एक विवर्तन पैटर्न प्राइमस के वितरण में पाया जाता है, जो कि क्यूसिस्ट्रल्स के समान है

मार्च 2016 में, स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के रॉबर्ट जे। लेमके-ओलिवर और कन्नन सुंदरराजन ने अपराधों के वितरण में एक नया पैटर्न खोला । यह पता चला कि प्रिम्स को विशेष रूप से संख्या स्थान पर वितरित किया जाता है। अधिक जानकारी के लिए " हैरे पर संरचना और अपराधों की यादृच्छिकता" लेख का अनुवाद देखें।

विषय के अध्ययन में रसायन विज्ञान सहित अन्य क्षेत्रों के विशेषज्ञ शामिल हुए। और सफलतापूर्वक। संख्या सिद्धांतकार मैथ्यू डे कूर्सी-आयरलैंड के साथ सैद्धांतिक रसायन विज्ञान के प्रोफेसर सल्वाटोर टोरकोटो ने उन अपराधों के वितरण में नए पैटर्न पाए जो पहले ज्ञात नहीं थे। यह पता चला कि primes का वितरण एक भग्न-समान विवर्तन पैटर्न का निर्माण करता है, कुछ हद तक विदेशी क्वासिल क्रिस्टल के विवर्तन पैटर्न के समान है।

प्रोफेसर टॉर्कुटो भौतिक प्रणालियों की संरचनाओं में पैटर्न के अध्ययन में माहिर हैं, जैसे कि क्रिस्टल और कोलाइड। संरचना का अध्ययन करने का मानक तरीका एक्स-रे विवर्तन है। तरल पदार्थ या गैसों में यादृच्छिक अणु ध्यान देने योग्य पैटर्न बनाए बिना सभी दिशाओं में किरणों को दर्शाते हैं। लेकिन क्रिस्टल में सममित रूप से स्थित परमाणु प्रकाश तरंगों को प्रतिबिंबित करते हैं, जो स्पष्ट विवर्तन के आवधिक चमकीले धब्बे बनाते हैं ( ब्रैग स्पीक्स )। ब्रैग की चोटियों का विश्लेषण क्रिस्टल या अन्य सामग्री की आंतरिक संरचना को समझना संभव बनाता है जो इस तरह की तस्वीर बनाता है।

इसलिए, टोरकोटो और अन्य ( 1 , 2 , 3 ) के नए वैज्ञानिक लेखों में यह दिखाया गया है कि primes के वितरण में खोजी गई संरचना फ्रासेल जैसे विवर्तन पैटर्न की तुलना में कुछ भी नहीं है, जो कि क्वैस्क्रिस्टल के समान है।

प्राइम नंबरों की एक जाली पर ब्रैग चोटियों की तस्वीर क्वासिस्टिकल्स के समान है, लेकिन फिर भी उनसे अलग है। टॉरकाटो का कहना है कि एक शारीरिक प्रणाली के रूप में primes "संरचनाओं की एक पूरी तरह से नई श्रेणी है।" शोधकर्ताओं ने इस नए फ्रैक्टल जैसे पैटर्न को "प्रभावी सीमा-आवधिकता" कहा है।

आकृति में उज्ज्वल चोटियों का आवधिक अनुक्रम होता है जो सबसे सामान्य अभाज्य संख्या के अंतराल को दर्शाते हैं: वे सभी विषम हैं (2 को छोड़कर), एक दूसरे के बगल में कई। छह अंकों से अलग किए गए अपराधों को दर्शाते हुए, कम चमकदार चोटियों के साथ नियमित अंतराल पर सबसे चमकदार चोटियां (दो अंकों से अलग) जोड़े जाते हैं। उनके बीच भी प्राइमरी से अधिक दूर के जोड़े के समान बेहूदा चोटियाँ हैं, यह सब एक दूसरे के अंदर रखी गई ब्रैग चोटियों की एक अनंत संख्या है।


ब्रैग की चोटियों की इसी तरह की संरचना पहले देखी गई थी - क्वासिस्टिकल्स के विवर्तन पैटर्न में।


तरल पदार्थ या गैसों में यादृच्छिक अणु ध्यान देने योग्य पैटर्न बनाए बिना सभी दिशाओं में किरणों को दर्शाते हैं। लेकिन एक क्रिस्टल में सममित रूप से स्थित परमाणु प्रकाश तरंगों को प्रतिबिंबित करते हैं, जो स्पष्ट विवर्तन के आवधिक उज्ज्वल स्पॉट बनाते हैं। जैसा कि यह निकला, प्रिज़्म का वितरण पैटर्न क्वैस्क्रिस्टल के समान एक भिन्नात्मक विवर्तन पैटर्न बनाता है

1980 के दशक में खोजे गए विचित्र पदार्थ हैं। शास्त्रीय क्रिस्टलोग्राफी में निषिद्ध समरूपता और लंबी दूरी के क्रम की उपस्थिति की विशेषता है। प्रसिद्ध पेनरोज़ मोज़ेक के प्रकार के एपेरियोडिक मोज़ाइक क्वैस्क्रिस्टल का एक गणितीय मॉडल है। इन मोज़ाइक में, अनुवादिक समरूपता अनुपस्थित है, पुनरावृत्ति और क्वैस्क्रिस्टैलिटी मौजूद हैं (पांचवें क्रम के समरूपता)।


पेनरोज़ मोज़ेक प्रकार P1 का विखंडन (छह प्रकार की टाइलों से)

Primes के मामले में, चोटियों के बीच की दूरी एक दूसरे के लिए आनुपातिक होती है, विपरीत रूप से स्थानिक रूप से उभरे हुए ब्रैग चोटियों के विपरीत होती है। Torcuato ने कहा , "अभाज्य संख्या वास्तव में क्विज़िसिस्टल के समान कण पदों की एक पूरी तरह से अलग स्थिति है, लेकिन क्वैसिस्टल की तरह नहीं।"

विवर्तन पैटर्न की खोज को संख्या सिद्धांत के लिए एक सफल खोज नहीं कहा जा सकता है, क्योंकि इन पैटर्नों के थोक पहले से ही पहले से ही अन्य गणितीय तरीकों (क्वासिकर्स्टल्स के विवर्तन के माध्यम से नहीं) द्वारा वर्णित किए गए हैं। इसलिए, विवर्तन पैटर्न का उपयोग करते हुए, टाइप 17 और 19 के "डबल्स" की भविष्यवाणी करना संभव है - यह संख्या के दिए गए सेगमेंट पर primes के tuples के अस्तित्व के संबंध में पहली हार्डी - Littlewood परिकल्पना के गणितीय समकक्ष है। नियमों में से एक {3, 5, 7} के बाद लगातार विषम संख्याओं के ट्रिपल को प्रतिबंधित करता है। यह यह भी बताता है कि विवर्तन पैटर्न में अगली सबसे चमकीली ब्राग चोटी चार की बजाय छह अंकों से अलग संख्या से मेल क्यों खाती है।

एक नया वैज्ञानिक कार्य, केवल एक समान रूप से, प्राथमिकताओं के वितरण की समस्या और उनके लिए एक निश्चित "एकल कानून" प्राप्त करने का एक आसान तरीका है। इसके अलावा, यह क्रिस्टलोग्राफी के दृष्टिकोण से एक गणितीय समस्या का विश्लेषण करने का एक असामान्य तरीका है, अर्थात् अनुसंधान के अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र के दृष्टिकोण से, जिसे "एपेरियोडिक ऑर्डर" कहा जाता है, जो गैर-दोहराए जाने वाले मॉडल का अध्ययन करता है और क्रिस्टलोग्राफी, डायनेमिक सिस्टम, हार्मोनिक विश्लेषण और असतत ज्यामिति के चौराहे पर स्थित है। विज्ञान की यह शाखा क्वासिस्टिकल की खोज के बाद बढ़ी, जब यह स्पष्ट हो गया कि पुराने तरीके यहां काम नहीं करते थे।

1950 के दशक के बाद से ज्ञात एक विशेष एपेरियोडिक ऑर्डर के समान, वितरण का वितरण। इसे सीमा आवधिकता कहा जाता है। ऐसी प्रणालियों में, आवधिक अंतराल एक अनंत पदानुक्रम में निहित होते हैं, ताकि किसी भी अंतराल में, सिस्टम में पैटर्न के कुछ हिस्सों को शामिल किया जाता है जो केवल एक बड़े अंतराल में दोहराए जाते हैं, जैसा कि टेलर-सोकोलर टाइल में।


टेलर-सोकोलर टाइल

सैद्धांतिक गणना दर्शाती है कि किसी पदार्थ के अधिकतम आवधिक चरणों को प्रकृति में बनाने में सक्षम होना चाहिए, और ऐसी प्रणालियों में असामान्य गुण हो सकते हैं। लेकिन किसी ने समय-समय पर सीमितता को अपराधों से जोड़ने का अनुमान नहीं लगाया। अब हम जानते हैं कि इस तरह का एक कनेक्शन है, और अभाज्य संख्याएँ एक नई तरह की सीमा आवधिकता को प्रदर्शित करती हैं - "प्रभावी" सीमा आवधिकता, क्योंकि पूरे सिस्टम में primes के बीच की दूरी में सिंक्रानिज़्म केवल सांख्यिकीय रूप से मनाया जाता है।

सवाल यह उठता है: अपराधों के वितरण में पैटर्न क्रिप्टोग्राफिक एल्गोरिदम की ताकत को कैसे प्रभावित कर सकता है?

“मुझे इस विषय पर वास्तव में कई पत्र मिले हैं। हालांकि यह एक दिलचस्प अध्ययन है, इसका क्रिप्टोग्राफी से कोई लेना-देना नहीं है, “प्रसिद्ध क्रिप्टोग्राफर ब्रूस श्नेयर ने अपने ब्लॉग पर लिखा। - क्रिप्टोग्राफर्स प्राइम नंबर या यहां तक ​​कि उनके वितरण को खोजने में रुचि नहीं रखते हैं। आरएसए-प्रकार के सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी एल्गोरिदम की दृढ़ता बड़ी समग्र संख्याओं को कारक बनाने की कठिनाई से जुड़ी है, जो कि primes के उत्पाद हैं। और यह पूरी तरह से अलग मामला है। ”

इसलिए primes के वितरण का अध्ययन करने में प्रगति के बावजूद, अभी तक क्रिप्टोग्राफिक कोड की ताकत के बारे में चिंता करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

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