मनोरंजक गणित। सबसे किफायती संख्या प्रणाली

हम सभी स्कूल पाठ्यक्रम से जानते हैं कि संख्या प्रणाली (एसएस) क्या है। लेकिन हर कोई इस बारे में नहीं सोचता कि एसएस कितना है। यानी इस SS में संख्या को दर्शाने के लिए हमें किस संख्या का निर्धारण करना है। जब हमारे पास अद्वितीय तत्वों (विभिन्न आकारों के बहु-रंगीन कंकड़) का एक सीमित सेट होता है, जिसके साथ हम एक संख्या का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, तो अधिकतम संख्या क्या है जो हम इन तत्वों का उपयोग करके प्रतिनिधित्व कर सकते हैं? (सभी लाल कंकड़ शून्य हैं, हरे एक हैं, नीले दो हैं, आदि, छोटे शून्य हैं, मध्यम पहले हैं, बड़े दूसरे हैं, आदि)। वह रेखा कहाँ है जिस पर संख्या के अंकों की क्षमता की तुलना में SS का आधार अधिक भूमिका निभाता है?

उदाहरण n के लिए ले लो - तत्वों की संख्या 60 के बराबर है। तत्वों को 2 समूहों (बाइनरी नंबर सिस्टम) में विभाजित करने से हमें 30 अंक मिलते हैं। 30 इकाइयां 2. के आधार के साथ सबसे बड़ी 30-बिट संख्या है। यदि आप इसमें 1 जोड़ते हैं, तो आपको 30 शून्य के साथ एक इकाई मिलती है, अर्थात्। 30 में 2, चूंकि प्रत्येक शून्य दो की शक्ति है, और अंक 0 से शुरू होते हैं, और उस इकाई को जोड़ना नहीं भूलते हैं जो जोड़ा गया था।

अन्य एसएस के लिए, इसी तरह $$$y = x ^ {60 / x} -1$ जहां y अधिकतम संख्या है, x डिग्री का आधार है।

बिंदु बनाएँ:

$$$2 ^ {30} -1 = 1 \ _, 073 \ _, 741 \, 823$ ।
$$$3 ^ {20} -1 = 3 \, 486 \, 784 \, 400$ ।
$$$4 ^ {15} -1 = 1 \, 073 \, 741 \, 823$
$$$5 ^ {12} -1 = 244 \, 140 \, 624$
$$$6 ^ {10} -1 = 60 \, 466 \, $ 17$
$$$10 ^ {6} -1 = 999 \, $ 99$
$$$12 ^ {5} -1 = 248 \, $ 83$

फंक्शन ग्राफ:



ग्राफ से पता चलता है कि तीन के साथ शुरू होने वाले एसएस के आधार में वृद्धि के साथ, इसकी लागत बढ़ जाती है और फ़ंक्शन का ऊपरी छोर होता है। इसे सामान्य रूप में लाकर आप प्राप्त कर सकते हैं $$$y = (\ sqrt [x] x) ^ {n} -1$ , और अधिकतम कार्य $$$\ sqrt [x] x$ जब हासिल किया $$$x = ई$ ।



फंक्शन ग्राफ $$$y = \ sqrt [x] x$

यानी सबसे किफायती एसएस जितना संभव हो उतना करीब एक प्रणाली है $$$ई$ या ३।

पुनश्च: इसके अलावा, आधार 3 के साथ एसएस विषम है, जिसका अर्थ है कि इसमें एक गोल समस्या नहीं है (0.5 से 0 या 1 को लाएं), और यदि संख्या सममित रूप से लिखी जाती है (0.1.2 के बजाय -1.0.1) तो सादगी दिखाई देती है नकारात्मक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करें (10-1 8, -101 है -8, जहां माइनस कोई संकेत नहीं है, लेकिन एक अंक का एक हिस्सा जिसे Z से बदला जा सकता है), लेकिन यह पूरी तरह से अलग अंकगणित है))