अभाज्य और अपरिमेय संख्याओं के संबंध पर

अभाज्य संख्याओं पर मेरे कुछ शोध के बाद, मुझे तर्कहीन संख्याओं के साथ एक दिलचस्प संबंध मिला। यह कनेक्शन इस सवाल का जवाब देता है कि क्यों अभाज्य संख्याएँ इतनी "अव्यवस्थित" हैं और वे इतनी जटिल क्यों हैं। कटौती के तहत इस कनेक्शन की व्याख्या और बेहतर आरएसए एल्गोरिथ्म का एक संस्करण है।

परिचय

सेट पर विचार करें $$$\ lbrace 2n + 3m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ । अब इसे व्यवस्थित करने का प्रयास करें। यही है, पिछले एक को जानते हुए, n और m की अगली जोड़ी को खोजने का एक तरीका खोजें। जाहिर है: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 और 2 + 2> 3, 2 <3। इस प्रकार, संख्याओं के जोड़े इस प्रकार वितरित किए जाते हैं:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5 , 0) ...

ध्यान दें कि क्रम और, तदनुसार, संख्याओं की अगली जोड़ी प्राप्त करने का तरीका स्पष्ट रूप से पता लगाया गया है। कोई समस्या नहीं है और कार्य तुच्छ है।
अब सेट पर विचार करें $$$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$ । दुर्भाग्य से या सौभाग्य से, लेकिन इस सेट को पिछले एक के रूप में अर्थ में आदेश नहीं दिया जा सकता है:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3 , 1), (0,3) ...

यदि आप तय करते हैं कि आपको सटीक क्रम मिल गया है, तो इन जोड़ियों को आगे समाप्त करें और देखें कि यह टूट गया है। संख्याओं के इन युग्मों का "अराजकता" सीधे संख्या की तर्कहीनता से संबंधित है $$$\ pi$ 1761 में जोहान लैम्बर्ट द्वारा साबित। दरअसल, एक पंक्ति में जोड़े को पंक्तिबद्ध करने के लिए, हम पहले लंबाई 2 के एक खंड को लंबाई के एक खंड में फिट करने का प्रयास करते हैं $$$\ pi$ । हम प्राप्त शेष राशि को लंबाई 2 के एक खंड में डालने की कोशिश कर रहे हैं। यह केवल एक बार फिट होगा। इसका मतलब यह है कि हमारा शेष भाग पहले से ही लंबाई के खंड पर अपनी भूमिका निभाएगा $$$2 \ pi$ , जहां यह लंबाई 2 के दो खंडों में फिट नहीं होगा, लेकिन तीन। इस तरह के ऑपरेशन को आगे बढ़ाते हुए, यह स्पष्ट हो जाता है कि जैसे ही हमें यह आभास होगा कि हमें ऑर्डर मिल गया है, यह निश्चित संख्या में चरणों में टूट जाएगा। अंतिम के बाद से, अभी तक उपयोग नहीं किया गया है, शेष राशि जल्द ही या बाद में अपनी भूमिका निभाएगी और क्रम बदल जाएगा। इसलिए, इस समस्या के लिए एक "अच्छा" एल्गोरिथ्म खोजने का सवाल खुला रहता है।

कुछ परिभाषाएँ

चलो $$$(\ mathbb {R}, +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0}, \ oplus)$ जहाँ $$$च$ - एक समरूपतावाद ऐसा है कि:
$$$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
और, तदनुसार, के लिए $$$जी$ - के विपरीत $$$च$ :
$$$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$ ।
अब हम अपने हित के सेट को परिभाषित करते हैं:
$$$W _ {\ _ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ dots + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}, a_ {m} \ in \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$
$$$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subset \ mathbb {R} _ {> 0}$
और रहने दो $$$F (x, y) = f (x) + f (y)$ । तब:
$$$g (F (x, y)) = x \ oplus y$
और $$$\ mathbb {T}$ - सेट की छवि $$$W _ {\ _ oplus}$ प्रदर्शित करना $$$जी$ ।
और अंत में $$$\ mathbb {P} _ {\ _ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ _ forall w_ {1}, w_ {2} \ _ \ _ \ _ oplus}, g (w_ {1} + में) w_ {2}) \ neq p \ rbrace$ - ऑपरेशन के लिए कई प्राइम नंबर $$$\ _ निष्कर्ष$ ।
अब एक परिचित उदाहरण से इन परिभाषाओं को स्पष्ट करना आसान है। गुणन के संचालन के लिए, $$$f (x) = log_ {2} (x)$ । बहुत कुछ $$$डब्ल्यू$ क्या वह $$$log_ {2} (\ mathbb {N})$ । यह रोकने और समझाने के लायक है कि यह क्यों महत्वपूर्ण है।

कनेक्शन ही

वास्तव में, एक आइसोमोर्फिज्म का उपयोग करते हुए, हमने पाया कि प्रिम्स के बारे में सभी समस्याओं की जटिलता लॉगरिदम के बारे में समस्याओं के बराबर है जो तर्कहीन हैं। यही है, जैसा कि हमने उदाहरणों में संख्याओं के समूह के साथ देखा है $$$\ pi$ और 2, यह तर्कहीनता है जो अराजकता लाती है। तो यह यहाँ है, लॉगरिथम की तर्कहीनता लगभग अराजक तरीके से संख्या रेखा पर primes वितरित करती है। उदाहरण के लिए, एक सेट में n और m जोड़े को आदेश देने में कठिनाई होती है, $$$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$ । दूसरे शब्दों में, एक संख्या की सादगी सीधे पर निर्भर करती है, उदाहरण के लिए, संख्या में कुछ दशमलव स्थान $$$log_ {2} 3$ । लेकिन हमने न केवल गुणन के लिए, बल्कि सामान्य रूप से एक मनमाना बाइनरी ऑपरेशन के लिए अभाज्य संख्याओं को परिभाषित किया है। मैंने यह दिखाने के लिए ऐसा किया कि हमारे अपराध किसी भी तरह से अद्वितीय नहीं हैं।

आरएसए

बाइनरी ऑपरेशन के लिए x + xy + y:
$$$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$ ।
इस सेट की यादृच्छिकता प्राकृतिक संख्याओं पर आइसोमोर्फिज़्म के तर्कहीन मूल्यों की विशेषता है। इसके अलावा, isomorphism प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है। यहां, ऑपरेशन द्वारा, हमने अन्य अपराधों का निर्माण किया जिसका वितरण स्पष्ट रूप से सामान्य अपराधों के वितरण पर निर्भर नहीं करता है। यह हमें मनमाने ढंग से बाइनरी ऑपरेशन पर आरएसए का निर्माण करने में सक्षम बनाता है ताकि आइसोमोर्फिज्म तर्कहीन हो। आखिरकार, क्रिप्टोकरंसीज़ के लिए लघुगणक का कार्य बहुत अच्छा है। और यहाँ वह बिल्कुल अप्रत्याशित तरीके से व्यवहार करती है। यह संभव है, और इसके विपरीत, एक आइसोमोर्फिज्म का निर्माण करना जिसके द्वारा एक कम्यूटेटिव बाइनरी ऑपरेशन निर्धारित किया जाएगा।

एक आधार के रूप में मनमाना अपराधों को लेते हुए, हम एक मिश्रित संख्या को एक निर्धारित सेट से अन्य दो के योग में लगभग मनमाने ढंग से अपरिमेय संख्या को विघटित करने की समस्या में बदल देते हैं। कुछ मुझे बताता है कि यह कार्य कक्षा एनपी का होना चाहिए।

निष्कर्ष में

मानव जाति ने अभी तक अपराधों के बारे में कई समस्याओं को हल नहीं किया है, क्योंकि गणित समान समस्याओं की एक अनंत संख्या को फेंकता है। यह स्वाभाविक रूप से आश्चर्य होगा कि इसके बारे में क्या करना है। मेरा सुझाव नंबर थ्योरी से सभी प्रमेयों पर विचार करना है, इसके अलावा और गुणा के लिए नहीं, बल्कि इसके अलावा और प्राकृतिक संख्याओं पर बंद किए गए एक मनमाने ढंग से कम्यूटरी बाइनरी ऑपरेशन के लिए। फिर अपराधों के बारे में प्रत्येक कथन ऑपरेशन के कुछ गुणों का एक परिणाम होगा। उदाहरण के लिए, अपराधों की अनंतता ऑपरेशन की एकरसता और इसके तेजी से विकास का परिणाम होगी। लेकिन यह एक अलग लेख के लिए एक विषय है। आपका ध्यान के लिए धन्यवाद।