एक अनुवादक से: बिल्कुल 175 साल और 3 दिन पहले quaternions का आविष्कार किया गया था। इस दौर की तारीख के सम्मान में, मैंने ऐसी सामग्री चुनने का फैसला किया जो इस अवधारणा को स्पष्ट भाषा में समझाती है।

बटेरियन की अवधारणा का आविष्कार आयरलैंड के गणितज्ञ सर विलियम रोवन हैमिल्टन ने सोमवार 16 अक्टूबर, 1843 को आयरलैंड के डबलिन में किया था। हैमिल्टन और उनकी पत्नी रॉयल आयरिश अकादमी गए , और ब्रूम ब्रिज के ऊपर रॉयल कैनाल को पार करते हुए, उन्होंने एक अद्भुत खोज की, जिसे उन्होंने तुरंत पुल के पत्थर पर खरोंच कर दिया।

$$

$$i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = -1$$

बटेरों के गुणन के लिए मूलभूत सूत्र की खोज के सम्मान में रॉयल नहर पर ब्रूम ब्रिज पर स्मारक पट्टिका।

इस लेख में, मैं एक आसान तरीके से quaternions की अवधारणा को समझाने की कोशिश करूँगा। मैं समझाऊंगा कि आप किस तरह से एक चतुर्भुज की कल्पना कर सकते हैं, और उन विभिन्न कार्यों के बारे में भी बात कर सकते हैं जो चतुष्कोणों के साथ किए जा सकते हैं। इसके अलावा, मैं मैट्रिस, यूलर एंगल्स और क्वाटर्नीन्स के उपयोग की तुलना करूंगा, और फिर यह समझाने की कोशिश करूंगा कि एयुलर एंगल्स या मैट्रिस के बजाय क्वाटर्न्स का उपयोग कब करना है, और जब आपको ज़रूरत नहीं है।

सामग्री

• 1. परिचय
• 2. जटिल संख्या
  • 2.1। जटिल संख्याओं का जोड़ और घटाव
  • 2.2। एक स्केलर मान द्वारा एक जटिल संख्या का गुणन
  • 2.3। जटिल संख्याओं का उत्पाद
  • 2.4। जटिल संख्याओं का वर्ग
  • 2.5। जटिल संख्याओं को संयुग्मित करें
  • 2.6। जटिल संख्या का निरपेक्ष मान
  • 2.7। दो जटिल संख्याओं का भागफल
• 3. डिग्री $$$मैं$
• 4. जटिल विमान
  
  • 4.1। रोटार
• 5. उद्धरण
  • 5.1। एक आदेशित जोड़ी के रूप में उद्धरण
  • 5.2। चतुष्कोण जोड़ और घटाव
  • 5.3। चतुर्धातुक उत्पाद
  • 5.4। असली चतुर्भुज
  • 5.5। स्केलर क्वाटरनियन गुणन
  • 5.6। शुद्ध चतुष्कोण
  • 5.7। योगात्मक चतुर्धातुक रूप
  • 5.8। एकल चतुर्भुज
  • 5.9। चतुर्धातुक द्विआधारी रूप
  • 5.10। संयुग्मित quaternions
  • 5.11। चतुष्कोण दर
  • 5.12। चतुर्धातुक सामान्यीकरण
  • 5.13। उल्टा चतुष्कोण
  • 5.14। क्वाटरनियन स्केलर उत्पाद
• 6. मुड़ता है
• 7. चतुष्कोणों का प्रक्षेप
  
  • 7.1। SLERP
    
    • 7.1.1। चतुर्दिक अंतर
    • 7.1.2। एक शक्ति के लिए एक quaternion उठाना
    • 7.1.3। चतुष्कोणीय का आंशिक अंतर
    • 7.1.4। विचार करने के कारक
  • 7.2। दस्ते
• 8. निष्कर्ष
• 9. डाउनलोड करें
• 10. संदर्भ

45 मिनट में पूरी तरह से समझा जाना संभव नहीं है।

इस लेख में बहुत अधिक गणित है, इसलिए यह wimps के लिए नहीं है।

परिचय

कंप्यूटर ग्राफिक्स में, अंतरिक्ष (विस्थापन), साथ ही साथ अंतरिक्ष (रोटेशन) में अभिविन्यास में स्थिति का वर्णन करने के लिए मैट्रिस का उपयोग किया जाता है। आप ऑब्जेक्ट के पैमाने का वर्णन करने के लिए एकल परिवर्तन मैट्रिक्स का भी उपयोग कर सकते हैं। इस मैट्रिक्स को "आधार स्थान" माना जा सकता है। यदि हम एक वेक्टर या एक बिंदु (या अन्य मैट्रिक्स) को भी परिवर्तनों के मैट्रिक्स से गुणा करते हैं, तो हम इस मैट्रिक्स, बिंदु या मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स द्वारा दर्शाए गए स्थान में "रूपांतरित" करेंगे।

इस लेख में मैं रूपांतरण मैट्रिसेस के बारे में विस्तार से बात नहीं करूंगा। परिवर्तन पर विवरण matrices मेरे Matrices लेख में पाया जा सकता है।

इस लेख में मैं quaternions का उपयोग करके अंतरिक्ष में किसी वस्तु (रोटेशन) के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए एक वैकल्पिक तरीके के बारे में बात करना चाहता हूं।

जटिल संख्या

चतुर्धातुक को पूरी तरह से समझने के लिए, हमें सबसे पहले यह समझने की जरूरत है कि वे कहां से आए हैं। चतुर्भुज सिद्धांत एक जटिल संख्या प्रणाली की अवधारणा पर आधारित है।

संख्याओं ( प्राकृतिक , पूर्णांक , वास्तविक और तर्कसंगत ) के प्रसिद्ध सेटों के साथ, जटिल संख्याओं की प्रणाली संख्याओं का एक नया समूह जोड़ती है, जिसे काल्पनिक संख्याएं कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कुछ समीकरणों को हल करने के लिए काल्पनिक संख्याओं का आविष्कार किया गया था:

$$

$$x ^ 2 + 1 = 0$$

इस अभिव्यक्ति को हल करने के लिए, हमें यह बताने की आवश्यकता है $$$x ^ 2 = -1$ , और यह, जैसा कि आप जानते हैं, असंभव है, क्योंकि किसी भी संख्या का वर्ग (धनात्मक या ऋणात्मक) हमेशा धनात्मक होता है।

गणितज्ञ इस तथ्य के साथ सामने नहीं आ सके कि अभिव्यक्ति का कोई हल नहीं है, इसलिए एक नई अवधारणा का आविष्कार किया गया - एक काल्पनिक संख्या जिसका उपयोग ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

काल्पनिक संख्या इस प्रकार है:

$$

$$i ^ 2 = -1$$

इस धारणा को समझने की कोशिश मत करो, क्योंकि इसके अस्तित्व के लिए कोई तार्किक कारण नहीं हैं। हमें बस इसे स्वीकार करने की जरूरत है $$$मैं$ - यह एक निश्चित मात्रा है जिसका वर्ग है $$$-1$ ।

काल्पनिक संख्या के सेट को निरूपित किया जा सकता है $$$\ mathbb {I}$ ।

जटिल संख्याओं के सेट (द्वारा चिह्नित) $$$\ mathbb {C}$ निम्नलिखित रूप में वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं का योग है:

$$

$$z = a + bi ~~ a, b \ in \ mathbb {R}, ~~ i ^ 2 = -1$$

यह भी कहा जा सकता है कि सभी वास्तविक संख्याएं जटिल हैं $$$b = 0$ , और सभी काल्पनिक संख्याओं के साथ जटिल हैं $$$a = 0$ ।

जटिल संख्याओं का जोड़ और घटाव

वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़कर और घटाकर जटिल संख्याओं को जोड़ा और घटाया जा सकता है।

इसके अलावा:

$$

$$(a_1 + b_1i) + (a_2 + b_2i) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) i$$

घटाव:

$$

$$(a_1 + b_1i) - (a_2 + b_2i) = (a_1-a_2) + (b_1-b_2) i$$

एक स्केलर मान द्वारा एक जटिल संख्या का गुणन

जटिल संख्या को स्केलर द्वारा गुणा करके जटिल संख्या के प्रत्येक सदस्य को एक स्केलर से गुणा किया जाता है:

$$

$$\ lambda (a + bi) = \ lambda {a} + \ lambda {b} i$$

जटिल संख्याओं का उत्पाद

इसके अलावा, साधारण बीजीय नियमों का उपयोग करके जटिल संख्याओं को भी गुणा किया जा सकता है।

$$

$$\ start {array} {rcl} z_1 & = (a_1 + b_1i) \\ z_2 और = (& a_2 + b_2i) \\ z_1z_2 & = (a_1 + b_1i) (a_2 + b_2i) \\ & = & a_1a_2 + a_1b_2i + b_1a_2i + b_1b_2i ^ 2 \\ & = (& a_1a_2-b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2) i \ n "##}$$

जटिल संख्याओं का वर्ग

इसके अलावा, एक जटिल संख्या को अपने आप से गुणा करके बढ़ाया जा सकता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} z & = (a + bi) \\ z ^ 2 & = (a + bi) (a + bi) \\ & = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi \ end {सरणी}$$

जटिल संख्याओं को संयुग्मित करें

एक जटिल संख्या का संयुग्म मूल्य एक जटिल संख्या है, जिसे काल्पनिक भाग के एक परिवर्तित चिह्न के रूप में दर्शाया जाता है $$$\ bar {z}$ या कैसे $$$z ^ *$ ।

$$

$$\ start {array} {rcl} z & = (a + bi) \\ z ^ * * & = (a-bi) \ end {सरणी}$$

अपने संयुग्म मूल्य के साथ एक जटिल संख्या का गुणन एक दिलचस्प परिणाम देता है।

$$

$$\ start {array} {rcl} z & = (a + bi) \\ z ^ * * & = (a-bi) \\ zz ^ * & = (& a + bi) (a-bi) \ \ & = & a ^ 2-abi + abi + b ^ 2 \\ & = & a ^ 2 + b ^ 2 \ अंत {सरणी}$$

जटिल संख्या का निरपेक्ष मान

हम एक जटिल संख्या के निरपेक्ष मूल्य (या आदर्श , या परिमाण ) की गणना करने के लिए एक जटिल संख्या के संयुग्म संख्या का उपयोग कर सकते हैं। एक जटिल संख्या का निरपेक्ष मूल्य एक जटिल संख्या का वर्गमूल है जो इसके संयुग्म है । इसे के रूप में चिह्नित किया जाता है $$$| z |$ :

$$

$$\ start {array} {rcl} z & = & (a + bi) \\ | z | & = & \ sqrt {zz ^ *} \\ & = & \ sqrt {(a + bi) (a-bi)} \\ & = और \ sqrt {a + 2 + b ^ 2} \ अंत {सरणी}$$

दो जटिल संख्याओं का भागफल

दो जटिल संख्याओं के भागफल की गणना करने के लिए, हम भाजक की संख्या के आधार पर अंश और हर को गुणा करते हैं।

$$

$$\ _ {सरणी} {rcl} z_1 & = (a_1 + b_1i) \\ z_2 और = (a_2 + b_2i) \\ \ cfrac {z_1} {z_2} और = \ _frac {a_1 + b_1i} { a_2 + b_2i} \\ & = & cfrac {(a_1 + b_1i)} (a_2-b_2i)} {(a_2 + b_2i) (a_2-b_2i)} \\ & = \ _ cfrac {a_1a_2-a_1b_2i + b_1a-bi_i-bi_i ^ 2} {a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2} \\ & = & \ cfrac {a_1a_2 + b_1b_2} {a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2} + \ cfrac {b_1a_2-a_1b_2} {a_2 ^ 2 + b_2 ^ 2} i \ end {सरणी}$$

डिग्री $$$मैं$

अगर हम ऐसा दावा करते हैं $$$i ^ 2 = -1$ तब स्तंभन की संभावना होनी चाहिए $$$मैं$ और अन्य डिग्री के लिए।

$$

$$\ start {array} {rrrrrrr} i ^ 0 & = & & & & & & 1 \\ i ^ 1 & = & & & & & i \\ i ^ 2 & = & & & & -1 -1+ i ^ 3 & = & ii ^ 2 & = & & -i \\ i ^ 4 & = & i ^ {2} i ^ {2} & = & & 1 \\ i ^ 5 & = और ii ^ 4 & = & & & i \\ i ^ 6 & = & ii ^ 5 & = & i ^ 2 & = और -1 \ एंड {सरणी}$$

यदि हम इस श्रृंखला को रिकॉर्ड करना जारी रखते हैं, तो हम एक पैटर्न नोट करते हैं $$$(1, i, -1, -i, 1, \ dots)$ ।

एक समान पैटर्न नकारात्मक डिग्री में वृद्धि के साथ उत्पन्न होता है।

$$

$$\ start {array} {rcr} i ^ 0 & = & 1 \\ i ^ {- 1} & = -i \\ i ^ {- 2} और = -1 \\ i ^ {- 3}} & = & i \\ i ^ {- 4} & = और 1 \\ i ^ {- 5} और = -i \\ i ^ {- 6} और = और -1 \ अंत {सरणी}$$

शायद आपने पहले से ही गणित में ऐसा पैटर्न देखा होगा, लेकिन फॉर्म में $$$(x, y, -x, -y, x, \ dots)$ , जो दो आयामी कार्टेशियन विमान पर बिंदु 90 ° वामावर्त मोड़ करके प्राप्त किया जाता है; पंक्ति $$$(x, -y, -x, y, x, \ dots)$ द्वि-आयामी कार्टेशियन विमान पर बिंदु 90 ° डिग्री को मोड़कर बनाया गया।


कार्तीय विमान

जटिल विमान

हम इसी तरह जटिल संख्याओं को दो-आयामी ग्रिड पर लागू कर सकते हैं, जिसे जटिल विमान कहा जाता है , जो वास्तविक भाग को क्षैतिज अक्ष और ऊर्ध्वाधर के लिए काल्पनिक जोड़ता है।


जटिल विमान

जैसा कि आप पिछली पंक्ति से देख सकते हैं, हम कह सकते हैं कि यदि हम जटिल संख्या को गुणा करते हैं $$$मैं$ , तो हम 90 ° की वृद्धि में जटिल विमान पर जटिल संख्या को घुमा सकते हैं।

आइए देखें कि क्या यह सच है। हम जटिल विमान पर एक मनमाना बिंदु लेते हैं $$$पी$ :

$$

$$p = 2 + i$$

और इससे गुणा करें $$$मैं$ प्राप्त किया $$$q$ :

$$

$$\ start {array} {rcl} p & = & 2 + i \\ q & = & pi \\ & = & (2 + i) i \\ & = & 2i + i ^ 2 \\ & = - 1 + 2i \ अंत {सरणी}$$

गुणा $$$q$ पर $$$मैं$ हमें मिलता है $$$आर$ :

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = -1 + 2i \\ r & = & qi \\ & = & (-1 + 2i) i \\ & = -i + 2i ^ 2 \\ & = & -2-i \ end {सरणी}$$

और गुणा करना $$$आर$ पर $$$मैं$ हमें मिलता है $$$एस$ :

$$

$$\ start {array} {rcl} r & = & -2-i \\ s & = & ri \\ & = & (-2-i) i \\ & = & -2i-i ^ 2 \\ & = & 1-2i \ end {सरणी}$$

और गुणा करना $$$एस$ पर $$$मैं$ हमें मिलता है $$$टी$ :

$$

$$\ start {array} {rcl} s & = & 1-2i \\ t & = & si \\ & = & (1-2i) i \\ & = & i-2i ^ 2 \\ & = & 2 + i \ end {सरणी}$$

और हमें ठीक वही मिला जो हमने शुरू किया था ( $$$पी$ )। यदि हम इन जटिल संख्याओं को जटिल तल पर रखते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं।


जटिल विमान पर जटिल संख्या

अब हम कॉम्प्लेक्स प्लेन और क्लॉकवाइज पर घूम सकते हैं, कॉम्प्लेक्स नंबर को कई गुना बढ़ा सकते हैं $$$-i$ ।

रोटार

हम जटिल विमान पर मनमाने ढंग से घुमाव भी कर सकते हैं, निम्न रूप में जटिल संख्या को निर्धारित कर सकते हैं:

$$

$$q = \ cos \ theta + i \ sin \ theta$$

रोटर द्वारा किसी भी जटिल संख्या को गुणा करते समय $$$q$ हम सामान्य सूत्र प्राप्त करते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} p & = & a + bi \\ q & = & \ cos \ theta + i \ sin \ theta \\ pq & = (a + bi) (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) \\ a ^ {\ Prime} + b ^ {\ Prime} i & = & a \ cos \ theta-b \ sin \ theta + (a \ sin \ theta + b \ cos \ theta) i \ _ अंत {सरणी}$$

मैट्रिक्स रूप में भी क्या लिखा जा सकता है:

$$

$$\ start {bmatrix} a ^ {\ Prime} & -b ^ {\ prime} \\ b ^ {\ Prime} & a ^ {\ Prime} \ end {bmatrix} = \ start {bmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\ \ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {bmatrix} \ start {bmatrix} a -b \\ b & a \ end {bmatrix}$$

मूल के सापेक्ष जटिल विमान पर मनमाने ढंग से मोड़ने का एक तरीका क्या है।

quaternions

जटिल संख्याओं और जटिल समतल की प्रणाली के बारे में जानने के बाद, हम उन्हें त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ला सकते हैं, साथ ही संख्याओं की प्रणाली में जोड़ सकते हैं $$$मैं$ दो और काल्पनिक संख्याएँ।

Quaternions का निम्न सामान्यीकृत रूप है

$$

$$q = s + xi + yj + zk ~~ s, x, y, z \ in \ mathbb {R}$$

जहाँ हैमिल्टन की प्रसिद्ध अभिव्यक्ति के अनुसार:

$$

$$i ^ 2 = j ^ 2 = k ^ 2 = ijk = -1$$

$$

$$\ start {array} {ccc} ij = k & jk = i & ki = j \\ ji = -k & kj = -i & ik = -j \ end {array}$$

आप देख सकते हैं कि बीच का रिश्ता $$$मैं$ । $$$ज$ और $$$k$ यूनिट कार्टेशियन वैक्टर के वेक्टर गुणन के नियमों के समान:

$$

$$\ start {array} {ccc} \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = \ mathbf {z} & \ mathbf {y} \ टाइम्स \ mathbf {z} = \ mathbf {x} & \ mathbf { z} \ गुना \ mathbf {x} = \ mathbf {y} \\ \ mathbf {y} \ टाइम्स \ mathbf {x} = - \ mathbf {z} & \ mathbf {z} \ टाइम्स \ _bbb {y} = - # गणितबी {x} & \ mathbf {x} \ टाइम्स \ mathbf {z} = - \ mathbf {y} \ end {सरणी}$$

हैमिल्टन ने उस काल्पनिक संख्या को भी देखा $$$मैं$ । $$$ज$ और $$$k$ तीन कार्टेशियन यूनिट वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $$$\ mathbf {i}$ । $$$\ mathbf {j}$ और $$$\ mathbf {k}$ काल्पनिक संख्याओं के समान गुणों के साथ, इसलिए $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ ^ = =$ ।


गुणों का चित्रमय प्रतिनिधित्व $$$\ mathbf {ij}$ । $$$\ mathbf {jk}$ । $$$\ mathbf {ki}$

उपरोक्त छवि आलेखीय रूप से कार्टेशियन इकाई वैक्टर के बीच के संबंध को दिखाती है $$$\ mathbf {i}$ । $$$\ mathbf {j}$ और $$$\ mathbf {k}$ ।

एक आदेशित जोड़ी के रूप में उद्धरण

हम एक आदेशित जोड़ी के रूप में भी चतुर्भुज का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं:

$$

$$q = [s, \ mathbf {v}] ~~ s \ in \ mathbb {R}, \ mathbf {v} \ in \ mathbb {R} ^ 3$$

जहाँ $$$\ mathbf {v}$ इसके व्यक्तिगत घटकों के रूप में भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

$$

$$q = [s, x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}] ~~ s, x, y, z \ in \ mathbb {R}$$

इस प्रविष्टि का उपयोग करते हुए, हम quaternions और जटिल संख्याओं की सामान्य विशेषताओं का अधिक आसानी से प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

चतुष्कोण जोड़ और घटाव

कोटेशन को जटिल संख्याओं के समान जोड़ा और घटाया जा सकता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} q_a & = & [s_a, \ mathbf {a}] \\ q_b & = & [s_b, \ mathbf {b}] \\ q_a +_b & = & [s_a + s_b,। \ mathbf {a} + \ _ mathbf {b}] \\ q_a-q_b & = & [s_a-s_b, \ mathbf {a} - \ mathbf {b}] \ end \ _ \ _}$$

चतुराई काम करती है

हम भी दो quaternions के उत्पाद को व्यक्त कर सकते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q_a & = & [s_a, \ mathbf {a}] \\ q_b & = & [s_b, \ mathbf {b}] \\ q_ {a} q_ {b} & = [s_ {a}, \ mathbf {a}] [s_ {b}, \ mathbf {b}] \\ & = (s_ {a} + x_ {a} i + y_ {a} j + _ {a } k) (s_ {b} + x_ {b} i + y_ {b} j + z_ {b} k) \\ & = (s_ {a} s_ {b} -x_ {a} x_ / b}} -y_ {a} y_ {b} -z_ {a} z_ {b}) \\ & & (s_ {a} x_ {b} + s_ {b} x {a} + y_ {a} z_ {b} } -y_ {b} z_ {a}) i \\ & & (s_ {a} y_ {b} + s_ {b} y_ {a} + z_ {a} x_ {b} -z_ / b} x_ {a}) j \\ & + + (s_ {a} z_ {b} + s_ {b} z_ {a} + x_ {a} y_ {b} -x_ {b} y_ {a}) k's end {सरणी}$$

जो हमें एक और चतुराई देता है। यदि हम पिछली अभिव्यक्ति में काल्पनिक संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं $$$मैं$ । $$$ज$ और $$$k$ आदेशित जोड़े (जिसे चतुर्धातुक इकाइयों के रूप में भी जाना जाता है), फिर हम प्राप्त करते हैं

$$

$$i = [0, \ mathbf {i}] ~ j = [0, \ mathbf {j}] ~ k = [0, \ mathbf {k}]$$

और मूल अभिव्यक्ति में वापस प्रतिस्थापित कर रहा है $$$[1, \ mathbf {0}] = 1$ हमें मिलता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} [s_ {a}, \ mathbf {a}] [s_ {b}, \ mathbf {b}] & = (s_ {a} s_ {b} -x_ {}} x_ {b} -y_ {a} y_ {b} -z_ {a} z_ {b}) [1, \ mathbf {0}] \\ & + (s_ {a} x_ {b} +__ {b] } x {a} + y_ {a} z_ {b} -y_ {b} z_ {a}) [0, \ mathbf {i}] \\ & + (s_ {a} y_ {b} + __ { b} y_ {a} + z_ {a} x_ {b} -z_ {b} x_ {a}) [0, \ mathbf {j}] \\ & + (s_ {a} z_ {b> + s_) {b} z_ {a} + x_ {a} y_ {b} -x_ {b} y_ {a}) [0, \ mathbf {k}] \ end {सरणी}$$

इस अभिव्यक्ति को आदेशित युग्मों के योग में विस्तारित करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$

$$\ start {सरणी} {rcl} [s_ {a}, \ mathbf {a}] [s_ {b}, \ mathbf {b}] & = [s_ {a} s_ {b} -x_ {}} x_ {b} -y_ {a} y_ {b} -z_ {a} z_ {b}, \ mathbf {0}] \\ & + [0, (s_ {a} x_ {b} +__ {b } x {a} + y_ {a} z_ {b} -y_ {b} z_ {a}) \ mathbf {i}] \\ & + [0, (s_ {a} y_ {b} + __ { b} y_ {a} + z_ {a} x_ {b} -z_ {b} x_ {a}) \ mathbf {j}] \\ & + [0, (s_ {a} z_ {b + + s_] {b} z_ {a} + x_ {a} y_ {b} -x_ {b} y_ {a}) \ mathbf {k}] \ end {सरणी}$$

यदि हम एक चतुर्धातुक इकाई से गुणा करते हैं और आम वेक्टर घटकों को निकालते हैं, तो हम इस समीकरण को फिर से लिख सकते हैं:

$$

$$\ start {सरणी} {rcl} [s_ {a}, \ mathbf {a}] [s_ {b}, \ mathbf {b}] & = [s_ {a} s_ {b} -x_ {}} x_ {b} -y_ {a} y_ {b} -z_ {a} z_ {b}, \ mathbf {0}] \\ & + [0, s_ {a} (x_ {b} # mathbf {i } + y_ {b} \ mathbf {j} + z_ {b} \ mathbf {k}) + s_ {b} (x_ {a} \ mathbf {i} + y_ {a} \ mathbf {j} + z_ { a} \ mathbf {k}) \\ & & (y_ {a} z_ {b} -y_ {b} z_ {a}) \ mathbf {i} + (z_ {a} x_ {b} -z_ { b} x_ {a}) \ mathbf {j} + (x_ {a} y_ {b} -x_ {b} y_ {a}) \ mathbf {k}] \ end {array}$$

यह समीकरण हमें दो ऑर्डर किए गए जोड़े का योग देता है। पहला आदेश दिया गया जोड़ा सामग्री चतुर्धातुक है , और दूसरा शुद्ध चतुर्थांश है। इन दो ऑर्डर की गई जोड़ियों को एक ऑर्डर की गई जोड़ी में जोड़ा जा सकता है:

$$

$$\ start {सरणी} {rcl} [s_ {a}, \ mathbf {a}] [s_ {b}, \ mathbf {b}] & = [s_ {a} s_ {b} -x_ {}} x_ {b} -y_ {a} y_ {b} -z_ {a} z_ {b}, \\ & s_ {a} (x_ {b} \ mathbf {i} + y_ {b} / mathbf {j } + z_ {b} \ mathbf {k}) + s_ {b} (x_ {a} \ mathbf {i} + y_ {a} \ mathbf {j} + z_ {a} \ mathbf {k}) \\ & & + (y_ {a} z_ {b} -y_ {b} z_ {a}) \ mathbf {i} + (z_ {a} x_ {b} -z_ {b} x_ {a} \ mathbf { j} + (x_ {a} y_ {b} -x_ {b} y_ {a}) \ mathbf {k}] \ end {सरणी}$$

अगर हम स्थानापन्न करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

$$

$$\ start {array} {rcl} \ mathbf {a = & x_ {a} \ mathbf {i} + y_ {a} \ mathbf {j} + z_ {a} \ mathbf {{}} \\ \ mathbf} {b} & = & x_ {b} \ mathbf {i} + y_ {b} \ mathbf {j} + z_ {b} \ mathbf {k} \\ \ mathbf {a} \ cdot's mathbf {b} & = & x_ {a} x_ {b} + y_ {a} y_ {b} + z_ {a} z_ {b} \\ \ mathbf {a} \ टाइम्स \ mathbf {b} & = (y_ {a}} z_ {b} -y_ {b} z_ {a}) \ mathbf {i} + (z_ {a} x_ {b} -z_ {b} x_ {a}) \ mathbf {j} + (x_ {a} y_ {b} -x_ {b} y_ {a}) \ mathbf {k} \ अंत {array$$

हमें मिलता है:

$$

$$[s_ {a}, \ mathbf {a}] [s_ {b}, \ mathbf {b}] = [s_ {a} s_ {b} - \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}, s_ {a} \ mathbf {b} + s_ {b} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ गुना \ mathbf {b}]$$

यह quaternions के उत्पाद के लिए सामान्य समीकरण है।

असली चतुर्भुज

एक वास्तविक चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें एक सदिश राशि है $$$\ mathbf {0}$ :

$$

$$q = [s, \ mathbf {0}]$$

और दो सामग्री चतुर्धातुक के उत्पाद एक और सामग्री चतुर्भुज है:

$$

$$\ start {array} {rcl} q_a & = & [s_a, \ mathbf {0}] \\ q_b & = & [s_b, \ mathbf {0}] \\ q_ {a} q_ {b} & = [s_a, \ mathbf {0}] [s_b, \ mathbf {0}] \\ & = और [s_ {a} s_ {b}, \ mathbf {0}] \ end {सरणी}$$

जो शून्य काल्पनिक शब्द वाले दो जटिल संख्याओं के उत्पाद के समान है।

$$

$$\ start {array} {rcl} z_1 & = a_1 + 0i \\ z_2 & = & a_2 + 0i \\ z_ {1} z_ {2} & = (a_1 + 0i) (a_2 + 0i) \\ & = & a_ {1} a_ {2} \ end {सरणी}$$

स्केलर क्वाटरनियन गुणन

निम्नलिखित नियम का पालन करते हुए, हम एक स्केलर द्वारा चतुर्धातुक गुणा कर सकते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [s, \ mathbf {v}] \\ \ lambda {q} & = & \ lambda [s, \ mathbf {v}] \\ & = \ _ lambda {s}, \ lambda \ mathbf {v}] \ end {array}$$

हम इसे ऊपर दिखाए गए वास्तविक चतुष्कोणों के उत्पाद का उपयोग करके सत्यापित कर सकते हैं कि वास्तविक चतुर्भुज के रूप में एक स्केलर द्वारा चतुर्भुज को गुणा करके:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [s, \ mathbf {v}] \\ \ lambda & = & [\ _ lambda, \ mathbf {0}] \\ \ lambda {q} & = और [] \ lambda, \ mathbf {0}] [s, \ mathbf {v}] \\ & = और [\ lambda {s}, \ lambda \ mathbf {v}] \ end {array}$$

शुद्ध चतुष्कोण

भौतिक चतुर्भुजों के अलावा, हैमिल्टन ने शुद्ध चतुर्भुज को एक शून्य चतुर्भुज के साथ एक चतुर्भुज के रूप में भी परिभाषित किया:

$$

$$q = [0, \ mathbf {v}]$$

या यदि आप घटक लिखते हैं:

$$

$$q = xi + yj + zk$$

और फिर से हम दो शुद्ध quaternions के उत्पाद ले सकते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q_a & = & [0, \ mathbf {a}] \\ q_b & = & [0, \ mathbf {b}] \\ q_ {a} q_ / b = & = & [0, \ mathbf {a}] [०, \ mathbf {b}] \\ & = & [- \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}, \ mathbf {a} \ "mathbf {b} ] \ अंत {सरणी}$$

ऊपर प्रस्तुत चतुर्भुज उत्पाद नियम के अनुसार।

योगात्मक चतुर्धातुक रूप

इसके अलावा, हम चतुर्धातुक के वास्तविक और शुद्ध भागों के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [s, \ mathbf {v}] \\ & = [s, \ mathbf {0}] + [0, \ mathbf {v}] \ end \ _ सरणी }$$

एकल चतुर्भुज

मनमाना वेक्टर लेना $$$\ mathbf {v}$ , इस वेक्टर को इसके स्केलर मूल्य और इसकी दिशा में दोनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$

$$\ mathbf {v} = v \ mathbf {\ hat {v}} ~ \ text {जहां} ~ v = | \ mathbf {v} | ~ \ text {और} ~ | \ mathbf {\ hat {v}} | = 1$$

शुद्ध चतुर्भुज की परिभाषा के साथ इस परिभाषा को मिलाकर, हम प्राप्त करते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [0, \ mathbf {v}] \\ & = और [0, v \ mathbf {\ hat {v}}] \\ & = & v [0, { \ mathbf {\ hat {v}}] \ end {सरणी}$$

हम एक इकाई चतुर्भुज का वर्णन कर सकते हैं जिसमें एक शून्य स्केलर और एक इकाई वेक्टर है:

$$

$$\ hat {q} = [0, \ mathbf {\ hat {v}}]$$

चतुर्धातुक द्विआधारी रूप

अब हम एक एकल चतुर्भुज की परिभाषाओं और एक चतुर्भुज के योगात्मक रूप को जोड़ सकते हैं, जटिल संख्याओं के विवरण में प्रयुक्त संकेतन के समान चतुर्भुजों का एक रूप प्राप्त कर सकते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [s, \ mathbf {v}] \\ & = [s, \ mathbf {0}] + [0, \ mathbf {v}] \\ & = & [s, \ mathbf {0}] + v [0, \ mathbf {\ hat {v}}] \\ & = + s + v \ hat {q} \ end {सरणी}$$

जो हमें जटिल संख्या के समान रूप में एक चतुर्भुज का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका देता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} z & = & a + bi \\ q & = & s + v \ hat {q} \ end {सरणी}$$

एक चतुर्भुज की संयुग्म संख्या

क्वाटरनियन की संयुग्म संख्या की गणना क्वाटरनियन के सदिश भाग को साइन में विपरीत करके की जा सकती है:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [s, \ mathbf {v}] \\ q ^ * & = [s, - \ mathbf {v}] \ end {array}$$

चतुर्धातुक उत्पाद और इसकी संयुग्म संख्या हमें निम्नलिखित बताती है:

$$

$$\ start {array} {rcl} qq ^ * & = [s, \ mathbf {v}] [s, - \ mathbf {v}] \\ & = [s ^ 2- \ mathbf {v}} cdot- \ mathbf {v}, - s \ mathbf {v} + s \ mathbf {v} + \ mathbf {v} \ टाइम्स- \ mathbf {v}] \\ & = और [s 2 + \ _ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {v}, \ mathbf {0}] \\ & = और [s ^ 2 + v ^ 2, \ mathbf {0}] \ end {सरणी}$$

चतुर्भुज मानदंड

एक जटिल संख्या के मान की परिभाषा याद करें:

$$

$$\ _ {सरणी} {rcl} | z | & = & \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \\ zz ^ * & = & z; ^ 2 \ अंत {सरणी}$$

इसी प्रकार, एक चतुर्भुज के मानदंड (या परिमाण) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [s, \ mathbf {v}] \\ q | & = & \ sqrt {s ^ 2 + v ^ 2} \ अंत {सरणी}$$

जो हमें निम्नानुसार चतुर्धातुक मानदंड व्यक्त करने की अनुमति देता है:

$$

$$qq ^ * = | q | ^ 2$$

चतुर्धातुक सामान्यीकरण

चतुर्धातुक मानदंड की परिभाषा होने पर, हम इसका उपयोग चतुर्भुज को सामान्य करने के लिए कर सकते हैं। द्वारा विभाजित करके चतुर्भुज को सामान्य किया जाता है $$$| q |$ :

$$

$$q ^ {\ Prime} = \ frac {q} {\ sqrt {s ^ 2 + v ^ 2}}$$

उदाहरण के लिए, चलो चतुर्भुज को सामान्य करें:

$$

$$q = [1,4 \ mathbf {i} +4 \ mathbf {j} -4 \ mathbf {k}$$

पहले हमें चतुर्भुज दर की गणना करने की आवश्यकता है:

$$

$$\ _ {सरणी} {rcl} | q | & = & \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2 + (- 4) ^ 2} \\ & = और \ sqrt {49} \\ & = और 7 \ अंत {सरणी}$$

तब हमें सामान्य चतुर्भुज की गणना करने के लिए चतुर्धातुक के मानदंड से चतुर्भुज को विभाजित करना होगा:

$$

$$\ start {array} {rcl} q ^ {\ Prime} & = & cfrac {q} | q |} | \\ [1.0em] & = & cfrac {(1 + 4 \ mathbf {i} + | 4 \ mathbf {j} -4 \ mathbf {k})} {7} \\ [1.0em] & = & \ cfrac {1} {7} + \ cfrac {4} {7} \ mathbf {}} + \ cfrac {4} {7} \ mathbf {j} - \ cfrac {4} {7} \ mathbf {k} \ अंत {सरणी}$$

उल्टा चतुष्कोण

रिवर्स चतुर्भुज के रूप में निरूपित किया जाता है $$$q ^ {- 1}$ । व्युत्क्रम चतुर्भुज की गणना करने के लिए, हम चतुर्भुज की संयुग्म संख्या लेते हैं और इसे मानदंड के वर्ग द्वारा विभाजित करते हैं:

$$

$$q ^ {- 1} = \ frac {q ^ *} {| q | ^ 2} $$$

इसे दिखाने के लिए, हम व्युत्क्रम परिभाषा का उपयोग कर सकते हैं:

$$

$$qq ^ {- 1} = [1, \ mathbf {0}] = 1$$

और चतुर्भुज के संयुग्म संख्या से दोनों पक्षों को गुणा करें, जो हमें देगा:

$$

$$q ^ {*} qq ^ {- 1} = q ^ {*}$$

प्रतिस्थापन से हमें प्राप्त होता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} | q | ^ ^ 2} q ^ {- 1} & = q & {^}} \\ q ^ {- 1} & = \ cfrac {q ^ {*}} {। q | ^ {2}} \ end {व्यू}$$

एकल चतुर्भुज मानदंडों के लिए जिनका मानदंड 1 है, हम लिख सकते हैं:

$$

$$q ^ {- 1} = q ^ {*}$$

क्वाटरनियन स्केलर उत्पाद

वैक्टर के स्केलर उत्पाद के समान, हम इसी स्केलर भागों को गुणा करके और परिणामों को संक्षेप में दो चतुर्भुज के स्केलर उत्पाद की गणना कर सकते हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q_1 & = [s_1, x_1 \ mathbf {i} + y_1 \ mathbf {j} + z_1 \ mathbf {k}] \\ q_2 और = s_2, x_2 \ mathbf { i} + y_2 \ mathbf {j} + z_2 \ mathbf {k}] \\ q_1 {\ cdot} q_2 & =_ s_ {1} s_ {2} + x_ {1} x_ 2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2} \ अंत {सरणी}$$

हम quaternions के बीच अंतर की गणना करने के लिए quaternions के अदिश उत्पाद का भी उपयोग कर सकते हैं:

$$

$$\ cos \ थीटा = \ frac {s_ {1} s_ {2} + x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}} {q_ {| } || q_ {2} |}$$

एकल quaternions- मानदंडों के लिए, हम समीकरण को सरल कर सकते हैं:

$$

$$\ cos \ थीटा = s_ {1} s_ {2} + x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}$$

रोटेशन

मैं आपको याद दिलाता हूं कि हमने रोटर नामक एक जटिल संख्या के एक विशेष रूप की पहचान की है, जिसका उपयोग दो आयामी विमान पर एक बिंदु को घुमाने के लिए किया जा सकता है:

$$

$$q = \ cos \ theta + i \ sin \ theta$$

चतुर्धातुक के साथ जटिल संख्याओं की समानता के कारण, एक चतुर्भुज को व्यक्त करना संभव होना चाहिए जिसका उपयोग तीन आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को घुमाने के लिए किया जा सकता है:

$$

$$q = [\ cos \ theta, \ sin \ theta \ mathbf {v}]$$

आइए देखें कि क्या यह सिद्धांत चतुर्भुज उत्पाद की गणना करके सत्य है $$$q$ और वेक्टर $$$\ mathbf {p}$ । सबसे पहले, हम व्यक्त कर सकते हैं $$$\ mathbf {p}$ निम्नानुसार शुद्ध चतुर्भुज :

$$

$$p = [0, \ mathbf {p}]$$

एक $$$q$ फार्म में एकल चतुर्भुज मानदंड है:

$$

$$q = [s, \ lambda \ mathbf {\ hat {v}}]$$

तो

$$

$$\ start {array} {rcl} p ^ {\ prime} & = qp \\ & = & [s, \ lambda \ mathbf {\ hat {v}}] [0, \ mathbf {p}] \\ & = & [- \ lambda \ mathbf {\ hat {v}} \ cdot \ mathbf {p}, s \ mathbf {p} + \ lambda \ mathbf {\ hat {v}} \ _ \ _ mathbf {p}] \ अंत {सरणी}$$

हम देखते हैं कि परिणाम स्केलर और वेक्टर भागों के साथ एक सामान्य उद्धरण है।

आइए पहले एक "विशेष" मामले को देखें जिसमें $$$\ mathbf {p}$ सीधा $$$\ mathbf {\ hat {v}}$ । इस मामले में, अदिश उत्पाद का सदस्य $$$- \ lambda \ mathbf {\ hat {v}} \ cdot \ mathbf {p} = 1$ और परिणाम शुद्ध चतुर्भुज बन जाता है:

$$

$$p ^ {\ Prime} = [0, s \ mathbf {p} + \ lambda \ mathbf {\ hat {v}} \ टाइम्स \ mathbf {p}]$$

इस मामले में, बारी करने के लिए $$$\ mathbf {p}$ के बारे में $$$\ mathbf {\ hat {v}}$ हम सिर्फ स्थानापन्न हैं $$$s = \ cos \ थीटा$ और $$$\ lambda = \ sin \ थीटा$ ।

$$

$$p ^ {\ Prime} = [0, \ cos \ theta \ mathbf {p} + \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {v}} \ टाइम्स \ mathbf {p}]$$

उदाहरण के लिए, आइए वेक्टर को घुमाएं $$$\ mathbf {p}$ जेड अक्ष के सापेक्ष 45 °; फिर हमारे चतुर्भुज $$$q$ के बराबर होगा:

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = [\ cos \ theta, \ sin \ theta \ mathbf {k}] \\ & = \ _ छोड़ दिया [\ frac {\ sqrt {2}} {2}, { \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {k} \ right] \ end {सरणी$$

और चलो एक वेक्टर लेते हैं $$$\ mathbf {p}$ जो एक विशेष मामले से संबंधित है जहां $$$\ mathbf {p}$ सीधा $$$\ mathbf {k}$ :

$$

$$p = [0.2 \ mathbf {i}]$$

अब एक टुकड़ा ढूंढते हैं

$$

$$qp$$

:

$$

$$\ start {array} {rcl} p ^ {\ Prime} & = & qp \\ & = & \ left [\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} { 2} \ mathbf {k} \ right] [0.2 \ mathbf {i}] \\ & = & \ _ छोड़ दिया [0.2 \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {i} +2 \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {k} \ टाइम्स \ mathbf {i} \ right] \\ & = [0, \ sqrt {2} \ mathbf {i} + sqrt {2 } \ mathbf {j}] \ end {सरणी}$$

हमें धुरी के बारे में 45 ° घुमाया जाने वाला एक स्वच्छ चतुर्भुज क्या देता है $$$\ mathbf {k}$ । हम यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि अंतिम वेक्टर का मूल्य संरक्षित है:

$$

$$\ start {array} {rcl} | \ mathbf {p} ^ {\ Prime} | & = & \ sqrt {\ sqrt {2} ^ {2} + \ sqrt {2} ^ {2}} \\ & = & 2 \ अंत {सरणी}$$

बिल्कुल वही, जिसकी हमें उम्मीद थी!

हम इस चित्र को निम्न चित्र के साथ दिखा सकते हैं:


घुमाएँ कोटेशन (1)

अब एक चतुर्भुज पर नजर डालते हैं जो ऑर्थोगोनल से नहीं है $$$\ mathbf {p}$ । यदि हम चतुर्धातुक के वेक्टर भाग के लिए 45 ° से एक ऑफसेट लेते हैं $$$\ mathbf {p}$ तब हमें मिलता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} \ mathbf {\ hat {v}} & = \ _ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {i} + \ frac {\ sqrt {2} {2 } \ mathbf {k} \\ \ mathbf {p} & = 2 \ mathbf {i} \\ q & = और [\ cos \ theta, \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {v}} \\ p & = & [0, \ mathbf {p}] \ end {सरणी}$$

और हमारे वेक्टर को गुणा करना $$$\ mathbf {p}$ पर $$$q$ हमें मिलता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} p ^ {\ Prime} & = qp \\ & = & [\ cos \ theta, sin \ theta \ mathbf {\ hat {v}}] [0, \ mathbf (p) }] \\ & = & [- \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {v}} \ cdot \ mathbf {p}, \ cos \ theta \ mathbf {p} + \ sin \ theta \ mathbf {\ hat { v}} \ टाइम्स \ mathbf {p}] \ end {सरणी}$$

प्रतिस्थापन के बाद $$$\ mathbf {\ hat {v}}$ । $$$\ mathbf {p}$ और $$$\ theta = 45 ^ {\ circ}$ हमें मिलता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} p ^ {\ prime} & = & left [- \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ _ mathbf {i} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {k} \ right) \ cdot (2 \ mathbf {i}), \ frac {\ sqrt {2}} {2} 2 \ _ mathbf {i} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {i} + \ frac {\ sqrt {2} {2}} \ mathbf {k} \ right) \ times2 \ mathbf {i} \ right] \\ & = और [-1, \ sqrt {2} \ mathbf {i} + \ mathbf {j}] \ end \ _ \ _}$$

यही है, यह अब शुद्ध चतुर्भुज नहीं है, यह 45 ° घुमाया नहीं जाता है और वेक्टर का मान 2 के बराबर नहीं है (यह घट गया $$$\ sqrt {3}$ )।

इस परिणाम को रेखांकन करके दिखाया जा सकता है।


क्वाटर्नियन टर्न (2)

सख्ती से बोलना, एक विचित्रता का प्रतिनिधित्व करना गलत है $$$p ^ {\ Prime}$ तीन आयामी अंतरिक्ष में, क्योंकि वास्तव में यह एक चार आयामी वेक्टर है! सादगी के लिए, मैं केवल quaternions के वेक्टर घटक दिखाऊंगा।

हालांकि, सब कुछ खो नहीं जाता है। हैमिल्टन को पता चला (लेकिन इसे प्रकाशित नहीं किया) कि अगर हम परिणाम को गुणा करते हैं $$$qp$ विपरीत मूल्य के लिए $$$q$ , तो परिणाम शुद्ध चतुर्धातुक होगा, और वेक्टर घटक के मानदंड को संरक्षित किया जाएगा। आइए देखें कि क्या यह हमारे उदाहरण में लागू किया जा सकता है।

पहले, चलो गणना करते हैं $$$q ^ {- 1}$ :

$$

$$\ start {array} {rcl} q & = \ left [\ cos \ theta, \ sin \ theta \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {i} + \ frac \ _ sqrt {2}} {2} \ mathbf {k} \ right) \ right] \\ q ^ {- 1} & = \ छोड़ दिया [\ cos \ theta, - \ sin \ theta \ left (\ frac {\ _) sqrt {2}} {2} \ mathbf {i} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {k} \ right) \ right] \ end {सरणी}$$

पर $$$\ theta = 45 ^ {\ circ}$ हमें मिलता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} q ^ {- 1} & \ _ छोड़ दिया [\ frac {\ sqrt {2}} {2}, - \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left ({ \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {i} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ mathbf {k} \ right) \ right] \\ & = & f \ _ {1} } {2} \ left [\ sqrt {2}, - \ mathbf {i} - \ mathbf {k} \ right] \ end {सरणी}$$

पिछले मूल्य को मिलाकर $$$qp$ और $$$q ^ {- 1}$ हमें मिलता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} qp & = & left [-1, \ sqrt {2} \ mathbf {i} + \ mathbf {j} \ right] \\ qpq ^ {- 1} & = \ _ बाएँ [-1, \ sqrt {2} \ mathbf {i} + \ mathbf {j} \ right] \ frac {1} {2} \ left [\ sqrt {2}, - \ mathbf {i} - mathbf {k} \ right] \\ & = & \ frac {1} {2} \ left [- \ sqrt {2} - \ बाएँ (\ sqrt {2} \ mathbf {i} + \ mathbf {j} right ) \ cdot (- \ mathbf {i} - \ mathbf {k}), \ mathbf {i} + \ mathbf {k} + \ sqrt {2} \ left (\ sqrt {2} \ mathbf {i} + \ _) mathbf {j} \ right) - \ mathbf {i} + \ sqrt {2} \ mathbf {j} + \ mathbf {k} \ right] \\ & = & frac {1} {2} / बाएं [] \ sqrt {2} + \ sqrt {2}, \ mathbf {i} + \ mathbf {k} +2 \ mathbf {i} + \ sqrt {2} \ mathbf {j} - \ mathbf {i} + \ sqrt {2} \ mathbf {j} + \ mathbf {k} \ right] \\ & = & \ left [0, \ mathbf {i} + \ sqrt {2} \ mathbf {j} + \ mathbf {k} \ _ सही] \ end {सरणी}$$

जो शुद्ध चतुर्भुज है, और परिणाम का आदर्श है:

$$

$$\ _ {सरणी} {rcl} | p ^ {\ Prime} | & = & \ sqrt {1 ^ 2 + \ sqrt {2} ^ 2 + 1 ^ 2} \\ & = & \ sqrt {4} \\ & = और 2 \ अंत {सरणी}$$

जो बराबर है $$$\ mathbf {p}$ , अर्थात्, वेक्टर का मानदंड संरक्षित है।

नीचे दी गई छवि रोटेशन के परिणाम को दिखाती है।


चतुर्भुज मोड़ (3)

हम देखते हैं कि परिणाम एक शुद्ध चतुर्धातुक है, और मूल वेक्टर का मानदंड संरक्षित है, लेकिन वेक्टर 90 ° घूमता है, 45 ° नहीं, जो आवश्यक से दोगुना है! इसलिए, वेक्टर के सही रोटेशन के लिए $$$\ mathbf {p}$ कोने पर $$$$ थीटा$ एक मनमाना अक्ष के सापेक्ष $$$\ mathbf {\ hat {v}}$ हमें आधा कोण लेने की जरूरत है और निम्नलिखित चतुर्धातुक बनाने की जरूरत है:

$$

$$q = \ left [\ cos \ frac {1} {2} \ theta, \ sin \ frac {1} {2} \ theta \ mathbf {\ hat {v}} \ right]$$

एक चतुर्भुज मोड़ का एक सामान्य दृश्य क्या है!

चतुर्भुज प्रक्षेप

कंप्यूटर ग्राफिक्स में quaternions का उपयोग करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण कारणों में से एक यह है कि quaternions बहुत अच्छी तरह से अंतरिक्ष में रोटेशन का वर्णन करते हैं। 3 डी अंतरिक्ष में मोड़ के अन्य तरीकों के बोझ को खत्म करता है, जैसे कि तह फ्रेम , जिसमें समस्या यूलर कोनों में रोटेशन का प्रतिनिधित्व कर रही है।

क्वाटर्न्स का उपयोग करते हुए, हम कई तरीकों को परिभाषित कर सकते हैं जो 3 डी अंतरिक्ष में रोटेशन प्रक्षेप का प्रतिनिधित्व करते हैं। पहली विधि जिस पर मैं विचार कर रहा हूं उसे SLERP कहा जाता है। इसका उपयोग दो झुकावों के बीच एक बिंदु को सुचारू रूप से प्रक्षेपित करने के लिए किया जाता है। दूसरी विधि SLERP का विकास है और इसे SQUAD कहा जाता है। यह उन झुकावों की एक श्रृंखला के साथ प्रक्षेपित करने के लिए उपयोग किया जाता है जो पथ निर्दिष्ट करते हैं।

SLERP

एसएलईआरपी का अर्थ होता है गोलाकार L inear Interpolation (गोलाकार रैखिक प्रक्षेप)। एसएलईआरपी दो झुकावों के बीच एक बिंदु को सुचारू रूप से प्रक्षेपित करने की क्षमता प्रदान करता है।

मैं के रूप में पहली अभिविन्यास नामित करेंगे $$$q_1$ , और दूसरे के रूप में $$$q_2$ । प्रक्षेपित बिंदु द्वारा निरूपित किया जाता है $$$\ mathbf {p}$ द्वारा प्रक्षेपित बिंदु को निरूपित किया जाता है $$$\ mathbf {p} ^ {\ prime}$ । इंटरपोलेशन पैरामीटर $$$टी$ प्रक्षेप होगा $$$\ mathbf {p}$ से $$$q_1$ पर $$$t = 0$ को $$$q_2$ पर $$$t = 1$ ।

मानक रैखिक प्रक्षेप सूत्र है:

$$

$$\ mathbf {p} ^ {\ Prime} = \ mathbf {p_1} + t (\ mathbf {p_2} - \ mathbf {p_1})$$

इस समीकरण को लागू करने के लिए मूल चरण इस प्रकार हैं:

• हम बीच के अंतर की गणना करते हैं $$$\ mathbf {p_1}$ और $$$\ mathbf {p_2}$ ।
• इस अंतर का अंश लें।
• दो बिंदुओं के बीच भिन्न अंतर द्वारा प्रारंभिक मूल्य को ठीक करें।

हम एक ही मूल सिद्धांत का उपयोग quaternions के दो झुकावों के बीच अंतर करने के लिए कर सकते हैं।

चतुर्दिक अंतर

पहले चरण का मतलब है कि हमें बीच के अंतर की गणना करने की आवश्यकता है $$$q_1$ और $$$q_2$ । चतुर्धातुक के संदर्भ में, यह दो चतुर्भुज के बीच कोणीय अंतर की गणना करने के समान है।

$$

$$\ Delta {q} = q_1 ^ {- 1} q_2$$

एक शक्ति के लिए एक quaternion उठाना

अगला कदम इस अंतर का आंशिक हिस्सा लेना है। हम चतुर्धातुक के भिन्नात्मक भाग की गणना एक शक्ति से कर सकते हैं जिसका मूल्य सीमा में है $$$[0 ... 1]$ ।

एक शक्ति के लिए एक quaternion बढ़ाने के लिए सामान्य सूत्र निम्न रूप है:

$$

$$q ^ t = \ exp (t \ log {q})$$

जहां quaternions के लिए घातीय कार्य इस तरह दिखता है:

$$

$$\ start {array} {rcl} \ exp (q) & = & exp \ left ([0, \ theta \ mathbf {\ hat {v}}] \ right) \\ & = और [\ cos \ theta , \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {v}}] \ end {सरणी}$$

और एक चतुर्भुज के लघुगणक का रूप है:

$$

$$\ start {array} {rcl} \ log {q} & \ log (\ cos \ theta {+} \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {v}}) \\ & = & \ log \ left (\ _ (theta \ mathbf {\ hath {v}}) \ right) \\ & = & \ _ थीटा \ mathbf {\ hat {v}} \\ & = [0, \ theta \ mathbf (\ hat) {v}}] अंत / सरणी}$$

पर $$$t = 0$ हमारे पास निम्नलिखित हैं:

$$

$$\ start {array} {rcl} q ^ 0 & = and exp (0 \ log {q}) \\ & = & exp ([\ cos (0), \ sin (0) \ mathbf {\ hat) {v}}] \\ & = & \ exp ([1, \ mathbf {0}]) \\ & = [1, \ mathbf {0}] \ end {सरणी}$$

और कब $$$t = 1$ हमारे पास है

$$

$$\ start {array} {rcl} q ^ 1 & = & exp (\ log {q}) \\ & = & q \ end {सरणी}$$

चतुष्कोणीय का आंशिक अंतर

प्रक्षेपित कोणीय रोटेशन की गणना करने के लिए, हम प्रारंभिक अभिविन्यास को बदलते हैं $$$q_1$ के बीच अंतर के आंशिक भाग के लिए $$$q_1$ और $$$q_2$ ।

$$

$$q ^ {\ Prime} = q_1 \ left (q_1 ^ {- 1} q_2 \ right) ^ $$$

चतुर्धातुक के लिए गोलाकार रैखिक प्रक्षेप का एक सामान्य दृष्टिकोण क्या है। हालाँकि, यह SLERP समीकरण का प्रकार नहीं है जो आमतौर पर व्यवहार में उपयोग किया जाता है।

हम वैक्टर के गोलाकार प्रक्षेप को चतुर्धातुक में करने के लिए एक समान सूत्र लागू कर सकते हैं। वैक्टर के लिए गोलाकार प्रक्षेप का सामान्य रूप निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$

$$\ mathbf {v} _t = \ frac {\ _ sin (1-t) \ theta} {\ sin \ theta} \ mathbf {v} _1 + \ frac {\ sin {t \ theta}} \ "पाप \ theta} \ mathbf {v} _2$$

आलेखीय रूप से, इसे निम्नलिखित छवि में दिखाया जा सकता है।


क्वाटरनियन इंटरपोलेशन

इस फार्मूले को बिना बदलाव के चतुर्भुजों पर लागू किया जा सकता है:

$$

$$q_t = \ frac {\ sin (1-t) \ theta} {\ sin \ theta$$

और हम कोण प्राप्त कर सकते हैं $$$$ थीटा$ अदिश उत्पाद की गणना $$$q_1$ और $$$q_2$ ।

$$

$$\ start {array} {rcl} \ cos \ theta & = & \ cfrac {q_1 {\ cdot} q_2} {| q_1 || q_2 |} \\ & = & cfrac {s_ {1} s_ {2} || + x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}} {| q_1 || q_2 |} \\ theta & = & \ cos ^ {1} || \ बाएँ (\ cfrac {s_ {1} s_ {2} + x_ {1} x_ {2} + y_ {1} y_ {2} + z_ {1} z_ {2}} {| q_1} q_2} | $$$

विचार करने के कारक

इसका उपयोग करते समय इस कार्यान्वयन पर विचार करने के लिए दो समस्याएं हैं।

सबसे पहले, अगर चतुर्धातुक का अदिश उत्पाद एक ऋणात्मक मान हो जाता है, तो प्रक्षेप चार-आयामी गोले पर लंबा रास्ता तय करेगा, और यह हमेशा वांछनीय नहीं है।इस समस्या को हल करने के लिए, हम स्केलर उत्पाद के परिणाम की जांच कर सकते हैं और यदि यह नकारात्मक है, तो हम किसी एक झुकाव के विपरीत मान ले सकते हैं। चतुर्धातुक के अदिश और सदिश भागों को बदलने से वे जिस अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करते हैं उसे नहीं बदलते हैं, लेकिन ऐसा करने से, हम गारंटी देते हैं कि रोटेशन "सबसे कम" पथ के साथ होगा।

यदि कोणीय अंतर के बीच एक और समस्या उत्पन्न होती है$$$q_1$ और $$$q_2$ बहुत छोटा है, जबकि $$$\sin\theta$ बन जाता है 0. यदि ऐसा होता है, तो विभाजित करके $$$\sin\theta$हम एक अनिश्चित परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। इस स्थिति में, आप बीच में रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करके वापस आ सकते हैं$$$q_1$ और $$$q_2$ ।

दस्ते

बस के रूप में SLERP दो quaternions बीच अमान्य तरीके से किया जा सकता है, दस्ते ( एस pherical और क्वाड rangle - गोलाकार और चौकोर) चिकनी प्रक्षेप मोड़ने पथ के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

यदि हमारे पास कई संख्याएँ हैं:

$$

$$q_1,q_2,q_3,\cdots,q_{n-2},q_{n-1},q_{n}$$

और हमने "सहायक" उद्धरण को परिभाषित किया ( $$$s_i$ ), जिसे हम एक मध्यवर्ती नियंत्रण बिंदु के रूप में मान सकते हैं:

$$

$$s_i=\exp\left(-\frac{\log\left(q_{i+1}q_i^{-1}\right)+\log\left(q_{i-1}q_i^{-1}\right)}{4}\right)q_i$$

वक्र के भाग के साथ ओरिएंटेशन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$

$$q_{i-1},q_i,q_{i+1},q_{i+2}$$

समय में टी यह हमें देता है:

$$

$$\mathrm{squad}(q_i,q_{i+1},s_i,s_{i+1},t)=\mathrm{slerp}(\mathrm{slerp}(q_i,q_{i+1},t),\mathrm{slerp}(s_i,s_{i+1},t),2t(1-t))$$

निष्कर्ष

समझने में कठिनाई के बावजूद, जब मोड़ के साथ काम करते हैं, तो क्वाटरनियन्स यूलर मैट्रिस और कोणों की तुलना में कई स्पष्ट लाभ प्रदान करते हैं।

• SLERP SQUAD .
• , , .
• - . , ( , ).
• , .
• 4 (3, . ), 9 .

हालांकि, quaternions का उपयोग करने के सभी लाभों के साथ, कई नुकसान भी हैं।

• फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों की गोलाई त्रुटि के कारण कोटेशन अमान्य हो सकते हैं; हालाँकि, इस "क्रेप्ट इन एरर" को क्लेरनियन को बदलकर समाप्त किया जा सकता है।
• संभवतः चतुर्धातुक के उपयोग के लिए सबसे महत्वपूर्ण बाधा उनकी समझ की उच्च जटिलता है। मुझे उम्मीद है कि आप मेरे लेख को पढ़कर इस समस्या को हल करेंगे।

कई गणित पुस्तकालय हैं जो चतुर्धातुक को लागू करते हैं, और उनमें से केवल कुछ ही चतुर्धातुक रूप से लागू होते हैं। मेरे अपने अनुभव में, क्वाटरनियन्स के उच्च-गुणवत्ता वाले कार्यान्वयन के साथ एक अच्छा गणित पुस्तकालय जीएलएम (ओपनजीएल मैथ लाइब्रेरी) है। यदि आप अपने स्वयं के अनुप्रयोगों में quaternions का उपयोग करना चाहते हैं, तो मैं इस पुस्तकालय की सलाह देता हूं।

डेमो डाउनलोड करें

मैंने अंतरिक्ष में किसी वस्तु को घुमाने के लिए एक चतुर्भुज के उपयोग को प्रदर्शित करते हुए एक छोटा डेमो बनाया। यूनिटी 3.5.2 में डेमो बनाया गया था , आप इस इंजन को मुफ्त डाउनलोड कर सकते हैं और डेमो के स्रोत कोड को देख सकते हैं। ज़िप फ़ाइल में विंडोज बाइनरी निष्पादन योग्य भी शामिल है, लेकिन एकता में आप मैक के लिए एक एप्लिकेशन भी बना सकते हैं।

समझदारी

संदर्भ सामग्री

विंस, जे (2011)। कंप्यूटर ग्राफिक्स के लिए उद्धरण। 1। एड। लंदन: स्प्रिंगर।

डन, एफ और परबेरी, आई (2002)। ग्राफिक्स और गेम डेवलपमेंट के लिए 3 डी मैथ प्राइमर। 1। एड। प्लानो, टेक्सास: वर्डवेयर प्रकाशन, इंक।