पुस्तक “गणितीय अराजकता। प्राथमिक गणित से लेकर उदात्त अंश तक ”

क्या आप ब्रह्मांड की तुलना में कुछ बड़ी कल्पना कर सकते हैं, लेकिन उसी समय चुपचाप अपने सिर में रख सकते हैं? यह क्या है? इन्फिनिटी! यूजेनिया चेंग हमें सबसे रहस्यमय गणितीय सार को समझने के लिए एक अद्भुत गणितीय यात्रा पर भेजता है। कुछ संख्याओं को गिनना असंभव क्यों है? अनंत + 1 क्यों नहीं 1 + अनंत के समान है? हम ग्रैंड होटल के विरोधाभास के बारे में जानेंगे, हम एक शतरंज की बिसात का उपयोग करके 7 बिलियन लोगों को खिला पाएंगे, और यहां तक ​​कि आटे के एक छोटे (अंतिम) टुकड़े से अनंत संख्या में कुकीज़ प्राप्त कर सकते हैं। यह सब हमें इस तरह के एक अजीब और रहस्यमय अमूर्त गणित को समझने और प्यार करने की अनुमति देगा। विशाल और अनंत ब्रह्मांड के बारे में अविश्वसनीय पुस्तक आकर्षक और पेचीदा है, जिसमें दिखाया गया है कि कैसे एक छोटे गणितीय प्रतीक में एक विशाल विचार होता है।

अंश। असीम रूप से छोटा

कुछ चीजों में से एक जिसे मैं अभी अपने सामने देख सकता हूं, गणितीय विश्लेषण से इसका कोई लेना-देना नहीं है - यह मेरी डेस्क है। गणितीय विश्लेषण की उपस्थिति से बहुत पहले तालिका मौजूद थी, हालांकि, यह विशेष तालिका Ikea कारखाने में बनाई गई थी, जो बिल्कुल सटीक रूप से अपने उत्पादन में गणितीय विश्लेषण का उपयोग करती है। मैं यह कहना चाहता हूं कि अनंतता का अध्ययन हमारी दुनिया के बाहर और भीतर कुछ भी प्रतीत हो सकता है, शाब्दिक रूप से और आलंकारिक रूप से ("लाक्षणिक रूप में" मेरे एक मित्र को मजाक करना पसंद है), लेकिन अंततः यह हमें गणितीय विश्लेषण की ओर भी ले जाता है, जो हमारे जीवन का अभिन्न अंग है।

इस सब के लिए प्रारंभिक बिंदु उन वस्तुओं पर प्रतिबिंब है जो "असीम रूप से एक दूसरे के करीब हैं।" जब हम कंप्यूटर पर एक वृत्त खींचते हैं या O अक्षर टाइप करते हैं, तो वे चिकने और समान दिखते हैं। लेकिन अगर हम छवियों को करीब से देखते हैं, तो वे पिक्सेलेटेड हो जाते हैं। यह मेरे कंप्यूटर स्क्रीन पर बड़े पैमाने पर ओ अक्षर है।


हम एक सर्कल के रूप में छोटे छोटे छोटे छोटे भाग को देखते हैं। मेरे कंप्यूटर ने ध्यान से एक सर्कल बनाया, उसने कुछ डॉट्स ग्रे जोड़े। एक कंप्यूटर अन्यथा नहीं कर सकता है, क्योंकि यह परिमित मात्रा और निश्चित आकार में केवल व्यक्तिगत बिंदुओं को समझने और संसाधित करने में सक्षम है।

हमारे मस्तिष्क के बारे में क्या? गणितीय विश्लेषण का अर्थ यह है कि हमारा मस्तिष्क, सिद्धांत रूप में, अधिक सक्षम है: हम बड़ी संख्या में वस्तुओं को देख सकते हैं और उन्हें संसाधित कर सकते हैं, भले ही वे असीम रूप से छोटे हों। यह वह विषय है जिस पर अब हम अध्ययन करेंगे।

मैंने एक बार पार्क स्ट्रीट में एक कैंब्रिज प्राथमिक विद्यालय में गणित में मदद की थी। मुझे दो छह साल के बच्चों को समरूपता समझानी पड़ी। पहले तो मैंने उन्हें कई त्रिभुजों पर समरूपता की रेखाएँ बनाने को कहा, फिर एक वर्ग पर, फिर एक पंचकोण पर, फिर एक षट्कोण पर। सबसे मजेदार बात यह थी जब बच्चों में से एक ने कहा: "मुझे पता है कि एक ऑक्टाहेड्रोन के आठ पक्ष हैं, क्योंकि" ऑक्टाहेड्रोन "शब्द एक ऑक्टोपस की तरह दिखता है। अंत में, मैंने उन्हें एक चक्र दिया। दोस्तों में से एक ने एक सर्कल पर इस तरह की रेखा को आकर्षित किया:


आगे यह और भी मजेदार हो गया। पहले बच्चे ने कहा: "उनमें से सैकड़ों हैं!", और दूसरे ने कहा: "एक मिलियन हैं!", जिसके बाद पहली टिप्पणी की: "आप इन लाइनों को अपने पूरे जीवन में आकर्षित कर सकते हैं और कभी खत्म नहीं कर सकते!", फिर एक विराम था, जिसके बाद दूसरा बच्चा उठा। पेंसिल, उनके साथ पूरे वृत्त पर चित्रित और कहा: “देखो! मैं कर रहा हूँ! ”

मैं उलझन में था, लेकिन यह स्वीकार करने के लिए मजबूर किया गया कि वे दोनों सही थे। आप अपने पूरे जीवन को सममिति की रेखाओं को एक वृत्त पर बिता सकते हैं और कभी भी समाप्त नहीं कर सकते, क्योंकि उनकी अनंत संख्या है। वास्तव में, वे अनगिनत अंतहीन हैं। हम इसे सत्यापित कर सकते हैं। कल्पना करें कि हमने निर्धारित किया है कि समरूपता की रेखा कहाँ चलती है, कोण को स्थापित करना जो इसे क्षैतिज के साथ बनाता है।



हम 0 से 180 ° या रेडियन में - 0 से 0 तक कोई भी कोण ले सकते हैं। यदि कोण बड़ा है, तो लाइन पहले से ही खींची गई चीजों में से एक को दोहराएगी:



किसी भी वास्तविक संख्या को 0 से 180 तक ले जाएं, और इसका पूर्णांक या तर्कसंगत संख्या होना आवश्यक नहीं है। हम पहले से ही जानते हैं कि 0 से 180 तक अनगिनत वास्तविक संख्याएं हैं।

हमारे पास सर्कल पर समरूपता की अनगिनत लाइनें होंगी, लेकिन यदि आप पूरे सर्कल पर पेंट करते हैं, तो आप वास्तव में उन सभी पर पेंट करेंगे। शायद अब आपने सोचा कि यह एक घोटाले की तरह था, क्योंकि समरूपता की वास्तविक रेखाएं सर्कल के केंद्र में कई बार असीम रूप से अंतर करना चाहिए, और हमारे केंद्र में असीम रूप से पेंसिल की कई परतें हैं। लेकिन अगर हम केंद्र पर ध्यान नहीं देते हैं, लेकिन बस सममिति की रेखाओं से स्पर्श किए गए सर्कल के किनारे के साथ बिंदुओं को चिह्नित करने का प्रयास करते हैं, तो यह सर्कल के किनारे के साथ एक पेंसिल खींचने के लिए पर्याप्त होगा। क्या हम इस तरह से बड़ी संख्या में अंकों को आकर्षित करेंगे? क्या इस पंक्ति में अनंत रूप से बड़ी संख्या में बिंदु होंगे?

यदि हां, तो वे कितने दूर स्थित हैं? और अगर उनमें से एक परिमित संख्या है, तो कितने हैं?

अनंत द्वारा विभाजन

यदि हम रेखा को अधिक से अधिक खंडों में विभाजित करते हैं, तो खंड छोटे और छोटे हो जाते हैं। क्या हम इस तरह से एक बड़ी संख्या में खंडों को विभाजित कर सकते हैं? मैं कहना चाहता हूं कि क्या हम किसी चीज को अनंत रूप से विभाजित करके उसे असीम रूप से छोटा बना सकते हैं।

एक लॉटरी की कल्पना करें जिसमें सभी वास्तविक संख्याएं गिर सकती हैं। लॉटरी ड्रम में अनंत संख्या में गेंदें होंगी, लेकिन उनमें से प्रत्येक एक निश्चित परिमित संख्या का संकेत देगा। इस मामले में, जीतने की संभावना बल्कि अजीब होगी। आमतौर पर ब्रिटेन में लॉटरी में 59 में से 6 बॉल बाहर जाती हैं। लगभग 45 मिलियन संयोजन हैं, और इन सभी संयोजनों की समान रूप से संभावना है। जीतने का आपका मौका 1: 45 मिलियन है। यह एक बहुत छोटी संख्या है (लगभग 0.00000002), लेकिन 0 नहीं; हालांकि यह मुझे लगता है कि यह 0 के करीब है, यह वास्तव में माना जा सकता है। 0. यदि आप इसे संभावित संयोजनों की कुल संख्या (45 मिलियन) से फिर से गुणा करते हैं, तो आपको 1 मिलता है, जो बिल्कुल सच है, क्योंकि यह खरीदने पर जीतने की संभावना होगी सभी लॉटरी टिकट।

अनंत लॉटरी में अनंत संख्या में संयोजन होते हैं, इसलिए आपके जीतने का मौका "1 से अनंत" होगा। इसे एक अंश के साथ कैसे व्यक्त करें? इसका उत्तर 0 से अधिक नहीं हो सकता है, क्योंकि यदि यह 0 से अधिक था, तो, इसे संभावित परिणामों (कुल) की कुल संख्या से फिर से गुणा करके, हम 1 से अधिक संख्या प्राप्त करते हैं। क्या इसका मतलब यह है कि जीतने की संभावना 0 है? लेकिन कोई वास्तव में हर बार जीत सकता है। आप ठीक से ध्यान दे सकते हैं कि व्यवहार में ऐसी लॉटरी असंभव है, लेकिन आपका यह तर्क इस विरोधाभास को रद्द नहीं करता है। हिल्बर्ट होटल के साथ सब कुछ ठीक वैसा ही है: तथ्य यह है कि इस तरह के होटल में मौजूद नहीं है कि विरोधाभास को रद्द नहीं कर सकता है।

हम फिर से बहस करते हुए अनंत को खोजने के अपने पहले प्रयासों में से एक में लौट आए


हम जानते हैं कि ऐसा समीकरण विरोधाभास को जन्म देता है यदि हम दोनों पक्षों को 0. से गुणा करने का प्रयास करते हैं, लेकिन अब हम यह कहना चाहते हैं कि अनंत द्वारा विभाजन 0 या देता है।


अब हम पहले से ही अनंत के बारे में अधिक जानते हैं और तुरंत देखते हैं कि इस समीकरण में कुछ गड़बड़ है। यहां समस्या यह है कि जिस तरह से हमने अनंत को खोजने की कोशिश की, अर्थात् वस्तुओं के अनंत सेट का उपयोग करके, अनंत द्वारा विभाजन नहीं किया। इस मामले में सही गणितीय उत्तर होना चाहिए: “तो ठीक है, चलो कोशिश करते हैं! अगर हमने अभी तक ऐसा नहीं किया है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह असंभव है। ”

आइए हम वैसा ही करने का प्रयास करें जैसा हमने घटाव के साथ किया था। आइए इस विचार पर वापस जाएं कि आसपास सब कुछ वस्तुओं की एक भीड़ है। यह गिनती की छड़ें गिनने जैसा है: आप आधे में एक गिनती की छड़ी को नहीं तोड़ सकते हैं (बहुत से बच्चों के विनाश के लिए)। यदि हम बहुत सारी प्राकृतिक संख्याएँ लेते हैं, तो हम इसे आंशिक रूप से कम नहीं कर सकते हैं।

याद रखें, जब हमने अनंत के माध्यम से घटाव को व्यक्त करने की कोशिश की, तो हमने बच्चों के तर्क को याद किया: 6 - 3 का अर्थ है "मुझे 3 से 6 तक वापस जाने के लिए कितना गिनना चाहिए"। दूसरे शब्दों में, हमने इस समीकरण को हल किया: 3 + x = 6।

अब 6 लेते हैं। 3. हम दो अलग-अलग तरीकों से 6: 3 को देख सकते हैं।

• 6 में 3 कितनी बार फिट होती है? दूसरे शब्दों में, मुझे 6 पाने के लिए कितनी बार अपने आप को 3 जोड़ना होगा? यह इस समीकरण को हल करने के समान है: 3 × x = 6।
• क्या संख्या 6 बिल्कुल तीन बार फिट होती है? दूसरे शब्दों में, 6 प्राप्त करने के लिए मैं खुद को तीन बार किस संख्या में जोड़ सकता हूं? यह इस समीकरण को हल करने के समान है: x × 3 = 6।

दोनों मामलों में, उत्तर 2 होगा, क्योंकि ये फॉर्म्युलेशन कोई फर्क नहीं पड़ता अगर हम परिमित संख्याओं के बारे में बात कर रहे हैं। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि अनंत के साथ यह इतना सरल नहीं है। उदाहरण के लिए, 3 अनंत बार जोड़ना अनंत के तीन गुना जोड़ने के समान नहीं है। यानी 3 × ω ≠ ω × 3।

आइए अपने आप से सवाल पूछें: "ω पाने के लिए मुझे अपने आप से कितनी बार 3 जोड़ना होगा?" उत्तर: ω कल्पना कीजिए कि आप फिर से एक ऐसे व्यक्ति में बदल गए जो एक कतार में आंसू-टिकट वितरित करता है। लोग 3 लोगों के समूह में आते हैं। टिकटों के अंतहीन बंडल को समाप्त करने के लिए 3 लोगों के कितने समूह आने चाहिए? उत्तर: ω आप बस प्रत्येक समूह को 3 टिकट जारी करना जारी रखेंगे।

यदि हम दूसरी ओर देखते हैं: "can पाने के लिए मैं अपने आप को 3 बार किस संख्या में जोड़ सकता हूं?", तो इस मामले में कोई संभावित उत्तर नहीं है। यदि आप एक साथ 3 परिमित संख्याएँ जोड़ते हैं, तो उत्तर हमेशा परिमित रहेगा। यदि आप 3 अनंत संख्याओं को एक साथ जोड़ते हैं, तो उनमें से प्रत्येक कम से कम because (क्योंकि ω सबसे छोटी अनंत है) के बराबर होगा, और साथ में वे और भी बड़े होंगे, यह "अनंत और एक और दिन" की तरह है। हम फिर से आंसू-टिकट के उदाहरण के साथ इस पर विचार कर सकते हैं। यदि एक असीम रूप से पूर्ण बस आती है, तो आप इसके सभी अंतहीन बंडल आंसू-टिकट (कम से कम) अपने यात्रियों पर खर्च करेंगे। यदि इसके बाद एक और असीम रूप से पूर्ण बस आती है, तो आपको एक अलग रंग के टिकट के साथ एक पैकेट लेने के लिए मजबूर किया जाएगा।

ये दोनों प्रश्न "अनंत को 3 में विभाजित करने" के प्रयास थे, लेकिन उन्होंने हमें अलग-अलग उत्तर दिए। यह साबित करता है कि विभाजन, गुणा की तरह, अनंत होने पर सबसे अच्छा समाधान नहीं है, भले ही यह एक छोटे परिमित संख्या के द्वारा विभाजन हो। अगर इसके बजाय हम कुछ को अनंत में विभाजित करने की कोशिश करते हैं, तो सब कुछ और भी बदतर हो जाएगा। मान लें कि हम निम्नलिखित कार्य करना चाहते हैं: । फिर हमारे पास दो विकल्प होंगे। पहला: 1 पाने के लिए हमें कितनी बार how को अपने आप से जोड़ना होगा? यह स्पष्ट रूप से असंभव है, क्योंकि। बहुत अधिक है। दूसरा विकल्प: 1 प्राप्त करने के लिए हम अपने आप को किस संख्या में जोड़ सकते हैं? और फिर, यह बिल्कुल असंभव होगा।

उपरोक्त सभी के बावजूद, यह वास्तव में लगता है कि 1 को अनंत द्वारा विभाजित किया जाना चाहिए 0. के बराबर होना चाहिए। क्या यह कथन ऊपर पूछे गए प्रश्नों का एक उचित उत्तर हो सकता है? यदि हम times को खुद से 0 बार जोड़ते हैं, तो हमें कुछ भी नहीं मिलता है, इसलिए इस क्रिया का कोई मतलब नहीं है। यह 0 असीम रूप से पूर्ण बसों के साथ होगा, उनके लिए आपको आंसू-टिकटों की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है। दूसरे प्रश्न के रूप में: "क्या हम 1 प्राप्त करने के लिए खुद को get बार जोड़ सकते हैं?", तो 0 लोगों के मामले में सब कुछ ऐसा होगा जो अनंत बार लाइन में खड़े होते हैं। आपको फिर से उनके लिए किसी भी आंसू-टिकट की आवश्यकता नहीं होगी।

यहाँ हम दे सकते हैं और कह सकते हैं, “ठीक है, इसलिए "यह शून्य नहीं है।" या गणितज्ञों की तरह काम करने की कोशिश करें और कहें: "यह सब वास्तव में उचित लगता है, शायद हम इसे कुछ अन्य गणितीय अर्थ दे सकते हैं यदि हमारा तर्क अनंत सेटों पर आधारित नहीं है?" गणित के कार्यों में से एक यह लेना है कि क्या सहज रूप से सही लगता है, और इसे एक सटीक तार्किक व्याख्या दें। हमें इतनी आसानी से हार नहीं माननी चाहिए!

अनंत का फ्लिप पक्ष

शायद अब आप खुद से यह सवाल पूछ रहे हैं कि हम सिर्फ छोटे से छोटे और 0 के बराबर नहीं आ सकते हैं, क्योंकि इससे पहले कि मैंने कहा कि हम उनके बारे में सोचकर सिर्फ अमूर्त चीजें बना सकते हैं। गणितज्ञों ने पहले ही इस पद्धति का उपयोग करने की कोशिश की है, हालांकि यह निरर्थक लगता है (जैसे कि अनंत का विचार, जो तब भी व्यर्थ लगता है जब तक कि आप इसका गहन अध्ययन करना शुरू नहीं करते)। यह अनंत के फ्लिप पक्ष की तरह है। इन्फिनिटी किसी भी संख्या से अधिक है, और एक अनंत मूल्य किसी भी संख्या से कम है। यदि आप अपने आप में अनन्तता जोड़ते हैं, तो आप अनन्तता प्राप्त करेंगे, और यदि आप अपने आप में एक अनन्तमूलक मूल्य जोड़ते हैं, तो आप फिर से एक अपरिमित मूल्य प्राप्त करेंगे। और यदि आप एक अनंत राशि से अनंत गुणा करते हैं, तो आपको 1 मिलेगा, उदाहरण के लिए लॉटरी जीतने की संभावना के बारे में।

इस तरह का दृष्टिकोण हमारे पिछले "आविष्कार" अनंत के समान समस्याओं को जन्म देता है। यहां विशेष सटीकता के साथ या तकनीकी कौशल के साथ कार्य करना आवश्यक है, जैसा कि हमने पहले किया था, जब हम "अनंत" की अवधारणा की स्पष्ट परिभाषा तैयार करना चाहते थे, लेकिन जब से समस्याएं बहुत बार उठती हैं, तो उनके चारों ओर जाने की कोशिश करना अधिक सुरुचिपूर्ण होगा। यदि आपके रास्ते में चलने के दौरान एक बड़ा गंदा पोखर पकड़ा जाता है, तो आप या तो उस पर कदम रखते हैं, उम्मीद करते हैं कि जूते गीले नहीं होंगे, या इसके चारों ओर जाने की कोशिश करेंगे। (बेशक, कुछ लोग, विशेष रूप से बच्चे, पोखर के केंद्र पर सही कदम रखना पसंद करते हैं। गणित में भी ऐसा होता है।)

यहां बताया गया है कि अनन्तता द्वारा विभाजन की समस्या को सावधानीपूर्वक कैसे कम किया जाए। कल्पना करें कि आपको चॉकलेट केक को कई लोगों में विभाजित करने की आवश्यकता है। यदि आप इसे दो में विभाजित करते हैं, तो सभी को बहुत कुछ मिलता है। यदि आप तीन से विभाजित करते हैं, तो सभी को अभी भी बहुत कुछ मिलता है, लेकिन पहले मामले की तुलना में कम है। यदि ये चार लोग हैं, तो वे और भी कम प्राप्त करेंगे। अधिक लोग, उनमें से प्रत्येक को कम केक मिलता है। यदि लोगों की संख्या वास्तव में बहुत बड़ी हो जाती है, तो सभी के लिए एक दुखी केक साझा करने का प्रयास करना मूर्खतापूर्ण होगा। क्या आपने कभी एक केक को एक सौ लोगों में विभाजित करने की कोशिश की है? (वेडिंग केक में आमतौर पर कई रंग होते हैं, जो अनिवार्य रूप से अलग केक होते हैं।) एक हजार लोगों के बारे में क्या? और एक लाख? किसी बिंदु पर, जब बहुत सारे लोग होंगे, तो सभी को इतना छोटा टुकड़ा मिलेगा कि यह व्यावहारिक रूप से एक महत्वहीन राशि होगी, अर्थात लगभग कुछ भी नहीं।

यदि हमारे पास एक लाख लोग हैं और केवल एक केक है, तो तकनीकी रूप से हर किसी को अपना टुकड़ा मिलेगा - शायद, ये अरबों केक अणुओं के होंगे। लेकिन बाह्य रूप से, केक की मात्रा लगभग 0 के बराबर होगी, और लोगों की संख्या में वृद्धि के साथ, यह अधिक से अधिक 0. बढ़ेगा। इसलिए हमने इस विचार को गणितीय अर्थ दिया कि अनंत द्वारा विभाजन 0. देता है। वास्तव में, हम कभी भी अनंत से विभाजित नहीं होते हैं (इसलिए यह कोई सामान्य ज्ञान नहीं है)। अध्याय 11 में उल्लिखित उदाहरण से आइए, जब कुछ अनन्तता की ओर जाता है। हमने इस बात को विभाजित करने की कोशिश की कि अनंत क्या करता है, और पाया कि इसका उत्तर भी 0 हो जाएगा। शायद कुछ बुद्धिमान लोग अब एक माइक्रोस्कोप लाएंगे और कहेंगे कि वे अभी भी एक प्लेट पर कुछ मात्रा में केक देखते हैं। लेकिन हम हमेशा इसे थोड़ा और साझा कर सकते हैं, और केक फिर से दिखाई नहीं देगा। इसका मतलब यह नहीं है कि अनंत से विभाजित 1, 0 है, लेकिन इन तर्कों ने हमारे सहज अनुमानों को गणितीय व्याख्या दी, और यह पूरे आधुनिक गणितीय विश्लेषण की शुरुआत थी।

ज़ेनो के विरोधाभास

प्राचीन काल में गणितीय विश्लेषण की जड़ें हैं। 2.5 हजार साल से अधिक पुराने यूनानी दार्शनिक ज़ेनॉन द्वारा असीम संख्या वाले अनंत भागों से कैसे कुछ हो सकता है, इसका सवाल था। हजारों साल बाद हिल्बर्ट की तरह, ज़ेनो ने विरोधाभासों का अध्ययन करते हुए साबित किया कि अनंत संख्या में वस्तुओं को बहुत सावधानी से संभाला जाना चाहिए।

ज़ेनो के विरोधाभासों में से एक चॉकलेट केक के बारे में एक बच्चे की सोच के समान है: यदि मैं जो कुछ बचा है उसका आधा खाता हूं, तो जो बचा है उसका आधा, और इसी तरह, तो मैं जो बचा है, उसका केवल आधा खाता हूं, और करता है क्या यह है कि केक अंतहीन हो जाएगा?

ज़ेनो इस विरोधाभास को निम्नानुसार तैयार करता है: यदि आप बिंदु ए से बिंदु बी तक जाना चाहते हैं, तो आपको पहले आधी दूरी को पार करना होगा। फिर आपको शेष बची आधी दूरी पर जाना होगा। जिसके बाद आपको शेष नई दूरी पर जाना होगा, और इसी तरह। आप लगातार शेष बची आधी दूरी पर ही जाते हैं।


प्रत्येक चरण के बाद, हमेशा आधी दूरी होती है, और आप हमेशा केवल आधे भाग को छोड़ सकते हैं। क्या इसका मतलब यह है कि आप कभी भी जगह नहीं पाएंगे?
गणितज्ञ पुराने अध्ययनों से नई अवधारणाएँ बनाने के बहुत शौकीन हैं जिनका अध्ययन पहले ही किया जा चुका है। चलो प्राकृतिक संख्याओं के पहले से ही पारित अनन्तता पर भी वापस जाते हैं। हमने कहा कि हमें आधी दूरी, फिर एक चौथाई, फिर एक आठवीं, एक सोलहवीं, और इसी तरह "पूरी तरह से" पार करना होगा। जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्राकृतिक संख्याएं बहुत आगे बढ़ती हैं। मान लीजिए हमें एक मील चलने की जरूरत है। तब हम पथ के निम्नलिखित चरणों को अलग कर सकते हैं:


हमारे पास अनंत संख्या में n है, जिसका अर्थ है कि हमारे पास पथ में अनंत संख्या में चरण होंगे। हम प्रत्येक चरण की लंबाई निर्दिष्ट नहीं कर सकते, लेकिन हम इसे सामान्य रूप में लिख सकते हैं: इसके लिए हमने चर n के साथ एक सूत्र लागू किया। लेकिन अगर हम प्रत्येक चरण की लंबाई रिकॉर्ड नहीं कर सकते, तो क्या हम उनमें से प्रत्येक को समाप्त कर सकते हैं? जवाब होना चाहिए: हाँ, क्योंकि रास्ता खत्म करने के लिए हम में से प्रत्येक के लिए काफी सामान्य है। आमतौर पर हम अपने रास्ते खत्म करते हैं, यहां तक ​​कि सबसे छोटे भी, और हर दिन करते हैं। (मैं हर दिन अपना घर नहीं छोड़ता, लेकिन कभी-कभी मैं एक घंटे में कई बार रेफ्रिजरेटर जाने का प्रबंधन करता हूं।)

एक समान विरोधाभास में, ज़ेनो द्वारा भी तैयार किया गया है, हम अकिलीज़ और कछुआ के बारे में बात कर रहे हैं, जो बिंदु ए से बिंदु बी तक दौड़ रहे हैं। कछुए को पहले A1 पर, कहना शुरू करने की अनुमति है, लेकिन यह बहुत धीरे चलता है, क्योंकि यह एक कछुआ है! और अकिलिस को पहले कछुए की शुरुआत के स्थान पर चलना चाहिए। इस समय के दौरान, कछुआ थोड़ा आगे जाता है, उदाहरण के लिए, ए 2 को इंगित करने के लिए। अब अकिलीज़ को इस मुकाम तक पहुँचना होगा; जब वह ऐसा करता है, तो कछुआ थोड़ा और गुजरता है, उदाहरण के लिए, ए 3 को इंगित करने के लिए। अब अकिलीज़ को पहले से ही ए 3 को प्राप्त करना चाहिए, और इस समय के दौरान कछुआ ए 4 को इंगित करता है। हर बार जब अकिल्स उस स्थान पर पहुंचता है जहां कछुआ उस समय था जब हमने आखिरी बार दौड़ की स्थिति की जांच की थी, कछुआ थोड़ा आगे बढ़ गया। क्या इसका मतलब यह है कि कछुआ दौड़ जीत जाएगा?

ये दोनों विरोधाभास पूरी तरह से तार्किक प्रमाणों पर आधारित हैं जो एक बेतुके निष्कर्ष पर ले जाते हैं। आमतौर पर हम अपने गंतव्य तक पहुंचने में काफी सक्षम होते हैं। और यह स्पष्ट है कि अगर उसैन बोल्ट कछुए के साथ दौड़ लगाते हैं, तो वह दौड़ जीत जाएंगे। इन विरोधाभासों का अर्थ हमारी वास्तविकता में त्रुटियों का पता लगाना नहीं है, बल्कि हमारे तर्कों के तर्क में त्रुटियों का पता लगाना है।

यह विरोधाभास हिल्बर्ट होटल के विरोधाभास से भिन्न है, जो इसे भरा जा सकता है, फिर भी नए आगमन को समायोजित करने में सक्षम है। इसमें, निष्कर्ष बेतुका लगता है, क्योंकि अंतहीन होटलों के बारे में हमारे सहज विचार पूरी तरह से सही नहीं हैं।

हिल्बर्ट होटल विरोधाभास जैसे विरोधाभास को सच्चे विरोधाभास कहा जाता है; उनमें मजबूत तर्क एक निष्कर्ष की ओर ले जाते हैं जो विरोधाभासी लगता है, लेकिन वास्तव में ऐसा नहीं है। , , , , , .

दोनों मामलों में, विरोधाभास का सार उन विषमताओं को प्रदर्शित करना है जब हम अनंत के बारे में सोचना शुरू करते हैं: हिल्बर्ट होटल विरोधाभास में, हम असीम रूप से बड़ी वस्तुओं के साथ और ज़ेनो विरोधाभास में, असीम रूप से छोटी वस्तुओं के साथ काम कर रहे हैं। हिल्बर्ट होटल के बारे में विरोधाभास में, हमें वस्तुओं की अनंत घटना की समस्या का सामना करना पड़ता है, जो वास्तविक जीवन में नहीं होता है, चाहे वह जूते, मोज़े, आंसू-बंद टिकट या होटल के कमरे हों। और ज़ेनो के विरोधाभासों में, यह हमारे लिए प्रतीत होता है कि ऑब्जेक्ट अंतहीन रूप से उत्पन्न होते हैं, अगर हम एक आरक्षण स्वीकार करते हैं कि एक ही समय में वे असीम रूप से छोटे हो जाते हैं। वे असीम रूप से छोटे नहीं हो सकते, क्योंकि हम नहीं जानते कि इसका वास्तव में क्या मतलब है। लेकिन वे असीम रूप से छोटे हो सकते हैं। हर दिन हम वस्तुओं के अंतहीन सेट पर आते हैं,कभी-कभी बिना जाने भी और उसके बारे में जानने के लिए नहीं।

असीम रूप से बड़ी संख्या में अनंत वस्तुएं हैं

बिंदु A से बिंदु B तक पथ के विरोधाभास में, हम गंतव्य पर पहुंचने में कामयाब रहे, जिसका अर्थ है कि हम पथ के अनंत संख्याओं को पार करने में सक्षम थे। हालाँकि, यह केवल इसलिए संभव है क्योंकि ये खंड छोटे और छोटे होते गए और प्रत्येक खंड पर हमने जो समय बिताया वह भी छोटा और छोटा होता गया। इसके अलावा, यह वास्तविक दुनिया में हुआ, और हिल्बर्ट की शानदार दुनिया में नहीं, जहां हमारे पास किसी भी तरह से होटल के कमरों की एक अनंत संख्या को भरने या अनंत संख्या में आंसू-टिकट देने के लिए पर्याप्त समय है। वास्तविक जीवन में, हम हर दिन अनंत संख्या में कर सकते हैं, लेकिन केवल तब जब हम उनमें से प्रत्येक पर खर्च करते हैं, असीम रूप से छोटा है।

उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि आपको ट्रेन स्टेशन तक एक मील पैदल चलने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि आप 4 मील प्रति घंटे की निरंतर गति से चलते हैं। तो यह आपको 15 मिनट चाहिए। लेकिन ज़ेनो विरोधाभास के बारे में क्या बात है?

• पहले आपको एक मील की पहली छमाही चलना चाहिए, जिसमें आपको 7.5 मिनट लगेंगे।
• फिर आपको अगली तिमाही मील पर जाना होगा, जिसमें आपको 3.75 मिनट लगेंगे।
• आगे आपको एक मील का आठवां भाग चलना होगा, जिसमें आपको 1,875 मिनट लगेंगे।
• उसके बाद, आपको मील के एक सोलहवें भाग पर जाना होगा, जिसमें आपको 0.9375 मिनट लगेंगे।
• ...

आपको पथ के इन सभी असीम रूप से घटते हुए हिस्सों से गुजरना होगा, लेकिन यह आपको समय की असीम रूप से घटती मात्रा में ले जाता है। रेलवे स्टेशन जाते समय आप ऐसे कितने छोटे सेक्शन से गुजरेंगे? उत्तर: असीम रूप से कई; यदि आप यात्रा के प्रत्येक अंत के बाद रुक जाते हैं, तो हमेशा कुछ और होगा।

जाहिर है, यह एक बिल्कुल बेतुका तरीका है यह पता लगाने के लिए कि ट्रेन स्टेशन पर पहुंचने में कितना समय लगेगा, खासकर क्योंकि कुछ बिंदु पर छोटी दूरी जिसे आपको अभी भी जाना है वह एक पैर से कम हो जाएगी। हालांकि, हमारे लिए यह एक महत्वपूर्ण विचार प्रयोग है जो निम्नलिखित को प्रदर्शित करता है: यह हमें लगता है कि हम असीम रूप से बड़ी संख्या में वस्तुओं को जोड़ सकते हैं और अंतिम परिणाम प्राप्त कर सकते हैं यदि ये ऑब्जेक्ट लगातार छोटे और छोटे हो जाते हैं। वास्तविक दुनिया में, हम आंसू-बंद टिकटों की एक अनंत संख्या जारी नहीं कर सकते हैं, क्योंकि सभी आंसू-टिकट एक ही आकार के हैं। लेकिन अगर वे छोटे और छोटे हो गए, तब भी हमें प्रत्येक टिकट जारी करने के लिए एक निश्चित और अलग-अलग समय की आवश्यकता होगी, इसलिए हम वास्तव में ऐसा नहीं कर सकते।हम एक चॉकलेट केक को अनिश्चित काल के लिए नहीं काट सकते हैं, भले ही हमारे "काटने" असीम हो जाएं क्योंकि हमारे मुंह की दूरी हमेशा समान रहेगी। (हालांकि हम एक साथ मुंह से दूरी कम कर सकते हैं, लेकिन अंत में यह केक के साथ प्लेट पर ठोड़ी के साथ समाप्त हो जाएगा।)

यहां दो पहेलियां हैं। किन मामलों में छोटी वस्तुओं की एक बड़ी संख्या को ढेर करना समझ में आता है? और ऐसे मामलों में हम उत्तर की गणना कैसे कर सकते हैं? यह प्रश्न, जिसने गणितज्ञों को हजारों वर्षों तक सताया था, अंततः 19 वीं शताब्दी में गणितीय विश्लेषण के आगमन के साथ हल किया गया था। हम अगले अध्याय में इस पर लौटेंगे।

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