उन स्थानों का प्रमाण जहां समरूपता मौजूद नहीं हो सकती है

एक बड़ी गणितीय उपलब्धि थी शोधकर्ताओं की एक छोटी टीम द्वारा पाई गई ज़िमर की परिकल्पना।

समरूपता के उच्च आयामों में झंझरी के लिए, रैंक से नीचे के आयामों में स्थानांतरित करना हमेशा संभव नहीं होता है

रॉबर्ट ज़िमर की सफलता को कई तरह से परिभाषित किया जा सकता है। 2006 के बाद से शिकागो विश्वविद्यालय के अध्यक्ष के रूप में, उन्होंने परिसर में भाषण की स्वतंत्रता के समर्थन में धन और लेख प्रकाशित करने के लिए नौ-आंकड़ा मात्रा खोजने, सुर्खियों में मारा। लेकिन विश्वविद्यालय के अध्यक्ष बनने से पहले, वह एक गणितज्ञ थे। और एक लंबे समय के बाद उन्होंने गंभीर शोध को छोड़ दिया, जो शोध योजना उन्होंने शुरू की वह आखिरकार उनके परिणाम देती है।

एक साल पहले, तीन गणितज्ञों ने जैमर की परिकल्पना को उन परिस्थितियों से संबंधित साबित किया जिसमें ज्यामितीय रिक्त स्थान में एक निश्चित प्रकार के समरूपता होती है। उनका प्रमाण हाल के वर्षों में सबसे बड़ी गणितीय उपलब्धियों में से एक बन गया है। यह इस सवाल का अंत करता है कि 1970 के दशक के अंत और 1980 के दशक की शुरुआत में अपनी गहन मानसिक गतिविधि के दौरान जिमर के समक्ष उठी।

"मैं कहूंगा कि मैं हर रात इस कार्य के बारे में विचारों के साथ पांच साल के लिए बिस्तर पर गया था, इसलिए मैं इसके साथ ग्रस्त था, और यह देखना बहुत अच्छा था कि लोगों ने इसे कैसे हल किया," जिमर ने कहा।

आमतौर पर, ज्यामितीय आयाम अंतरिक्ष जितना बड़ा होता है, उतने ही समरूपता इसमें हो सकते हैं। यह दो-आयामी विमान पर मौजूद एक सर्कल का अध्ययन करके और तीन आयामों में फैली एक गेंद से कल्पना की जा सकती है: गेंद को घुमाने के लिए और भी तरीके हैं जैसे कि एक सर्कल को घुमाने के तरीके हैं। अतिरिक्त गेंद आयाम अतिरिक्त समरूपता बनाते हैं।

ज़िमर का अनुमान उच्च श्रेणी के अक्षांशों के रूप में ज्ञात एक विशेष प्रकार के समरूपता को संदर्भित करता है। वह पूछती है कि क्या ज्यामितीय अंतरिक्ष का माप इस प्रकार के सममिति के उपयोग को सीमित करता है। नए काम के लेखकों - शिकागो विश्वविद्यालय से आरोन ब्राउन और सेबेस्टियन हर्टाडो-सालाज़र और इंडियाना विश्वविद्यालय से डेविड फिशर - ने दिखाया कि माप की संख्या के साथ एक निश्चित विशिष्ट समरूपता से कम नहीं मनाया जाता है। इस प्रकार, उन्होंने ज़िमर की परिकल्पना को सही साबित किया।


रॉबर्ट ज़िमर, अब शिकागो विश्वविद्यालय के अध्यक्ष हैं, ने लगभग 40 साल पहले उनके नाम पर एक परिकल्पना विकसित की थी

उनका काम एक महत्वपूर्ण और लंबे समय से लटका हुआ सवाल का जवाब देता है, कई अन्य लोगों के अध्ययन के नए तरीके खोल रहा है। यह ज्यामितीय स्थानों के आंतरिक गुणों को भी प्रकट करता है। समरूपता ऐसे स्थानों के सबसे सरल गुणों में से एक है। नया काम कहता है कि समरूपता एक प्रकार के स्थानों में मौजूद हो सकती है, और दूसरों में नहीं हो सकती। दशकों के डाउनटाइम के बाद यह उपलब्धि हासिल हुई।

शिकागो विश्वविद्यालय के गणितज्ञ एमी विल्किंसन ने कहा, "यह परिकल्पना ऐसी लग रही थी कि यह लोगों को लंबे समय तक व्यस्त रख सकती है," इस प्रमाण पर इस साल के सम्मेलन का आयोजन किया। "और उन्होंने अपेक्षाकृत इस प्रश्न को नष्ट कर दिया।"

समरूपता को संतुष्ट करना

सममिति पहली ज्यामितीय अवधारणाओं में से एक है जो बच्चों को गणित में आती है। अपने स्वयं के हाथों से, वे सीखते हैं कि आप फार्म को घुमा सकते हैं, फ्लिप कर सकते हैं और शिफ्ट कर सकते हैं, और अंत में उसी फॉर्म को प्राप्त कर सकते हैं जिसके साथ उन्होंने शुरू किया था। परिवर्तन के परिणामस्वरूप वस्तु के आकार को बनाए रखना एक निश्चित आंतरिक संतुष्टि के साथ प्रतिक्रिया करता है - यह ब्रह्मांड में एक गहरी व्यवस्था का संकेत है।

समरूपता का अध्ययन करने के लिए गणितज्ञों की अपनी औपचारिक भाषा होती है। यह उन्हें विभिन्न समरूपताओं के बारे में संक्षिप्त शब्दों में चर्चा करने का अवसर देता है जो किसी दिए गए ज्यामितीय स्थान पर लागू होते हैं।

एक वर्ग, उदाहरण के लिए, आठ समरूपताएं हैं - इसे फिर से वर्ग प्राप्त करने या इसे घुमाने के लिए आठ तरीके। सर्कल को किसी भी संख्या में डिग्री घुमाया जा सकता है; उसके पास अनंत संख्या में समरूपताएँ हैं। गणितज्ञ किसी दिए गए ज्यामितीय वस्तु या स्थान के सभी समरूपों को इकट्ठा करते हैं और उन्हें "समूह" में पैक करते हैं।

समूह अपने आप में दिलचस्प हैं। वे अक्सर कुछ ज्यामितीय रिक्त स्थान का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप दिखाई देते हैं, लेकिन कभी-कभी वे एक ऐसे संदर्भ में दिखाई देते हैं जो ज्यामिति से पूरी तरह से असंबंधित है। उदाहरण के लिए, समूह संख्यात्मक सेट बना सकते हैं (उदाहरण के लिए, 5 जोड़ने या संख्या से 5 घटाना एक निश्चित समरूपता है)।

"एक समूह, सिद्धांत रूप में, पूरी तरह से अलग चीजों की समरूपता के रूप में प्रकट हो सकता है," जिमर ने कहा।

हम स्कूल में पढ़ने वाले लोगों की तुलना में समरूपता के अधिक विदेशी रूप हैं। उदाहरण के लिए, अक्षांशों की समरूपता पर विचार करें। सबसे सरल जाली एक दो आयामी ग्रिड है। विमान पर, जाली को किसी भी संख्या में वर्गों द्वारा ऊपर, नीचे, बाएं, दाएं स्थानांतरित किया जा सकता है, और एक जाली प्राप्त करें जो मूल रूप से बिल्कुल वैसा ही दिखता है। आप किसी भी व्यक्तिगत कोशिकाओं के माध्यम से ग्रिड को भी प्रतिबिंबित कर सकते हैं। झंझरी के साथ रिक्त स्थान में अलग-अलग समरूपता के कई समरूपता होते हैं।



किसी भी संख्या में आयाम मौजूद हो सकते हैं। तीन-आयामी अंतरिक्ष में, एक जाली में क्यूब्स शामिल हो सकते हैं, वर्ग नहीं। चार या अधिक आयामों में, जाली को प्रस्तुत करना संभव नहीं होगा, लेकिन यह उसी तरह से काम करता है; गणितज्ञ इसका सटीक वर्णन कर सकते हैं। ज़िमर की परिकल्पना के समूहों में उच्च आयामों के कुछ स्थानों में "उच्च रैंक" अक्षांश, या अक्षांश शामिल हैं। "यह अजीब जाली बहुत सुंदर होगी, अगर यह देखा जा सकता है, भले ही यह मुझे नहीं दिया गया है," खर्टाडो-सलाज़ार ने कहा। "यह मुझे लगता है कि उसे देखकर बहुत अच्छा लगेगा।"

20 वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने विभिन्न स्थितियों के तहत इन समूहों की खोज की - न केवल ज्यामिति में, बल्कि संख्या सिद्धांत, तर्क और कंप्यूटर विज्ञान में भी। नए समूह खोलना, यह सवाल पूछना तर्कसंगत है - समरूपता के इस तरह के रिक्त स्थान के पास किस प्रकार का स्थान है?

कभी-कभी समूह स्पष्ट रूप से अंतरिक्ष से मेल खाते हैं। एक व्यक्ति बहुत जल्दी समझ सकता है कि एक वृत्त के सममिति का समूह एक वर्ग पर लागू नहीं किया जा सकता है। वर्ग 10 डिग्री घुमाएँ और आपको मूल वर्ग नहीं मिलेगा। लेकिन कई आयामों के साथ समरूपता और अंतरिक्ष की अनंत संख्या वाले समूह का मिश्रण समूह की प्रयोज्यता को निर्धारित करना मुश्किल बनाता है।

"अधिक आयामों में अधिक जटिल समूह में जाने पर," जिमर ने कहा, "ये मुद्दे बहुत जटिल हो जाते हैं।"

अप्रत्यक्ष कनेक्शन

समरूपता की कल्पना करते हुए, हम पूरे फॉर्म के रोटेशन की कल्पना करते हैं - उदाहरण के लिए, एक वर्ग 90 डिग्री घुमाया गया। लेकिन एक बुनियादी स्तर पर, समरूपता चलती बिंदुओं पर निर्भर करती है। अंतरिक्ष के सममितीय परिवर्तन का मतलब है कि आपको इसके प्रत्येक बिंदु को लेने और इसे किसी अन्य बिंदु पर ले जाने की आवश्यकता है। इस अर्थ में, वर्ग 90 डिग्री को मोड़ने का वास्तव में मतलब है कि आपको वर्ग के प्रत्येक बिंदु को लेने और इसे 90 डिग्री तक घुमाने की आवश्यकता है ताकि यह उस किनारे पर न हो, जहां से आपने शुरू किया था।


डेविड फिशर

बढ़ते बिंदुओं की समस्या को कम या ज्यादा सख्ती से हल किया जा सकता है। सबसे परिचित सममितीय रूपांतरण - विकर्ण के सापेक्ष एक वर्ग का प्रतिबिंब या 90 डिग्री से इसके रोटेशन - बहुत सख्त हैं। इस अर्थ में सख्त कि वे अंक नहीं मिलाते हैं। प्रतिबिंब से पहले जो बिंदु लंबवत थे, वे बाद में लंबवत बने रहते हैं (वे बस अलग-अलग कोने बन जाते हैं), और बिंदु जो सीधे किनारों को बनाते हैं, प्रतिबिंब के बाद, अभी भी सीधे किनारों (बस अलग) को बनाते हैं।

कम कठोर, अधिक लचीले प्रकार के सममित रूपांतर हैं, और वे ज़िमर की परिकल्पना के संदर्भ में दिलचस्प हैं। ऐसे परिवर्तनों में, अंक उनके संगठन को अधिक दृढ़ता से बदलते हैं; वे आवश्यक रूप से परिवर्तन के बाद एक दूसरे के साथ अपने पूर्व कनेक्शन को बनाए नहीं रखते हैं। उदाहरण के लिए, आप वर्ग के परिधि के साथ लंबाई के तीन बिंदुओं द्वारा वर्ग के प्रत्येक बिंदु को स्थानांतरित कर सकते हैं - यह एक सममित परिवर्तन की बुनियादी आवश्यकताओं को संतुष्ट करता है, अर्थात, प्रत्येक बिंदु को अंतरिक्ष में दूसरी जगह स्थानांतरित कर देता है। सबूत के सह-लेखक आरोन ब्राउन ने बताया कि गेंद के संदर्भ में ये अधिक मुक्त रूप परिवर्तन कैसे दिख सकते हैं।

“आप उत्तर और दक्षिण ध्रुवों को ले सकते हैं और उन्हें विपरीत दिशाओं में मोड़ सकते हैं। फिर, अंक के बीच की दूरी बढ़ जाएगी, ”ब्राउन ने कहा।

एक ग्रिड के मामले में, बस इसे विमान के साथ स्थानांतरित करने के बजाय, आप इसे मोड़ सकते हैं, इसे कुछ स्थानों पर खींच सकते हैं और इसे दूसरों में निचोड़ सकते हैं, ताकि परिवर्तित जाल अब मूल एक को ओवरलैप न करें। इस तरह के परिवर्तन कम सख्त होते हैं, और इन्हें डिफोमोर्फिम्स कहा जाता है।



Zimmer के पास इसका उपयोग करने का अच्छा कारण था, उनकी परिकल्पना में समरूपता का कम कठोर संस्करण। इस परिकल्पना से संबंधित सर्वोच्च पद के विशेष अक्षांशों का अध्ययन पहली बार 1960 में ग्रिगोरी अलेक्जेंड्रोविच मार्गुलिस द्वारा किया गया था, जिन्हें उनके काम के लिए फील्ड्स पुरस्कार मिला था। मार्गुलिस ने इन उच्च-श्रेणी के अक्षांशों का उपयोग करके किस प्रकार के रिक्त स्थान को परिवर्तित किया जा सकता है, इसका पूरा विवरण दिया, यदि केवल सख्त परिवर्तनों की अनुमति है।

ज़िमर की परिकल्पना मार्गुलिस के काम की एक प्राकृतिक निरंतरता बन गई। यह उन रिक्त स्थान की सूची के साथ शुरू होता है, जिन पर शीर्ष-रैंक लैटिस काम कर सकते हैं - मार्गुलिस ने इस सूची की खोज की - और पूछता है कि क्या इस सूची का विस्तार हो रहा है यदि लैटिट्स को कम सख्त परिवर्तन करने की अनुमति है।

नए काम में, तीन गणितज्ञों ने साबित किया कि समरूपता की परिभाषा को कमजोर करने से उच्च-क्रम वाले लैटिट्यूड के समरूपता का दायरा नहीं बदलता है। यहां तक ​​कि अगर जाली को बहुत अनियमित परिवर्तनों की अनुमति दी जाती है - शिफ्ट करने, झुकने, खिंचाव करने के लिए - अभी भी गुंजाइश पर सख्त प्रतिबंध है।

“समस्या बयान में इस तरह के लचीलेपन को जोड़ने के बाद, सहजता से, निश्चित रूप से, ऐसा लगता है कि ग्रिड व्यापक कार्य कर सकते हैं। इसलिए, यह आश्चर्यजनक है कि वास्तव में उत्तर "नहीं" होगा - कुछ मामलों में वे नहीं कर सकते हैं, "फिशर ने कहा।

गणितज्ञों ने अंतरिक्ष के आयाम और आयाम के बीच सटीक पत्राचार स्थापित किया है, या रैंक, अक्षांशों के लिए, अक्षांशों के लिए जो किसी दिए गए स्थान में समरूपता की भूमिका निभा सकते हैं। सामान्य तौर पर, उन्होंने दिखाया कि जाली की रैंक जितनी अधिक होगी, उस स्थान के लिए अधिक माप की आवश्यकता होती है जो इसे समायोजित कर सकते हैं। अंतरिक्ष को बदलने में काफी लचीलेपन के साथ भी, उच्च रैंकिंग वाले अक्षांशों के रूपांतरण उच्च आयामों तक सीमित हैं।

"यह बताता है कि रिक्त स्थान की संरचना में कुछ बहुत ही मौलिक है, जो इस तरह के परिवर्तनों को समायोजित करने की उनकी क्षमता का अर्थ है," विल्किंसन ने कहा।

ज़िमर की परिकल्पना एक बड़े कार्यक्रम का पहला कदम है। इससे निपटने के बाद, काम के सह-लेखकों ने उन स्थानों पर एक मोटा प्रतिबंध लगा दिया जिसमें उच्च-श्रेणी के अक्षांशों को रूपांतरित किया जा सकता है। काम का अगला, अधिक महत्वाकांक्षी चरण उन स्थानों पर एकाग्रता होगा, जिसमें लैटिटिस मौजूद हो सकते हैं - और फिर इन रिक्त स्थान के लैटेसिस को बदलने के सभी विभिन्न तरीकों का वर्गीकरण।

“अंत में, कार्यक्रम को इन सभी तरीकों को वर्गीकृत करने में सक्षम होना चाहिए। कुछ जगहों के अस्तित्व के तथ्य की सरल स्थापना से परे कई दिलचस्प सवाल हैं, जिसमें ग्रिल नहीं चल सकते हैं, ”जिमर ने कहा।