क्यों गोडेल का अधूरापन सिद्ध करना मुश्किल है: मामला योगों में है, और सिर्फ सार में नहीं है

मोटे तौर पर, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय में कहा गया है कि सच्चे गणितीय कथन हैं जिन्हें साबित नहीं किया जा सकता है। जब मैं 11 वीं कक्षा में था, हम तीनों ने ज्यामिति शिक्षक श्री ओल्सन और मेरे मित्र उमा रॉय के साथ मिलकर गोडेल के मूल प्रमाण को पढ़ते हुए पाँच सप्ताह बिताए। इतनी देर क्यों? आंशिक रूप से क्योंकि हम अभी भी स्कूली बच्चे थे। आंशिक रूप से, क्योंकि 24 वर्षीय गोडेल सबसे प्रतिभाशाली लेखक नहीं थे। लेकिन मुख्य रूप से क्योंकि सबूत वास्तव में काफी मुश्किल है।

यह आश्चर्यजनक लग सकता है, क्योंकि वास्तव में सभी सबूत एक पैराग्राफ में फिट हो सकते हैं। गोडेल अनिवार्य रूप से एक वाक्य के बराबर गणितीय कथन का निर्माण शुरू करते हैं,

इस कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

गोडेल तब इस बात पर विचार करता है कि यदि यह कथन गलत है तो क्या होगा यानी अगर यह बयान साबित हो सकता है। लेकिन कोई भी कथन जो सिद्ध किया जा सकता है वह सत्य होना चाहिए - यह एक विरोधाभास है। इससे गोडेल ने निष्कर्ष निकाला कि कथन सत्य होना चाहिए। लेकिन, चूंकि कथन सत्य है, यह इस प्रकार है कि कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता है। कृपया ध्यान दें कि यह अंतिम कथन एक विरोधाभास नहीं है। इसके विपरीत, यह गोडेल के प्रमेय का प्रमाण है।

तो असली सबूत इतना जटिल क्यों है? चाल यह है कि अंग्रेजी में एक वैध गणितीय कथन की तरह क्या लग सकता है (अक्सर जब एक वाक्य खुद को संदर्भित करता है)। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित वाक्य पर विचार करें:

यह वाक्य झूठा है।

एक वाक्य अर्थहीन है: यह गलत नहीं हो सकता (क्योंकि यह सच होगा) और यह सच नहीं हो सकता है (क्योंकि यह गलत होगा)। और यह, ज़ाहिर है, एक औपचारिक गणितीय कथन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

यहाँ एक और उदाहरण है (बेरी विरोधाभास के रूप में जाना जाता है):

{X} को सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक के रूप में परिभाषित करें जिसे 100 शब्दों से कम में वर्णित नहीं किया जा सकता है।

यह एक मान्य गणितीय परिभाषा की तरह लग सकता है। लेकिन फिर, यह कोई मतलब नहीं है। और, जो गणित की पवित्रता के लिए महत्वपूर्ण है, कोई समान कथन औपचारिक रूप से नहीं लिखा जा सकता है, अर्थात गणितीय रूप से।

गणित की भाषा में भी कथन निरर्थक हो सकते हैं:

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ A में}$$

(यही कारण है, $$$एस$बहुत सेट है $$$ए$जो स्वयं के तत्व नहीं हैं)।

यह फिर से एक अर्थहीन परिभाषा है (जिसे रसेल के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है)। विशेष रूप से, एक बार हमने पहचान कर ली है $$$एस$हम पूछ सकते हैं कि क्या $$$एस$अपने आप को? यदि हां, तो $$$एस$सदस्य नहीं हो सकता $$$एस$- एक विरोधाभास; और यदि नहीं, तो $$$एस$का सदस्य होगा $$$एस$- फिर से एक विरोधाभास।

इन तीन उदाहरणों का अर्थ यह है कि यदि आप गणितीय कथनों पर प्रमेय सिद्ध करना चाहते हैं, तो आपको इस तथ्य के बारे में बहुत सावधान रहना चाहिए कि आप वास्तव में गणितीय कथनों का संचालन कर रहे हैं। वास्तव में, शुरुआत में आश्चर्यजनक रूप से ठोस सबूतों की शुरुआत में 46 परिभाषाओं से, गोडेल का मूल लेख सावधानी में एक बड़े पैमाने पर व्यायाम से ज्यादा कुछ नहीं है।