एक और डेढ़ साल पहले, मैंने "गणित ऑन द फिंगर्स: लिस्ट स्क्वायर मेथड्स" लेख प्रकाशित किया, जिसे एक बहुत ही अच्छी प्रतिक्रिया मिली, जो कि, अन्य बातों के साथ, इस तथ्य में शामिल है कि मैंने एक उल्लू खींचने का प्रस्ताव रखा था। खैर, एक उल्लू के बाद से, फिर आपको इसे फिर से समझाने की आवश्यकता है। एक सप्ताह में, इस विषय पर, मैं भूवैज्ञानिक छात्रों को कई व्याख्यान देना शुरू करूँगा; मैं यह अवसर लेता हूं, मैं एक प्रारूप के रूप में यहां (अनुकूलित) मुख्य बिंदुओं को प्रस्तुत करता हूं। मेरा मुख्य लक्ष्य स्वादिष्ट और स्वस्थ भोजन के बारे में एक पुस्तक से तैयार नुस्खा देना नहीं है, लेकिन यह समझाने के लिए कि ऐसा क्यों है और संबंधित अनुभाग में और क्या है, क्योंकि गणित के विभिन्न वर्गों के बीच संबंध सबसे दिलचस्प हैं!

फिलहाल, मैं इस प्रकार पाठ को तोड़ने का इरादा रखता हूं:

• संभाव्यता सिद्धांत पर शैक्षिक कार्यक्रम (परिचयात्मक लेख, वैकल्पिक)
  
• समीकरणों के रैखिक प्रणालियों का परिचय
  
• परिमित तत्व विधियाँ
  
• द्विघात रूपों का न्यूनतमकरण और ओएलएस समस्याओं के उदाहरण
  
• लेस्टर स्क्वेयर से लेकर न्यूरल नेटवर्क तक
  

मैं अधिकतम संभावना के सिद्धांत के माध्यम से कम से कम चौकों पर जाता हूँ, और यह संभाव्यता सिद्धांत में न्यूनतम अभिविन्यास की आवश्यकता है। यह पाठ हमारे संकाय के भूविज्ञान के तीसरे वर्ष के लिए डिज़ाइन किया गया है, जिसका अर्थ है (शामिल उपकरण के दृष्टिकोण से!) कि उपयुक्त उत्साह के साथ एक इच्छुक हाई स्कूल छात्र इसे समझने में सक्षम होना चाहिए।

कैसे ध्वनि सिद्धांतकार है या क्या आप विकास के सिद्धांत में विश्वास करते हैं?

एक दिन मुझसे पूछा गया कि क्या मैं विकासवाद के सिद्धांत में विश्वास करता हूं। अभी विराम दें, सोचें कि आप इसका उत्तर कैसे देंगे।



व्यक्तिगत रूप से, मुझे अचंभे में डाल दिया गया, जवाब दिया कि मुझे यह विश्वसनीय लगता है, और यह कि विश्वास का सवाल यहां नहीं उठता है। वैज्ञानिक सिद्धांत का विश्वास से बहुत कम संबंध है। संक्षेप में, सिद्धांत केवल हमारे चारों ओर दुनिया का एक मॉडल बनाता है, इसमें विश्वास करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, पॉपर की कसौटी को नकारने में सक्षम होने के लिए एक वैज्ञानिक सिद्धांत की आवश्यकता होती है। और एक ध्वनि सिद्धांत भी होना चाहिए, सबसे पहले, भविष्य कहनेवाला शक्ति। उदाहरण के लिए, यदि आप आनुवंशिक रूप से फसलों को इस तरह से संशोधित करते हैं कि वे खुद कीटनाशकों का उत्पादन करते हैं, तो यह केवल तर्कसंगत है कि उनके लिए प्रतिरोधी कीट दिखाई देंगे। हालांकि, यह काफी कम स्पष्ट है कि इस प्रक्रिया को आनुवांशिक रूप से संशोधित लोगों के साथ सामान्य पौधों की तरफ बढ़ने से धीमा किया जा सकता है। विकासवाद के सिद्धांत के आधार पर, इसी अनुकार ने ऐसी भविष्यवाणी की , और इसकी पुष्टि होने लगती है।

और कम से कम वर्गों को इसके साथ क्या करना है?

जैसा कि मैंने पहले उल्लेख किया है, मैं अधिकतम संभावना सिद्धांत के माध्यम से कम से कम वर्गों में जाऊंगा। चलिए एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। माना कि हम पेंगुइन की वृद्धि पर डेटा में रुचि रखते हैं, लेकिन हम केवल इन खूबसूरत पक्षियों में से कुछ को माप सकते हैं। विकास वितरण मॉडल को कार्य में पेश करना काफी तर्कसंगत है - अक्सर यह सामान्य है। सामान्य वितरण की विशेषता दो मापदंडों से होती है - औसत मूल्य और मानक विचलन। मापदंडों के प्रत्येक निश्चित मूल्य के लिए, हम संभावना की गणना कर सकते हैं कि वास्तव में उन मापों को जो हमने बनाया है। इसके अलावा, मापदंडों को अलग करके, हम उन लोगों को ढूंढते हैं जो संभावना को अधिकतम करते हैं।

इस प्रकार, अधिकतम संभावना के साथ काम करने के लिए, हमें संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में काम करना होगा। उंगलियों पर थोड़ा कम, हम संभावना और संभावना की अवधारणा को परिभाषित करते हैं, लेकिन पहले मैं दूसरे पहलू पर ध्यान केंद्रित करना चाहता हूं। मैं आश्चर्यजनक रूप से शायद ही कभी "संभावना सिद्धांत" वाक्यांश में "सिद्धांत" शब्द के बारे में सोच रहे लोगों को देखता हूं।

अधिगम सिद्धांत क्या है?

उत्पत्ति, अर्थ और संभावना अनुमानों के दायरे के बारे में, सौ साल से अधिक समय से हिंसक बहस चल रही है। उदाहरण के लिए, ब्रूनो डी फिनेटी ने कहा कि संभावना कुछ भी होने की संभावना के व्यक्तिपरक विश्लेषण से ज्यादा कुछ नहीं है, और यह संभावना दिमाग के बाहर मौजूद नहीं है। यह किसी व्यक्ति के कुछ होने पर दांव लगाने की इच्छा है। यह राय किसी घटना के एक विशिष्ट परिणाम की संभावना पर क्लासिक्स / फ्रीवेंटिस्ट के दृष्टिकोण के विपरीत है, जिसमें यह माना जाता है कि एक ही घटना को कई बार दोहराया जा सकता है, और किसी विशेष परिणाम की "संभावना" बार-बार परीक्षण के दौरान गिरने वाले एक विशिष्ट परिणाम की आवृत्ति से संबंधित है। विषयवादियों और मुक्तवादियों के अलावा, वहाँ भी उद्देश्यवादी हैं जो तर्क देते हैं कि संभावनाएं ब्रह्मांड के वास्तविक पहलू हैं, न कि केवल पर्यवेक्षक की आत्मविश्वास की डिग्री का वर्णन करते हैं।

जैसा कि यह हो सकता है, लेकिन व्यवहार में सभी तीन वैज्ञानिक स्कूल कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों के आधार पर एक ही उपकरण का उपयोग करते हैं। आइए हम एक अप्रत्यक्ष तर्क देते हैं, एक विषयवादी दृष्टिकोण से, संभावना सिद्धांत के पक्ष में, कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों पर बनाया गया है। हम स्वयंसिद्धों को थोड़ी देर बाद देते हैं, लेकिन एक शुरुआत के लिए हम यह मान लेंगे कि हमारे पास एक सट्टेबाज है जो अगले विश्व कप पर दांव स्वीकार करेगा। आइए हम दो घटनाएँ देखें: एक = उरुग्वे की टीम चैंपियन बनेगी, बी = जर्मन टीम चैंपियन बनेगी। सट्टेबाज ने उरुग्वे टीम के 40% पर जीतने की संभावना का अनुमान लगाया, जर्मन टीम के 30% पर होने की संभावना। जाहिर है, जर्मनी और उरुग्वे दोनों एक ही समय में नहीं जीत सकते हैं, इसलिए a isb की संभावना शून्य है। खैर, एक ही समय में, सट्टेबाज का मानना ​​है कि उरुग्वे या जर्मनी (और अर्जेंटीना या ऑस्ट्रेलिया नहीं) की जीत की संभावना 80% है। इसे निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:



यदि सट्टेबाज दावा करता है कि घटना में उसके आत्मविश्वास की डिग्री 0.4 है, यानी, पी (ए) = 0.4, तो खिलाड़ी चुन सकता है कि वह सट्टेबाजी या सट्टेबाजी की राशि के खिलाफ कहेगा कि सट्टेबाज की आत्मविश्वास की डिग्री के साथ संगत है या नहीं। इसका मतलब यह है कि खिलाड़ी यह शर्त लगा सकता है कि घटना सट्टेबाज के छह रूबल के खिलाफ चार रूबल की शर्त से होगी। या कोई खिलाड़ी सट्टेबाज के चार रूबल के बजाय छह रूबल दांव लगा सकता है कि घटना नहीं होगी।

यदि सट्टेबाज के विश्वास की डिग्री दुनिया की स्थिति को सही ढंग से प्रतिबिंबित नहीं करती है, तो हम इस तथ्य पर भरोसा कर सकते हैं कि लंबे समय में यह उन खिलाड़ियों को पैसे खो देगा जिनकी मान्यताएं अधिक सटीक हैं। इसके अलावा, इस विशेष उदाहरण में, खिलाड़ी के पास एक रणनीति होती है जिसमें सट्टेबाज हमेशा पैसा खो देता है। आइए इसे स्पष्ट करें:



खिलाड़ी तीन दांव लगाता है, और चैम्पियनशिप के परिणाम जो भी हो, वह हमेशा जीतता है। कृपया ध्यान दें कि सिद्धांत में जीत के विचार में यह शामिल नहीं है कि उरुग्वे या जर्मनी चैंपियनशिप के पसंदीदा हैं, सट्टेबाज के नुकसान की गारंटी है! इस स्थिति का नेतृत्व इस तथ्य से किया गया था कि बुकमेकर को प्रायिकता सिद्धांत की मूल बातों से निर्देशित नहीं किया गया था, कोलमोगोरोव के तीसरे स्वयंसिद्ध उल्लंघन के कारण, आइए उन तीनों को लाएं:



पाठ के रूप में, वे इस तरह दिखते हैं:

• 1. सभी संभावनाएं 0 से 1 तक होती हैं
• 2. बेशक, सच्चे कथनों में 1 की संभावना है, और निश्चित रूप से 0 की झूठी संभावना है।
• 3. तीसरा स्वयंसिद्ध अव्यवस्था का स्वयंसिद्ध है, यह सहज रूप से समझने में आसान है, यह देखते हुए कि उन मामलों में जहां कथन एक सत्य है, साथ में उन मामलों में जहां ख सत्य है, निश्चित रूप से उन सभी मामलों को शामिल करता है जहां कथन सही है; लेकिन मामलों के दो सेटों के योग में, उनका प्रतिच्छेदन दो बार होता है, इसलिए, P (a .b) को घटाना आवश्यक है।

1931 में, डी फिनेटी ने एक बहुत ही मजबूत बयान साबित किया:

यदि सट्टेबाज को विश्वास के कई डिग्री द्वारा निर्देशित किया जाता है, जो संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्धों का उल्लंघन करता है, तो खिलाड़ी के दांव का ऐसा संयोजन होता है जो प्रत्येक शर्त पर सट्टेबाज (खिलाड़ी की जीत) के नुकसान की गारंटी देता है।

संभावनाओं के स्वयंसिद्धों को संभाव्य मान्यताओं के सेट को सीमित करने के रूप में माना जा सकता है जो कुछ एजेंट पकड़ सकते हैं। कृपया ध्यान दें कि सट्टेबाज का अनुसरण करने से कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध का मतलब नहीं है कि वह जीत जाएगा (हम कमीशन के मुद्दों को एक तरफ छोड़ देंगे), लेकिन यदि आप उनका पालन नहीं करते हैं, तो उसे हारने की गारंटी दी जाएगी। ध्यान दें कि अन्य तर्कों को संभावनाओं को लागू करने के पक्ष में रखा गया है; लेकिन यह संभाव्यता सिद्धांत के आधार पर तर्क प्रणालियों की व्यावहारिक सफलता थी जो एक आकर्षक प्रोत्साहन के रूप में सामने आया जिसने कई विचारों का पुनरीक्षण किया।

इसलिए, हमने थोड़ा सा घूंघट खोला कि क्यों थ्योरवर समझ में आता है, लेकिन यह किस तरह की वस्तुओं में हेरफेर करता है? संपूर्ण सिद्धांत केवल तीन स्वयंसिद्धों पर बनाया गया है; तीनों में कुछ मैजिक फंक्शन P शामिल है । इसके अलावा, इन स्वयंसिद्धों को देखते हुए, यह मुझे आकार क्षेत्र के कार्य की बहुत याद दिलाता है। आइए यह देखने की कोशिश करें कि क्या क्षेत्र संभावना को निर्धारित करने के लिए काम करता है।

हम शब्द "घटना" को "एक वर्ग वर्ग का सबसेट" के रूप में परिभाषित करते हैं। हम "एक घटना की संभावना" शब्द को "इसी उपसमूह के क्षेत्र" के रूप में परिभाषित करते हैं। मोटे तौर पर, हमारे पास एक बड़ा कार्डबोर्ड लक्ष्य है, और हम, अपनी आँखें बंद करके, उस पर गोली मारते हैं। एक दिए गए सेट में एक गोली गिरने की संभावना सीधे सेट के क्षेत्र के लिए आनुपातिक होती है। इस मामले में एक विश्वसनीय घटना पूरे वर्ग है, और स्पष्ट रूप से गलत है, उदाहरण के लिए, वर्ग का कोई भी बिंदु। यह हमारी प्रायिकता की परिभाषा का अनुसरण करता है कि इस बिंदु पर पूरी तरह से पहुंचना असंभव है (हमारी गोली एक भौतिक बिंदु है)। मुझे वास्तव में तस्वीरें पसंद हैं, और मैं उनमें से बहुत कुछ खींचता हूं, और सिद्धांतकार कोई अपवाद नहीं है! आइए तीनों स्वयंसिद्धों का चित्रण करें:



तो, पहला स्वयंसिद्ध पूरा होता है: क्षेत्र गैर-नकारात्मक है, और इकाइयों से अधिक नहीं हो सकता है। एक विश्वसनीय घटना पूरे वर्ग है, और एक जानबूझकर गलत है शून्य क्षेत्र का कोई भी सेट। और यह पूरी तरह से काम करता है!

उदाहरण के साथ अधिकतम विश्वसनीयता

उदाहरण एक: सिक्का फ्लिप

आइए एक सिक्का टॉस उर्फ बर्नौली की योजना का सबसे सरल उदाहरण देखें। एन प्रयोग किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो घटनाओं में से एक ("सफलता" या "विफलता") हो सकती है, एक संभावना पी के साथ, और दूसरी संभावना 1-पी के साथ । हमारा काम इन n प्रयोगों में वास्तव में k सफलताओं को प्राप्त करने की संभावना को खोजना है। यह संभावना हमें बर्नोली का सूत्र बताती है:



एक साधारण सिक्का लें ( p = 0.5 ), इसे दस बार ( n = 10 ) टॉस करें, और विचार करें कि पूंछ कितनी बार है:



यहाँ संभावना घनत्व का एक ग्राफ है:



इस प्रकार, यदि हमने "सफलता" (0.5) की शुरुआत की संभावना तय की है, और प्रयोगों की संख्या (10) भी दर्ज की है, तो "सफलताओं" की संभावित संख्या 0 और 10 के बीच कोई भी पूर्णांक हो सकती है, हालांकि, ये परिणाम समान रूप से संभावित नहीं हैं। यह स्पष्ट है कि पाँच "सफलताएं" प्राप्त करना एक नहीं बल्कि बहुत अधिक संभावना है। उदाहरण के लिए, सात पूंछों की गिनती की संभावना लगभग 12% है।

अब दूसरी तरफ से उसी कार्य को देखते हैं। हमारे पास एक वास्तविक सिक्का है, लेकिन हम एक प्राथमिकता संभावना "सफलता" / "विफलता" के इसके वितरण को नहीं जानते हैं। हालाँकि, हम इसे दस बार फेंक सकते हैं और "सफलताओं" की संख्या गिन सकते हैं। उदाहरण के लिए, हमारे पास सात पूंछ हैं। यह हमें पी का मूल्यांकन करने में कैसे मदद करता है?

हम बर्नौली फार्मूले में n = 10 और k = 7 को ठीक करने की कोशिश कर सकते हैं, जिससे p एक मुक्त पैरामीटर बन सकता है:



तब बर्नौली सूत्र को अनुमानित पैरामीटर की संभावना के रूप में व्याख्या की जा सकती है, (इस मामले में, पी )। मैंने फ़ंक्शन का अक्षर भी बदल दिया, अब यह एल (अंग्रेजी की तरह से) है। अर्थात्, पैरामीटर के दिए गए मान के लिए अवलोकन डेटा (10 प्रयोगों से 7 पूंछ) उत्पन्न करने की संभावना है।

उदाहरण के लिए, संतुलित सिक्के ( p = 0.5) की संभावना, बशर्ते कि दस में से सात पूंछ उत्पन्न होती हैं, लगभग 12% है। आप फ़ंक्शन एल को प्लॉट कर सकते हैं:



इसलिए, हम उन मापदंडों के मूल्य की तलाश कर रहे हैं जो उन टिप्पणियों को प्राप्त करने की संभावना को अधिकतम करते हैं जो हमारे पास हैं। इस विशेष मामले में, हमारे पास एक चर का एक फ़ंक्शन है, हम इसकी अधिकतम तलाश कर रहे हैं। खोज को आसान बनाने के लिए, मैं अधिकतम L को नहीं, बल्कि L को खोजूंगा। लघुगणक एक कड़ाई से मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, इसलिए एक और दूसरे को अधिकतम करना एक ही बात है। और लघुगणक उत्पाद को एक राशि में तोड़ता है जो अंतर करने के लिए बहुत अधिक सुविधाजनक है। इसलिए, हम इस फ़ंक्शन की अधिकतम तलाश कर रहे हैं:



ऐसा करने के लिए, हम इसके व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करते हैं:



लॉग x = 1 / x के व्युत्पन्न, हम प्राप्त करते हैं:



यही है, अधिकतम संभावना (लगभग 27%) पर पहुंच गया है



बस मामले में, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:



बिंदु p = 0.7 पर, यह ऋणात्मक है, इसलिए यह बिंदु वास्तव में फ़ंक्शन L की अधिकतम है।



और यहाँ p = 0.7 के साथ बर्नोली योजना के लिए संभाव्यता घनत्व है:

उदाहरण दो: एडीसी

आइए कल्पना करें कि हमारे पास एक निश्चित स्थिर भौतिक मात्रा है जिसे हम मापना चाहते हैं, यह एक शासक के साथ एक लंबाई या एक वोल्टमीटर के साथ वोल्टेज है। कोई भी माप इस मात्रा का एक सन्निकटन देता है, लेकिन स्वयं मात्रा नहीं। जिन विधियों का मैं यहां वर्णन करता हूं, वे गॉस द्वारा 18 वीं शताब्दी के अंत में विकसित किए गए थे, जब उन्होंने आकाशीय पिंडों की कक्षाओं को मापा।

उदाहरण के लिए, यदि हम बैटरी वोल्टेज को एन बार मापते हैं, तो हमें एन अलग-अलग माप मिलते हैं। कौन सा लेना है? वह सब है! तो, हमें N राशियां Uj:



मान लीजिए कि प्रत्येक माप यूजे एक आदर्श मूल्य के बराबर है, साथ ही एक गाऊसी शोर, जो दो मापदंडों द्वारा विशेषता है - गौसियन घंटी की स्थिति और इसकी "चौड़ाई"। यहाँ संभावना घनत्व है:



अर्थात्, Uj के N मान दिए जाने के बाद, हमारा कार्य ऐसे पैरामीटर को खोजना है, U जो संभावना मान को अधिकतम करता है। विश्वसनीयता (मैं तुरंत इसे से लघुगणक लेता हूं) इस प्रकार लिखा जा सकता है:



ठीक है, फिर सब कुछ पहले की तरह ही है, हम उन मापदंडों के संबंध में शून्य आंशिक डेरिवेटिव्स की बराबरी करते हैं जिनकी हम तलाश कर रहे हैं:



हम पाते हैं कि अज्ञात मात्रा यू का सबसे संभावित अनुमान सभी मापों के औसत के रूप में पाया जा सकता है:



वैसे, सबसे अधिक संभावना सिग्मा पैरामीटर सामान्य मानक विचलन है:




क्या उत्तर में सभी मापों का एक सरल औसत प्राप्त करने के लिए परेशान करना लायक था? मेरे स्वाद के लिए, यह इसके लायक था। वैसे, माप की सटीकता बढ़ाने के लिए एक स्थिर मूल्य के कई मापों का औसत एक मानक अभ्यास है। उदाहरण के लिए, एडीसी औसत । वैसे, इसके लिए गॉसियन शोर आवश्यक नहीं है, यह पर्याप्त है कि शोर निष्पक्ष है।

उदाहरण तीन, और फिर से एक आयामी

हम बातचीत जारी रखते हैं, उसी का उदाहरण लेते हैं, लेकिन इसे थोड़ा जटिल करते हैं। हम एक निश्चित प्रतिरोधक के प्रतिरोध को मापना चाहते हैं। प्रयोगशाला बिजली की आपूर्ति की मदद से, हम इसके माध्यम से कुछ मानक संख्या में एम्पीयर पारित करने में सक्षम हैं, और इसके लिए आवश्यक वोल्टेज को मापेंगे। यही है, हमारे प्रतिरोध मूल्यांकनकर्ता के इनपुट पर हमारे पास N जोड़े संख्याएँ (Ij, Uj) होंगी।



चार्ट पर इन बिंदुओं को ड्रा करें; ओम का नियम हमें बताता है कि हम नीली रेखा के ढलान की तलाश कर रहे हैं।



हम पैरामीटर R की संभावना के लिए अभिव्यक्ति लिखते हैं:



और फिर, हम इसी आंशिक व्युत्पन्न को शून्य करने के लिए समान हैं:



तब सबसे प्रशंसनीय प्रतिरोध R को निम्न सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:



यह परिणाम पहले से ही सभी मापों के सरल औसत से कुछ कम स्पष्ट है। कृपया ध्यान दें कि यदि हम एक एम्पीयर के क्षेत्र में एक सौ माप लेते हैं, और एक किलो एम्पियर के क्षेत्र में एक माप लेते हैं, तो पिछले सौ माप व्यावहारिक रूप से परिणाम को प्रभावित नहीं करेंगे। आइए इस तथ्य को याद रखें, यह हमारे लिए अगले लेख में उपयोगी होगा।

चौथा उदाहरण: कम से कम चौकों पर

निश्चित रूप से आपने पहले ही देखा है कि पिछले दो उदाहरणों में, संभावना लॉगरिदम को अधिकतम करना अनुमान त्रुटि के वर्गों के योग को कम करने के बराबर है। आइए एक और उदाहरण देखें। संदर्भ भार का उपयोग करते हुए फौलादी का अंशांकन करें। मान लें कि हमारे पास द्रव्यमान xj का एन संदर्भ भार है, उन्हें एक स्टेलेयर्ड पर लटकाएं और वसंत की लंबाई को मापें, हमें एन स्प्रिंग की लंबाई मिलती है yj:



हुक का नियम हमें बताता है कि वसंत का विस्तार रैखिक रूप से लागू बल पर निर्भर करता है, और इस बल में सामानों का भार और वसंत का वजन शामिल है। बता दें कि स्प्रिंग की कठोरता एक पैरामीटर है , लेकिन अपने स्वयं के वजन के तहत वसंत तनाव बी पैरामीटर है। तब हम अपने माप की संभावना की अभिव्यक्ति इस तरह से लिख सकते हैं (पहले की तरह, गाऊसी माप शोर की परिकल्पना के तहत):



एल की संभावना अधिकतमकरण अनुमान त्रुटियों के वर्गों के योग को कम करने के बराबर है, अर्थात्, हम निम्न प्रकार से परिभाषित फ़ंक्शन एस के लिए देख सकते हैं:



दूसरे शब्दों में, हम एक सीधी रेखा की तलाश में हैं जो कि हरे खंडों की लंबाई के वर्गों के योग को न्यूनतम करती है:



खैर, फिर कोई आश्चर्य नहीं, हमने आंशिक व्युत्पन्न को शून्य पर सेट किया:



हमें दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:



हम स्कूल की सातवीं कक्षा को याद करते हैं और हल लिखते हैं:

निष्कर्ष

कम से कम चौकोर विधियाँ उन मामलों के लिए संभावना को अधिकतम करने का एक विशेष मामला है जहां संभावना घनत्व गौसियन है। मामले में जब घनत्व (बिल्कुल नहीं) गॉसियन है, तो कम से कम वर्ग एक अनुमान देते हैं जो एमएलई (अधिकतम समानता का अनुमान) से भिन्न होता है। वैसे, एक समय में, गॉस ने परिकल्पना की कि वितरण एक भूमिका नहीं निभाता है, केवल परीक्षणों की स्वतंत्रता महत्वपूर्ण है।

जैसा कि आप इस लेख से दूर जंगल में देख सकते हैं, और अधिक बोझिल इस समस्या के विश्लेषणात्मक समाधान हैं। ठीक है, हाँ हम अठारहवीं शताब्दी में नहीं हैं, हमारे पास कंप्यूटर हैं! अगली बार हम एक ज्यामितीय देखेंगे और फिर, ओएलएस की समस्या के लिए एक प्रोग्रामेटिक दृष्टिकोण, लाइन पर बने रहेंगे।