग / टिप्पणी की है। ट्रांस।]।

स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स ने निष्कर्ष निकाला कि मात्रा माप की यह असंगति का मतलब है कि गलत मूल्यों की तुलना असमानता में की जाती है। और अगर आप सब कुछ समायोजित करते हैं ताकि वॉल्यूम तुलनीय हो जाए, तो असमानता व्यर्थ हो जाती है, वे कहते हैं।

शोलेज़ और स्टाइलक्स ने "एक विशिष्ट कारण जो प्रमाण काम नहीं करता है," सैन डिएगो में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ कीरन केडलाया ने कहा, जिन्होंने मोतीझुकी के काम का विस्तार से अध्ययन किया। "तो, अगर प्रमाण सत्य है, तो इसे कुछ और के साथ काम करना चाहिए, कुछ कम स्पष्ट के साथ" जो स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स का वर्णन करता है।

मोचिज़ुकी का दावा है कि यह वास्तव में कुछ कम स्पष्ट की उपस्थिति है। वह लिखते हैं कि स्कोल्ज़ और स्टाइलेक्स को गणितीय वस्तुओं के समान रूप से समझने में गलती की जाती है जिन्हें अलग माना जाना चाहिए। जब उन्होंने अपने सहयोगियों को स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स की आपत्तियों के सार के बारे में बताया, तो वे लिखते हैं, उनका वर्णन "उल्लेखनीय रूप से सार्वभौमिक आश्चर्य और यहां तक ​​कि अविश्वास (और बाद में उपहास किया गया था) से मिला था कि इस तरह की एक अविश्वसनीय गलतफहमी पैदा हो सकती है"।

अब, गणितज्ञों को स्कोल्ज़ और स्टाइलक्स के तर्क और मोचिज़ुकी के जवाब को पचाने की आवश्यकता होगी। शॉल्ज़ को उम्मीद है कि मोतीज़ुकी के शुरुआती कार्यों के साथ स्थिति के विपरीत, यह प्रक्रिया लंबे समय तक नहीं रहेगी, क्योंकि स्टाइक्स ऑफ़ आपत्तियों के साथ उनकी प्रकृति इतनी तकनीकी रूप से जटिल नहीं है। अन्य सिद्धांतकार "बिना किसी समस्या के मोतीझुकी के साथ हमारी चर्चा की पंक्ति का पालन करने में सक्षम होना चाहिए," उन्होंने कहा।

Mochizuki सभी पूरी तरह से गलत लगता है। उनके दृष्टिकोण से, स्कोल्ज़ और स्टायलेक्स की आलोचना "समय की कमी से चर्चा की गई गणित को ठीक से समझने के लिए" आती है, जो संभवतः "गहरी गणितीय असुविधा की भावना, या परिचित गणितीय वस्तुओं के बारे में सोचने के एक नए तरीके से अपरिचित" के कारण है।

किम ने कहा कि गणितज्ञ, मोतीझुकी के प्रमाण से भी आशंकित हैं, यह अच्छी तरह से तय हो सकता है कि शोलेज़ और स्टाइलक्स रिपोर्ट इस कहानी का अंत कर देती है। अन्य अपने दम पर रिपोर्टों का अध्ययन करना चाहते हैं, और यह, किम का मानना ​​है, पहले से ही शुरू हो गया है। उन्होंने कहा, "मुझे नहीं लगता कि मैं खुद के लिए कुछ तय करने से पहले सब कुछ जांचने की जरूरत से बचूंगा।"

पिछले कुछ वर्षों में, कई संख्या सिद्धांत विशेषज्ञों ने मोतीज़ुकी के काम को समझने की कोशिश करना बंद कर दिया है। लेकिन अगर मोचीज़ुकी या उनके अनुयायी एक विस्तृत और सुसंगत स्पष्टीकरण दे सकते हैं कि शोलज़ और स्टाइलक्स की तस्वीर बहुत सरल क्यों है (यदि ऐसा है), "यह इस मुद्दे से जुड़ी थकान को दूर करने के लिए बहुत कुछ कर सकता है और लोगों को नए प्रयास करने के लिए प्रेरित कर सकता है," - केदला ने कहा।

इस बीच, शोलज़े कहते हैं: "मुझे लगता है कि इसे साक्ष्य के रूप में नहीं लिया जा सकता है जब तक कि मोचीज़ुकी एक गंभीर बदलाव नहीं करता है और कुंजी कदम को बहुत बेहतर बताता है।" वह खुद, अपने शब्दों में, "एक महत्वपूर्ण विचार नहीं देखता है जो हमें एबीसी परिकल्पना के प्रमाण के करीब ला सकता है"।

चर्चा के परिणाम के बावजूद, मोचीज़ुकी के लिए एक विशेष स्थान का स्पष्ट पदनाम स्पष्ट रूप से चीजों को स्पष्ट करना चाहिए, किम ने कहा। "जैकब और पीटर ने जो किया वह समुदाय के लिए बहुत महत्वपूर्ण सेवा है," उन्होंने कहा। "चाहे कुछ भी हो जाए, मुझे यकीन है कि ये रिपोर्ट एक निश्चित प्रकार की प्रगति होगी।"